Matematyka I dla DSM zbiór zadań

I Sumowanie skończone W zadaniach -4 obliczyć podaną sumę. Matematyka I dla DSM zbiór zadań do użytku wewnętrznego dr Leszek Rudak Uniwersytet Warszawski Wydział Zarządzania. 5 i. i= 4 i 3. i= 5 ( ) i i= 4. 6 i=0 79 3 i 5. 8 5(i + 3) 6. i= 0 i=5 3 7. 3 i=7 4i 8. 9 i=3 i 3 9. 4 ( i + 5) i= 0. 4 i= 3 i. 5 i(i + ). i= 4 i=0 i 5 i 3. ( ij + 3 i) 4. i= j= (5 i 3j) 5. i= j= 4 4 (5 + i) i= j= 6. (3 i + j + ) 7. i= j= (3 ij j) 8. i= j= 4 4 (i j ) i= j= 9. 4 4 ( ij + 5 i 3j) 0. i= j= ij. i= j= 9 0 i=0 j= (j i). 4 i (i + j ) 3. i=0 j=i 4 4 ( (j + i) (j i) ) 4. i= j= 4 4 i j i= j= 5. 4 5 i j 6. i= j=i 3 i i= j= ( i j + j ) i 7. 0 i i= j=i i + j j 5 9 k 5 4 8. (6 k) 9. 30. kj k= k= 0 k k= j= 4 3. 3 3. j j 33. (k + ) k= j= k= j= j= k= j=

0 5 5 4 34. ((k )(j + )) 35. ((k )(j + )) 36. (k + j + ) k= j= k= j= k= j= 4 4 37. (k j + ) 38. (k 3j + 4kj 5) 39. (k + j) + k k= j= k= j= k= j= 5 40. (k + j) (k + ) 4. k(j ) 4. (k ) (j + ) k= j= k= j= k= j= j= W zadaniach 43-50 zapisać podaną sumę za pomocą znaku dużej sumy (znaku sigma). 43. + + + + + + + 44. 4 + + 8 + 5 +... + 74 45. 0 + 0 + 30 + 40 + 50 + 60 + 70 + 80 + 90 46. 5 + 36 + 49 + 64 + 8 + 00 47. 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + + 3 4 5 6 7 8 9 48. + + + 6 + 6 + 6 4 6 4 6 49. + 4 + 6 + 4 + 8 + + 6 + + 8 50. + + 4 + 3 + 6 + 9 + 4 + 8 + + 6 II Granice ciągów W zadaniach 5-0 obliczyć podaną granicę ciągu. 5. lim n ( ( n ) 5. lim + n n ) 54. lim (, n 0,9 n 6n ) 55. lim n n n + 6 53. lim n ( 5 n 3 3 n 5 ) 56. lim n 4n n + 0 57. lim n 6n 3 + 3n + 3n 3 n 6 58. lim n 6n 3 + n + 3 n 3 6n 3 59. lim n 6n 3 n + 3 6n 3 3n + 60. lim n n 3 5n + 4n 3 + 5n 5 n 63. lim n n + 5 66. lim n 6 n n + 4 n 69. n lim n 3 4 6. lim n n 3 9 3 n 6. lim 3 n n 3 n 64. lim n n 3 + n + 6n 3 n + ( 5n n + 5 67. lim ) n n 5 65. lim n 4n + n +. 68. lim n ( n + 5n + n ) ( ) n 70. n lim 7. lim n n n + ( )n

( ) n n 3 7. lim 73. lim n ( ) n+ n n + 75. lim n n 4 + 4n + 4n + 5 n + 76. lim n n n + n n3 + 3 n 74. lim n 6n + 6n + 3n 3 77. lim n ( n + 5 n) 78. lim n ( n + n + ) 79. lim n ( n + n ) 80. lim n ( 0n 4n 5n) 8. lim n 5n + 3 n 3n 8. n lim n + 83. n lim n n+ 7 n+ ( n 84. lim 85. lim 7n n 7 ) n 8 n n n n 3 86. lim n n + 87. lim n 5n + 3 n 0, n 88. n lim ( 0,5) n 89. n lim n n+ n 4 90. n lim n 4 + n 93. lim n n + n ( 0,) n ( n 3 ) 9. n lim 9. lim 0, n n (n + ) 4 94. lim n ( 3n + n n ) ( n 3 ) + 95. lim n n 4 n + n 5n 96. lim n 3 n (n + ) ( ) n 99. lim n n + 97. lim ( ) n 3 n 00. lim n 3 3 ( + )( ) 98. lim n ( n ) 0. lim n (n n) III Granice funkcji W zadaniach 0-09 obliczyć podaną granicę badając granice lewo- i prawostronne 0. lim 5 f() gdzie f() = 03. lim f() gdzie f() = 04. lim f() gdzie f() = 05. lim 3 f() gdzie f() = 06. lim f() gdzie f() = 07. lim f() gdzie f() = 5 gdy < 5 0 + gdy 5 3 6 gdy < + 9 gdy > + 3 gdy < 3 + 7 gdy > 3 gdy < 3 30 gdy 3 5 3 gdy < 3 5 gdy + gdy < gdy 3

