Temat: Elementy astronautyki (mechaniki lotów kosmicznych) asysta grawitacyjna Załóżmy, że sonda kosmiczna mając prędkość v1 leci w kierunku planety pod kątem do toru tej planety poruszającej się z prędkością U1 (a styczna do toru sondy nie przecina się z torem planety wewnątrz tej planety). Załóżmy też (na początku), że planeta porusza się w kierunku do sondy. Pole grawitacyjne planety zakrzywi tor sondy w ten sposób, że dalszy jej ruch nie będzie w tym samym kierunku (dalszy tor sondy będzie hiperbolicznym odbiciem ) patrz. odpowiedni (pierwszy) Rys. Oznaczmy prędkości sondy i planety po tym zdarzeniu z indeksami 2: v2 oraz U2. Załóżmy dalej (też tylko na początek), że = 0 (tor sondy jest równoległy do toru planety). Wyprowadźmy wzory na prędkości: v2 oraz U2. Załóżmy, ze mamy dane obie masy: sondy m i planety M. Załóżmy też, że M >> m (zamiast planety mogłaby być np. planetoida spełniająca ten warunek) Aby znaleźć zależności na prędkości v2 oraz U2 skorzystajmy z 2 zasad zachowania: energii (kinetycznej) oraz pędu. 1a) MU 1 2 /2 + mv 1 2 /2 = MU 2 2 /2 + mv 2 2 /2 1b) MU 1 + mv 1 = MU 2 + mv 2
Po wymnożeniu przez 2 i odpowiednim zgrupowaniu wyłączamy masy przed nawiasy: 2a) M(U1 2 U2 2 ) = m(v2 2 v1 2 ) 2b) M(U1 U2) = m(v2 v1) Po skorzystaniu ze wzoru skróconego mnożenia: a2 b2 = (a - b)(a + b) podzielmy stronami r-nia 2a i 2b: M(U1 U2)(U1 + U2) M(U1 U2) Po podzieleniu otrzymamy 3): U1 + U2 = v2 + v1 = m(v2 v1)(v2 + v1) m(v2 v1) A. Obliczmy v2 = f(u1, v1, M, m). /W p. B obliczymy U2 = f(u1, v1, M, m)/ Z 3) otrzymamy: U2 = v2 + v1 U1 Po wstawieniu powyższego do 1b otrzymamy: MU1 + mv1 = M(v2 + v1 U1) + mv2 Kolejno wymnażamy i odpowiednio grupujemy: (M + m)v2 = MU1 + mv1 Mv1 + MU1 (M + m)v 2 = 2MU 1 + (m - M)v 1 v 2 = 2M M + m U 1 + m - M M + m v 1 B. Aby obliczyć U2 wstawiamy też do 1b zależność z 3) ale na: v2 = U1 + U2 v1 Po podobnych przekształceniach otrzymamy: U 2 = M - m M + m U 1 + 2m M + m v 1 Dokonajmy matematycznego założenia (początkowo), że sonda spoczywa czyli v1 = 0. Wtedy: U2 = M - m M + m U1 + 0 oraz: v2 = 2M M + m U1 + 0 Ponieważ M >> m więc w przybliżeniu:
U2 = M - 0 M + 0 U1 oraz: v2 = 2M M + 0 U1 Czyli: U2 = U1 oraz: v 2 = 2U 1 Czyli spoczywające ciało lekkie (sonda) odbiłoby się więc od uderzającego ciała ciężkiego (planety) z podwojoną prędkością ciała ciężkiego! Jeśli odrzucimy już matematyczne założenie v1 = 0 to stosując dalej analogię zderzenia sprężystego możemy napisać, że po odbiciu od pola grawitacyjnego planety sonda uzyska prędkość o wartości: v 2 = 2U 1 + v 1 Załóżmy teraz ogólniej, że kąt jest niezerowy. Jak wiadomo, prędkość można rozłożyć na 2 składowe prostopadłe wektorowo do siebie. Ze wspomnianego już rysunku, stosując funkcje trygonometryczne mamy: v 1x Cos = ----- oraz: Sin = ---- v1 v1 a stąd: v 1x = v 1 cos v 1y = v 1 sin Tak więc: v 2x = v 1 cos + 2U v 2y = v 1 sina Z prostopadłych składowych v 2x oraz v 2y można wyliczyć prędkość v2 z twierdzenia Pitagorasa: v 2 = v 2x 2 + v 2y 2 czyli: v2 = (v 1 cos + 2U) 2 + (v 1 sin ) 2 Aby ujednolicić trygonometrycznie pozbądźmy się sinusa stosując wzór sin 2 + cos 2 = 1 czyli: sin 2 = 1 cos 2 (Wpierw podnieśmy do kwadratu drugi nawias): v2 = (v 1 cos + 2U) 2 + v 1 2 (1-cos 2 ) v 1y
