4 Użyteczność 2010 W. W. Norton & Company, Inc.
Funkcja Użyteczności ufunkcja użyteczności jest sposobem przypisania liczb każdemu koszykowi, bardziej preferowane koszyki otrzymują wyższe liczby. 2010 W. W. Norton & Company, Inc. 2
Funkcja Użyteczności uużyteczność porządkowa. Np. jeśli U(x) = 6 i U(y) = 2 to koszyk x jest ściśle preferowany względem y. Ale x nie jest 3 razy bardziej preferowany względem y. 2010 W. W. Norton & Company, Inc. 3
Funkcja Użyteczności i Krzywe Obojętności ukrzywa obojętności zawiera tak samo preferowane koszyki dóbr. uobojętność Þ ten sam poziom użyteczności. uwszystkie koszyki na danej krzywej obojętności dają ten sam poziom użyteczności. 2010 W. W. Norton & Company, Inc. 4
Funkcja Użyteczności i Krzywe Obojętności unp. niech koszyki (4,1) i (2,2) leżą na jednej krzywej obojętności o poziomie użyteczności U º 4 ukoszyk (2,3) leży na krzywej obojętności o poziomie użyteczności U º 6. 2010 W. W. Norton & Company, Inc. 5
Funkcja Użyteczności i Krzywe Obojętności x 2 (2,3) (2,2) ~ (4,1) p U º 6 U º 4 2010 W. W. Norton & Company, Inc. 6 x 1
Funkcja Użyteczności i Krzywe Obojętności uwiększa ilość koszyków obrazuje układ krzywych obojętności charakteryzujących preferencje konsumenta. 2010 W. W. Norton & Company, Inc. 7
Funkcja Użyteczności i Krzywe Obojętności x 2 U º 6 U º 4 U º 2 2010 W. W. Norton & Company, Inc. 8 x 1
Funkcja Użyteczności i Krzywe Obojętności uporównanie wszystkich koszyków daje zestaw wszystkich krzywych obojętności z przypisanymi poziomami użyteczności. uwszystkie krzywe obojętności w pełni charakteryzują preferencje konsumenta. 2010 W. W. Norton & Company, Inc. 9
Funkcja Użyteczności i Krzywe Obojętności x 2 2010 W. W. Norton & Company, Inc. 10 x 1
Funkcja Użyteczności i Krzywe Obojętności uzbiór wszystkich krzywych obojętności dla danych preferencji tworzy mapę preferencji. umapa preferencji to funkcja użyteczności. 2010 W. W. Norton & Company, Inc. 11
Funkcja Użyteczności u Znaczenie ma kolejność uporządkowania, nie istnieje więc tylko jeden sposób przypisywania użyteczności. u Monotoniczna transformacja sposób przekształcenia jednego zbioru liczb w inny zbiór przy zachowaniu kolejności liczb, np. mnożenie. 2010 W. W. Norton & Company, Inc. 12
Funkcja Użyteczności ujeśli U jest funkcją użyteczności przedstawiającą preferencje f jest ściśle rosnącą funkcją, u to V = f(u) też jest funkcją f ~ f ~ użyteczności przedstawiającą. 2010 W. W. Norton & Company, Inc. 13
Dobra Pożądane, Niechciane i Neutralne udobro pożądane zwiększa poziom użyteczności (bardziej preferowany koszyk). udobro niechciane zmniejsza poziom użyteczności (mniej preferowany koszyk). udobro neutralne (obojętne) nie zmienia poziomu użyteczności (obojętny koszyk). 2010 W. W. Norton & Company, Inc. 14
Dobra Pożądane, Niechciane i Użyteczność Neutralne Dobro pożądane Funkcja użyteczności Dobro niechciane x Woda Wokół x jednostek, woda jest dobrem neutralnym. 2010 W. W. Norton & Company, Inc. 15
Doskonałe Substytuty x 2 x 1 + x 2 = 5 Krzywe obojętności są proste i równoległe. 13 9 5 x 1 + x 2 = 9 x 1 + x 2 = 13 V(x 1,x 2 ) = x 1 + x 2. 5 9 13 x 1 2010 W. W. Norton & Company, Inc. 16
Dobra Doskonale Komplementarne x 2 8 5 3 45 o W(x 1,x 2 ) = min{x 1,x 2 } min{x 1,x 2 } = 8 min{x 1,x 2 } = 5 min{x 1,x 2 } = 3 3 5 8 2010 W. W. Norton & Company, Inc. 17 x 1 Krzywe są załamane pod kątem prostym, punkty załamania tworzą promień.