08. lim f() gdy f() = 3 09. lim f() gdy f() = 0. lim 3 f() gdy f() =. lim f() gdy f() = gdy < 3 + 5 gdy > 3 gdy < + gdy > 3 9 3 gdy < 3 9 3 gdy > 3 3 gdy < 4 gdy > W zadaniach -77 obliczyć podane granice funkcji.. lim + + 3. lim 8 ( ) 4. lim 5 4 00 5 + 5. lim 4 + 4 8. lim 0 ( 4 + 3 + 3) 6. lim 3 (3 + 3) 7. lim ( + ) 9. lim 4 ( + ) 0. lim 3. lim 3 4. lim 4 3 4 6 8 7. lim 3 4 + 3 8 30. lim 3 + 8 33. lim 0 + 4 6. lim 4 4 + 6 5. lim 8 6 4 ( ) 8. lim 4 3. lim + 34. lim 3 3. lim 5 + 5 + 5 + 4 6. lim 4 9. lim 3 + 5 + 7 3. lim 3 9 3 4 35. lim + 50 + 5 3 6 9 36. lim 37. lim 38. lim + 3 + 3 0 700 7 3 39. lim 3 40. lim 3 + 3 9 4. lim 0 5 0 4. lim 3 + + 3 + 43. lim + 3 44. lim ( + 6 ) ( 3 45. lim + ) 5 46. lim 5 + 5 47. lim 3 4 + 3 3 4

48. lim + 5. lim 9 3 49. lim e ln 5. lim + 4 50. lim 0 ln( + ) 53. lim 3 3 3 + 3 54. lim 55. lim ( ) 3 3 56. lim ( e e ) 57. lim 0 + 60. lim ( + ) 63. lim ln e 58. lim 6. lim 0 + ( 64. lim 0 ) 59. lim 0 + 6. lim ( ) ( ) 65. lim 3 3 3 ( + ) 66. lim 67. lim ( + ) e ( + 68. lim ) + 69. lim 7. lim ( ) 3 75. lim + 70. lim e e 73. lim 0 76. lim e 4 7. lim 3 3 4 3 + 8 3 8 + 8 74. lim 4 ( 77. lim 0 e e ) ( 4) ( ) ( ) + 8 ( + 78. lim 79. lim ) + ( ) 80. lim 8. lim ln 8. lim 0 e 83. lim 0 e e + IV Ciągłość funkcji W zadaniach 88-9 wyznaczyć punkty nieciągłości podanych funkcji. 84. f() = 6 85. f() = + 5 86. f() = 3 3 + 87. f() = + 7 49 88. f() = dla 3 dla > 89. f() = + dla < 0 dla 0 5

90. f() = 4 dla < 9 dla 3 9. f() = 3 dla 6 dla = 3 W zadaniach 9-95 obliczyć wartość parametru a, przy której podana funkcja jest ciągła. 9. f() = 4 3 dla < 3 + a dla 93. f() = 3 3 dla < 4 + a dla 4 94. f() = dla < 6 + a dla 95. f() = a dla + dla > V Pochodne W zadaniach 96-73 obliczyć pochodne podanych funkcji. 96. f() = 4,7 97. f() = 4 7 98. f() = 5 99. f() = 4 4 00. f() = 4 4 0. f() = 7 ln 0. f() = 03. f() = π cos 04. f() = 3 05. f() = sin cos 06. f() = 5(ln e ) 07. f() = 0,04 5 + 00 08. f() = 9 + 09. f() = 4 5 5 4 + 0. f() = ( + ). f() = ( + ) 3. f() = ( + ) 3. f() = ln 4. f() = sin cos 5. f() = ( + )(e + ) 6. f() = e 4 7. f() = + 8. f() = + 9. f() = + 3 + 0. f() = cos sin +. f() = +. f() = 3 + 3 + 3. f() = ln e 4. f() = e 5. f() = cos( π ) 6. f() = 0 (4 + ) 5 7. f() = sin cos 8. f() = + 9. f() = cos + sin 30. f() = e / 3. f() = cos + sin 3. f() = 3 + 3 + 6 33. f() = 34. f() = 6 + 3 6

