Warsztaty metod fizyki teoretycznej Zestaw 3 i 4 String theory made easy

Warsztaty metod fizyki teoretycznej Zestaw 3 i 4 String theory made easy Michał P. Heller, Jan Kaczmarczyk 18.10.2007 25.10.2007 (31.10.2007) I. Wstęp historyczny Najbliższy, podwójny zestaw (18.10.2007 i 25.10.2007) poświęcony jest wybranym zastosowaniom mechaniki klasycznej, równań różniczkowych cząstkowych, a także elementarnej mechaniki kwantowej związanym (dość luźno) z teorią strun. Celem najbliższych 2 tygodni jest przede wszystkim dostarczenie rozrywki przez pokazanie niektórych ciekawych aspektów teorii na palcach, a także zachęta do dalszych studiów w tej dziedzinie. Materiał został ułożony od zadań najprostszych, wyjaśniających niektóre pojęcia, aż do zadań trudniejszych, wykorzystujących bardziej zaawansowaną technologię. Stopień trudności zadań jest określany przez gwiazdki, najtrudniejsze zadania są oznaczane przez (***). Zadanie 1 dotyczy równania falowego opisującego drgania klasycznej nierelatywistycznej struny (powtórka wiadomości z kursu matematycznych metod fizyki). Zadanie 2 wyjaśnia pierwotną motywację stojącą za wprowadzeniem teorii strun - próbę wyjaśnienia spektrum hadronów produkowanych w eksperymentach akceleratorowych. Następne zadania związane są z wyższymi wymiarami, kompaktyfikacją, a także klasyczną teorią relatywistycznej struny. Prawdziwa teoria strun to relatywistyczna mechanika kwantowa albo kwantowa teoria pola opisująca obiekty rozciągłe - struny. W teorii tej występują zarówno struny otwarte jak i struny zamknięte. Odkryto 5 supersymetrycznych teorii strun (żyjących w 10-wymiarowej czasoprzestrzeni i posiadających zarówno wzbudzenia bozonowe jak i fermionowe) oraz 1 bozonową teorię strun (żyjąca w 26-wymiarowej czasoprzestrzeni). Teorie strun byłyby zaledwie ciekawostką, gdyby nie jeden, zaskakujący fakt - wszystkie 6 teorii strun na poziomie kwantowym zawiera bezmasowe wzbudzenie o spinie 2, czyli grawiton. Stąd 1

wielki boom w tej dziedzinie - od lat supersymetryczne teorie strun są kandydatkami na teorię wszystkiego (unifikacja wszystkich oddziaływań). Założenie, że u podstaw modelu standardowego leży teoria strun rodzi problemy: dlaczego cząstki elementarne takie jak elektron nie wykazują struktury rozciągłej? (Zadanie 3) skoro teoria strun operuje w 10 wymiarach, dlaczego oberwujemy 4-wymiarową czasoprzestrzeń? (Zadanie 4) Następne zadania poświęcone są badaniu działania Nambu-Goto, które jest uogólnieniem działania dla relatywistycznej cząstki punktowej (Zadanie 5 i 6). Zadania trudniejsze oparte są na analizie działania Polyakova (Zadanie 7 i 8). Zadania domowe pojawią się w drugim tygodniu. II. Proste problemy Zad. 1. Teoria gitary, czyli struny w skali makro. (*) Rozważmy na początek fragment napiętej metalowej struny i małe drgania POPRZECZNE wokół położenia równowagi. 1. Proszę wyprowadzić równanie ruchu dla struny. Dany jest naciąg oraz gęstość struny (proszę zasugerować się zadaniem z rybakiem z pierwszego zestawu.). WSKAZÓWKA: wynik to oczywiście równanie falowe w postaci 2 xψ(t, x) = 1 c 2 2 t Ψ(t, x), (1) gdzie Ψ(x, t) to wychylenie poprzeczne struny, zaś c to pewna stała wymiarowa. 