WPŁYW NIELINIOWO CI KWADRATOWEJ NA DYNAMIK UKŁADU MECHANICZNEGO O JEDNYM STOPNIU SWOBODY CZ I DRGANIA SWOBODNE ROBERT KOSTEK Streszczenie W artykule tym przedstawiono wpływ nieliniowo ci kwadratowej, siły spr ysto- ci na dynamik układu mechanicznego. Zaobserwowano w badanym układzie: asymetryczne drgania niesinusoidalne, wpływ amplitudy drga na okres drga, ograniczenie amplitudy drga, dwa poło enia równowagi, ewolucje obszarów przyci gania, wyst powanie jednocze nie rozwi za stabilnych i niestabilnych. Zjawiska te nie s obserwowane w układach liniowych, dlatego modele liniowe nie powinny by stosowane do opisu układów nieliniowych. Stosowanie modeli liniowych do modelowania układów nieliniowych mo e prowadzi do znacznych bł dów. Słowa kluczowe: dynamika nieliniowa, nieliniowo kwadratowa Wprowadzenie Równania ró niczkowe opisuj ce dynamik układów mechanicznych wynikaj wprost z drugiej zasady dynamiki Newtona. Opisuje ona zale no pomi dzy przy pieszeniem, sił i mas punktu materialnego, co opisano poni ej: a d x Fw x = =, dt m = (1) d x dt gdzie: x oznacza przemieszenie punktu materialnego m, t czas s, a, x, przy piesze- nie punktu materialnego m/s, F w sił wypadkow działaj c na punkt materialny N, natomiast m mas punktu materialnego kg. Druga pochodna wyst puj ca we wzorze powoduje e równania ró niczkowe opisuj ce ruch układu s drugiego rz du. Dopiero wprowadzenie rachunku ró niczkowego i całkowego umo liwiło poprawny opis ruchu ciał. W typowym układzie drgaj cym wyst puj cztery siły, siła spr ysto ci, tłumienia, wymuszaj ca i bezwładno ci (rys. 1). Poprawne zamodelowanie sił, pozwala na odwzorowanie dynamiki układu. Dla ruchu drgaj cego równanie ruchu ma nast puj c posta : d x F = dt m dx ( Fs ( x) + Fd ( ) dt w 1 = m + Fe ( t)), () gdzie: F s oznacza sił spr ysto ci N, F d sił tłumienia, natomiast F e jest sił wymuszaj c. Siła spr ysto ci jest sił potencjaln, jest wi c funkcj przemieszczenia. Natomiast siła tłumienia jest sił która rozprasza energie, w konsekwencji jest ona funkcj pr dko ci. Siła wymuszaj ca z kolei jest sił która wzbudza drgania i uzupełnia straty energii wywołane sił tłumienia; jest ona 86
Studies & Proceedings of Polish Association for Knowledge Management Nr 79, 016 zamodelowana jako funkcja czasu. Siły spr ysto ci i tłumienia mog zosta zamodelowane jako funkcje liniowe przemieszenia i pr dko ci, wtedy drgania s liniowe. W przeciwnym przypadku drgania s nieliniowe. Równania liniowe s proste do rozwi zania, mo na na przykład u y rachunku operatorowego i w ten sposób uzyska rozwi zanie. Równania nieliniowe z kolei rozwi zuje si stosuj c głownie metody numeryczne, poniewa rozwi zania cisłe w wi kszo ci przypadków s nieznane [1]. Rysunek 1. Model układu drgaj cego siły : Fs spr ysto ci, Fd tłumienia i Fe wymuszaj ca ródło: Opracowanie własne. Badane równanie ró niczkowe z nieliniowo ci kwadratow zostało przedstawione poni ej: d x 1 dx = m ( k1x kx c + F max sin( f t)) e π, e dt dt (3) gdzie: k 1 oznacza współczynnik sztywno ci liniowej N/m, k współczynnik sztywno ci nieliniowej N/m, c współczynnik tłumienia (Ns)/m, F emax amplitud siły wymuszaj cej N, f e cz stotliwo wymuszenia Hz. Równanie to zawiera jeden człon nieliniowy k x. W przypadku gdy k =0 równanie to jest liniowe. Takie równanie umo liwia badanie wpływu nieliniowo ci kwadratowej na dynamik układu. Celem tej pracy jest zaprezentowanie wpływu nieliniowo ci kwadratowej na dynamik układu oraz wykazanie e nieliniowo ci powinny by uwzgl dniane w modelowaniu dynamiki układów mechanicznych. 1. Drgania swobodne nietłumione Najprostszym rodzajem drga s swobodne drgania nietłumione, poniewa w układzie wyst puj wtedy tyko dwie siły, siła bezwładno ci i siła spr ysto ci. Symulacje przeprowadzono dla układu nieliniowego i liniowego o nast puj cych parametrach: m=1, k 1=1, k =0,1, x 0=1, v 0=0, przy czym dla układu liniowego k =0. Pomimo tego e k jest dziesi razy mniejsze od k 1, pewne charakterystyczne zjawiska zostały zaobserwowane. Drgania nieliniowe nie s sinusoidalne (rys. ), mo na wi c zaobserwowa pewne ró nice pomi dzy przebiegami czasowymi drga. 87
