Pierścień wielomianów jednej zmiennej

Rozdział 1 Pierścień wielomianów jednej zmiennej 1.1 Definicja pierścienia wielomianów jednej zmiennej Definicja 1.1 Niech P będzie dowolnym pierścieniem. Ciąg nieskończony (a 0, a 1,..., a n,...) elementów pierścienia P nazywamy wielomianem, jeśli istnieje taki wskaźnik n 0, że n>n0 a n = 0. Wyrazy ciągu (a 0, a 1,..., a n,...) nazywamy współczynnikami wielomianu. Współczynnik a 0 nazywamy wyrazem wolnym wielomianu. Przykład 1.2 Szczególne przykłady wielomianów: 1. wielomian zerowy, którego wszystkie współczynniki są równe 0: 0 = (0, 0, 0,...), 2. wielomian jednostkowy, którego współczynnik o indeksie 0 jest równy j (jedynka pierścienia P ), a wszystkie pozostałe współczynniki są równe 0: j = (j, 0, 0,...), 3. wielomian stały: (a, 0, 0,...), a P. Definicja 1.3 Sumę i iloczyn dwu wielomianów określamy wzorami: (a 0, a 1,..., a n,...) + (b 0, b 1,..., b n,...) = (a 0 + b 0, a 1 + b 1,..., a n + b n,...), (a 0, a 1,..., a n,...) (b 0, b 1,..., b n,...) = (c 0, c 1,..., c n,...), gdzie c m = m a j b m j. j=0 1

Wielomian (0, j, 0, 0,...) P [x] oznaczamy przez x. Z definicji iloczynu wielomianów można łatwo obliczyć potęgi wielomianu x: x 2 = x x = (0, j, 0, 0,...) (0, j, 0, 0,...) = (0, 0, j, 0, 0,...), x 3 = x x 2 = (0, j, 0, 0,...) (0, 0, j, 0, 0,...) = (0, 0, 0, j, 0, 0,...). Wielomian x n jest ciągiem (a 0, a 1,..., a n,...), w którym a n = j, a pozostałe wyrazy są równe 0. Iloczyn a x n (a wielomian stały (a, 0, 0,...)) jest ciągiem (a 0, a 1,..., a n,...), gdzie a n = a, a pozostałe wyrazy są równe 0. Na mocy definicji sumy wielomianów można zatem stwierdzić, że a 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = (a 0, a 1,..., a n,...). Wielomian znajdujący się po prawej stronie powyższej równości nazywamy wielomianem zmiennej x Twierdzenie 1.4 Zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x o współczynnikach z pierścienia P z działaniami dodawania i mnożenia oraz wyróżnionymi wielomianami 0 oraz j jest pierścieniem. Oznaczenie: Pierścień wszystkich wielomianów zmiennej x o współczynnikach z pierścienia P oznaczać będziemy symbolem P [x]. Wielomiany nie tworzą ciała, gdyż wielomian x nie ma w pierścieniu P [x] elementu odwrotnego. 1.2 Stopień wielomianu jednej zmiennej Definicja 1.5 Jeśli wielomian (a 0, a 1,..., a n,...) nie jest zerowy i a n 0, ale a m = 0 dla wszystkich m > n, to mówimy, że jest to wielomian stopnia n i a n nazywamy najwyższym współczynnikiem wielomianu. Stopień wielomianu ϕ oznaczamy przez st(ϕ). Dodatkowo przyjmujemy, że st(0) =. Twierdzenie 1.6 st(ϕ + ψ) max(st(ϕ), st(ψ)) st(ϕ ψ) st(ϕ) + st(ψ) Twierdzenie 1.7 Jeżeli pierścień P nie ma dzielników zera, to i pierścień P [x] nie ma dzielników zera. Twierdzenie 1.8 Jeśli pierścień P nie ma dzielników zera i ϕ 0, ψ 0, to st(ϕ ψ) = st(ϕ) + st(ψ). 2

