Politechnika Białostocka Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Temat ćwiczenia: Doświadczalne sprawdzenie zasady superpozycji Numer ćwiczenia: 8 Laboratorium z przedmiotu: wytrzymałość materiałów Opracowanie: dr inż. Jarosław Malesza Katedra Mechaniki Konstrukcji 2011
1 Wprowadzenie Zasada superpozycji, tzn zasada niezależności działania obciążeń mówi, iż skutek jednoczesnego działania wielu obciążeń na układ (konstrukcję) jest prostą sumą skutków działania każdego z obciążeń z osobna. Przykładem obowiązywania zasady superpozycji jest ugięcie pręta konstrukcji pod wpływem przyłożenia różnych obciążeń, dla którego ugięcie całkowite jest sumą ugięć od poszczególnych obciążeń przyłożonych osobno. Ugięciem belki w danym przekroju nazywamy przesunięcie środka ciężkości tego przekroju w kierunku prostopadłym do osi belki. Największe ugięcie nazywamy strzałką ugięcia i oznaczamy przez f. Jeśli założymy układ współrzędnych xy jak na rysunku wówczas równanie y = f (x) będziemy nazywali równaniem linii ugięcia. Rys.1. Schemat ugięcia belki Każdemu ugięciu towarzyszy powstanie krzywizny wygiętej belki, która jest opisana równaniem różniczkowym: lub M (x) E J =±d 2 y dx 2 E J d 2 y =M (x ) 2 dx Na podstawie powyższego równania możemy wyznaczyć ugięcie w dowolnym punkcie belki. Po jednokrotnym scałkowaniu otrzymujemy: E J dy dx = L M (x)dx +C Z powyższego równania można ustalić kąt nachylenia stycznej do ugiętej osi belki: Θ= dy dx
Po powtórnym scałkowaniu otrzymamy równanie linii ugięcia: E J y (x )= L L M (x )dxdx +Cx +D Występujące we wzorach stałe całkowania C i D należy ustalać z warunków brzegowych lub warunków ciągłości linii ugięcia. Często obciążenie występujące na belce dzieli ją na odcinki w ten sposób, że moment zginający jest opisany innym równaniem na każdym odcinku. Z rozwiązania równań różniczkowych otrzymujemy wówczas dwa razy więcej stałych niż jest przedziałów całkowania. Obliczenie stałych wymaga rozwiązania szeregu równań liniowych. W metodzie Clebscha uproszczono sposób wyznaczania stałych całkowania oraz zmniejszono ich liczbę do dwóch niezależnie od ilości przedziałów całkowania. Są one ustalane jedynie z warunków brzegowych, tzn założenia nieodkształcalności podpór, czyli np. dla belki swobodnie podpartej o rozpiętości l mamy w miejscu x = 0 oraz x = L ugięcie y = 0. Chcąc wyznaczać ugięcia metodą Clebscha musimy spełnić następujące założenia: 1. układ osi współrzędnych ma początek w jednym z końców belki, tzn że równania momentów zginających są pisane względem jednego punktu oraz w równaniu kolejnego odcinka belki znajdują się wszystkie składniki równania poprzednich odcinków, 2. jeśli obciążeniem są siły skupione to całkowanie wyrażenia (x a i ) daje rozwiązanie w postaci: (x a i ) n dx = (x a i )n+1 +C n +1 3. gdy w przekroju określonym współrzędną a i działa moment M należy wprowadzić w równaniu momentów wyrażenie M (x a i ) 0 i całkować jak wyżej 4. w przypadku obciążenia ciągłego rozłożonego tylko na pewnym fragmencie belki należy je doprowadzić do końca, dodając na tym odcinku równoważne obciążenie o zwrocie przeciwnym: Rys.2. Zastępczy schemat obciążenia ciągłego w metodzie Clebscha
2 Cel ćwiczenia laboratoryjnego Celem ćwiczenia jest wyznaczenie ugięcia belki wspornikowej w różnych wariantach obciążenia oraz jego doświadczalna weryfikacja. 3 Przebieg ćwiczenia 3.1 Ustalenie ugięcia belki Belkę wspornikową o przekroju poprzecznym b h i rozpiętości L obciążamy siłą skupioną P zgodnie z rysunkiem. Rys.3. Schemat obciążenia belki wspornikowej Jeśli a > 0 to w przedziale od 0 do L a moment zginający jest opisany równaniem: M (x )= P (L a x)=p (x +a L) Zatem równanie krzywizny ugiętej belki ma postać: Pierwsza pochodna ma postać: E J d 2 y =M (x )=P (x +a L ) 2 dx E J d 2 y dx 2 =P 2 (x +a L )2 +C a ugięcie w dowolnym przekroju belki policzymy z zależności: E J y (x )= P 6 (x +a L)3 +C x +D