Preferencje Quasi-liniowe ufunkcja użyteczności postaci U(x 1,x 2 ) = f(x 1 ) + x 2 jest liniowa wzgl. x 2 i nazywa się quasi-liniowa. unp. U(x 1,x 2 ) = 2x 1 1/2 + x 2. 2010 W. W. Norton & Company, Inc. 18
Preferencje Quasi-liniowe x 2 Każda krzywa jest równoległym przesunięciem pozostałych. 2010 W. W. Norton & Company, Inc. 19 x 1
Preferencje typu Cobba-Douglasa ufunkcja użyteczności postaci a b U(x 1,x 2 ) = x 1 x 2 gdzie a > 0 i b > 0 przedstawia funkcję użyteczności typu Cobb- Douglas. unp. U(x 1,x 2 ) = x 1/2 1 x 1/2 2 (a = b = 1/2) 2010 W. W. Norton & Company, Inc. 20
Preferencje typu Cobba-Douglasa x 2 Krzywe obojętności są hiperbolami, osie są asymptotami. x 1 2010 W. W. Norton & Company, Inc. 21
Użyteczność Krańcowa ukrańcowy dot. przyrostu. ukrańcowa użyteczność dobra i to przyrost użyteczności całkowitej, gdy ilość konsumowanego dobra i ulega zmianie: MU i = U x i 2010 W. W. Norton & Company, Inc. 22
Użyteczność Krańcowa i Krańcowa Stopa Substytucji uogólny wzór na krzywą obojętności: U(x 1,x 2 ) º k, k=constant. Różniczka zupełna daje: U x dx U 1 1 + x dx = 2 2 0 2010 W. W. Norton & Company, Inc. 23
Użyteczność Krańcowa i Krańcowa Stopa Substytucji U x dx U 1 1 + x dx = 2 2 0 co daje: U x dx 2 2 = - U x dx 1 1 2010 W. W. Norton & Company, Inc. 24
Użyteczność Krańcowa i Krańcowa Stopa Substytucji U x dx 2 następnie: dx dx 2 1 To jest MRS. 2 = - U x dx 1 U / x = - U / x 1 2. 1 2010 W. W. Norton & Company, Inc. 25
Użyteczność Krańcowa i Krańcowa Stopa Substytucji uzałóżmy U(x 1,x 2 ) = x 1 x 2. Wówczas U = ( 1)( x2) = x2 x1 więc MRS U x 2 = ( x )( 1) = x 1 1 dx2 U / x1 = = - = - dx U / x 1 2 x x 2 1. 2010 W. W. Norton & Company, Inc. 26
Krańcowa Stopa Substytucji a Monotoniczna Transformacja umonotoniczna transformacja funkcji użyteczności tworzy inną funkcję użyteczności obrazującą dane preferencje. umrs nie ulega zmianie w wyniku zastosowania dodatniej monotonicznej transformacji. 2010 W. W. Norton & Company, Inc. 27
5 Wybór 2010 W. W. Norton & Company, Inc.
Racjonalność Ekonomiczna ukonsument wybiera najlepszą z możliwych opcji, na które go stać. uzbiór możliwości konsumpcyjnych. upreferencje. uw jaki sposób następuje wybór danego koszyka? 2010 W. W. Norton & Company, Inc. 2
Wybór Optymalny x 2 Bardziej preferowane koszyki Dostępne koszyki 2010 W. W. Norton & Company, Inc. 3 x 1
Wybór Optymalny x 2 Bardziej preferowane koszyki Dostępne koszyki x 1 2010 W. W. Norton & Company, Inc. 4
Wybór Optymalny x 2 (x 1 *,x 2 *) to wybór optymalny, najbardziej preferowany koszyk, na który stać konsumenta. x 2 * x 1 * x 1 2010 W. W. Norton & Company, Inc. 5
Wybór Optymalny uoptymalny wybór dóbr 1 i 2 przy pewnym zestawie cen i dochodu jest nazywany koszykiem popytu konsumenta. ufunkcja popytu uzależnia wybory optymalne od cen i dochodu x 1 *(p 1,p 2,m) i x 2 *(p 1,p 2,m). 2010 W. W. Norton & Company, Inc. 6