Robert Kostek Wpływ nieliniowo ci kwadratowej na dynamik układu mech nicznego o jednym stopniu swobody cz I drgania swobodne a b c Rysunek. Przebiegi czasowe przemieszczenia a), pr dko ci b) i przy pieszenia c) uzyskane dla układu nieliniowego m=1, k 1=1, k =0,1, x 0=1, v 0=0 (czarna linia) i liniowego k =0 (szara linia) 88
Studies & Proceedings of Polish Association for Knowledge Management Nr 79, 016 Drgania nieliniowe maj dwie ro ne amplitudy w stosunku do poło enia równowagi, jedn w kierunku liczb dodatnich A 1, drug w kierunku liczb ujemnych A (rys. ac). Drgania nieliniowe w tym przypadku s asymetryczne wzgl dem poło enia równowagi. Ponad to okresy drga nieliniowych i liniowych ró ni si, dla drga liniowych okres wynosi T l=π 6,83s, natomiast dla drga nieliniowych wynosi on T nl 6,308s. Ró nica ta jest zauwa alna na wykresach (rys. ). Zmiana okresu mo e by interpretowana, przez diagnost, jako spadek sztywno ci lub wzrost masy, co nie jest w tym przypadku prawd. Kolejny przykład obliczeniowy dotyczy układu o tych samych parametrach m=1, k 1=1, k =0,1 lecz innych warunkach pocz tkowych x 0=4,4m, v 0=0 (rys. 3). W tym przypadku ró nice pomi dzy przebiegami czasowymi układu nieliniowego i liniowego s widoczne od razu, poniewa wyraz k x ro nie w kwadracie przemieszenia. W konsekwencji jego znaczenie ro nie wraz ze wzrostem amplitudy drga. Asymetria amplitudy przemieszenia jest wyra na, wynika ona z niesymetrycznej charakterystyki siły spr ysto ci (rys 5). Wyra nie ró ni si tak e okresy drga. Okres drga nieliniowych wynosi T nl 7,548s podczas gdy okres drga liniowych pozostał bez zmian. To obrazuje e okres drga nieliniowych jest funkcj amplitudy. W przypadku układów liniowych tego typu zjawiska nie wyst puj. Natomiast przebieg czasowy pr dko ci ma symetryczne amplitudy, lecz nie jest sinusoidalny, jest on poliharmoniczny. Wykres ten przypomina przebieg trójk tny (rys. 3b). Nast pny wykres przedstawia przebieg czasowy przy pieszenia (rys. 3c). Amplitudy drga s ró ne, wi c wykres jest asymetryczny. Wyra ny pik (minimum) jest wynikiem wzrostu siły spr ysto ci, w tym obszarze gdzie wyraz kwadratowy działa zgodnie z wyrazem liniowym. Natomiast obszar gdzie wyst puj dwa mniejsze maksima jest wynikiem odejmowania si członu liniowego i kwadratowego (rys. 5). Nale y wspomnie e pola pod krzyw i nad krzwyw, maj takie same powierzchnie S 1=S (rys. 3c). Pola te interpretuje si jako pop d siły. Nast pnie analizowano zale no pomi dzy okresem drga T a odpowiadaj cymi mu amplitudami drga A 1 i A (rys. 4a). Na podstawie uzyskanych wyników wida e inaczej zachowuje si układ nieliniowy i liniowy. Dla małych amplitud drga dla obydwu układów okresy drga s podobne. Nast pnie dla układu nieliniowego wraz ze wzrostem warto ci amplitud ro nie okres drga, co jest typowe dla układów degresywnych. Dla tego układu okres drga ro cie do niesko czono ci, wraz ze zrostem amplitudy drga. Jednocze nie amplituda drga swobodnych jest ograniczona (rys. 5). Natomiast okres drga układu liniowego nie zale y od amplitudy drga. Jednym z testów na nieliniowo układu mo e wi c by badanie zale no ci pomi dzy amplitud drga a okresem drga. Uzyskanie stałego okresu