Stałe całkowania C i D należy ustalić z warunków brzegowych: 1. kąt obrotu w miejscu utwierdzenia jest równy zero: x = 0, dy dx =0 stąd uzyskamy: C= P (a L)2 2 2. ugięcie w miejscu utwierdzenia jest równe zero: x = 0, y(x) = 0, stąd uzyskamy: D= P (a L )3 6 Ostatecznie równanie ugięcia przyjmuje postać: y (x )= 1 E J [ P 6 (x +a L)3 P 2 x (a L)2 P 6 (a L)3] Sprawdzenia formuły możemy dokonać przyjmując obciążenie na końcu wspornika i wyznaczając ugięcie w przekroju pod siłą. W tym przypadku a = 0, a przekrój jest oddalony od zamocowania o x = L, a więc: y (x =L)= 1 E J [ 0 P 2 L3 P ] P L3 6 L3 = 3 E J Jeśli a > 0 to w przedziale od L a do L moment zginający pozostaje równy 0. Stosując powyższą zależność możemy wyznaczyć ugięcie w dowolnym przekroju belki przy dowolnym ustawieniu obciążenia. Drugim obciążeniem jest ciężar własny belki. Przyjmując schemat obciążenia równomiernie rozłożonego na długości belki wyprowadzamy zależność na jej ugięcie. Całkowite ugięcie belki jest równe sumie ugięć od ciężaru własnego i obciążenia skupionego. 3.2 Pomiar ugięcia Przed pomiarem należy: 1. zmierzyć długość belki L, 2. zmierzyć wymiary przekroju poprzecznego b h, 3. ustawić czujniki do pomiaru ugięć y i w dwóch różnych przekrojach belki 4. ustalić obciążenie belki P, 5. ustalić miejsce przyłożenia obciążenia a,
Podczas badania należy: 1. podeprzeć belkę w taki sposób, aby na całej długości pozostawała poziomo do podstawy stanowiska 2. wyzerować czujniki 3. zwolnić podparcie belki i zmierzyć ugięcie od ciężaru własnego w dwóch przekrojach 4. ustawić ciężarek imitujący obciążenie skupione, 5. odczytać ugięcia belki we wcześniej założonych przekrojach, 6. zmienić miejsce ustawienia ciężarka i ponownie odczytać ugięcia w tych samych przekrojach 4 Wymagania BHP Stanowisko do badań nie jest podłączone do prądu elektrycznego i nie posiada elementów niebezpiecznych. Może być w całości obsługiwane przez studentów pod nadzorem osoby prowadzącej zajęcia lub pracownika laboratorium.
Politechnika Białostocka Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska SPRAWOZDANIE Z ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW Temat ćwiczenia: Doświadczalne sprawdzenie zasady superpozycji Numer ćwiczenia: 8 imię i nazwisko studenta:... rodzaj studiów:... kierunek:... specjalność:... semestr:... grupa:... prowadzący ćwiczenia: dr inż. Jarosław Malesza... (data wykonania ćwiczenia)
1. Wymiary i obciążenie belki - długość: L = - wymiary przekroju poprzecznego: b x h = - moment bezwładności: J = [mm 4 ] - obciążenie belki: P = [N] 2. Wyznaczenie ugięcia belki 2.1. schemat 1a obciążenie skupione w miejscu x 1 miejsce przyłożenia obciążenia: a = 0 ugięcie w przekroju 1: x 1 = y(x 1 ) = ugięcie w przekroju 2: x 2 =
2.2. schemat 1b obciążenie ciężarem własnym ugięcie w przekroju 1: x 1 = y(x 1 ) = ugięcie w przekroju 2: x 2 = Całkowite ugięcie belki (schemat 1): w miejscu x 1 : y 1 = w miejscu x 2 : y 2 =
2.3. schemat 2a obciążenie skupione w miejscu x 2 miejsce przyłożenia obciążenia: a= ugięcie w przekroju 1: x 1 = y(x 1 ) = ugięcie w przekroju 2: x 2 = 2.4. schemat 2b obciążenie ciężarem własnym (jak wyżej) ugięcie w przekroju 1: x 1 = y(x 1 ) = ugięcie w przekroju 2: x 2 = Całkowite ugięcie belki (schemat 2): w miejscu x 1 : y 1 = w miejscu x 2 : y 2 =
3. Pomiar ugięcia belki Schemat 1a: y(x 1 )= Schemat 2a: y(x 1 ) = Schemat 1b (2b): y(x 1 )= Całkowite ugięcie belki (schemat 1): w miejscu x 1 : y 1 = w miejscu x 2 : y 2 = Całkowite ugięcie belki (schemat 2): w miejscu x 1 : y 1 = w miejscu x 2 : y 2 =