2. Proszę rozważyć gęstość lagranżjanu w postaci L = 1 ( t Ψ(t, x) ) 2 1( x Ψ(t, x) ) 2 2c 2 2 i wyprowadzić równania Eulera-Lagrange a (wariując działanie, tak, żeby widzieć człony brzegowe). Załóżmy, że 0 x L. Jakie konsystentne warunki można narzucić na Ψ(0, t), Ψ (0, t), Ψ(L, t), Ψ (L, t)? Jaka jest interpretacja tych warunków? 3. Proszę policzyć całkowitą energię oraz pęd struny i pokazać kiedy wielkości te będą zachowane (w zależności od warunków zadanych na brzegach struny). 4. Proszę skonstruować rozwiązanie d Alemberta, tj. rozważyć nieskończoną strunę o zadanym profilu i prędkości poprzecznej w chwili początkowej i na tej podstawie skonstruować rozwiązanie dla dowolnego t. (2) 2

Zad. 2. Trajektorie Reggego, czyli narodziny teorii strun. (**) W latach 50-tych i 60-tych w eksperymentach akceleratorowych odkryto, że mezony i bariony mają całe spektrum rezonansów (stanów wzbudzonych). Okazało się, że rezonanse spełniają bardzo prosty związek. Jeśli s to kwadrat energii w układzie środka masy, zaś J to moment pędu, związek ten przyjmuje postać J = α(s) = α s + α(0), (3) gdzie α jest stałą uniwersalną (niezależną od mezonu) wynoszącą około 1 GeV 2 (operujemy w jednostkach, w których stała Plancka h = 1), zaś α(0) to mała poprawka, której nie uwzględnia się w niżej przedstawionym modelu. Załóżmy, że mezon to po prostu dwa kwarki wirujące wokół środka masy. Jaka zależność siły od odległości odtworzy kwadratową zależność momentu pędu od energii? Proszę założyć, że kwarki poruszają się z prędkościami zbliżonymi do prędkości światła (jest to uzasadnione - masa najlżejszych mezonów jest znacznie większa od mas pionów). Proszę rozważyć 2 przypadki, w których 1. zaniedbuje się energię potencjalną oddziaływania między kwarkami (na energię układu składa się tylko energia kinetyczna kwarków), 2. uwzględnia się tylko energię potencjalną oddziaływania. Zad. 3. Analiza wymiarowa a charakterystyczne skale dla teorii kwantowej grawitacji. (*) Załóżmy, że chcemy skonstruować teorię kwantowej grawitacji i mamy już pewne doświadczenie w konstruowaniu teorii fizycznych. Zacznijmy od teorii grawitacji Newtona. Wzór na siłę m oddziaływania dwóch ciał punktowych przyjmuje postać F = G 1 m 2 N, gdzie G r 2 N to stała wymiarowa. Gdy G N 0, ciała nie oddziałują. Rozważmy teraz dla odmiany szczególną teorię względności. W teorii tej także występuje stała wymiarowa - prędkość światła c. Z konieczności uogólnienia szczególnej teorii względności i teorii grawitacji Newtona powstała ogólna teoria względności. W tej teorii występują dwie fundamentalne stałe wymiarowe - prędkość światła c i stała Newtona G N. W latach 20. i 30. XX wieku odkryto mechanikę kwantową, która wprowadza kolejną fundamentalną stałą h (stała Plancka). Kwantowa teoria pola to relatywistyczna mechanika kwantowa układu o nieskończonej liczbie stopni swobody. Teoria ta zawiera dwie stałe fundamentalne - h oraz c. Kwantowa teoria grawitacji powinna w takim razie uwzględniać w jakiś sposób wszystkie stałe fundamentalne. Proszę pokazać, że prowadzi to do fundamentalnej skali odległości nazywanej skalą Plancka. Załóżmy dla wygody, że pracujemy w układzie jednostek w którym h = c = 1. W kwantowej teorii pola siła oddziaływania opisywana jest przez bezwymiarową stałą sprzężenia, która może zależeć od skali procesu. Stałą, która wyznacza oddziaływania grawitacyjne jest stała Newtona. Rozważmy proces w którym 2 cząstki wymianiają pojedynczy grawiton (brak pętli, 3