35. f() = ( + )e 36. f() = 38. f() = ( + ) ( + ) 39. f() = + ( ) 37. f() = + 40. f() = + 4. f() = e e + 4. f() = e + 43. f() = e e 44. f() = (e + )(e ) 45. f() = cos 46. f() = 47. f() = ln( ) 48. f() = e 49. f() = e 50. f() = (ln ) 5. f() = ( + ) 5. f() = ( + ) 53. f() = e e 54. f() = ln( ) 55. f() = ln() ln() 56. f() = + 57. f() = + 58. f() = ln( ) 59. f() = ln( ) 60. f() = (ln( )) 6. f() = ln(e + ) 6. f() = + ( ) 63. f() = ln 64. f() = ln ( ( ) ) 65. f() = ln ( + + ) 66. f() = ln 5 5 + 67. f() = + + ln ( + + ) 68. f() = e ( ) 69. f() = 70. f() = ln(ln()) (ln(ln(ln())) ) 7. f() = ln 7. f() = log 73. f() = e ln VI Ekstrema funkcji jednej zmiennej W zadaniach 74-97 znaleźć punkty w których funkcja f() osiąga ekstrema, podać które z nich to minima, a które maksima. 5 + 4 3 74. f() = 75. f() = 76. f() = + 9 + 77. f() = 7 3 6 78. f() = 3 3 36 79. f() = 4 + 5 5 80. f() = 9 + 6 8. f() = 8. f() = 3 4 4 + 3 5 + 83. f() = + 3 + 7 86. f() = 3 + 84. f() = 3 e 85. f() = + + 5 87. f() = 3 e 88. f() = e 3 +3 7

89. f() = + 4 90. f() = ( )e 9. f() = (4 + 3)e 9. f() = + 93. f() = (3 )e 94. f() = + + 95. f() = 3 96. f() = ln( + ) + 97. f() = 3 VII Zastosowanie ekonomiczne pochodnej W zadaniach 98-99 wyznaczyć elastyczność podanej funkcji we wskazanym punkcie. 98. f() = e, = 0,5 99. f() = 5e 3, = W zadaniach 300-30 dla podanego kosztu całkowitego obliczyć koszt krańcowy. 300. K c () = 300 +, 5 0, 5 4 30. K c () = 4 + 0 3 + 00 VIII Matematyka finansowa 30. Po ilu latach kwota 0 000 zł złożona na lokacie oprocentowanej procentem prostym w skali 6% rocznie osiągnie kwotę 8 000 zł? 303. Po ilu latach kwota 0 000 zł złożona na lokacie oprocentowanej procentem prostym w skali % rocznie osiągnie kwotę 000 zł? 304. Po ilu latach kwota 0 000 zł złożona na lokacie oprocentowanej procentem prostym w skali 5% rocznie osiągnie kwotę 9 000 zł? 305. Po ilu miesiącach kwota 400 zł złożona na lokacie oprocentowanej procentem prostym z roczną stopą 3,5% da odsetki w wysokości 70 zł? 306. Kwotę 55 000,00 zł, wpłacono na lokatę na 6 lat przy stałym oprocentowaniu rocznym,7% i kapitalizacją roczną. Jaka będzie kwota po zakończeniu lokaty? 307. Jaką kwotę trzeba będzie zapłacić by za lat spłacić (jedną ratą) pożyczone 3 000,00 zł, jeżeli przyjęto stałe oprocentowanie 8% w skali roku z kapitalizacją półroczną? 308. Po ilu latach kwota 0 000,00 zł złożona na lokacie oprocentowanej stopą roczną 6% z kapitalizacją roczną, osiągnie kwotę 8 000,00 zł? 309. Po ilu latach kwota 0 000,00 zł złożona na lokacie ze stopą roczną 3% osiągnie kwotę 000 zł? 30. Po jakim czasie kwota 400 zł złożona na lokacie z roczną stopą 3,5% i kapitalizacją miesięczną da odsetki w wysokości 70 zł? W zadaniach 3 34 przyjąć, że pieniądze na lokacie SuperB są kapitalizowane co rok, a przy wypłacie, odsetki za okres od ostatniej kapitalizacji są naliczane według zasady oprocentowania prostego z tą samą stopą procentową roczną zgodnie z regułą bankową obliczania czasu. 3. lutego 0 roku założono lokatę SuperB oprocentowaną stopą 8% wpłacając kwotę 500,00 zł. Jaka kwota została wypłacona 9 czerwca 05 roku? 3. lutego 0 roku założono lokatę SuperB oprocentowaną stopą 6% wpłacając kwotę 3 600,00 j.p. Jaka kwota została wypłacona 3 października 05 roku? 33. lutego 0 roku założono lokatę SuperB oprocentowaną stopą 7% wpłacając kwotę 000,00 j.p. Jaka kwota została wypłacona 5 lipca 05 roku? 8

