Elementy klasycznej geometrii euklidesowej

Elementy klasycznej geometrii euklidesowej Maciej Czarnecki Katedra Geometrii Uniwersytetu Łódzkiego maczar@math.uni.lodz.pl Spis treści 1 Geometria euklidesowa 1.1 Przestrzeń liniowa, afiniczna i euklidesowa........................ 1. Norma, odległość, kąt.................................... 1.3 Podprzestrzenie afiniczne.................................. 3 1.4 Figury wypukłe....................................... 4 1.5 Przekształcenia afiniczne.................................. 5 1.6 Symetralna odcinka i dwusieczna kąta płaskiego..................... 6 Wielokąty 8.1 Definicja i podstawowe własności wielokąta........................ 8. Własności miarowe w trójkącie............................... 8.3 Twierdzenia Cevy i Menelausa............................... 10.4 Czworokąty......................................... 13.5 Wielokąty foremne..................................... 15 3 Wielościany 16 3.1 Definicja i podstawowe własności wielościanu....................... 16 3. Wielościany foremne.................................... 16 4 Izometrie płaszczyzny 18 4.1 Rozkład izometrii na symetrie osiowe........................... 18 4. Izometrie parzyste..................................... 18 4.3 Izometrie nieparzyste.................................... 19 4.4 Klasyfikacja izometrii płaszczyzny............................. 1 1

1 Geometria euklidesowa 1.1 Przestrzeń liniowa, afiniczna i euklidesowa Rozważamy przestrzeń liniową R n, n, czyli zbiór {x = (x 1,..., x n ) ; x 1 R,..., x n R} z działaniami: dodawania wektorów x + y = (x 1 + y 1,..., y 1 + y n ) dla x, y R n oraz mnożenia wektora przez skalar a x = (ax 1,..., ax n ) dla x R n, a R. Działanie dodawania wektorów jest więc łączne i przemienne oraz ma element neutralny θ = (0,..., 0) oraz każdy wektor x ma wektor przeciwny x = ( x 1,..., x n ). Ponadto mnożenie wektora przez skalar jest rozdzielne względem dodawania wektorach i względem dodawania skalarów, ma własność mieszanej łączności (czyli a (b x) = (ab) x) oraz 1 x = x dla x R n. W przestrzeni R n określony jest (standardowy) iloczyn skalarny x, y = x 1 y 1 +... + x n y n. Rozważamy także strukturę punktów i wektorów zwaną przestrzenią afiniczną E n, w której zbiorem punktów jest zbiór n tek liczb rzeczywistych, funkcję przestrzeni liniowej pełni R n, a operacja przypisana dwóm punktom wektora jest dana wzorem pq = q p = (q1 p 1,..., q n p n ). Wówczas dla każdego punktu p E n oraz każdego wektora v R n istnieje dokładnie jeden taki punkt q E n, że pq = v oraz spełniona jest dla dowolnych punktów równość trójkąta pq + qr = pr. Definicja 1.1.1. (Standardową) n wymiarową przestrzenią euklidesową nazywamy przestrzeń afiniczną E n wraz z określonym w przestrzeni jej wektorów R n standardowym iloczynem skalarnym. 1. Norma, odległość, kąt Definicja 1..1. Normą (lub długością) wektora v nazywamy liczbę (nieujemną) v = v, v. Kątem pomiędzy niezerowymi wektorami v, w nazywamy liczbę (v, w) = arc cos v, w v w. Mówimy także, że dwa wektory są prostopadłe, gdy mają zerowy iloczyn skalarny (o ile są niezerowe tworzą wtedy kąt π ). Definicja 1... Odległością punktów p, q nazywamy liczbę (nieujemną) pq = pq = q p.

