FIZYKA KOMPUTEROWA SPRAWOZDANIE Z ZADANIA 4. RUCH W POLU GRAWITACYJNYM GWIAZDY PODWÓJNEJ Krystian Stasiak, nr albumu: 151007 Maciej Malinowski, nr albumu: 154719 Treść zadania: Dwie gwiazdy o masach M 1 i M 2 krążą wokół siebie w odległości D. Należy przeanalizowad ruch niewielkiej planety w takim układzie (dla uproszczenia przyjąd, że porusza się ona w płaszczyźnie obu gwiazd). W układzie odniesienia obracającym się razem z gwiazdami (prędkośd kątową Ω należy samemu wyliczyd) równania ruchu mają postad: gdzie G to uniwersalna stała grawitacyjna. Ponadto przyjęto, że w obracającym się układzie odniesienia gwiazdy znajdują się na osi 0X. Ich odległości X 1 oraz X 2 od ich wspólnego środka masy (który znajduje się w środku układu współrzędnych) należy samemu wyliczyd. W rozwiązaniu trzeba pokazad trajektorię planety zarówno w układzie obracającym się jak i nieruchomym. Wykreślid zależności czasowe odległości planety od środka układu jak i kąta w stosunku do osi 0X. W przypadku periodycznej orbity określid czas obiegu. Należy przeanalizowad różne jakościowo przypadki zarówno różne początkowe położenia i prędkości planety, jak i różne proporcje mas M 1 / M 2. Wśród analizowanych przypadków powinny się znaleźd tzw. punkty Lagrange a. Założenia: Przyjmujemy, że pierwsza gwiazda ma ujemną współrzędną początkową x (X 1 ), a druga dodatnią. Środek masy znajduje się między gwiazdami, więc równie dobrze można by przyjąd na odwrót, bez jakościowych zmian. Wykonanie: Rozważone zostały wszystkie punkty Lagrange a (L1, L2, L3, L4, L5) oraz 4 inne warte uwagi przypadki. Zauważmy, współrzędne początkowe gwiazd - X 1 oraz X 2 spełniają zależności:
Zatem: Z warunku równowagi siły odśrodkowej z siłą przyciągania dla dowolnej gwiazdy (aby uniknąd problemów ze znakami, wybieramy drugą), podstawiając prędkośd liniową jako iloczyn prędkości obrotowej i promienia, otrzymujemy: Co po przekształceniach, oraz rozwinięciu X 2 według wyznaczonego powyżej wzoru, daje wynik: Przy rozwiązywaniu zadania potrzebne było także zapisanie relacji pomiędzy (traktowanymi z odpowiednimi znakami) siłami przyciągania przez gwiazdy oraz siłą bezwładności planety, które muszą byd spełnione w punktach Lagrange a L1, L2 oraz L3. Współrzędne tych punktów są wyznaczane numerycznie za pomocą procedury fsolve. Do rozwiązywania podanego układu równao różniczkowych wykorzystano oczywiście procedurę ode. Dla każdego z przypadków rozważono 1000 równomiernie rozłożonych w czasie punktów. Czas mierzony w obrotach układu gwiazd jest elementem każdego z zestawów danych (dobieranym tak, żeby wykresy były czytelne). Procedura ode pozwala uzyskad informację o współrzędnych x oraz y planety w czasie. Obróbka tych danych polega na przygotowaniu współrzędnych w układzie obróconym o kąt Ωt, (za pomocą macierzy przez dla każdej chwili czasu t), a także wektora odległości od środka masy układu w czasie (za pomocą procedury norm) oraz kąta nachylenia względem osi OX (za pomocą dwuargumentowego wywołania procedury atan). Wskazane wykresy dla każdego z rozważanych przypadków zostały sporządzone za pomocą procedury plot2d, która jest właściwa także do rysowania krzywych na płaszczyźnie, takich jak trajektoria planety (która porusza się wyłącznie w stałej płaszczyźnie, w której obraca się układ).