34. lutego 0 roku założono lokatę SuperB oprocentowaną stopą 9% wpłacając kwotę 9 400,00 j.p. Jaka kwota została wypłacona 5 września 05 roku? 35. Jaka będzie końcowa kwota rocznej lokaty 900,00 zł, kapitalizowanej kwartalnie i oprocentowanej stopą roczną 3,% w dwóch pierwszych kwartałach i stopą roczną 5,9% w pozostałych kwartałach? 36. Jaka będzie końcowa kwota rocznej lokaty 600,00 zł, kapitalizowanej kwartalnie i oprocentowanej stopą roczną,6% w kwartale i stopą roczną 4,% w pozostałych kwartałach? 37. Jaka będzie końcowa kwota rocznej lokaty 300,00 zł, kapitalizowanej kwartalnie i oprocentowanej stopą roczną 4,3% w dwóch pierwszych kwartałach i stopą roczną 5,% w pozostałych kwartałach? 38. Jaką wartość za 3 lata będzie miał kapitał, który 4 lata temu miał wartość 3 000 000 zł, gdy oprocentowanie jest stałe równe 3%? 39. Jaką wartość przed laty miał kapitał, który za 3 lata będzie miał wartość 3 000 000 zł, gdy oprocentowanie jest stałe równe %? 30. Jaką wartość za lata będzie miał kapitał, który 6 lat temu miał wartość 5 000 000 zł, gdy oprocentowanie jest stałe równe %? 3. Jaką wartość za 5 lat będzie miał kapitał, który 5 lat temu miał wartość 500 000 zł, gdy oprocentowanie jest stałe równe 4%? 3. Jaką wartość za 7 lat będzie miał kapitał, który lata temu miał wartość 4 00 000 zł, gdy oprocentowanie jest stałe równe 5%? 33. Jaką wartość przed 3 laty miał kapitał, który za rok będzie miał wartość 5 000 000 zł, gdy oprocentowanie jest stałe równe,5%? 34. Jaką wartość przed 7 laty miał kapitał, który za lata będzie miał wartość 500 000 zł, gdy oprocentowanie jest stałe równe,5%? 35. Jaką wartość za 4 lata będzie miał kapitał, który rok temu miał wartość 8 400 000 zł, gdy oprocentowanie jest stałe równe,5%? 36. Jaką wartość za rok będzie miał kapitał, który 3 lata temu miał wartość 6 700 000 zł, gdy oprocentowanie jest stałe równe,5%? 37. Jaką wartość przed 4 laty miał kapitał, który za 4 lata będzie miał wartość 4 00 000 zł, gdy oprocentowanie jest stałe równe 3,%? 38. Czy kapitał o wartości 8 48,60 przed laty jest równoważny kapitałowi o wartości 4 809,90 za 7 lat, przy oprocentowaniu 6%? 39. Czy kapitał o wartości 8 683,50 przed 8 laty jest równoważny kapitałowi o wartości 380,60 za 4 lata, przy oprocentowaniu 3%? 330. Czy kapitał o wartości 7 7,30 przed 4 laty jest równoważny kapitałowi o wartości 669,90 za lata, przy oprocentowaniu 3%? 33. Czy kapitał o wartości 000,00 dziś jest równoważny kapitałowi o wartości 00,00 za 3 lata, przy oprocentowaniu 3%? 33. Czy kapitał o wartości 7 977,60 za lat jest równoważny kapitałowi o wartości 0 35,30 przed 8 laty, przy oprocentowaniu 6%? 333. Czy kapitał o wartości 3 50,00 za lata jest równoważny kapitałowi o wartości 7 79,40 za 9 lat, przy oprocentowaniu 4%? 334. Czy kapitał o wartości 3 795,70 za 3 lata jest równoważny kapitałowi o wartości 6 08,60 za 7 lat, przy oprocentowaniu %? 335. Czy kapitał o wartości 4 060,80 za 3 lata jest równoważny kapitałowi o wartości 0 0,90 za lat, przy oprocentowaniu 4%? 9