amplituda jest proporcjonalna do stałej grawitacji). Aby otrzymać bezwymiarową stałą sprzężenia stała Newtona musi zostać przemnożona przez odpowiednią potęgę energii (w układzie jednostek h = c = 1). Co to oznacza? Potrzebne stałe fizyczne: G N = 6.674 10 11 m 3 kg 1 s 2, h = 1.054 10 34 J s, c = 2.998 10 8 m s 1. Wielkości podane z dokładnościa 3 cyfr po przecinku za amerykańskim National Institutes of Standards and Technology. Zad. 4. Kompaktyfikacja, czyli jak się pozbyć denerwujących wymiarów? Problem trywialny - niewidoczne dodatkowe wymiary. (*) Teorie strun, które są podstawą rozważań fenomenologicznych w tej dziedzinie żyją w 10- wymiarowej czasoprzestrzeni. Doświadczenia przeprowadzone do tej pory stwierdziły istnienie 4-wymiarowej czasoprzestrzeni. Jeśli hipoteza strun jest słuszna, pojawia się naturalna potrzeba pozbyajcia się dodatkowych wymiarów. Z elementarnej mechaniki kwantowej wiemy, że energia cząstki jest odwrotnie proporcjonalna do jej długości fali de Broglie a. Jeśli mamy cząstkę w zamkniętą w pudle, okazuje się, że istnieje górne ograniczenie na długość fali, mianowicie charakterystyczne wymiary pudła. Oznacza to, że energia wzbudzeń takiej cząstki jest ograniczona od dołu przez wielkość pudła. Pomysł z kompaktyfikacją polega na stworzeniu z dodatkowych wymiarów pudła rezonansowego, w którym najniższe wzbudzenia będą na tyle wysokie, że odpowiadają niedostępnym eksperymentalnie energiom. Najprostszym przypadkiem kompaktyfikacji jest redukcja prostej w okrąg. Rozważmy niezależne od czasu równanie Schrödingera w dwóch wymiarach przestrzennych x i y, przy czym jeden z wymiarów został zwinięty do okręgu o promieniu R (poprzez utożsamienie y y + 2πR). Niech potencjał zależy tylko od makroskopowego wymiaru x i ma formę nieskończonej studni potencjału. Proszę pokazać, że dla niskich energii nie dochodzi do wzbudzeń w wyższych wymiarach. Problem pedagogiczny. (**) Rozważmy D-wymiarową płaską przestrzeń euklidesową. W punkcie x 0 o współrzędnych x 0 = (0, 0,..., 0) umieszczamy masę punktową M. Chcemy policzyć potencjał w odległości r od masy M. D-wymiarowa stała Newtona wynosi G (D). WSKAZÓWKA I: Proszę skorzystać z prawa Gaussa. Proszę się zastanowić jak wyprowadzić wzór na powierzchnię n-wymiarowej sfery. WSKAZÓWKA II: Żeby obliczyć powierzchnię n-wymiarowej sfery, należy policzyć całkę z iloczynu e x2 1 e x 2 2... e x 2 n+1 n+1 po wszystkich zmiennych (wynik to π 2 ), a następnie przejść do zmiennych radialnych i zrobić to samo. WSKAZÓWKA III: 0 dre r2 r k = 1 2 Γ( k+1 2 ). Problem trudniejszy - grawitacja w 5 wymiarach. (**) Rozważmy 5-wymiarową czasoprzestrzeń newtonowską z nieskompaktyfikowanymi wymiarami przestrzennymi (x, y, z, w). 4