drga w rzeczywistych mechanizmach, na przykład zegarkach mechanicznych, nie jest prost spraw. Kolejny wykres prezentuje zale no pomi dzy cz stotliwo ci drga f a amplitudami drga A 1 i A (rys. 4b). Pocz tkowo cz stotliwo ci drga s podobne dla układu nieliniowego i liniowego, lecz wraz ze wzrostem amplitudy drga cz stotliwo układu nieliniowego spada do zera. wiadczy to o degresywnej charakterystyce spr yny. Natomiast cz stotliwo układu liniowego jest stała. Zaprezentowana krzywa nazywana jest krzyw szkieletow (rys. 4b) i jest ona wa nym elementem wykresów rezonansu. To ona pokazuje jak zmienia si cz stotliwo drga własnych i cz stotliwo rezonansowa wraz ze wzrostem amplitudy drga i amplitudy wymuszenia. Wida tak e e model liniowy opisuje dobrze układ nieliniowy tylko dla małych amplitud A<0, (k A <<k 1A), wtedy gdy składowa nieliniowa to około dwa procent siły spr ysto ci. 89
Robert Kostek Wpływ nieliniowo ci kwadratowej na dynamik układu mech nicznego o jednym stopniu swobody cz I drgania swobodne a) b) c) Rysunek 3. Przebiegi czasowe przemieszczenia a), pr dko ci b) i przy pieszenia c) uzyskane dla układu nieliniowego m=1, k1=1, k=0,1, x0=4,4, v0=0, (czarna linia) i liniowego k=0 (szara linia) 90
Studies & Proceedings of Polish Association for Knowledge Management Nr 79, 016 a) b) Rysunek 4. Zale no pomi dzy okresem drga T a amplitudami drga a), oraz zale no pomi dzy cz stotliwo ci drga f a amplitudami drga a) uzyskane dla układu nieliniowego m=1, k 1=1, k =0,1, x 0=1, v 0=0 (czarna linia) i liniowego k =0 (szara linia) Mo na przeanalizowa teraz wykres siły spr ysto ci F s i to jak jej charakterystyka wpływa na dynamik układu (rys. 5). Wida e siła spr ysto ci ro nie wolniej dla ujemnych przemieszcze, a potem nawet spada, co powoduje asymetri drga (rys. 3ac Natomiast dla przemieszcze siła ro- nie gwałtownie, co wywołało pojawienie si piku na rysunku 3c. Na wykresie ponadto wida dwa poło enia równowagi A i B (rys. 5). Punkt A to centrum wokół którego s orbity okresowe. Punkt A posiada dwa pierwiastki urojone. Natomiast punkt B to siodło, które posiada dwa pierwiastki rzeczywiste, jeden dodatni a drugi ujemny []. Do ucieczki z punktu B potrzeba du o czasu, wi c okres orbity wchodz cej i wychodz cej z tego punktu jest niesko czenie wielki. Ponad to poło enie punktu B determinuje maksymaln amplitud, poniewa, amplituda A >10 spowodowałaby ucieczk punktu do minus niesko czono ci. Tym samym ograniczona jest maksymalna energia rozwi zania okresowego. Warto tej energii mo na policzy całkuj c pole S 3 lub S 4, co przedstawiono poni ej: 91
Robert Kostek Wpływ nieliniowo ci kwadratowej na dynamik układu mech nicznego o jednym stopniu swobody cz I drgania swobodne E 0 5 = x 0,1 x dx = x 0,1 x dx 16 J, 10 0 3 max = (4) gdzie: E max oznacza maksymaln energie układu. Pola powierzchni S 3 i S 4 s sobie równe co wynika z zasady zachowania energii i równo ci pół S 1 i S. Rysunek 5. Charakterystyka siły spr ysto ci k 1=1, k =0,1 ródło: Opracowanie własne. Rysunek 6. Portrety fazowe uzyskane dla m=1, k 1=1, k =0,1 9
Studies & Proceedings of Polish Association for Knowledge Management Nr 79, 016 Przedstawione informacje mo na uzupełni o analiz trajektorii. Rysunek 6. Przedstawia, jak przemiesza si punkt fazowy na płaszczy nie fazowej. Wokół centrum (punktu A) widoczne s trajektorie okresowe. Kierunek rotacji zaznaczono strzałkami. Im wi ksza jest amplituda drga, tym bardziej kształt trajektorii ró ni si od kształtu elipsy. To typowe zjawisko dla drga nieliniowych. Ostatecznie uzyskuje si cykl który zaczyna i ko czy si w siodle (punkcie B), ł czy on dwie gał zie siodła; okres tego cyklu d y