Prawo Coulomba i wektor natężenia pola elektrostatycznego Wykłady do kursu Fizyka II dla studentów Wydziału Inżynieria Środowiska Politechniki Wrocławskiej Autor: Włodzimierz Salejda Instytut Fizyki PWr Wykorzystano: 1. Materiały do kursu pt. Electricity & Magnetism (Elektryczność i magnetyzm) w języku angielskim opracowane dla studentów MIT (Massachusetts Institute of Technology, USA); są dostępne na stronie http://web.mit.edu/8.02t/www/802teal3d/ 2. Podręcznik pt. Physics for Scientists and Engineers, Raymond A. Serway, John W. Jewett, Thompson Brooks/Cole, 2004, wydanie 6. 3. Podręcznik pt. Sears and Zemansky s University Physics with Modern Physics, Hugh D. Young, Roger A. Freedman, Addison Wesley Longman 2000 4. Podręcznik pt. Podstawy Fizyki, Dawid Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, PWN, Warszawa 2003; tom III. Wrocław, marzec 2008 1
Siła z jaką ładunek q 1 oddziaływuje na ładunek q 2 wynosi Wersor jest skierowany od ładunku q 1 do q 2, co ilustruje poniższy rys. a Współczynnik gdzie przenikalność elektryczna próżni wynosi Uwaga: Siła z jaką ładunek q 2 oddziaływuje na ładunek q 1 wynosi co ilustruje kolejny rysunek Animacje ruchu ładunku w pobliżu generatora Van de Graaffa ze strony http://web.mit.edu/8.02t/www/802teal3d/ kurs pt. Electricity & Magnetism (Elektryczność i magnetyzm) w języku angielskim opracowany dla studentów MIT (Massachusetts Institute of Technology, USA); gorąco polecam wszystkim studentom. Więcej o MIT m.in. na stronie http://pl.wikipedia.org/wiki/massachusetts_institute_of_technology. 2
Naelektryzowane mama i córka zabawiają się i cieszą widokiem włosów 3
4 Obok przedstawiono proces bezkontaktowego ładowania metalowej kuli (sfery) za pomocą indukcji elektrostatycznej. Po zbliżeniu do sfery, naładowanej ładunkiem elektrycznym ebonitowej pałeczki, następuje przestrzenne rozdzielenie się ładunków elektrycznych na sferze. Dzięki chwilowemu uziemieniu sfery (rys. c) ładunki ujemne spływają do ziemi. Po oddaleniu pałeczki sfera ma nadmiar dodatniego ładunku elektrycznego.
Przestrzenna redystrybucja ładunków elektrycznych w małych kawałkach papieru wywołana naelektryzowanym grzebieniem umożliwia mu podnoszenie do góry lekkich listków papieru Zasada superpozycji dla sił Coulomba Jeśli w przestrzeni znajdują się oprócz ładunku q j także inne ładunki elektryczne, to siła z jaką ten ładunek oddziaływuje na wszystkie pozostałe wynosi gdzie jest siłą Coulomba z jaką ładunek q j działa na ładunek q i. Z jaką siłą ładunki te oddziaływają na q j? 5
Uderzenie pioruna podczas gwałtownej burzy. Napięcie i natężenie pola elektrycznego jest tak duże, że następuje przebicie powietrza, podczas którego jonizowane są cząsteczki powietrza. 6
7
Wektor natężenie pola elektrycznego Ładunek próbny jest na tyle mały, że nie zakłóca pola, którego źródłem jest inny, znacznie większy, co do wartości, ładunek elektryczny. Poniżej graficzna ilustracja wektora natężenia pola w punkcie P, gdzie znajduje się ładunek próbny umieszczony w polu ujemnego ładunku-źródła q. Po uwzględnieniu prawa Coulomba otrzymujemy natężenie pola elektrostatycznego w próżni w odległości r od ładunku q będącego źrodłem tego pola Dla wektora natężenia pola obowiązuje zasada superpozycji Animacje pól elektrycznych poruszających się ładunków elektrycznych 8
Linie sił pola elektrostatycznego ładunku dodatniego i ujemnego Linie sił pola elektrostatycznego dipola elektrycznego 9