Masa punktowa znajduje się w punkcie o współrzędnych (x, y, z, w) = (0, 0, 0, 0). Proszę znaleźć 5-wymiarowy potencjał grawitacyjny V g (5) (r) w zależności od M, 5- wymiarowej stałej grawitacyjnej G (5) oraz r = x 2 + y 2 + z 2 + w 2 (skorzystać z równania V g (5) = 4πG (5) ρ m, gdzie ρ m określa dystrybucję masy). Skompaktyfikujmy wymiar w do okręgu o promieniu a (chodzi o utożsamienie w w + 2πa), przy czym masa M pozostaje niezmieniona. Proszę wyprowadzić wzór na V (5) g (x, y, z, 0). III. Droga do teorii strun - działanie Nambu-Goto. Zad. 5. Relatywistyczna cząstka punktowa... (*) Rozważmy d-wymiarową czasoprzestrzeń Minkowskiego M d z diagonalną metryką η = diag( 1, 1, 1,..., 1). (4) Ruch cząstki punktowej to krzywa w d-wymiarowej czasoprzestrzeni. Jeśli w sposób ciągły każdemu punktowi na tej krzywej przyporządkujemy liczbę rzeczywistą (tak, że różnym punktom odpowiadają różne liczby), mówimy, że sparametryzowaliśmy trajektorię. Ruch w d-wymiarowej czasoprzestrzeni jest opisywany przez d funkcji współrzednych X µ (τ). 1. Proszę rozważyć działanie S = m dτ ẊµẊ µ i pokazać, że jest ono niezmiennicze z względu na reparametryzację τ = τ(τ ). 2. Proszę pokazać, że granica nierelatywistyczna tego działania jest poprawna. 3. Proszę wyprowadzić i rozwiązać równania ruchu. 4. Proszę rozwiązać ogólniejszy problem, czyli ruch w zakrzywionej czasoprzestrzeni. Działanie uogólna się w trywialny sposób S = m dτ g µν (X)ẊµẊν. Zad. 6.... i działanie Nambu-Goto, jako naturalne uogólnienie. (**) Cząstka punktowa poruszczająca się w czasoprzestrzeni kreśli krzywą zwaną linią świata. Struna jako obiekt 1-wymiarowy zakreśla 2-wymiarową powierzchnię w czasoprzestrzeni nazywaną wstęgą świata. Jest ona parametryzowana przez 2 wielkości, oznaczane zwyczajowo jako τ i σ. W oparciu o te informację i analogię z przypadkiem cząstki punktowej proszę wyprowadzić wzór na działanie struny, nazywane działaniem Nambu-Goto od nazwisk odkrywców. IV. Zadania, które wymagają trochę więcej technologii Zad. 7. Pomysł Polyakova. (**) Przyjrzyjmy się jeszcze raz działaniu relatywistycznej cząstki punktowej S = m dτ ẊµẊ µ. Gdy mamy do czynienia z cząstka bezmasową, powyższe działanie jest tożsamościowo 0. Istnieje jednakże proste uogólnienie polegające na wprowadzeniu dodatkowego, niedynamicznego pola η(τ) (Określenie niedynamiczne oznacza, że w działaniu występuje pole, brak natomiast 5

jego pochodnych. Proszę przyjrzeć się strukturze równań Eulera-Lagrange a i zastanowić się dlaczego takie pola nazywamy niedynamicznymi). Uogólnione działanie przyjmuje postać S = 1 dτ(ɛ 1 Ẋ µ Ẋ µ ɛm 2 ) (5) 2 ɛ(τ) można interpretować jako metrykę na 1-wymiarowej krzywej. Proszę pokazać, że dla m > 0 obydwa działania są równoważne. Jaka jest zaleta nowego działania? Działanie Nambu-Goto dla struny przyjmuje postać S = 1 dτdσ det(g 2πα ind ), (6) gdzie g ind to metryka indukowana na wstędze świata struny. Proszę w analogii z cząstką punktową rozważyć działanie w postaci S P = 1 dτdσ ( ( det ( γ)γ ab 4πα a X µ b X µ ) ), (7) gdzie γ ab to dynamiczna 2-wymiarowa metryka, której indeksy odnoszą się do