Wybór Optymalny ugdy x 1 * > 0 i x 2 * > 0 to rozwiązanie jest wewnętrzne. ugdy koszyk (x 1 *, x 2 *) kosztuje $m to dochód jest w pełni wykorzystany. 2010 W. W. Norton & Company, Inc. 7
Wybór Optymalny x 2 (x 1 *,x 2 *) koszyk wewnętrzny. (x 1 *,x 2 *) wyczerpuje dochód. x 2 * x 1 * x 1 2010 W. W. Norton & Company, Inc. 8
Wybór Optymalny x 2 (x 1 *,x 2 *) rozw. wewn. (a) (x 1 *,x 2 *) wyczerpuje dochód: p 1 x 1 * + p 2 x 2 * = m. x 2 * x 1 * x 1 2010 W. W. Norton & Company, Inc. 9
Wybór Optymalny x 2 x 2 * (x 1 *,x 2 *) rozw. wewn. (b) Nachylenie krzywej obojętności w (x 1 *,x 2 *) równa się nachyleniu linii ograniczenia budżetowego. x 1 * x 1 2010 W. W. Norton & Company, Inc. 10
Wybór Optymalny u(x 1 *,x 2 *) spełnia dwa warunki: u (a) dochód jest w pełni wykorzystany; p 1 x 1 * + p 2 x 2 * = m u (b) nachylenie linii ograniczenia budżetowego -p 1 /p 2 i nachylenie krzywej obojętności zawierającej (x 1 *,x 2 *) są równe w (x 1 *,x 2 *). 2010 W. W. Norton & Company, Inc. 11
Preferencje Cobba-Douglasa x 2 U ( x, x ) = x a x b 1 2 1 2 x * 2 = bm ( a + b) p 2 x * 1 = am ( a + b) p 2010 W. W. Norton & Company, Inc. 12 1 x 1
Wybór Optymalny udla x 1 * > 0 i x 2 * > 0 gdy (x 1 *,x 2 *) wyczerpuje dochód, krzywe obojętności nie mają załamań, popyt na dobra otrzymujemy przez rozwiązanie: u (a) p 1 x 1 * + p 2 x 2 * = y u (b) nachylenie linii ograniczenia budżetowego -p 1 /p 2 i krzywej obojętności zawierającej (x 1 *,x 2 *) są równe w (x 1 *,x 2 *). 2010 W. W. Norton & Company, Inc. 13
Wybór Optymalny ugdy x 1 * = 0 lub x 2 * = 0 mamy rozwiązanie brzegowe problemu maksymalizacji użyteczności przy ograniczeniu budżetowym. 2010 W. W. Norton & Company, Inc. 14
Doskonałe Substytuty x 2 MRS = -1 Nachylenie = -p 1 /p 2 gdy p 1 > p 2. x 1 2010 W. W. Norton & Company, Inc. 15
Doskonałe Substytuty x * 2 = x 2 y p 2 MRS = -1 Nachylenie = -p 1 /p 2 gdy p 1 > p 2. * x 1 = 0 x 1 2010 W. W. Norton & Company, Inc. 16
Doskonałe Substytuty x 2 MRS = -1 * x 2 = 0 Nachylenie = -p 1 /p 2 gdy p 1 < p 2. x * 1 = y p 1 2010 W. W. Norton & Company, Inc. 17 x 1
Doskonałe Substytuty Gdy U(x 1,x 2 ) = x 1 + x 2, najbardziej preferowany koszyk to (x 1 *,x 2 *), gdzie: (x * 1,x * 2 ) æ y = ç, 0 è p1 ö ø if p 1 < p 2 i (x * 1,x * 2 ) = æ ç è y 0, p 2 ö ø if p 1 > p 2. 2010 W. W. Norton & Company, Inc. 18
Doskonałe Substytuty x 2 MRS = -1 y p 2 Nachylenie = -p 1 /p 2 gdy p 1 = p 2. y p 1 2010 W. W. Norton & Company, Inc. 19 x 1
Doskonałe Substytuty x 2 y p 2 Wszystkie koszyki leżące na linii ograniczenia budżetowego są tak samo najbardziej preferowane, gdy p 1 = p 2. y x 1 p 1 2010 W. W. Norton & Company, Inc. 20
Doskonałe Substytuty x 2 MRS = -1 Nachylenie = -p 1 /p 2 gdy p 1 = p 2. Ale MRS nie musi = -1 x 1 2010 W. W. Norton & Company, Inc. 21
Niewypukłe Preferencje x 2 x 1 2010 W. W. Norton & Company, Inc. 22