do niesko czono ci. Czas tego cyklu wynika z czasu wyj cia z i wej- cia do siodła. Obszar rozwi za okresowych został zaznaczony na szaro. Pozostałe rozwi zania s nieokresowe. Siodło determinuje z której strony rozwi zanie nieokresowe ominie punkt B. Po omini ciu punktu B rozwi zanie d y do minus niesko czono ci. Wy ej opisane zjawiska nie wyst puj w układach liniowych, gdzie wokół centrum s eliptyczne trajektorie okresowe.. Drgania swobodne tłumione Jako kolejne zostan przeanalizowane drgania tłumione układu o nast puj cych parametrach i warunkach pocz tkowych: m=1, c=0,1 k 1=1, k =0,1, x 0=1, v 0=0 (rys. 7). Przebieg czasowy przemieszcze tak jak poprzednio ma asymetryczn amplitud. Ró nice te s dobrze widoczne na pocz tku przebiegu, jednak wraz z upływem czasu amplituda drga si zmniejsza i drgania nieliniowe staj si podobne do liniowych. Natomiast przebieg czasowy pr dko ci drga nieliniowych jest bardzo podobny do liniowych, nie wida asymetrii drga a warto ci maksymalne s podobne. Z kolei przebiegi czasowe przy pieszenia ró ni si od siebie, wida asymetrie drga, natomiast okresy drga pozostaj podobne [3]. Dla wi kszych amplitud drga ró nice pomi dzy drganiami nieliniowymi i liniowymi s wyra niejsze. Przebadano ten sam układ dla nast puj cych warunków pocz tkowych x 0=4.4, v 0=0 (rys. 8). Przebiegi czasowe przemieszcze ró ni si mi dzy sob. Drania nieliniowe s asymetryczne ponadto maj mniejsz cz stotliwo. Pomini cie w tym przypadku nieliniowo ci jest niewła ciwe. Dla przebiegów czasowych pr dko ci zaobserwowano ró ne amplitudy, okresy drga i kształty ekstremów. Ró nice pomi dzy drganiami najlepiej s widoczne dla przebiegów czasowych przy piesze, poniewa wy sze harmoniczne maj wi ksze amplitudy. Inne kształty maj lokalne maksima i minima przebiegów. Ponad to drgania nieliniowe s asymetryczne, i maj wi kszy okres, co wyra nie jest widoczne na pocz tku drga. W kolejnym etapie mo na przeanalizowa portrety fazowe drga tłumionych (rys. 9). Podobnie jak poprzednio punkt B jest siodłem i ma dwa pierwiastki rzeczywiste, jeden dodatni a drugi ujemny. Siodło oddziela obszary rozwi za od siebie. Punkt A po wprowadzeniu tłumienia stał si stabilnym ogniskiem, które posiada dwa pierwiastki zespolone. Cz rzeczywista pierwiastków jest ujemna, wi c ognisko jest stabilne. Ognisko posiada pewien obszar przyci gania, który został zaznaczony na szaro. Rozwi zania które znajduj si w tym obszarze d do punktu A. Jedna z gał zi siodła d y do punktu A. Strzałkami zaznaczono jak poruszaj si punkty fazowe na płaszczy nie fazowej. Cz rozwi za nie d y do punktu A. Te rozwi zania d ró nymi drogami do minus niesko czono ci wzdłu innej z gał zi siodła. 93
Robert Kostek Wpływ nieliniowo ci kwadratowej na dynamik układu mech nicznego o jednym stopniu swobody cz I drgania swobodne a) b) c) Rysunek 7. Przebiegi czasowe przemieszczenia a), pr dko ci b) i przy pieszenia c) uzyskane dla układu nieliniowego m=1, c=0,1 k 1=1, k =0,1, x 0=1, v 0=0, (czarna linia) i liniowego k =0 (szara linia) 94
Studies & Proceedings of Polish Association for Knowledge Management Nr 79, 016 a) b) c) Rysunek 8. Przebiegi czasowe przemieszczenia a), pr dko ci b) i przy pieszenia c) uzyskane dla układu nieliniowego m=1, c=0,1 k 1=1, k =0,1, x 0=4,4, v 0=0, (czarna linia) i liniowego k =0 (szara linia) 95
Robert Kostek Wpływ nieliniowo ci kwadratowej na dynamik układu mech nicznego o jednym stopniu swobody cz I drgania swobodne Rysunek 9. Portrety fazowe uzyskane dla m=1, c=0,1, k 1=1, k =0,1 Przebadano nast pnie układ dla wi kszego tłumienia, które wynosiło c=0,3 (rys. 10). Zwi kszenie tłumienia spowodowało zwi kszenie obszaru przyci gania stabilnego ogniska A i zwi kszenie okresu. Zmianie ulegały tak e kształty trajektorii, wida to na przykładzie rozwi za d cych do punktu A. Natomiast charakter zjawisk pozostał ten sam. Rysunek 10. Portrety fazowe uzyskane dla m=1, c=0,3, k 1=1, k =0,1 96