336. Czy kapitał o wartości 88,40 przed 4 laty jest równoważny kapitałowi o wartości 5 900,00 za rok, przy oprocentowaniu 6%? 337. Czy kapitał o wartości 5 536,0 za 9 lat jest równoważny kapitałowi o wartości 8 47,70 za 4 lat, przy oprocentowaniu %? 338. Czy kapitał o wartości 0 038,60 przed 8 laty jest równoważny kapitałowi o wartości 673,50 przed 4 laty, przy oprocentowaniu 6%? 339. Ile mogę wypłacić z konta dziś, jeżeli konto jest oprocentowane roczną stopą 5,3%, cztery lata temu wpłaciłem 3 000 zł, a za pięć lat chcę mieć 4 000 zł? 340. Ile mogę wypłacić z konta dziś, jeżeli konto jest oprocentowane roczną stopą 3,6%, trzy lata temu wpłaciłem 7 000 zł, a za trzy lata chcę mieć 0 000 zł? 34. Ile mogę wypłacić z konta dziś, jeżeli konto jest oprocentowane roczną stopą 8,4%, trzy lata temu wpłaciłem 3 000 zł, a za cztery lata chcę mieć 5 000 zł? 34. Ile mogę wypłacić z konta dziś, jeżeli konto jest oprocentowane roczną stopą,7%, dwa lata temu wpłaciłem 7 000 zł, a za cztery lata chcę mieć 8 000 zł? 343. Ile mogę wypłacić z konta dziś, jeżeli konto jest oprocentowane roczną stopą 8,%, cztery lata temu wpłaciłem 4 000 zł, a za pięć lat chcę mieć 5 000 zł? 344. Ile mogę wypłacić z konta dziś, jeżeli konto jest oprocentowane roczną stopą 4,6%, cztery lata temu wpłaciłem 4 000 zł, a za trzy lata chcę mieć 7 000 zł? 345. Mógłbym zainwestować moje 5 tys. zł. w fundusz inwestycyjny, który daje odsetki obliczane według rocznej stopy nominalnej,9% z kapitalizacją półroczną, ale pożyczę te pieniądze szwagrowi, który za 3 lata odda mi całą kwotą wraz z odsetkami naliczonymi zgodnie z oprocentowaniem prostym ze stopą 3%. Na jaką kwotę dziś mogę oszacować stratę? 346. Mógłbym zainwestować moje tys. zł. w fundusz inwestycyjny, który daje odsetki obliczane według rocznej stopy nominalnej 9,4% z kapitalizacją kwartalną, ale pożyczę te pieniądze szwagrowi, który za 3 lata odda mi całą kwotą wraz z odsetkami naliczonymi zgodnie z oprocentowaniem prostym ze stopą 0%. Na jaką kwotę dziś mogę oszacować stratę? 347. Kredyt zaciągnięty na kwotę 0 000,00 zł i oprocentowany 8,5% rocznie będzie spłacany pięcioma ratami rocznymi: 4 pierwsze raty po 5 000,00 i ostatnia rata balonowa spłacająca kredyt do końca. Jaka będzie wysokość raty balonowej? 348. Kredyt zaciągnięty na kwotę 90 000,00 zł i oprocentowany 8,4% rocznie będzie spłacany pięcioma ratami rocznymi: 4 pierwsze raty po 45 000,00 i ostatnia rata balonowa spłacająca kredyt do końca. Jaka będzie wysokość raty balonowej? 