Niewypukłe Preferencje x 2 Który z dostępnych koszyków jest najbardziej preferowany? x 1 2010 W. W. Norton & Company, Inc. 23
Niewypukłe Preferencje x 2 Zauważ, że punkt styczności nie wyznacza najbardziej preferowanego dostępnego koszyka. Najbardziej preferowany dostępny koszyk. x 1 2010 W. W. Norton & Company, Inc. 24
Dobra Doskonale Komplementarne x 2 U(x 1,x 2 ) = min{ax 1,x 2 } x 2 = ax 1 x 1 2010 W. W. Norton & Company, Inc. 25
Dobra Doskonale Komplementarne x 2 U(x 1,x 2 ) = min{ax 1,x 2 } MRS = - MRS nieokreślone x 2 = ax 1 MRS = 0 x 1 2010 W. W. Norton & Company, Inc. 26
Dobra Doskonale Komplementarne x 2 U(x 1,x 2 ) = min{ax 1,x 2 } x 2 = ax 1 x 1 2010 W. W. Norton & Company, Inc. 27
Dobra Doskonale Komplementarne x 2 U(x 1,x 2 ) = min{ax 1,x 2 } Który z dostępnych koszyków jest najbardziej preferowany? x 2 = ax 1 x 1 2010 W. W. Norton & Company, Inc. 28
Dobra Doskonale Komplementarne x 2 U(x 1,x 2 ) = min{ax 1,x 2 } Najbardziej preferowany dostępny koszyk. x 2 = ax 1 x 1 2010 W. W. Norton & Company, Inc. 29
Dobra Doskonale Komplementarne x U(x 2 1,x 2 ) = min{ax 1,x 2 } (a) p 1 x 1 * + p 2 x 2 * = m (b) x 2 * = ax 1 * x 2 * x 2 = ax 1 x 1 * x 1 2010 W. W. Norton & Company, Inc. 30
Dobra Doskonale Komplementarne (a) p 1 x 1 * + p 2 x 2 * = m; (b) x 2 * = ax 1 *. Podstawiając z (b) za x 2 * w (a) daje p 1 x 1 * + p 2 ax 1 * = m x * 1 = p 1 m + ap 2 ; x * 2 = p 1 am + ap 2. 2010 W. W. Norton & Company, Inc. 31
Dobra Doskonale Komplementarne x 2 U(x 1,x 2 ) = min{ax 1,x 2 } x p * 2 = am + ap 1 2 x 2 = ax 1 * m x1 = p + ap 1 2 2010 W. W. Norton & Company, Inc. 32 x 1
Krzywa Popytu przykład Cobba-Douglasa uniech konsument ma preferencje ua typu Cobba-Douglasa. U ( x, x ) = x a x b 1 2 1 2 MU MU 1 2 U = = x 1 U = = x 2 ax a- b 1 1 x2 1 a b - 2 1 bx x 2010 W. W. Norton & Company, Inc. 33
Krzywa Popytu przykład umrs wynosi Cobba-Douglasa MRS a- = dx 2 U x ax x dx = - / 1 ax U x = - 1 1 2 a b- = - 2 1 / 2 bx x bx 1 2 1 1 b. uw (x 1 *,x 2 *), MRS = -p 1 /p 2 więc * ax - 2 p = - 1 * bp Þ x = 1 * 2 bx p ap x *. (A) 1 2 2 1 2010 W. W. Norton & Company, Inc. 34
Krzywa Popytu przykład Cobba-Douglasa u(x 1 *,x 2 *) wyczerpuje budżet * * 1 1 2 2 p x + p x = m. (B) 2010 W. W. Norton & Company, Inc. 35
Krzywa Popytu przykład Cobba-Douglasa uwiemy, że Podstawiając Otrzymujemy Co daje. bp1 ap x * * x2 2 1 * * 1 1 2 2 = (A) p x p x m. + = (B) * p x p bp 1 1 1 2 x * + = m. ap 2 1 2010 W. W. Norton & Company, Inc. 36
Krzywa Popytu przykład Cobba-Douglasa x * 1 = am ( a + b) p 1. Podstawiając za x 1 * w otrzymujemy p x + p x = m x * * 1 1 2 2 * 2 = bm ( a + b) p 2. 2010 W. W. Norton & Company, Inc. 37
Krzywa Popytu przykład Cobba-Douglasa Dla preferencji typu Cobba-Douglasa najbardziej preferowany, osiągalny koszyk 1 2 = 1 a b 2 U( x, x ) x x to ( x, x ) am bm,. ( a + b) p ( a + b ) p * * = ( ) 1 2 1 2 2010 W. W. Norton & Company, Inc. 38