1.3 Dzielenie wielomianów Twierdzenie 1.9 Dla każdej pary wielomianów ϕ i ψ, gdzie st(ϕ) > 0, istnieje dokładnie jeden układ wielomianów χ i ρ, dla których ψ = χ ϕ + ρ i st(ρ) < st(ϕ). Wielomian χ nazywa się ilorazem, ρ resztą. Jeżeli ρ = 0, to mówimy, że ϕ jest dzielnikiem ψ i piszemy ϕ ψ. Algorytm Euklidesa dla wielomianów Dane są wielomiany a(x),b(x) nad ciałem K. Dla obliczenia największego wspólnego dzielnika wykonujemy następującą sekwencję dzieleń: a(x) = b(x)q 0 (x) + r 0 (x), b(x) = r 0 (x)q 1 (x) + r 1 (x), r 0 (x) = r 1 (x)q 2 (x) + r 2 (x),... r n 2 (x) = r n 1 (x)q n (x) + r n (x), r n 1 (x) = r n (x)q n+1 (x). Ponieważ stopnie wielomianów r i dają ciąg silnie malejący, to po skończonej liczbie kroków uda nam się przeprowadzić dzielenie bez reszty. Ostatnia (niezerowa) reszta r n (x) okazuje się być szukanym wielomianem największym wspólnym dzielnikiem a(x) i b(x). Z ostatniej równości wynika, iż r n (x) dzieli r n 1 (x). Przedostatnia równość implikuje, że r n (x) dzieli także r n 2 (x), itd., zatem r n (x) a(x) i r n (x) b(x). Ponadto dowolny d(x) dzielnik a(x) i b(x) dzieli r 0 (x), bo r 0 (x) = a(x) q 0 (x)b(x). Ponieważ d(x) dzieli b(x) i r 0 (x), to na podstawie drugiej równości d(x) dzieli też r 1 (x). Idąc wzdłuż kolejnych równości dostajemy d(x) r n (x). Twierdzenie 1.10 Dla każdej pary wielomianów ϕ, ψ P [x], z których chociaż jeden jest różny od zera, istnieje dokładnie jeden wielomian δ = (ϕ, ψ) P [x], zwany największym wspólnym dzielnikiem wielomianów ϕ, ψ, taki, że: 1) δ 0 i δ ma współczynnik przy najwyższej potędze x równy j (wielomian unormowany); 2) δ ϕ, δ ψ; 3) jeśli ξ ϕ i ξ ψ, to ξ δ. Do efektywnego wyznaczania wielomianu (ϕ, ψ) służy algorytm Euklidesa. Zadanie 1 Daną mamy parę wielomianów ϕ, ψ R[x]: ϕ(x) = x 4 x 3 x 2 + 7x + 6, ψ(x) = x 3 + x 2 + x + 1. 3

Wyznaczyć (ϕ, ψ). x 4 x 3 x 2 + 7x + 6 = (x 3 + x 2 + x + 1) (x 2) + 8x + 8 ( 1 x 3 + x 2 + x + 1 = (8x + 8) 8 x2 + 1 ) 8 Ponieważ współczynnik przy najwyższej potędze x musi być równy 1, to (ϕ, ψ) = x + 1. 1.4 Pierwiastki wielomianu Definicja 1.11 Niech P będzie pierścieniem, f P [x] i niech a P. Wartość wielomianu f dla argumentu a (albo w punkcie a) określamy jako element f(a) = f 0 + f 1 a + f 2 a 2 +... + f n a n, gdzie f 0 + f 1 x + f 2 x 2 +... + f n x n jest przedstawieniem wielomianu f. Twierdzenie 1.12 (Bézout) Resztą z dzielenia wielomianu f(x) przez dwumian x a jest f(a), czyli f(x) = (x a) g(x) + f(a), f, g P [x]. Definicja 1.13 Element a należący do pierścienia P nazywamy pierwiastkiem wielomianu f P [x], jeśli f(a) = 0. Twierdzenie 1.14 Element a jest pierwiastkiem wielomianu f P [x] wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian f jest podzielny przez wielomian x a. Fakt 1.15 Element a nazywamy k krotnym pierwiastkiem wielomianu f, jeśli wielomian f jest podzielny przez (x a) k, ale nie jest podzielny przez (x a) k+1. Twierdzenie 1.16 Niech f P [x] i niech a 1, a 2,..., a n będą różnymi pierwiastkami wielomianu f o krotnościach m 1, m 2,..., m n. Wtedy wielomian f można przedstawić w postaci f = (x a 1 ) m1 (x a 2 ) m2... (x a n ) mn h, gdzie h jest pewnym wielomianem należącym do pierścienia P [x]. 4