349. Kredyt zaciągnięty na kwotę 30 000,00 zł i oprocentowany 9,6% rocznie będzie spłacany pięcioma ratami rocznymi: 4 pierwsze raty po 45 000,00 i ostatnia rata balonowa spłacająca kredyt do końca. Jaka będzie wysokość raty balonowej? 350. 000 zł wpłacono na poczet renty, która była wypłacana co rok przez 4 lata. Pierwsza rata wyniosła 5 000 zł, trzecia 3 000 zł, czwarta 000 zł. Jaka była druga rata gdy roczna stopa procentowa jest równa 7,8%? 35. 9 000 zł wpłacono na poczet renty, która była wypłacana co rok przez 4 lata. Pierwsza rata wyniosła 000 zł, druga 000 zł, czwarta 4 000 zł. Jaka była trzecia rata gdy roczna stopa procentowa jest równa 4,6%? 35. 5 000 zł wpłacono na poczet renty, która była wypłacana co rok przez 5 lat. Pierwsza rata wyniosła 5 500 zł, druga 4 000 zł, czwarta 000 zł i piąta 500 zł. Jaka była trzecia rata gdy roczna stopa procentowa jest równa 3,7%? 353. 700 zł wpłacono na poczet renty, która była wypłacana co rok przez 6 lat. Druga rata wyniosła 3 000 zł, trzecia 500 zł, czwarta 000 zł, piąta 500 zł i szósta 000 zł. Jaka była pierwsza rata gdy roczna stopa procentowa jest równa 5,3%? 0

354. Na jaki procent trzeba ulokować,5 mln zł by do końca życia odbierać rocznie tyle by starczyło na rentę miesięczną w wysokości tys. zł (zakładamy kapitalizację i oprocentowanie roczne, cała kwota na rentę miesięczną jest wypłacana raz w roku). 355. Na jaki procent trzeba ulokować 3, mln zł by do końca życia odbierać rocznie tyle by starczyło na rentę miesięczną w wysokości tys. zł (zakładamy kapitalizację i oprocentowanie roczne, cała kwota na rentę miesięczną jest wypłacana raz w roku). 356. Na jaki procent trzeba ulokować,7 mln zł by do końca życia odbierać rocznie tyle by starczyło na rentę miesięczną w wysokości 8 tys. zł (zakładamy kapitalizację i oprocentowanie roczne, cała kwota na rentę miesięczną jest wypłacana raz w roku). 357. Opracować plan spłaty kredytu na kwotę 7 700,00 zł oprocentowanego stopą roczną 7% i spłacanego za pomocą 3 rocznych rat (a) równych, (b) z równym kapitałem. 358. Opracować plan spłaty kredytu na kwotę 4 600,00 zł oprocentowanego stopą roczną 5% i spłacanego za pomocą 5 rocznych rat (a) równych, (b) z równym kapitałem. 359. Opracować plan spłaty kredytu na kwotę 500,00 zł oprocentowanego stopą roczną 4% i spłacanego za pomocą 8 rocznych rat (a) równych, (b) z równym kapitałem. 360. Opracować plan spłaty kredytu na kwotę 8 700,00 zł oprocentowanego stopą roczną 5,6% i spłacanego za pomocą miesięcznych rat (a) równych, (b) z równym kapitałem.