Twierdzenie 1..3 (nierówność Schwarza). Dla dowolnych wektorów v, w spełniony jest warunek v, w v w, a równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy wektory są równoległe (czyli jeden jest iloczynem drugiego przez skalar). Wniosek 1..4 (nierówność trójkąta). Dla dowolnych punktów p, q, r: pr pq + qr, przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy punkt q leży na odcinku pr (czyli gdy dla pewnej liczby a [0, 1] zachodzi równość pq = a pr). Twierdzenie 1..5 (twierdzenie cosinusów). Dla dowolnych niezerowych wektorów v, w: v + w = v + w + v w cos (v, w). Wniosek 1..6 (twierdzenie Pitagorasa). Równość v + w = v + w spełniona jest wtedy i tylko wtedy, gdy wektory v, w są prostopadłe. 1.3 Podprzestrzenie afiniczne Definicja 1.3.1. Podprzestrzenią afiniczną przestrzeni afinicznej E n nazywamy zbiór postaci p + U = {p + u ; u U}, gdzie p jest punktem, a U podprzestrzenią liniową przestrzeni liniowej R n. Prosta (odpowiednio płaszczyzna, hiperpłaszczyzna) jest podprzestrzenią afiniczną wymiaru 1 (odpowiednio, n 1). Przykład 1.3.. Podprzestrzeń afiniczna 0 wymiarowa jest pojedynczym punktem, prostą można zapisać jako p, p+v = p+lin (v), gdzie v θ, zaś płaszczyznę w postaci p, p+v, p+w = p+lin (v, w), gdzie v, w są wektorami liniowo niezależnymi. Hiperpłaszczyznę można określić przez jej dopełnienie ortogonalne pisząc p + u, gdzie u jest niezerowym (często po prostu jednostkowym) wektorem prostopadłym do wszystkich wektorów tej hiperpłaszczyzny. Definicja 1.3.3. Podprzestrzenie afiniczne H 1 = p 1 + U 1, H = p + U są równoległe, co zapisujemy H 1 H, gdy U 1 U lub U U 1. Definicja 1.3.4. Załóżmy, że podprzestrzenie afiniczne H 1 = p 1 +U 1, H = p +U mają co najwyżej jeden punkt wspólny. Wówczas kątem pomiędzy podprzestrzeniami H 1, H nazywamy liczbę (H 1, H ) = min{ (u 1, u ) ; u 1 U 1, u U }. Uwaga 1.3.5. Określa się także w nieco inny sposób kąt pomiędzy dwiema hiperpłaszczyznami jako kąt pomiędzy ich wektorami normalnymi (czyli prostopadłymi do tych hiperpłaszczyzn). 3

1.4 Figury wypukłe Definicja 1.4.1. Odcinkiem o końcach p, q E n, gdzie p q, nazywamy zbiór pq = {p + a pq ; a [0, 1]} = {αp + βq ; α, β 0, α + β = 1}. Trójkątem o wierzchołkach p, q, r E n, gdzie punkty p, q, r są niewspółliniowe, nazywamy zbiór pqr = {p + a pq + b pr ; a, b 0, a + b 1} = {αp + βq + γr ; α, β, γ 0, α + β + γ = 1}. Analogicznie czworościan (odpowiednio sympleks k wymiarowy) jest zbiorem wszystkich środków ciężkości o nieujemnych wagach swoich czterech niewspółpłaszczyznowych (odpowiednio k + 1 nie leżących na żadnej k wymiarowej podprzestrzeni afinicznej) wierzchołków. Definicja 1.4.. Dla danej prostej L oraz punktów p, q L, p q. Półprostą o początku p wyznaczoną na L przez punkt q nazywamy zbiór pq = {p + a pq ; a 0}. Półpłaszczyznę na płaszczyźnie P o krawędzi L = p + lin (v) wyznaczoną przez punkt q P \ L określamy jako Lq = {p + a pq + bv ; a 0, b R} = {p + a pq + w ; a 0, w L}. Analogicznie określamy półprzestrzeń wyznaczoną przez płaszczyznę w E 3 i punkt nie należący do tej płaszczyzny. Definicja 1.4.3. Kąt płaski o wierzchołku p i ramionach wyznaczonych przez wektory nierównoległe u, v jest zbiorem p + u, p, p + v = upv = {p + au + bv ; a, b 0}. Jeżeli dane są trzy (odpowiednio n 4) wektory niewspółpłaszczyznowe można określić kąt trójścienny (odpowiednio kąt n ścienny) o wierzchołku p i wyznaczonych przez te wektory krawędziach jako (p; u, v, w) = {p + au + bv + cw ; a, b, c 0} (odpowiednio przez nieujemne kombinacje liniowe danych wektorów). Uwaga 1.4.4. Można określić kąt dwuścienny pomiędzy płaszczyznami P 1, P przecinającymi się wzdłuż prostej L wskazując wybranym punktem jeden z czterech obszarów ograniczonych tymi dwiema płaszczyznami. Definicja 1.4.5. Kulą (odpowiednio sferą) o środku w punkcie p i promieniu R > 0 nazywamy zbiór B(p, R) (odpowiednio S(p, r)) wszystkich punktów przestrzeni odległych od p o co najwyżej R (odpowiednio: o R). Koło (odpowiednio okrąg) jest kulą (odpowiednio sferą) na płaszczyźnie E. Definicja 1.4.6. Mówimy, że podzbiór A E n jest wypukły, jeżeli dla dowolnych punktów p, q A zbiór A zawiera odcinek pq. Przykład 1.4.7. Wszystkie sympleksy, kąty n ścienne i kule są wypukłe, a żadna ze sfer nie jest wypukła. Aby określić niewypukły kąt płaski (odpowiednio n ścienny) należy rozważyć dopełnienie kąta wraz z jego ramionami (ścianami). 4