Załóżmy, że prędkość początkowa sondy jest taka sama jak planety. Prędkości planet są rzędu kilkudziesięciu (10 do 40) km/s, np. Ziemi: 30 km/s. (Nie należy sądzić, że sondy nie mogą mieć prędkości porównywalnych z prędkościami planet!). Załóżmy więc: U = v1 Wtedy, korzystając po drodze z (innego) wzoru skróconego mnożenia: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 v2 = (v 1 cos + 2v 1 ) 2 + v 1 2 (1-cos 2 ) = [v 1 (cos + 2)] 2 + v 1 2 (1-cos 2 ) = = v 1 2 (cos + 2) 2 + v 1 2 (1-cos 2 ) = v 1 2 [(cos + 2) 2 + (1-cos 2 )] = v1 (cos + 2) 2 + 1-cos 2 = v1 (cos 2 + 4cos a + 4) + 1-cos 2 czyli: v2 = v1 4cos + 5 Rozważmy kilka przykładowych kątów takich dla których cosinus jest liczbą wymierną, prostą : Cos 0 o = 1 więc v2 = v1 4 x 1 + 5 = v1 9 Cos 60 o = 1/2 więc v2 = v1 4 x 1/2 + 5 = v1 7 Cos 90 o = 0 więc v2 = v1 4 x 0 + 5 = v1 5 Wciąż otrzymujemy liczby > v1 więc rozpatrzmy kąty rozwarte. Skorzystajmy dalej ze wzoru: cos(180 - ) = -cos 120 o = 180 0 60 0 więc Cos 120 o = -cos60 0 = -1/2 czyli v2 = v1-2 + 5 = v1 3 Cos 180 o = -1 więc v2 = v1-4 + 5 = v1 1 = v1 Czyli praktycznie dla każdego kąta zawsze jest zysk prędkości (z wyjątkiem jedynego przypadku gdy = 180 o ). Największy zysk prędkości (w powyższym przypadku = 9 = 3) jest oczywiście dla kąta zerowego. Rysunek następny przedstawia przykładowe wykorzystanie asysty grawitacyjnej. W 1997 r. wystartowała sonda Cassini; W drodze do Saturna (przylot w 2004 r.) aż 4krotnie skorzystała z asysty grawitacyjnej: Wenus (dwukrotnie!), Ziemi (!) oraz Jowisza. Asysta grawitacyjna ma wiele innych nazw np. efekt procy grawitacyjnej, wsparcie grawitacyje, itp. Wspomaganie grawitacyjne pozwala zaoszczędzić paliwo ale wydłuża i komplikuje drogę więc precyzyjnie muszą trajektorię obliczyć komputery znając różne cykle trajektorii planet, księżyców. Asysta grawitacyjna została opracowana w 1959 (w ZSRR). Stosując asystę grawitacyjną można też spowodować wyjście sondy z płaszczyzny ekliptyki naszego Układu Słonecznego (czyli płaszczyzny wirowania planet). Dzięki asyście Saturna (i
Tytana jego największego księżyca) w 1980 r. odbiła się od ekliptyki sonda Voyager I. A w 1990 sonda Ulysses wyrwała się z ekliptyki aby zbadać biegunowe okolice Słońca. Wykorzystując asystę Jupitera (Jowisza) skierowano sondę przed a dodatkowo pod niego i w ten sposób sonda oddaliła się prostopadle do ekliptyki. 2007-06-30 / 2011-02-17 Przy podróżach poza Układ Słoneczny można kiedyś będzie skorzystać ze znajdujących się w Naszej Galaktyce podwójnych układów gwiazd; Asystą grawitacyjną dającą największy przyrost prędkości ( W dalszym ciągu maksymalnie v+2v ) byłby podwójny układ gwiazd neutronowych.