Odpowiedzi I Sumowanie skończone : 30; : 30; 3: ; 4: 093; 5: 300; 6: ; 7: 80; 8: 4; 9: 40; 0: 4; : 70; : 77 ; 3: 675; 4: 50; 5: 60; 6: 400; 7: 600; 8: 300; 9: 80; 0: 5; : 00; : 440; 3: 400; 4: 300; 5: 5; 6: 8; 7: 0; 8: 5; 9: 0,3456789; 30: 300; 3: 75; 3: 5; 33: 00; 34: 900; 35: 350; 36: 350; 37: 5; 38: 700; 39: 90; 40: 30; 4: 300; 4: 000; 43: 8 i= ; 44: 0 i=0 (4 + 7i); 45: 9 i= 0i; 46: 0 i=5 i ; 47: 0 k= 0 k k ; 48: 3 i=0 j= +5i j ; 49: 3 3 q= p= pq; 50: 4 n n= m= nm; II Granice ciągów 5: ; 5: ; 53: ; 54: ; 55: 6; 56: 4; 57: ; 58: 3; 59: ; 60: ; 6: 0; 6: 7; 63: ; 64: 3 ; 65: ; 66: 3; 67: ; 68: 6 5 ; 69: 0; 70: ; 7: nie istnieje; 7: ; 73: ; 74: ; 75: 3; 76: ; 77: 0; 78: ; 79: 0; 80: 5 ; 8: 5; 8: 3; 83: 4; 84: 0; 85: 6; 86: ; 87: 5; 88: 0; 89: 4; 90: ; 9: nie istnieje; 9: ; 93: ; 94: 9; 95: ; 96: 0; 97: ; 98: ; 99: nie istnieje; 00: -3; 0: ; III Granice funkcji 0: 5; 03: nie istnieje; 04: nie istnieje; 05: 7; 06: nie istnieje; 07: ; 08: nie istnieje; 09: nie istnieje; 0: nie istnieje; : nie istnieje; : ; 3: 4; 4: 40; 5: -7; 6: 60; 7: ; 8: 3; 9: 6; 0: 3; : 3; : ; 3: 5 ; 4: 4; 5: ; 6: ; 7: 3; 8: ; 9: 3 ; 30: nie istnieje; 3: nie istnieje; 3: ; 33: ; 34: 3 ; 35: ; 36: 5 3 ; 37: nie istnieje; 38: ; 39: 7; 40: nie istnieje; 4: nie istnieje; 4: 9; 43: ; 44: 3; 45: 4; 46: -0; 47: ; 48: ; 49: e; 50: 0; 5: 0; 5: nie istnieje; 53: nie istnieje; 54: ; 55: ; 56: ; 57: 0; 58: nie istnieje; 59: ; 60: 0; 6: nie istnieje; 6: 3 ; 63: nie istnieje; 64: ; 65: nie istnieje; 66: ; 67: ; 68: nie istnieje; 69: ; 70: e; 7: 5; 7: 3 ; 73: 4 ; 74: ; 75: ; 76: 0; 77: ; 78: e0 ; 79: e; 80: e; 8: ; 8: ; 83: ; IV Ciągłość funkcji 84: = 3; 85: = 5; 86: nie ma punktów nieciągłości; 87: = 7 i = 7; 88: = ; 89: = i = ; 90: nie ma punktów nieciągłości; 9: = 3; 9: a = 0; 93: a = 4; 94: a = 4; 95: a = 9; V Pochodne 96: 0; 97: 3 ; 98: 0 4 ; 99: 3 ; 00: 6 5 ; 0: 7 ; 0: 06: 5( e ); 07: 4 ; 08: ; 09: 0 4 0 3 + ; 0: 3+ ; : + ln ; 4: cos sin ; 5: e ( + ) + ; 6: 0: - sin + ; : ( +) ; 4 sin cos ; 8: + + ; : 6(3 + ) (3 +) ; 3: 9: sin cos cos sin ; 34: 6(+) ; 35: ( + ) e ; 36: 3 ( ; 37: + ) e e (e +) ; 4: (+) ; 43: e (e ) ; 44: e ; 45: 4 ( +) ; 5: 3 + ; 53: e + e ; 54: ; 03: π sin ; 04: 3 ; 05: cos + sin ; 3 (0 + 3); : 5 + ; 3: ( + )e 4 ; 7: (+) ; 8: ( +) ; 9: (3+) ; ln e ; 4: e ; 5: π sin( π ); 6: 3 ( 4 + ) 4 ; 7: e / 30: ; 3: (cos sin ); 3: 6 + 6 + 6; 33: ; 3 (+) ; 38: 3+ + ; 39: ( ) ; 40: 3 ; 4: 3 tg cos ; 46: 3 ; 47: ; 48: e ; 49: 4e ; 50: ln ; 5: ; 55: 0; 56: 3 + ; 57: ; 58: ; + ln( ) 59: ln( ) + ; 60: 4 ln( ) e ; 6: e + ; 6: ; 63: ; 64: ; 65: ; 66: 0 + 6 + ; 67: + ; 68: e ; 69: + ln ln ln ln ; 70: z ln ; 7: 0; 7: ; 73: ; VI Ekstrema funkcji jednej zmiennej 74: ma: 3 ; 75: nie ma; 76: ma: 3, min: 3; 77: ma: 4 9, min: 4 9 ; 78: ma:, min: ; 79: ma: 5, min: 5 ; 80: ma: 4 3, min: 4 3 ; 8: ma: +, min: ; 8: ma: 0, min: 7 i 7; 83: ma:, min: 7; 84: ma: + 3 3, min: 3 3; 85: min: ; 86: min: 0; 87: min: 3; 88: ma:, min: 0; 89: ma: 3 i 3, min: 0; 90: min: ; 9: ma: 4 ; 9: min: ; 93: min: 3 ; 94: ma: 0; 95: min: 3 ; 96: nie ma; 97: min: ;