W celu przygotowania trajektorii gwiazd w czasie, wystarczyło zapisad ruch po okręgu jako złożenie faz. Dla pierwszej gwiazdy otrzymujemy, ; dla drugiej analogicznie, tyle że z X 2 zamiast X 1. Przeciwne znaki X 2 oraz X 1 gwarantują, że gwiazdy zawsze będą dokładnie po przeciwnych stronach środka masy układu. Dobrym pomysłem usprawniającym testowanie różnych zestawów danych było przygotowanie funkcji generujących całe zestawy dzięki temu zamiast komentowania wielu linijek kodu w scilabie (co zapewne wprowadziłoby duży bałagan w kodzie), wystarczy w jednym miejscu podmieniad nazwę wykorzystanej funkcji. Punkty Lagrange a Dla następującego zestawu parametrów: M 1 M 2 D 2 * 10 30 [kg] 10 30 [kg] 3 * 10 11 [m] Z których wyniknęło, że: X 1-1 * 10 11 [m] X 2 2 * 10 11 [m] Ω 8,6106 * 10-8 [Hz] Rozważone zostały wszystkie punkty Lagrange a. Dzięki możliwościom programu scilab, nie są potrzebne żadne przybliżenia wynikające z różnicy masy dwóch ciał (takie przybliżenia stosuje się np. do wyznaczania punktów Lagrange a dla układu Ziemia-Słooce bądź Ziemia- Księżyc) współrzędne punktów wyznaczane są numerycznie za pomocą fsolve. Potwierdzeniem jakości tych obliczeo są zamieszczone poniżej wykresy planeta umieszczona w którymkolwiek z wyznaczonych punktów nie poruszy się względem obracającego się układu gwiazd nawet o metr (oczywiście jest to przypadek bardzo wyidealizowany). Wyznaczony punkt L1 ma współrzędne początkowe *7,1225 * 10 10 m; 0]. Wymienione w treści wykresy dla tego punktu są poniżej. Na pierwszych dwóch wykresach zaznaczono trajektorie oraz położenia początkowe ciał (gwiazd na czerwono, planety na niebiesko). Gwiazdy można rozróżnid na podstawie położeo początkowych (pierwsza jest po lewej).
Wyznaczony punkt L2 ma współrzędne początkowe *3,7471 * 10 10 m; 0]. Dla tego punktu uzyskano następujące wykresy (wykres odległości od środka masy w czasie pominięto, gdyż jest stałą i wynika to już z pierwszego wykresu):
Wyznaczony punkt L3 ma współrzędne początkowe *-3,4091 * 10 10 m; 0]. Dla tego punktu uzyskano następujące wykresy: Punkty L4 = [5 * 10 10 m; 2,5981 * 10 11 m] oraz L5 = [5 * 10 10 m; -2,5981 * 10 11 m+ są symetryczne do siebie względem osi OX. Dlatego nie warto zamieszczad niemalże identycznych wykresów dla obu z nich. Dla L4 wykresy mają postad: Przypadek I Planeta znajdująca się początkowo wewnątrz układu gwiezdnego może zostad ściągnięta przez pole grawitacyjne jednej z gwiazd i dalej po prostu krążyd wokół tej gwiazdy. Stanie się tak np. w przypadku, gdy masy gwiazd będą różne od siebie, a planeta będzie się znajdywała w środku masy układu. Aby orbita miała atrakcyjniejszy kształt, rozważamy planetę z prędkością początkową skierowaną w górę. Zacznie ona krążyd wokół cięższej gwiazdy, po orbicie o ciekawym kształcie.
Przyjęte parametry: M 1 M 2 D x 0 0 y 0 0 V x0 0 2 * 10 30 [kg] 10 30 [kg] 3 * 10 11 [m] V y0 30 000 [m/s] l. obrotów 0,97 Wielkości wyznaczone: X 1 X 2 Ω Wykresy: -1 * 10 11 [m] 2 * 10 11 [m] 8,6106 * 10-8 [Hz] W tym przypadku mamy do czynienia z orbitą periodyczną. Jest ona powtarzalna z okresem równym czasowi jednego pełnego obrotu układu gwiezdnego, czyli wynoszącego
około 1448 dni. Na taki a nie inny kształt trajektorii istotny wpływ ma oczywiście prędkośd początkowa oraz stosunek mas gwiazd próby dla innych wartości można łatwo przeprowadzad zmieniając nieznacznie kod programu, bądź dodając nowe funkcje generujące zestawy danych. Przypadek II Jeżeli znajdująca się wewnątrz układu planeta będzie miała odpowiednio dużą prędkośd, zacznie poruszad się po ciekawym torze wokół obu gwiazd. Wówczas jednak, po dłuższym czasie, doprowadzi to do rozpędzenia się powyżej prędkości ucieczki i opuszczenia układu (oddalania się od niego po spirali). Przyjęte parametry: M 1 M 2 D x 0 0 y 0 0 2 * 10 30 [kg] 10 30 [kg] 3 * 10 11 [m] V x0 0 V y0 60 000 [m/s] Wielkości wyznaczone: X 1-1 * 10 11 [m] X 2 2 * 10 11 [m] Ω 8,6106 * 10-8 [Hz] Wykresy dla początkowych 4,5 obrotów:
Dla tego przypadku wykonaliśmy dodatkowe wykresy, przedstawiające przebieg zjawisk dla 13 pełnych obrotów układu są one mniej czytelne, ale pozwalają stwierdzid ucieczkę planety (po dośd długim ruchu w pobliżu gwiazd): Jak widad, czasem nie wystarczy popatrzed na trajektorie z początkowych faz ruchu, aby rozstrzygnąd dalsze zachowanie planety (trudno byłoby przewidzied ucieczkę planety patrząc tylko na pierwszą serię wykresów).
