Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 201/15 (1) Nazwa Rachunek różniczkowy i całkowy I (2) Nazwa jednostki prowadzącej Wydział Matematyczno - Przyrodniczy przedmiot (3) Kod () Studia Kierunek studiów Poziom kształcenia Forma studiów Matematyka studia pierwszego stopnia studia stacjonarne (5) Rodzaj podstawowy () Rok i semestr studiów I rok, I i II semestr (7) Imię i nazwisko koordynatora dr hab. Jacek Dziok, prof. UR (8) Imię i nazwisko osoby prowadzącej (osób prowadzących) zajęcia z dr hab. Jacek Dziok, prof. UR, dr Joanna Kowalczyk (9) Cele zajęć z 1. Zapoznanie z podstawami rachunku różniczkowego i całkowego funkcji jednej zmiennej oraz jego zastosowaniami w innych działach matematyki, ze szczególnym uwzględnieniem geometrii, a także w fizyce i praktyce. 2. Zapoznanie z podstawowymi metodami stosowanymi w analizie matematycznej. 3. Zapoznanie z podstawowymi własnościami ciągów i szeregów zbieżnych, funkcji ciągłych i funkcji różniczkowalnych; zrozumienie sensu rozważanych warunków koniecznych i warunków dostatecznych oraz nabycie umiejętności ich stosowania. (10) Wymagania wstępne Znajomość własności zbioru wszystkich liczb wymiernych; umiejętność rozwiązywania równań i nierówności jednej zmiennej oraz przeprowadzania przekształceń równoważnych. (11) Efekty kształcenia Wiedza: posiada wiedzę o charakterystycznych własnościach zbioru wszystkich liczb rzeczywistych oraz kresów podzbiorów ograniczonych zbioru, definiuje podstawowe pojęcia dotyczące ciągów i szeregów liczbowych, funkcji rzeczywistych jednej zmiennej rzeczywistej, w tym pojęcie granicy funkcji, funkcji ciągłej, pochodnej funkcji, całki nieoznaczonej i oznaczonej oraz ciągów i szeregów funkcyjnych, zna i rozumie podstawowe twierdzenia rachunku różniczkowego i całkowego, zna podstawowe przykłady i kontrprzykłady ilustrujące pojęcia granicy ciągu, zbieżności szeregów liczbowych, ciągłości i różniczkowalności funkcji. Umiejętności: oblicza granice ciągów i bada zbieżność szeregów, potrafi opisać własności różnych funkcji, w szczególności funkcji elementarnych, wyznacza granice funkcji, bada ciągłość i różniczkowalność funkcji, oblicza całki nieoznaczone i oznaczone, 1
potrafi stosować metody rachunku różniczkowego w zagadnieniach związanych z badaniem przebiegu zmienności funkcji, stosuje metody rachunku całkowego do zagadnień geometrycznych i fizycznych. Kompetencje społeczne: zna ograniczenia własnej wiedzy i rozumie potrzebę dalszego kształcenia, potrafi formułować opinie na temat podstawowych zagadnień z zakresu rachunku różniczkowego i całkowego, znajduje zastosowania rachunku różniczkowego i całkowego w życiu codziennym i różnych dziedzinach wiedzy samodzielnie wyszukuje informacje w literaturze i właściwie je stosuje, znajduje swoje miejsce grupie. () Forma(y) zajęć, liczba realizowanych godzin Wykład - 0 godzin, Ćwiczenia audytoryjne 0 godzin (13) Treści programowe A. Problematyka wykładu Treści merytoryczne Zbiory liczbowe: Aksjomatyka i konstrukcje zbioru wszystkich liczb rzeczywistych. Kresy ograniczonych podzbiorów zbioru liczb rzeczywistych. Ciągi liczbowe: Definicje i własności ciągów zbieżnych, ograniczonych i monotonicznych. Ciągi Cauchy'ego. Własności arytmetyczne granicy ciągu. Liczba e jako granica ciągu liczbowego. Monotoniczność granicy. Granice niewłaściwe i wyrażenia nieoznaczone. Podciągi. Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa. Granice częściowe ciągów. Szeregi liczbowe: Zbieżność i rozbieżność szeregów. Kryteria zbieżności szeregów o wyrazach nieujemnych. Zbieżność bezwzględna i warunkowa szeregów. Twierdzenia Leibniza i Abela. Działania na szeregach zbieżnych. Funkcje jednej zmiennej rzeczywistej: Definicja. Dziedzina, przeciwdziedzina i wykres funkcji. Podstawowe własności funkcji. Funkcje elementarne. Funkcje złożone. Funkcje odwrotne. Przykłady. Granica funkcji: Granica funkcji w punkcie i w nieskończoności (definicje Heinego i Cauchy'ego). Granice jednostronne. Własności granic funkcji w punkcie. Asymptoty wykresu funkcji. Przykłady. Ciągłość funkcji: Ciągłość funkcji w punkcie oraz na zbiorze. Nieciągłości. Ciągłość funkcji elementarnych. Ciągłość punktowa i ciągłość jednostajna funkcji. Własności funkcji ciągłych w przedziale domkniętym. Różniczkowalność funkcji : Pochodna funkcji w punkcie. Definicja i interpretacje. Twierdzenia o pochodnych i reguły różniczkowania. Ciągłość a różniczkowalność. Pochodne funkcji elementarnych. Twierdzenia o wartości średniej (Rolle'a, Lagrange'a i Cauchy'ego) i ich zastosowania. Reguły de l'hospitala. Pochodna jako funkcja. Pochodne wyższych rzędów, wzór Taylora. Zastosowania. Liczba godzin 8 1 2
Badanie przebiegu zmienności funkcji: Monotoniczność funkcji. Ekstrema lokalne funkcji, wartość największa i najmniejsza funkcji. Wypukłość i wklęsłość funkcji. Zastosowania. 8 Całka nieoznaczona: Funkcja pierwotna, całka nieoznaczona definicja, własności. Całkowanie przez części i podstawienie. Całkowanie funkcji wymiernych, niewymiernych, trygonometrycznych. Całka Riemanna: Całka Riemanna (całka oznaczona). Własności i interpretacja geometryczna całki. Metody obliczania. Zastosowania rachunku całkowego do geometrii i mechaniki. Całki niewłaściwe: Całki niewłaściwe o granicach nieskończonych. Kryteria zbieżności. Kryterium całkowe zbieżności szeregów liczbowych. Całki niewłaściwe z funkcji nieograniczonych. Ciągi i szeregi funkcyjne: Zbieżność punktowa i jednostajna ciągów i szeregów funkcyjnych. Własności funkcyjne granicy ciągu (szeregu) funkcyjnego zbieżnego jednostajnie(różniczkowanie i całkowanie ciągów i szeregów funkcyjnych). Szeregi potęgowe. Promień zbieżności szeregów potęgowych. Rozwinięcie funkcji w szeregi Taylora i Maclaurina. 1 10 Szeregi Fouriera: Rozwinięcie funkcji w szereg Fouriera. Przykłady i zastosowania. Suma godzin 0 B. Problematyka ćwiczeń konwersatoryjnych Treści merytoryczne Liczba godzin Zbiory liczbowe: aksjomatyka Peano liczb naturalnych, zasada indukcji matematycznej; kresy podzbiorów zbioru liczb rzeczywistych, własności wartości bezwzględnej. Ciągi liczbowe: definicja i przykłady wyznaczania granic ciągów liczbowych, własności arytmetyczne granic; twierdzenia o trzech ciągach, o ciągach monotonicznych i ograniczonych; ciągowa definicja liczby e; granice częściowe. Szeregi liczbowe: definicja zbieżnego i rozbieżnego szeregu liczbowego, warunek konieczny zbieżności i warunek Cauchy'ego; kryteria zbieżności szeregów o wyrazach nieujemnych; zbieżność bezwzględna i warunkowa szeregów o wyrazach dowolnych; działania na szeregach zbieżnych; zastosowania. Funkcje jednej zmiennej rzeczywistej: dziedzina funkcji, podstawowe własności funkcji; funkcje elementarne i złożone; funkcja wykładnicza i funkcja logarytmiczna; funkcje cyklometryczne. Granica funkcji: definicje i wyznaczanie granic funkcji w punkcie (w nieskończoności); asymptoty wykresu funkcji. 