VII Zastosowanie ekonomiczne pochodnej 98: E f (0,5) = ; 99: E f () = 5; 300: K k () = 3 3 ; 30: K k () = 4 3 + 0 + 6 3 ; VIII Matematyka finansowa 30: 5 lat; 303: 0 lat; 304: 6 lat; 305: 0 miesięcy; 306: 64 533,5; 307: 75 837,40; 308: po 4 latach; 309: 6 lat; 30: 0 miesięcy; 3: 089,7; 3: 4 735,80; 33: 6 69,98; 34: 3 985,39; 35: 94,7; 36: 63,; 37: 36,8; 38: 3 689 6,60; 39: 77 9,43; 30: 5 858 96,9; 3: 3 700 60,7; 3: 6 55 578,5; 33: 67 03,73; 34: 4 039,4; 35: 9 503 88,99; 36: 7 35,79; 37: 5 673 947,9; 38: nie; 39: tak; 330: tak; 33: tak; 33: nie; 333: tak; 334: nie; 335: tak; 336: tak; 337: nie; 338: tak; 339: 5 68,95; 340: 96,; 34: 5695,8; 34: 756,6; 343: 9 073,58; 344: 904,90; 345: 0,99; 346: 94,88; 347: 4 67,9; 348: 63 69,83; 349: 36 8,6; 350: 4 05,03; 35: 3 89,80; 35: 3 34,3; 353: 3 5,00; 354: 8,8%; 355: 4,5%; 356: 8,0%; Rata Kapitał Kapitał Odsetki Rata Rata Kapitał Kapitał Odsetki Rata 357: (a) 7 700,00 5 505,6 39,00 6 744,6, (b) 7 700,00 5 900,00 39,00 7 39,00 ; 94,39 5 89,0 853,6 6 744,6 800,00 5 900,00 86,00 6 76,00 3 6 303,38 6 303,38 44,4 6 744,6 3 5 900,00 5 900,00 43,00 6 33,00 Rata Kapitał Kapitał Odsetki Rata Rata Kapitał Kapitał Odsetki Rata 4 600,00 4 45,98 30,00 5 68,98 4 600,00 4 90,00 30,00 6 50,00 358: (a) 0 48,0 4 674,58 007,40 5 68,98, (b) 9 680,00 4 90,00 984,00 5 904,00 ; 3 5 473,44 4 908,3 773,67 5 68,98 3 4 760,00 4 90,00 738,00 5 658,00 4 0 565,3 5 53,7 58,6 5 68,98 4 9 840,00 4 90,00 49,00 5 4,00 5 5 4,4 5 4,4 70,57 5 68,98 5 4 90,00 4 90,00 46,00 5 66,00 Rata Kapitał Kapitał Odsetki Rata Rata Kapitał Kapitał Odsetki Rata 500,00 356,60 500,00 856,60 500,00 56,50 500,00 06,50 43,40 40,86 445,74 856,60 0 937,50 56,50 437,50 000,00 359: (a) 3 9 73,54 467,30 389,30 856,60 3 9 375,00 56,50 375,00 937,50, (b) 4 8 65,4 55,99 330,6 856,60 4 7 8,50 56,50 3,50 875,00 ; 5 6 739,6 587,03 69,57 856,60 5 6 50,00 56,50 50,00 8,50 6 5 5,3 650,5 06,09 856,60 6 4 687,50 56,50 87,50 750,00 7 3 50,7 76,53 40,07 856,60 7 3 5,00 56,50 5,00 687,50 8 785,9 785,9 7,4 856,60 8 56,50 56,50 6,50 65,00 Rata Kapitał Kapitał Odsetki Rata Rata Kapitał Kapitał Odsetki Rata 8 700,00 706,58 40,60 747,8 8 700,00 75,00 40,60 765,60 7 993,4 709,88 37,30 747,8 7 975,00 75,00 37, 76, 3 7 83,54 73,9 33,99 747,8 3 7 50,00 75,00 33,83 758,83 4 6 570,35 76,5 30,66 747,8 4 6 55,00 75,00 30,45 755,45 360: (a) 5 5 853,84 79,86 7,3 747,8 5 5 800,00 75,00 7,07 75,07, (b) 6 5 33,98 73, 3,96 747,8 6 5 075,00 75,00 3,68 748,68 ; 7 4 40,75 76,60 0,58 747,8 7 4 350,00 75,00 0,30 745,30 8 3 684,6 79,99 7,9 747,8 8 3 65,00 75,00 6,9 74,9 9 954,7 733,39 3,79 747,8 9 900,00 75,00 3,53 738,53 0 0,78 736,8 0,36 747,8 0 75,00 75,00 0,5 735,5 483,96 740,5 6,93 747,8 450,00 75,00 6,77 73,77 743,7 743,7 3,47 747,8 75,00 75,00 3,38 78,38 3