Studies & Proceedings of Polish Association for Knowledge Management Nr 79, 016 Kolejne obliczenia wykonano dla nast puj cych parametrów: m=1, c=,0, k 1=1, k =0,1. Przyj to warto krytyczn tłumienia, wi c punkt A jest stabilnym w złem (rys. 11); posiada on dwa pierwiastki rzeczywiste ujemne. Trajektorie nie okr aj punktu A wielokrotnie, tak jak to miało miejsce wcze niej, wi c drania nie s okresowe. Obszar przyci gania punktu A zaznaczono na szaro, jest on teraz wi kszy ani eli poprzednio. Siodło B oddziela wyra nie obszary rozwi za. Cz rozwi za d y do punktu A, reszta natomiast do minus niesko czono ci, wzdłu jednej z gał zi siodła. 3. Podsumowanie Rysunek 11. Portrety fazowe uzyskane dla m=1, c=,0, k 1=1, k =0,1 W artykule tym przedstawiono ró nice pomi dzy zachowaniem układu liniowego i nieliniowego, co jest szczególnie wa ne w diagnostyce i projektowaniu maszyn. Wiedza na ten temat nie jest rozpowszechniona po ród personelu technicznego, co mo e powodowa pewne problemy. Wykorzystano metody analizy przebiegów czasowych, analiz trajektorii, obliczono krzyw szkieletow. Równania rozwi zano metod numeryczn. W badanym układzie zaobserwowano asymetryczne drgania niesinusoidalne, ponad to ograniczenie amplitudy i energii drga. Okres drga jest zale ny od amplitudy i w skrajnym przypadku d y do niesko czono ci. Przebiegi czasowe maj charakterystyczny kształt. Zjawiska te s wynikiem nieliniowej charakterystyki spr ysto ci. Zaobserwowano tak e dwa poło enia równowagi. Jedno jest niestabilne zawsze, to siodło; drugie mo e by centrum, ogniskiem lub w złem w zale no ci od warto ci tłumienia. To powoduje, e mo e pojawi si rozwi zanie stabilne i niestabilne w tym samym układzie. Zmiana warto ci tłumienia powoduje tak e zmian obszarów przyci gania. Stosowanie modeli liniowych powoduje pomini cie wy ej wymienionych zjawisk, co mo e prowadzi do znacznych bł dów, pomyłek w interpretacji wyników i katastrof. Cz zjawisk obserwowanych w praktyce mo na wytłumaczy na postawie teorii drga nieliniowych. 97
Robert Kostek Wpływ nieliniowo ci kwadratowej na dynamik układu mech nicznego o jednym stopniu swobody cz I drgania swobodne Bibliografia [1] Awrejcewicz J., Drgania deterministyczne układów dyskretnych, WNT, Warszawa 1996. [] Włodarski L., Krysicki W., Analiza matematyczna w zadaniach T., PWN, Warszawa 1970. [3] Kostek R., Analysis of the primary and superharmonic contact resonances Part 1, Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 51,, s. 475 486, Warsaw 013. INFLUENCE OF QUADRATIC SPRING FORCE ON SINGLE DEGREE OF FREEDOM MECHANICAL SYSTEM DYNAMICS PART I FREE VIBRATIONS Summary This article presents influence of quadratic spring force on dynamics of single degree of freedom mechanical system. The following phenomena were observed: polyharmonic asymmetrical vibrations, changes of natural frequency due to vibration amplitude, limitation of vibration amplitude, two equilibrium positions, evolution of basins, stable and unstable solutions in the same system. These phenomena are not observed in linear system, thus linear models should not be used to describe nonlinear systems. linearization can lead to large errors. Keywords: nonlinear dynamisc, quadratic nonlinearity Robert Kostek Zakład Pojazdów i Dignostyki Wydział In ynierii Mechanicznej Uniwersytet Technologiczno-Przyrodniczy w Bydgoszczy e-mail: robertkostek@o.pl 98