/22/24 Dwuosobowe gry o sume zero DO NAUCZENIA I ZAPAMIĘTANIA: Defnca zaps ger o sume zero, adaptaca ogólnych defnc. Punkt sodłowy Twerdzena o zwązkach punktu sodłowego z koncepcam rozwązań PRZYPOMNIENIE: DEFINICJA 2.5. Grę S,S 2,,S N, M,M 2,,M N Ú w które suma wypłat est stała, tzn. M +M 2 + + M N = c nazywamy grą o sume stałe. Jeśl stała c est równa zero to take gry nazywamy gram o sume zerowe. GRY DWUOSOBOWE O SUMIE ZERO Są to gry A, B, M,M 2 Ú w których M =- M 2 Zatem moŝemy ednoznaczne określć taką grę podaąc tylko edną z macerzy wypłat. Umówono sę, Ŝe będze to macerz wypłat dla gracza perwszego. Zaps A, B, MÚ oznacza węc grę o sume zerowe, M podae wypłaty dla gracza perwszego (P ), wypłaty dla gracza P 2 są lczbam przecwnym. Często mówmy, Ŝe macerz M defnue wypłaty dla P straty dla P 2.
/22/24 PRZYKŁAD: GRA PUŁKOWNIKA BLOTTO (, ) (,) (,) (, ) (,) (, ) (, ) (,) (, ) (, ) (2, 2) (2, 2) 2 2 Dwuosobowe gry o sume zerowe są modelam problemów ścśle antagonstycznych, tzn. takch, w których gracz P preferue wynk Q nad R wtedy tylko wtedy, gdy gracz P 2 preferue R nad Q Uwaga: MoŜe być tak, Ŝe gra w które suma wypłat ne est stała, moŝe być przekształcona do równowaŝne gry o sume zerowe. Jest tak wtedy, gdy stneą odpowedne przekształcena afnczne funkc uŝytecznośc graczy (u = av + b, a>). (2,) (,7) ( 6,5) (8, 2) (,) ( 5,7) (,5) (4, 2) (, ) ( 5,5) (,) (4, 4) 2
/22/24 ADAPTACJA DOTYCHCZASOWYCH DEFINICJI DO ZAPISU GIER O SUMIE ZERO DEFINICJA... Para strateg (a,b ) est punktem równowag gry A, B, M Ú eśl dla wszystkch, : M DEFINICJA..2 Element macerzy M spełnaący warunek z powyŝsze defnc nazywamy punktem sodłowym gry. 2 5 5 2 7 5 4 4 8 6 2 9 2 Punkt sodłowy, to poęce charakterystyczne dla ger o sume zerowe. Jest to element macerzy ednoznaczne zwązany ze strategam pozostaącym w równowadze. Rzeczywśce, z nowe postac defnc otrzymuemy para strateg (a,b ) est w równowadze wtedy tylko wtedy, gdy element M est punktem sodłowym gry. ZauwaŜmy równeŝ oczywsty fakt, Ŝe M est punktem sodłowym gry wtedy tylko wtedy, gdy max = M mn M M
/22/24 STRATEGIE BEZPIECZEŃSTWA W GRACH O SUMIE ZERO DEFINICJA.. Strategą bezpeczeństwa gracza perwszego nazywamy strategę o numerze dla które spełnony est warunek: mn M = max mn M Strategą bezpeczeństwa gracza drugego nazywamy strategę o numerze dla które spełnony est warunek: max M = mn max M DEFINICJA..4 Pozom bezpeczeństwa gracza perwszego nazywamy wartoścą dolną gry a pozom bezpeczeństwa gracza drugego nazywamy wartoścą górną gry. Oznaczamy e odpowedno symbolam v oraz v v mn M v = mn max M = max 2 2-2 2 4-2 5 7 8 9 7 5 6 2 2 5 4-4 2 7 8 v = 7 v = 7 4
/22/24 DEFINICJA..4 Pozom bezpeczeństwa gracza perwszego nazywamy wartoścą dolną gry a pozom bezpeczeństwa gracza drugego nazywamy wartoścą górną gry. Oznaczamy e odpowedno symbolam v oraz v v mn M v = mn max M = max 2-2 4-2 5 7 7 9-5 5 2 8 8 5 4-4 5 7 4 v = 8 v = TWIERDZENIE.. W dowolne grze macerzowe <A, B, M> o sume zerowe wartość górna gry ne est mnesza od wartośc dolne: v v DOWÓD Dla kaŝdych, Zatem takŝe dla kaŝdego : Nech Zatem dla kaŝdego M = a mn M mn a = A b = mn M b A Zatem max b A max b = max mn M A = mn max M max mn M mn max M 5
/22/24 DEFINICJA..5 JeŜel v, to mówmy, Ŝe gra ma wartość. Oznaczamy ą v TWIERDZENIE..2 JeŜel gra ma punkt sodłowy, to para strateg w równowadze est utworzona przez stratege bezpeczeństwa graczy gra ma wartość. v DOWÓD. Nech element M będze punktem sodłowym. max = M mn M mn max M = mn M max mn M v = mn max M = mn M max mn M v = mn max M = max M = mn M = max mn M 6
/22/24 TWIERDZENIE..4 JeŜel gra ma wartość, to para strateg bezpeczeństwa tworzy parę strateg w równowadze. DOWÓD. Nech będą numeram strateg bezpeczeństwa, odpowedno gracza perwszego gracza drugego mn M max M max mn M = mn M = mn max M v = max mn M = mn M = mn max M v = max mn M = mn M = max M = mn max M TWIERDZENIE.. W grze dwuosobowe o sume zero wszystke pary strateg w równowadze są zamenne równowaŝne DOWÓD. Na ćwczena 7