Funkcja rozkładu Fermiego-Diraca w różnych temperaturach 1 f FD ( E) = E E F exp + 1 kbt Styczna do krzywej w punkcie f FD (E F )=0,5 przecina oś energii i prostą f FD (E)=1 w punktach odległych o k B T od E F Pojemność cieplna gazu elektronów swobodnych w metalu Oszacowanie: Wzbudzenia termiczne elektronów w przedziale energii od E F -k B T do E F +k B T Średnio wzrost energii elektronu o k B T Liczba wzbudzonych elektronów nk B T/E F Wzrost energii wewnętrznej U=nk B T /E F Pojemność cieplna C e =d( U)/dT=4nk B T/E F Wynik obliczeń dokładnych: Pojemność cieplna C e =4,93nk B T/E F 1
Wkłady elektronów swobodnych i drgań sieci krystalicznej do ciepła właściwego metalu drgania atomów C(T) = γt + βt 3 elektrony swobodne Wykres C/T w funkcji T dla miedzi Gęstość stanów elektronów dla pasma przewodnictwa metalu przejściowego Przewodność elektryczna metali o różnej koncentracji elektronów walencyjnych
Opór elektryczny metali Rozpraszanie elektronów na nieregularnościach kryształu: a) drganiach atomów - fononach, b) defektach i atomach domieszki. Opór elektryczny w niskiej temperaturze dwu próbek potasu o różnej koncentracji domieszek i defektów sieci 3
Opór elektryczny metali Zależność od temperatury oporu elektrycznego metalu W wysokiej temperaturze dominuje rozpraszanie elektronów na drganiach atomów. W opisie kwantowym mówimy o fononach falach drgań sieci krystalicznej. Przekrój czynny na rozpraszanie jest proporcjonalny do średniej z kwadratu amplitudy drgań atomów, która zgodnie z zasadą ekwipartycji energii jest proporcjonalna do temperatury kbt S x Mω 1 Średnia droga swobodna jest Λ = vfτ = nas ne Λ 1 Przewodność elektryczna σ = T mv Oporność właściwa ρ = σ 1 T wzrasta liniowo z temperaturą F W niskiej temperaturze dominuje rozpraszanie elektronów na defektach i domieszkach. Przekrój czynny i średnia droga swobodna nie zależą od temperatury, zatem oporność nie zmienia się z temperaturą oporność resztkowa. Przewodzenie ciepła przez metale Strumień energii termicznej jest proporcjonalny do gradientu temperatury dt J Q = Κ d x Współczynnik przewodzenia ciepła elektronów 1 π kbnλ K = CevFΛ = T 3 3mv Przewodność elektryczna σ i współczynnik przewodzenia ciepła K metalu są powiązane prawem Wiedemanna-Franza: F Zależność od temperatury współczynnika przewodzenia ciepła metalu K σt π kb = 3 e =,45 10 8 W Ω K Prawo to jest potwierdzone doświadczalnie w zakresie wysokich i niskich temperatur. W pośrednim zakresie temperatury prawo to nie obowiązuje, gdyż różne są czasy relaksacji τ=λ/v F nierównowagowych rozkładów elektronów wywołanych przepływem prądu i gradientem temperatury. 4
Zjawisko Halla W polu magnetycznym o indukcji B na ładunek q poruszający się z prędkością v działa siła Lorenza F = q v B Schemat układu doświadczalnego do pomiaru efektu Halla. Linie przerywane oznaczają tory, po których poruszałyby się elektrony n i dziury p w polu magnetycznym o indukcji B, gdyby nie pojawiło się napięcie Halla U H. Stałą Halla R H wyznacza się na podstawie pomiaru napięcia Halla U H, natężenia prądu I w warstwie o grubości d oraz indukcji magnetycznej B: R H =U H d/(ib) Jeśli występuje tylko jeden rodzaj nośników ładunku (elektrony albo dziury) to stała Halla jest odwrotnie proporcjonalna do ich koncentracji n R H =1/(ne) e - ładunek elementarny Efekt Halla wyznaczanie znaku i koncentracji nośników 5
Pasma energetyczne w ciałach stałych Poziomy elektronowe atomów w cząsteczkach ulegają rozszczepieniu. W kryształach zjawisko to prowadzi do wytworzenia się pasm. Klasyfikacja ciał stałych na podstawie struktury pasmowej 6
Metale, półprzewodniki, izolatory Model prawie swobodnych elektronów Energia elektronu swobodnego Energia elektronu w krysztale jednowymiarowym o stałej sieci a Powstawanie fal stojących, gdy spełniony jest warunek Bragga odbicia funkcji falowej elektronu od struktury periodycznej kryształu. Fale stojące: ψ(+) cos(πx/a) ψ(-) sin(πx/a) Energia potencjalna elektronu w liniowej sieci rdzeni jonowych ψ(+) elektrony skupione w pobliżu rdzeni jonów obniżenie energii potencjalnej ψ(-) elektrony skupione pomiędzy jonami zwiększenie energii potencjalnej 7
Energia w funkcji wektora falowego dla elektronów prawie swobodnych w jednowymiarowym krysztale o odległości a między atomami. Funkcja E(k) jest nieciągła przy k=pπ/a, p =1,,3... występują przerwy energetyczne między pasmami dozwolonymi. Różne sposoby przedstawiania zależności E(k) Strefa periodyczna Strefa zredukowana Strefa rozwinięta 8
Struktura pasmowa i stany obsadzone Izolator pasmo walencyjne całkowicie zapełnione Metal (półmetal) przekrywanie się pasm Metal pasmo walencyjne częściowo zapełnione Elektron w potencjale periodycznym funkcja falowa 9
Kształt zależności energii od wektora falowego a masa efektywna Energia w zależności od wektora falowego E(k) i pochodne tej funkcji zachowanie w pobliżu granicy strefy Brillouina k=π/a. a) Szerokie pasma, wąska lub szeroka przerwa, mała masa efektywna. b) Wąskie pasma, szeroka przerwa energetyczna, duża masa efektywna. Masa efektywna m * 1 m * 1 = h d E d k Masa efektywna elektronów m*(k) dla jednowymiarowej struktury pasmowej Silne zakrzywienie pasm Mała krzywizna pasm mała masa efektywna duża masa efektywna W punktach przegięcia zależności E(k) masa efektywna jest nieokreślona 10
Półprzewodniki samoistne Krzem Si German Ge Wafel krzemowy z wytworzonymi układami scalonymi Metoda Czochralskiego otrzymywania monokryształów 1916 r Jan Czochralski od 198 profesor Politechniki Warszawskiej Monokryształ krzemu o średnicy 10 cm wyhodowany metodą Czochralskiego 11