Właściwości linii sił pola elektrycznego 1. Wektor natężenie pola elektrycznego E jest styczny do linii sił 2. Liczba linii przypadająca na jednostkę powierzchni ustawiona prostopadle do nich jest proporcjonalna do wartości wektora natężenia pola 3. Linie zaczynają się ( wypływają ) na ładunku dodatnim lub w nieskończoności albo kończą się ( wpływają ) na ładunku ujemnym lub w nieskończoności. 4. Liczba linii w pobliżu ładunku elektrycznego jest proporcjonalna do jego wartości. 5. Linie sił nie przecinają się. W przeciwnym przypadku wektor E miałby w danym punkcie dwa kierunki! Przykłady ilustrujące linie sił pola elektrycznego Linie sił przenikające płaszczyzny A i B; pole jest silniejsze na płaszczyźnie A. 10
Linie sił ładunku dodatniego Linie sił ładunku ujemnego 11
Cieniutkie włoski zawieszone w oleju umieszczonym w silnym polu elektrycznym ładunku znajdującego się w centrum rysunku. Włoski są wyidukowanymi dipolami, które ustawiają się równolegle do linii sił pola elektrycznego. Linie sił pola elektrycznego dipola 12
Linie sił pola rzeczywistego dipola umieszczonego w oleju, w którym zawieszone są cieniutkie włoski ustawiające się wzdłuż linii pola. Linie sił dla układu dwóch różnoimiennych ładunków elektrycznych. 13
Oddziaływanie pola elektrostatycznego na ładunek elektryczny Poniższy rysunek przedstawia graficznie siłę oddziaływania jednorodnego pola elektrostatycznego E na ładunek dodatni +q. Siła przyłożona ze strony pola ( nacisk jaki odczuwa ze strony pola) do ładunku jest równa i zależy (jej zwrot) także od wartości ładunku. W konsekwencji wektor a przyspieszenie ładunku +q wynosi Znak minus oznacza, że w przyjętym na powyższym rysunku układzie współrzędnych oś OY ma zwrot w górę, więc gdzie E y > 0. Jeśli założymy, że początkowa prędkość ładunku +q była równa zeru, to końcowa ma wartość a jego energia kinetyczna 14
. To samo zadanie w j. angielskim 15
16
17
18
19
Zastosowania ruchu ładunków w polu elektrycznym Sterowanie i kontrola ruchu ładunków elektrycznych jest podstawą działania telewizorów, monitorów oraz oscyloskopów zawierających kineskop jako element budowy. 20
Elektryczny dipol Elektryczny dipol tworzą dwa ładunki +q i q (równe co do wartości bezwzględnych) oddzielone od siebie o 2a, co ilustruje kolejny rysunek Moment dipolowy Momentem dipolowym jest wektor skierowany od ładunku ujemnego do dodatniego (w naszym przypadku ma zwrot osi OY). Wartość dipola elektrycznego wynosi p = 2qa. Jeśli w układzie jest N dipoli to wypadkowy wektor momentu dipolowego jest równy Moment dipolowy mają cząsteczki HCl, CO, H 2 O, w których środki ładunków elektrycznych i ujemnych nie pokrywają się. Pole elektryczne dipola Z poprzedniego rysunku wynika, że składowe wektora natężenia E wynoszą odpowiednio 21
oraz gdzie Dla punktowego dipola (a = 0, co odpowiada ) mamy. gdzie, Wykonując przekształcenia, uwzględniając, że. otrzymujemy gdzie. 22
Zauważmy, że natężenia pola dipola maleje wraz z odległością jak. Animacja komputerowa dipola elektrycznego Symulacja, dostępna na stronie http://web.mit.edu/8.02t/www/802teal3d/, pokazuje powstawanie pola elektrycznego dipola pochodzącego od obu ładunków elektrycznych. Obowiązuje zasada superpozycji. Powyższy rysunek przedstawia linie sił za pomocą ziarenek trawy (płaskich tekstur) umieszczonych w polu elektrycznym dipola. Rysunek ten można obracać w przestrzeni, co pozwala obserwować tworzenie się pola elektrycznego dipola z różnych punktów widzenia. 23
Dipol w polu elektrycznym Z poniższego rysunku wynika, że wektor jednostkowy równoległy do momentu dipolowego p jest równy dlatego możemy napisać,. Wypadkowa siła działająca na dipol ze strony pola wynosi. Wypadkowy moment sił działających na dipol jest różny od zera i wynosi, gdzie wprowadzono i uwzględniono oznaczenia. 24