8 Ciągłość funkcji: ciągłość funkcji w punkcie; ciągłość jednostronna; punkty nieciągłości. Różniczkowalność funkcji : pochodna funkcji w punkcie; obliczanie pochodnych przy użyciu reguł różniczkowania; pochodne wyższych rzędów, wzór Taylora. 8 Wyrażenia nieoznaczone: reguły de l'hospitala i ich zastosowania. Badanie przebiegu zmienności funkcji: monotoniczność i ekstrema lokalne funkcji, wartość największa i najmniejsza funkcji; przedziały wypukłości i wklęsłości funkcji, punkty przegięcia; sporządzanie wykresu funkcji. Całki nieoznaczone: funkcja pierwotna i całka nieoznaczona podstawowe wzory; całkowanie przez części i podstawienie; metody całkowania funkcji wymiernych, niewymiernych, trygonometrycznych. Całki oznaczone: metody obliczania całek oznaczonych; zastosowania całek oznaczonych w geometrii i w fizyce. 10 8 3
Całki niewłaściwe: całki niewłaściwe o granicach nieskończonych definicje zbieżności i rozbieżności; całki niewłaściwe z funkcji nieograniczonych definicje; kryteria zbieżności całek niewłaściwych. Ciągi i szeregi funkcyjne: obszar zbieżności punktowej oraz jednostajnej, kryteria zbieżności jednostajnej ciągów i szeregów funkcyjnych; szeregi potęgowe i ich zbieżność; własności ciągów i szeregów funkcyjnych zbieżnych jednostajnie; rozwinięcia funkcji w szeregi potęgowe. Szeregi Fouriera: szeregi Fouriera dla funkcji 2 -okresowej; szeregi Fouriera względem funkcji sinus lub cosinus dla funkcji 2 -okresowych. 8 Suma godzin 0 (1) Metody dydaktyczne Wykład, rozwiązywanie zadań (15) Sposób(y) i forma(y) zaliczenia (1) Metody i kryteria oceny (17) Całkowity nakład pracy studenta potrzebny do osiągnięcia założonych efektów w godzinach oraz punktach ECTS Ćwiczenia: zaliczenie na ocenę; po dwa sprawdziany pisemne w każdym semestrze, oceny częściowe za aktywność. Wykład: egzamin po zakończeniu każdego semestru; Egzamin dwuczęściowy: pisemny (zadaniowy) oraz ustny (teoretyczny). Aktywność Nakład pracy studenta w godz. I semestr wykład 0 ćwiczenia 0 udział w konsultacjach przygotowanie do kolokwiów 25 przygotowanie do ćwiczeń 100 przygotowanie do egzaminu 20 udział w egzaminie SUMA GODZIN 275 LICZBA PUNKTÓW ECTS 11 II semestr wykład 0 ćwiczenia 0 udział w konsultacjach przygotowanie do kolokwiów 25 przygotowanie do ćwiczeń 100 przygotowanie do egzaminu 20 udział w egzaminie SUMA GODZIN 275 LICZBA PUNKTÓW ECTS 11 (18) Język wykładowy Polski (19) Praktyki zawodowe w ramach Nie dotyczy (20) Literatura Literatura podstawowa: 1. A. Birkholc, Analiza matematyczna dla nauczycieli, PWN, Warszawa 1980. 2. G. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, tomy 1 i 2, PWN, Warszawa 2003. 10
Podpis koordynatora 3. W. Kołodziej, Analiza matematyczna, PWN, Warszawa 2009.. K. Kuratowski, Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN, Warszawa 2008. 5. F. Leja, Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN, Warszawa 2007.. R. Rudnicki, Wykłady z analizy matematycznej, PWN, Warszawa 2001. Literatura uzupełniająca: 1. J. Banaś, S. Wędrychowicz, Zbiór zadań z analizy matematycznej, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa 2001. 2. G. N. Berman, Zbiór zadań z analizy matematycznej, Warszawa, 199. 3. M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1. Przykłady i zadania, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2007.. W. Krysicki, L. Włodarski, Zbiór zadań z analizy matematycznej, PWN, Warszawa 200. 5. H. i J. Musielakowie, Analiza matematyczna, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu Adama Mickiewicza, Poznań 2003. Podpis kierownika jednostki 5