O takiej metodzie zwiększania prędkości napisał już w 1963 r. fizyk Freeman Dyson z USA (Ośrodek naukowy Princeton). Para gwiazd neutronowych obiega siebie (wspólny środek masy) z bardzo dużą prędkością, która jest możliwa m.in. dlatego, że gwiazdy neutronowe są bardzo małe a więc i obwód toru może być bardzo mały. Mając przykładowo masy równe masom naszego Słońca gwiazdy neutronowe mogą mieć średnice po zaledwie 20 km i okrążać się 200 razy na sekundę (częstotliwość 200 Hz; Okres obiegu T = 0,005 sekundy)!! Statek kosmiczny (sonda) zakręcając wokół jednej z takich gwiazd mógłby uzyskać prędkość 0,27c czyli prawie 1/3 prędkości światła (81 tys. km/s)!! Gdyby skorzystać z innej pary gwiazd białych karłów, to zysk byłby mniejszy ale oczywiście również znacznie większy niż w naszym Układzie Słonecznym; Mając przykładowo masy równe masom naszego Słońca białe karły mogą mieć średnice po 20 tys. km i okrążać się z okresem T = zaledwie 100 sekund! Statek kosmiczny (sonda) zakręcając wokół jednej z takich gwiazd mógłby uzyskać prędkość 0,009c czyli prawie 1% prędkości światła (2,7 tys. km/s)! 2011-03-02 Dokonajmy sami szacunków podanych wartości prędkości dla powyższych danych. Obliczmy orbity gwiazd a następnie ich pierwsze prędkości kosmiczne. Siłę grawitacji przyrównajmy do dośrodkowej: GMm R 2 = mv2 R czyli v = 2πR T GM R = v2. a więc GM R = (2πR T )2. czyli GMM R 2 = Mv2 R Stąd R = 3 GM (2π) 2 T2 M to masa Ziemi czyli 2*10 30 kg, G= 6,67*10-11. GM (2π) 2 6*10-11 *2*10 30 (2*3) 2 = 1019 3 R = 3 10 19 3 T2 Dla gwiazd neutronowych mamy: R = 3 10 19 Czyli R = 3 10 19 3 0,0052 3 (10-3 *5) 2 = 3 250 3 1012 10 3 4 249 3 = 10 4 *4,3 = 43 * 10 3 m = 43 km v = 2π R T
v 6 R T = 643*103 5*10-3 = 52*106 = 0,52*10 8 c=3*10 8 więc v = 0,52 3 c = 0,17c Statek kosmiczny może mieć więc maksymalny wzrost prędkości 2*0,17c = 0,34c = c/3 Dla białych karłów mamy: R = 3 10 19 Czyli R = 3 10 19 3 1002 3 104 = 3 100 3 1021 10 7 3 99 3 = 107 *3,2 = 32 * 10 6 m = 32 tys. km v = 6 R T = 632*106 10 2 = 192*104 = 0,0192*10 8 v = 0,019 3 c = 0,006c Statek kosmiczny może mieć więc maksymalny wzrost prędkości 2*0,006c = 0,012c 1% c 2011-03-09