Jak widzimy moment sił obraca dipol na kierunek zewnętrznego pola elektrycznego zgodnie z ruchem wskazówek zegara. W efekcie swobodny dipol ustawia się wzdłuż osi OX. Jeśli oznaczymy wprowadzimy dodatkowo oznaczenie, To wartość momentu sił przyłożonych do dipola wyniesie co pozwala napisać najbardziej ogólną postać,. Podsumowanie: moment sił działających na moment dipolowy p umieszczony w zewnętrznym polu elektrostatycznym E jest iloczynem wektorowym E. Energia potencjalna dipola w polu jednorodnym Praca pola nad obrotem dipola o kąt wynosi, gdzie znak ujemny wskazuje na to, że moment dipolowy przeciwstawia się jego obrotowi wywołanemu przez pole elektryczne. Całkowita praca wykonana przez pole nad obrotem skończonym od do wynosi Zmiana energii potencjalnej dipola jest równa. gdzie, jest potencjalna energią w położeniu początkowym. Jeśli wybierzemy początkowe położenie odpowiadające, to. Tak więc energia potencjalna dipola w polu elektrostatycznym wynosi 25
. Przypomnijmy, że układ umieszczony w zewnętrznym polu jest stabilny, tj. znajduje się w stanie równowagi trwałej, jeśli jego energia potencjalna jest minimalna. W rozważanym tutaj przypadku U ma wartość minimalną jeśli wektor momentu dipolowego p jest równoległy do E. Wtedy energia potencjalna dipola jest równa. Jeśli wektory te są antyrównoległe to energia potencjalna dipola jest maksymalna (równowaga niestabilna, nietrwała). Dipol elektryczny w polu niejednorodnym Po umieszczeniu dipola w niejednorodnym polu wypadkowa siła działająca nań będzie niezerowa. Wtedy na dipol działają niezerowa wypadkowa siła oraz niezerowy moment siły. Wypadkowy ruch dipola jest bardziej skomplikowany i jest złożeniem postępowego ruchu przyspieszonego oraz obrotowego. Rysunek poniższy przedstawia dyskutowany problem. Siły i działające na ładunki dipola są różne. Załóżmy, że dipol jest krótki, więc możemy rozwinąć wartości pól w szereg Taylora i wypadkowa siła działająca na dipol jest równa. 26
Gęstości ładunków elektrycznych 1. Gęstość objętościowa Przypuśdmy, że chcemy wyznaczyd natężenie pola elektrycznego pochodzącego od ładunku q zgromadzonego w małej objętości V. W tym celu wygodnie jest zdefiniowad funkcję skalarną zwana objętościową gęstością ładunku elektrycznego Jednostką jest C/m 3. Całkowity ładunek zgromadzony w objętości V jest więc równy. 2. Gęstość powierzchniowa Podobnie, jeśli ładunek jest zgromadzony na powierzchni S, to możemy zdefiniować powierzchniową gęstość ładunku elektrycznego której wymiarem jest C/m 2 i całkowity ładunek na powierzchni S jest równy,. 3. Gęstość liniowa. 27
W przypadku rozkładu ładunku na linii krzywej L mamy kolejno gdzie liniowa gęstość ładunku elektrycznego, ma wymiar C/m. Pole elektryczne ciągłych rozkładów ładunków Wkład do natężenia pola elektrycznego ładunku w punkcie P odległym od położenia ładunku o r określa wzór, gdzie wersor ma kierunek i zwrot od punktu położenia ładunku dq do P. Korzystając z zasady superpozycji całkowite natężenie pola elektrycznego, którego źródłem jest ładunek umieszczony w objętości V definiuje całka objętościowa. Ostatni wzór należy rozumieć jako całkę trójkrotną postaci. 28
Przykłady. 1. Nieprzewodzący pręt o długości L znajduje się na osi OX i jest naładowany elektrycznie całkowitym ładunkiem Q; gęstość liniowa ładunków wynosi = Q/L. Ilustracją graficzną rozpatrywanego zagadnienia jest poniższy rysunek. Naszym zadaniem jest wyznaczenie natężenia pola elektrycznego w punkcie P. Zauważmy, że na odcinku dx jest zgromadzony ładunek dq = L dx. Ponieważ na pręcie jest zgromadzony ładunek dodatni, to wektor de będzie miał zwrot przeciwny do dodatniego zwrotu osi OX; dlatego wersor Elementarny wkład rozważanego fragmentu pręta do całkowitego wektora natężenia pola wynosi Całkowanie po całej długości pręta prowadzi do ostatecznego wyniku. 29