1.5 Przekształcenia afiniczne Definicja 1.5.1. Przekształcenie f przestrzeni E n na siebie spełniające warunek f(x) f(y) = xy dla x, y E n nazywamy izometrią. Podobieństwem o skali k > 0 jest przekształcenie E n na siebie takie, że f(x) f(y) = k xy dla x, y E n. Definicja 1.5.. Niech H = p + U oraz K = q + W będą podprzestrzenia mi afinicznymi przestrzeni E n takimi, że U W = R n. Dla dowolnego punktu x E n jego rzutem równoległym na podprzestrzeń H w kierunku podprzestrzeni K nazywamy jedyny punkt π K H (x) H (x + W ). Rzut prostopadły na podprzestrzeń H jest rzutem równoległym na H w kierunku U ; oznaczamy go przez π H. Definicja 1.5.3. Translacją o wektor v R n nazywamy przekształcenie T v : E n E n dane wzorem T v (x) = x + v dla x E n. Definicja 1.5.4. Symetrią względem podprzestrzeni afinicznej H E n nazywamy przekształcenie s H : E n E n dane wzorem s H (x) = x + x π H (x) dla x E n. Gdy H = {p} mówimy o symetrii środkowej względem punktu p, wtedy s p (x) = p x, natomiast gdy H = p + u jest hiperpłaszczyzną i u = 1, to symetria hiperpłaszczyznowa wyraża się wzorem s H (x) = x x p, u u. Twierdzenie 1.5.5. Niech H E n będzie przestrzenią afiniczną. Wówczas 1. s H s H = id E n,. s H jest izometrią, 3. s H (x) = x wtedy i tylko wtedy, gdy x H. Definicja 1.5.6. Obrotem [ płaszczyzny] E dookoła początku układu o kąt α nazywamy przekształcenie R α dane macierzą. Obrót Rp sin α cos α α dookoła punktu p E określamy przez złożenie cos α sin α T p R α T p. Przekształcenie ortogonalne jest dane macierzą ortogonalną, czyli należącą do zbioru O(n) = {A M nn ; AA T = A T A = I}. Definicja 1.5.7. Jednokładnością o środku p i skali s 0 nazywamy przekształcenie J s p : E n E n dane wzorem J s p(x) = p + s px = (1 s)p + sx dla x E n. 5

Twierdzenie 1.5.8 (Mazura Ulama). Każda izometria przestrzeni E n jest złożeniem przekształcenia ortogonalnego z translacją. Wniosek 1.5.9. Każde podobieństwo przestrzeni E n jest złożeniem jednokładności, przekształcenia ortogonalnego i translacji. Przykład 1.5.10. Każda izometria płaszczyzny E jest złożeniem symetrii osiowej lub tozsamości z obrotem i translacją, a każde podobieństwo płaszczyzny jest złożeniem symetrii osiowej lub tozsamości z obrotem, jednokładnością i translacją. 1.6 Symetralna odcinka i dwusieczna kąta płaskiego Definicja 1.6.1. Symetralną odcinka pq, gdzie p q, nazywamy hiperpłaszczyznę sym pq = 1 p + 1 q + ( pq) Stwierdzenie 1.6.. Symetralna odcinka jest jego hiperpłaszczyną symetrii, tzn. jeżeli H = sym pq, to s H (pq) = pq. Dowód. Z nierówności trójkąta i inwolutywności symetrii wynika, że wystarczy wykazać równość s H (p) = q. Zauważmy, że hieprpłaszczyzna H przechodzi przez punkt 1p + 1 q i jej jednostkowym wektorem normalnym jest u = q p. Ze wzoru na symetrię hiperpłaszczyznową mamy więc q p s H (p) =p p 1 p 1 q, q p q p q p q p = p p q, q p q p q p = p + q p = q. Stwierdzenie 1.6.3. Symetralna odcinka jest zbiorem wszystkich punktów równo odległych od końców tego odcinka. Dowód. Niech H będzie symetralną odcinka pq, zaś E = {x E n ; xp = xq }. Aby pokazać zawieranie H E zauważmy, że punkt x H można przedstawić w postaci x = 1 p + 1 q + v, gdzie v q p. Stąd i z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy xp 1 = (p q) v 1 = (p q) + v 1 = (q p) + v 1 == (q p) v = xq, czyli x E. Niech teraz x E. Wówczas p x = q x, co pociąga za sobą p q = p q, x. Stąd rzutem prostopadłym punktu x na prostą pq jest punkt 1 x p, q p π pq (x) = p+ (q p) = p+ q 1 p p, q + p (q p) = p+ 1 q p q p (q p) = 1 p+ 1 q. Tym samym x 1 p + 1 q + ( pq) = H. Definicja 1.6.4. Dwusieczną kąta płaskiego upv nazywamy półprostą pw, gdzie w = u u + v v. Stwierdzenie 1.6.5. Na płaszczyźnie E dwusieczna kąta płaskiego jest zawarta w jego osi symetrii. 6