1.5 Rozkład wielomianów Definicja 1.17 Niech ϕ należy do pierścienia P [x]. Mówimy, że ϕ jest wielomianem nierozkładalnym (pierwszym) pierścienia P [x], jeśli st(ϕ) > 0 i nie istnieją w P [x] takie wielomiany ϕ 1, ϕ 2 stopni dodatnich, że ϕ = ϕ 1 ϕ 2. Pozostałe wielomiany stopni dodatnich nazywamy rozkładalnymi (złożonymi). Przykład 1.18 Przykłady wielomianów nierozkładalnych: 1. wielomiany stopnia 1 zawsze są wielomianami nierozkładalnymi, 2. x 2 + 1 jest nierozkładalny w ciele R, natomiast jest rozkładalny w ciele C, 3. x 2 2 jest nierozkładalny w ciele liczb wymiernych, ale w ciele liczb niewymiernych jest rozkładalny. Twierdzenie 1.19 Jedynymi wielomianami nierozkładalnymi w pierścieniu C[x] są wielomiany stopnia pierwszego. Wniosek 1.20 Każdy wielomian ϕ C[x], ϕ const, rozkłada się w tym pierścieniu na czynniki stopnia pierwszego: ϕ(x) = a n (x x 1 ) (x x 2 )... (x x n ), x m pierwiastek ϕ. W ciele C każdy wielomian stopnia dodatniego posiada pierwiastek. Twierdzenie 1.21 (Eisensteina) Jeśli współczynniki wielomianu ϕ(x) = a 0 + a 1 x +... + a n x n są całkowite i istnieje taka liczba pierwsza p, że (p a n ), p a n 1, p a n 2,..., p a 0, (p 2 a 0 ), to wielomian ϕ jest pierwszy w ciele liczb wymiernych. a b jeżeli a b i b a jedność element stowarzyszony z 1 Definicja 1.22 Mówimy, że w pierścieniu P zachodzi jednoznaczność rozkładu, jeśli spełnione są następujące dwa warunki: 1) każdy element a 0 daje się przedstawić jako iloczyn skończonej liczby elementów nierozkładalnych w P ; 2) jeśli b 1,..., b k, c 1,..., c k są to elementy nierozkładalne w P, nie będące jednościami i takie, że b 1 b 2... b k c 1 c 2... c l, to k = l i elementy b 1, b 2,..., b k dają się przyporządkować we wzajemnie jednoznaczny sposób elementom c 1, c 2,..., c l tak, że przyporządkowane sobie elementy są stowarzyszone. 5

Twierdzenie 1.23 Jeśli P jest pierścieniem bez dzielników zera, w którym zachodzi jednoznaczność rozkładu, to jednoznaczność ta zachodzi też w pierścieniu P [x]. Przykład 1.24 Przykładem pierścienia w którym nie ma jednoznaczności rozkładu jest pierścień P liczb postaci m + ni 5, gdzie m, n Z. 2 3 = (1 + i 5) (1 i 5) 6