Jeśli teraz, to 2. Pole na symetralnej pręta. Zagadnienie przedstawia w sposób samo- wyjaśniający rysunek poniższy. Elementarny wkład do natężenia pola pochodzący od wybranego fragmentu wynosi teraz Wykorzystując właściwości symetrii możemy stwierdzić, że składowe wektora natężenia na kierunek OX wzajemnie się znoszą. Przedstawia to poniższy rysunek. 30
Dlatego ograniczymy się do wyznaczenia składowej pola wzdłuż osi OY. Kolejno otrzymujemy i Dokonujemy zamiany zmiennych z czego wynika, że,, 31
oraz prowadzi do ostatecznego wzoru co. Jeśli teraz, to. Jeśli jednak, to Ostatni wzór można łatwo otrzymać korzystając z prawa Gaussa. Poniższy rysunek przedstawia graficzną reprezentacje otrzymanych wyników.. 32
33
To samo zagadnienie w j. angielskim 34
35
3. Pole elektryczne na osi naładowanego nieprzewodzącego pierścienia (pręta kołowego) Zauważmy, że mały fragment pierścienia dl ma ładunek dq = poniższy rysunek. Elementarny wkład wynosi dl = Rd ; patrz 36
Korzystając z właściwości symetrii wyznaczamy jedynie składową natężenia pola wzdłuż osi OZ co po wycałkowaniu po pełnym kącie prowadzi do wzoru gdzie całkowity ładunek Q = (2 R). Poniższy rysunek przedstawia wykres wyznaczonego natężenia w funkcji z/r. Wersja w j. angielskim 37
38
39
40
4. Pole elektrycznie jednorodnie naładowanego nieprzewodzącego dysku. Dysk leży w płaszczyźnie OXY; jego całkowity ładunek wynosi Q. Mamy wyznaczyć pole na symetralnej dysku, tj. na osi OZ; patrz rysunek poniżej. Najpierw rozpatrzymy elementarny wkład do wektora natężenia pochodzący od fragmentu dysku, a mianowicie od pierścienia o promieniu r i szerokości dr. Jeśli obliczymy ten wkład to sumując po wszystkich pierścieniach otrzymamy szukane pole. Korzystamy z właściwości symetrycznego rozkładu ładunku, co pozwala stwierdzić, że pole ma niezerową składową na kierunek OZ. Na wyróżnionym przez nas pierścieniu znajduje się ładunek dq = (2 r dr ). Tak więc elementarny wkład wynosi całkujemy teraz po r od r =0 do r = R i otrzymujemy kolejno ; 41
Otrzymany wynik można zapisać w nieco bardziej czytelnej postaci. 42
Na poniższym wykresie przedstawiono zależność E z / E 0 jako funkcji z/r, gdzie E 0 = /2 0. Pozostaje nam jeszcze rozpatrzyć przypadek graniczny (ładunku punktowego), tj.. Rozwinięcie w szereg Taylora wyrażenia z pierwiastkiem ma postać co prowadzi do oczekiwanego wzoru Dodajmy, że jest możliwe rozważenie przypadku ekstremalnie blisko dysku a wynik końcowy ma postać..wtedy punkt P jest gdzie jest wersorem osi OZ., 43
Graficzna ilustracja otrzymanego wyniku jest pokazano poniżej. Zauważmy, że pole elektryczne doznaje skokowej zmiany, gdy zmienna z zmienia znak. Oznacza to, że składowa prostopadła do powierzchni dysku nie jest funkcją ciągła. Wartość tego skoku jest równa. 44
To samo zadanie w j. ang. 45
46
47
Strategia rozwiązywania zadań dla pola elektrycznego Układ dyskretnych ładunków natężenie pola w punkcie P liczymy ze wzoru gdzie r i jest odległością ładunku q i od P, a wersor poprowadzonego od P q i. ma zwrot i kierunek wektora Dla ciągłego rozkładu ładunków postępujemy w sposób następujący: 1. Naszym celem jest wyznaczenie natężenia pola ze wzoru 2. W tym celu najpierw wyznaczamy wartość elementarną natężenia ze wzoru 3. Dla dq wybieramy jedną z możliwości 48
4. Podstawiamy dq do wzoru na de i wybieramy stosowny układ współrzędnych 5. Zapisujemy całkę dla de w nowych zmiennych wykorzystując symetrię zagadnienia. 6. Obliczamy całkę i wyznaczamy współrzędne wektora E. 49
Poniższa tabela ilustruje powyżej naszkicowaną strategię. 50