Przypadek III Planeta znajdująca się nieznacznie bliżej środka masy układu, niż punkt L2 lub L3, zostanie przyciągnięta i zacznie poruszad się po skomplikowanej orbicie wokół obu gwiazd. Nawet niewielka zmiana (w tym przypadku o jeden metr) robi różnicę. Przyjęte parametry: M 1 M 2 D x 0 y 0 0 V x0 0 V y0 0 l. obrotów 5 Wielkości wyznaczone: X 1 X 2 Ω Wykresy: 2 * 10 30 [kg] 5 * 10 29 [kg] 3 * 10 11 [m] współrzędna x punktu L2 pomniejszona o 1m -6 * 10 10 [m] 2,4 * 10 11 [m] 7,8604 * 10-8 [Hz]
Przez pewien czas planeta niemalże wyłącznie obraca się z układem, ale bardzo powoli zbliża się do środka masy. Jednak w pewnym momencie następuje nagłe, gwałtowne zbliżanie się do środka masy układu, a następnie ruch po skomplikowanej orbicie wokół obu gwiazd. Przypadek IV Planeta znajdująca się nieznacznie dalej od środka masy układu, niż punkt L2 lub L3, zostanie zacznie się oddalad od układu. Także w tym przypadku nawet niewielka zmiana (w tym przypadku o jeden metr) powoduje zajście zjawiska. Przyjęte parametry: M 1 M 2 D x 0 y 0 0 V x0 0 V y0 0 l. obrotów 4,5 2 * 10 30 [kg] 5 * 10 29 [kg] 3 * 10 11 [m] współrzędna x punktu L2 zwiększona o 1m Wielkości wyznaczone: X 1-6 * 10 10 [m] X 2 2,4 * 10 11 [m] Ω 7,8604 * 10-8 [Hz]
Wykresy: Także w tym przypadku, przez pewien czas planeta niemalże wyłącznie obraca się z układem. Jednakże, w przeciwieostwie do przypadku III, bardzo powoli oddala się od środka masy. W pewnym momencie następuje nagłe, gwałtowne oddalanie się do środka masy układu, które później po prostu równomiernie trwa (przekroczona zostaje prędkośd ucieczki). Wnioski: Ciało znajdujące się dokładnie w punkcie Lagrange a postaje nieruchome względem układu gwiazd, jednakże nawet najmniejsze przesunięcie doprowadzi do stopniowej utraty równowagi, aż w koocu do znacznego oddalenia się od punktu Lagrange a i szybkiego ruchu względem gwiazd. Jednakże wyposażenie teleskopu bądź stacji kosmicznej która ma byd umieszczona w punkcie Lagrange a nawet w niewielki silnik korygujący położenie mogłoby rozwiązad problem, gdyż początkowa faza wychylania się jest bardzo łagodna. Jednakże, punkty Lagrange a są punktami równowagi chwiejnej (jeżeli nastąpi wychylenie, to będzie ono samoczynnie narastało).
Ciekawym zjawiskiem jest, że nieruchoma z początku planeta będąca w pobliżu układu dwóch gwiazd może zbliżając się do nich nabrad na tyle dużej prędkości, aby zacząd oddalad się od układu i nigdy do niego nie wrócid (tzn. przekroczyd prędkośd ucieczki). Aby prawidłowo opisad zachowanie planety w układzie dwóch gwiazd, bardzo ważne czasami okazuje się przeprowadzenie symulacji dla dłuższego czasu (tak jak to miało miejsce w przypadku II). Każdy z dobieranych parametrów ma istotny wpływ na zachowanie planety w układzie. W zależności od doboru parametrów, orbita planety może przybierad ciekawe, często bardzo skomplikowane kształty. Możliwe przypadki można podzielid na przypadki ucieczki, oraz przypadki przyciągnięcia do układu. Jeżeli następuje ucieczka planety, to jej tor poza układem gwiazd jest spiralą. Bibliografia: dr inż. A. Brozi, Wykłady z fizyki komputerowej, Politechnika Łódzka 2009r. D. Halliday, R. Resnick, J. Walker, Podstawy Fizyki, tom 2., Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2005 Informacje z Wikipedii o punktach Lagrange a (http://en.wikipedia.org/wiki/lagrangian_point)