Rozdział 2 Pierścień wielomianów wielu zmiennych Definicja 2.1 Pierścieniem wielomianów n zmiennych o współczynnikach z pierścienia P nazywamy pierścień otrzymany z P przez kolejne n krotne zastosowanie konstrukcji pierścienia wielomianów jednej zmiennej. Oznaczamy go zwykle przez P [x 1,..., x n ] lub P [x, y,..., z], gdzie x, y,..., z jest układem n różnych liter. Elementy tego pierścienia nazywamy wielomianami n zmiennych o współczynnikach z pierścienia P. Przyjmując zamiast P pierścień P 1 = P [x 1 ] otrzymujemy pierścień P 1 [x 2 ] = P [x 1, x 2 ] wielomianów dwu zmiennych o współczynnikach należących do P. Przyjmujemy P [x 1, x 2,..., x n, x n+1 ] = P [x 1,..., x n ][x n+1 ]. Definicja 2.2 Funkcję n zmiennych a x α 1 1 x α 2 2... x αn n gdzie α 1, α 2,..., α n są liczbami całkowitymi nieujemnymi, a dowolną liczbą, nazywamy jednomianem. Liczbę a nazywa się współczynnikiem jednomianu, α 1 + α 2 +... + α n stopniem jednomianu. α = 0 jednomian zerowy α 1 + α 2 +... + α n = 0 jednomian stały Definicja 2.3 Dwa jednomiany a x α 1 1 x α 2 2... x αn n i b x β 1 1 x β 2 2... x βn n podobnymi, jeśli α j = β j dla j = 1, 2,..., n. nazywamy Twierdzenie 2.4 Sumę skończonej liczby jednomianów, z których żadne dwa nie są do siebie podobne, nazywamy wielomianem. Współczynniki jednomianów, dających w sumie wielomian, nazywamy współczynnikami wielomianu. Definicja 2.5 Stopniem wielomianu ϕ P [x 1, x 2,..., x n ] nazywa się najwyższy ze stopni jednomianów niezerowych składających się na ten wielomian. 7

Twierdzenie 2.6 Stopniem wielomianu ϕ P [x 1, x 2,..., x n ] ze względu na zmienną x j nazywa się największą wartość α j w jednomianach składających się na wielomian. Oznaczamy go przez st j (ϕ). Definicja 2.7 Niech ϕ, ψ P [x 1, x 2,..., x n ]. Wielomian ϕ nazywa się dzielnikiem wielomianu ψ P [x 1, x 2,..., x n ], jeśli istnieje taki wielomian χ, że ψ = ϕ χ. Definicja 2.8 Wielomian ϕ(x 1, x 2,..., x n ) nazywa się nierozkładalnym w pierścieniu P [x 1, x 2,..., x n ], jeśli st(ϕ) > 0 i nie istnieje niestały dzielnik tego wielomianu należący do pierścienia P [x 1, x 2,..., x n ]. Definicja 2.9 Czynnikiem pierwszym liczby k jest dowolna liczba pierwsza, która dzieli tę liczbę. Twierdzenie 2.10 Każdy wielomian stopnia 1 należący do pierścienia P [x 1, x 2,..., x n ] daje się przedstawić w postaci iloczynu czynników pierwszych w P. Liczba czynników może być równa 1. Twierdzenie 2.11 Jeśli w pierścieniu P zachodzi jednoznaczność rozkładu, to zachodzi ona w pierścieniu P [x 1, x 2,..., x n ]. 8

Bibliografia [1] A. Mostowski, M. Stark, Elementy algebry wyższej, PWN, Warszawa 1965. [2] A. Mostowski, M. Stark, Algebra wyższa, część III, PWN, Warszawa 1967. [3] G. Birkhoff, S. Mac Lane, Przegląd algebry współczesnej, PWN, Warszawa 1966. [4] A. Białynicki Birula, Algebra, PWN, Warszawa 1971. 9