Imię Metody Analizy Decyzji Nazwisko II termin: 7.9. (7:) Nr indeksu Wykładowca: dr M. Lewandowski Zadanie [ punktów] Michał L. wyjeżdża na weekend do Chałup, gdzie chciałby popływać na desce windsurfingowej. Michał nie wie, czy będzie wiać silny czy słaby wiatr, ale wie, że prawdopodobieństwo silnego wiatru jest o tej porze roku ¼ (a słabego ¾). Michał może wziąć swoją deskę ze sobą (dodatkowy koszt, dukatów) lub nie. Kiedy dojedzie na miejsce z deską lub bez okaże się, czy wiatr wieje mocno, czy słabo. Wówczas Michał ma do wyboru popływać na desce (jeśli przywiózł swoją deskę, to na swojej, a jeśli nie to musi wypożyczyć w wypożyczalni) lub pójść na plażę. Pływanie przy silnym wietrze i na swojej desce daje Michałowi satysfakcję, którą Michał wycenia na 7 dukatów. Jeśli Michał pływa przy silnym wietrze, ale na wypożyczonej desce jego satysfakcja jest równoważna dukatom (musi zapłacić za wypożyczenie, sprzęt nie jest do niego dopasowany, etc.). Jeśli wieje słaby wiatr pływanie na desce nie przynosi żadnej satysfakcji Michałowi ( dukatów). Siedzenie na plaży przy silnym wietrze Michał wycenia na dukat, natomiast siedzenie na plaży przy słabym wietrze Michał wycenia na dukaty. Michał woli więcej dukatów niż mniej. a) [ punkty] Czy Michał weźmie deskę ze sobą, czy też nie? NIE Jaką oczekiwaną wartość ma optymalny wybór Michała?,7 b) [ punkty] Jaka jest oczekiwana wartość doskonałej informacji?,87 (=,6,7)
c) [ punktów] Michał postanowił zasięgnąć więcej informacji na temat pogody w rejonie Zatoki Puckiej. Dowiedział się, że silne wiatry w 8% wieją z zachodu, a w % z innego kierunku, natomiast słabe wiatry w % wieją z zachodniego kierunku, natomiast w 6% z innego kierunku. Michał ma możliwość kupienia urządzenia METEO, które wskaże mu zawsze z jakiego kierunku wieje wiatr. Ile Michał jest skłonny zapłacić maksymalnie za owo urządzenie?, (=,7) Zadanie [8 punktów] Piotr i Paweł wolą więcej niż mniej (rosnąca funkcja użyteczności), a dodatkowo o Pawle wiemy, że zawsze, jak ma do wyboru daną loterię oraz kwotę równą wartości oczekiwanej tej loterii, zawsze wybiera to drugie (wklęsła funkcja użyteczności). W poniższych porównaniach wskaż, którą loterię preferowałby każdy z nich. Jeśli dla któregoś (lub obu) nie można podać odpowiedzi na podstawie posiadanych informacji, napisz to. Krótko uzasadnij wybór (FOSD, SOSD). a) [ punkty] Wypłata l l....... Piotr i Paweł wolą l (l FOSD l) b) [ punkty] Wypłata l l....... Piotr i Paweł wolą l (l FOSD l)
c) [ punkty] d) [ punkty] Wypłata l l...7. Paweł woli l (l SOSD l) Piotr nie może stwierdzić (nie ma dominacji FOSD) Wypłata l l..8.6. Ani Paweł ani Piotr nie może stwierdzić (nie ma dominacji FOSD ani SOSD) Uwaga: Jeśli występuje dominacja stochastyczna pierwszego rzędu (FOSD), dominacja stochastyczna drugiego rzędu występuje również dlatego w pierwszych dwóch parach nie trzeba sprawdzać SOSD (Zostało to zrobione dla kompletności). W drugą stronę to nie działa: patrz para loterii powyżej. l l l l l l l l,,,,,,,,,,8,,,,,7,6,,,,,, SKUMULOWANA FUNKCJA PRAWDOPODOBIEŃSTWA DYSTRYBUANTA l l l l l l l l <,, <,, <,, >, <,, =,, <,, <,8, <,7,6 =,6 >, >,8 = = = = CAŁKA Z DYSTRYBUNATY l l l l l l l l = = = = <,, <,6 <,8 >, <,9,9 <,, <, <,, <,, <,7, =, = Poniżej przedstawiamy wykresy dla całki z dystrybuanty (badanie SOSD) (wykresy dystrybuanty można sobie narysować samemu):
.... 6..... 6. Zadanie [ punktów] Rozważ następujący problem decyzyjny w sytuacji niepewności. Marcin ma do wyboru trzy strategie inwestowania: bezpieczną, średnią oraz antykryzysową. W zależności od tego, czy za rok sytuacja na rynku nadal będzie kryzysowa czy też nie poszczególne strategie dają różne wypłaty końcowe patrz tabelka: a) [ punktów] Która jest optymalna (czysta) strategia (B, Ś, A) na podstawie poniższych kryteriów: Strategia.... 6. Kryzys Brak kryzysu Bezpieczna Średnia 6 Antykryzysowa 6 Wartość kryterium Maximin B Maximax A Laplace A Minimax regret B 6 l l.... 6. b) [ punktów] Załóżmy, że Marcin może wybrać strategię mieszaną, tj. zamiast inwestować całą sumę w jedną strategię, może zainwestować część całej sumy w różne strategie. W szczególności, oznaczmy przez p część całej sumy (udział) zainwestowaną w strategię bezpieczną, przez p część sumy zainwestowaną w strategię średnią oraz przez p część sumy zainwestowaną w strategię ryzykowną. Która strategia jest teraz optymalna wg poszczególnych kryteriów?: p p p Wartość kryterium Maximin 6/ 9/ / Laplace W maximin trzeba rozwiązać zadanie max!!!!,!!,!!!! min p! + p! ; p! + 6p! 6p! p. w. p! + p! + p! = Od razu widać, że w optimum musi zachodzić warunek: p! + p! = p! + 6p! 6p! Widać również, że na przykład mieszanka strategii B z Ś nic nam nie da. Stąd w optimum obie te strategie na raz nie mogą mieć dodatnich prawdopodobieństw. Mamy więc tylko dwie opcje: Mieszanka B i A: (p!, p! >, p! = ) W tym wypadku mamy następujący układ równań:
p! = p! 6p! = p! + p!!" i wartość kryterium Co daje rozwiązanie w postaci p!, p!, p! =!,,!!! Mieszanka Ś i R: (p!, p! >, p! = ) W tym wypadku mamy następujący układ równań: p! + p! = 6p! 6p! = p! + p! Co daje rozwiązanie w postaci p!, p!, p! =,!",!!" i wartość kryterium!"!"!" Ponieważ druga opcja prowadzi do lepszej (wyższej) wartości kryterium, to jest to optymalne rozwiązanie. c) [ punkt] Czy kryterium Laplace może kiedykolwiek dawać lepsze rezultaty przy uwzględnieniu strategii mieszanych w porównaniu do sytuacji, gdzie tylko strategie czyste są uwzględnione? NIE!