zmiennych o indeksach a, b τ, σ. Proszę pokazać, że klasycznie obydwa działania są równoważne. Jaka jest zaleta nowego działania? Powyższe działanie nosi nazwę działania Polyakova. Proszę znaleźć jego wszystkie symetrie. Zad. 8. Struny a stała kosmologiczna. (**) Proszę dodać do działania Polyakova człon kosmologiczny proporcjonalny do Λ. Proszę pokazać, że takie działanie jest niekonsystentne dla strun. Proszę się zastanowić czy do działania Polyakova jest sens dodawać skalar Ricciego. Jeśli nie, to dlaczego? WSKAZÓWKA I: δ det (h αβ ) = 1 2 det (hαβ ) h γφ δh γφ WSKAZÓWKA II: Czy równania Einsteina w 2 wymiarach są dynamiczne (liczba niezależnych składowych tensora Riemanna R αβγδ 1 w n-wymiarach wynosi 12 n2 (n 2 1))? IV. Zadania domowe Zad. 9. Równanie falowe (3 pkt.) Proszę skonstruować rozwiązanie d Alemberta (zadanie 1, podpunkt 4), czyli dokładne rozwiązanie równania falowego na prostej rzeczywistej. Pomocą posłużą wskazówki. WSKAZÓWKA I: Proszę pogazać, że ogólne rozwiązanie równania falowego na prostej rzeczywistej przyjmuje postać Ψ(t, x) = f(x + ct) + g(x ct). (8) gdzie f(y) i g(y) to dowolne funkcje. Problem rozwiązania równania falowego redukuje się do znalezienia funkcji f(y) i g(y), takich, że spełnione są warunki początkowe. WSKAZÓWKA II: Aby udowodnić powyższe proszę zapisać równanie falowe w zmiennych x + = x + ct oraz x = x ct. 6

Zad. 10. Działanie dla relatywistycznej cząstki punktowej sprzężonej z polem elektromagnetycznym (4 pkt.) Proszę przeczytać wykład Richarda Feynmana dotyczący zasady najmniejszego działania, a nastepnie wyprowadzić równania ruchu dla relatywistycznej cząstki punktowej poruszającej się w potencjale A µ (y). Działanie dla tego przypadku przyjmuje postać S = τf τ i dτ ( mc τ X µ (τ) τ X µ (τ) + q c Aµ (X(τ)) τ X µ (τ) ) (9) Proszę postępować analogicznie do przypadku relatywistycznej cząstki swobodnej. Czterowektor potencjału A µ (Y ) zależy od położenia w czasoprzestrzeni (określonego przez czterowektor Y). WSKAZÓWKA I: Załóżmy, że lagranżian L zależy od i funkcji czasu f i (t). Wtedy równania Eulera-Lagrange a przyjmują postać L f i (t) = d dt L f i (t). (10) Rolę czasu pełni τ, zaś funkcję f i to po prostu X µ (τ), gdzie µ = 0,..., 4 WSKAZÓWKA II: Y µ Z µ = Y 0 Z 0 + Y 1 Z 1 + Y 2 Z 2 + Y 3 Z 3 WSKAZÓWKA III: Proszę przypomnieć sobie wiadomości z wykładu Elektrodynamiki klasycznej na temat potencjału wektorowego A µ (y), w szczególności jego związek z polami E oraz B. Proszę przypomnieć sobie / zaznajomić się z pojęciem niezmienniczości cechowania (ang. gauge invariants) i proszę zastanowić się czy zapisane działanie posiada tę cechę (proszę skonsultować Mechanikę Landaua). Zad. 11. Struny a stała kosmologiczna (4 pkt.) Proszę zrobić zadanie 8. Literatura [1] B. Zwiebach, A First Course in String Theory,. Cambridge University Press (2004). [2] J. Polchinski, String Theory,. Cambridge University Press (1998). [3] A. Zee, Quantum Field Theory in a Nutshell,. Princeton University Press (2003). [4] G. t Hooft, Introduction to String Theory,. Notatki z wykładów do pobrania pod adresem http://www.phys.uu.nl/~ thooft 7