Dowód. Przyjmijmy od razu, że wektory u i v wyznaczajace kąt płaski upv są jednostkowe; wtedy wektorem wyznaczajacym dwusieczną tego kąta jest jest wektor w = u + v, zaś wektorem normalnym do prostej L = p+lin (w) jest v u. Z założeń i nierówności Schwarza wynika także dodatniość liczby t = v u = (1 u, v ). Dowolny punkt kąta jest postaci x = p + au + bv, gdzie a, b 0. Ze wzoru na symetrię hiperpłaszczyznową (dim L = 1 = dim E 1) otrzymujemy skąd s L (x) upv. s L (x) =p + au + bv au + bv, v u v u v u v u =p + au + bv ( a + b + a u, v b u, v ) (v u) t =p + au + bv t (b a) t (v u) = p + bu + av, Stwierdzenie 1.6.6. Na płaszczyźnie E dwusieczna kąta płaskiego jest zbiorem wszystkich punktów tego kąta równo odległych od ramion tego kąta. Dowód. Załóżmy, że wektory u i v wyznaczajace kąt płaski upv są jednostkowe; wiemy wtedy, że v+w wyznacza dwusieczną, zatem punkt kąta postaci x = p+au+bv, a, b 0, nalezy do dwusiecznej wtedy i tylko wtedy, gdy a = b. Obliczymy odległość punktu kąta od ramienia pu. Dla x = p + au + bv, a, b 0, jest to długość składowej wektora px prostopadłej do wektora u. Ponieważ kierunek prostopadły do u w E wyznacza wektor u = v u, v u o długości u = 1 u, v > 0, więc d (x, pu ) = x p, u u = au + bv, v u, v u 1 u, v = b b u, v 1 u, v = b. Podobnie d (x, pv ) = a. Zatem x jest równo odległy od ramion kąta wtedy i tylko wtedy, gdy a = b, czyli gdy należy do dwusiecznej. 7

Wielokąty.1 Definicja i podstawowe własności wielokąta Definicja.1.1. Wielokątem nazywamy spójny podzbiór płaszczyzny, który jest sumą mnogościową takiej rodziny trójkątów, że część wspólna dowolnych dwóch spośród nich jest ich wspólnym bokiem lub wspólnym wierzchołkiem lub zbiorem pustym. Każdy taki podział wielokąta nazywamy triangulacją. Definicja.1.. Punkt danego wielokąta, który przy dowolnej triangulacji jest wierzchołkiem trójkąta triangulacji nazywamy wierzchołkiem wielokąta. Bok wielokąta to odcinek łączący jego wierzchołki, który przy dowolnej triangulacji zawiera bok pewnego trójkąta tej triangulacji. Definicja.1.3. Wielokąt o spójnym wnętrzu i n bokach (lub, co na jedno wychodzi, n wierzchołkach), n 3, nazywamy n kątem. Kątem wewnętrznym n kąta nazywamy miarę kąta płaskiego, o wierzchołku w wierzchołku wielokąta, wyznaczonego przez jedyne dwa boki, których wspólnym końcem jest ten wierzchołek. Definicja.1.4. Okrąg zawierający wszystkie wierzchołki danego wielokąta nazywamy okręgiem opisanym na tym wielokącie, zaś okrąg zawarty w wielokącie i styczny do wszystkich prostych zawierających boki tego wielokąta nosi nazwę okręgu wpisanego w tenże wielokąt. Uwaga.1.5. Istnienie okręgu opisanego na n kącie lub wpisanego w n kąt zależy od rozważanego wielokąta i jest pewnego tylko dla n = 3. Definicja.1.6. Polem wielokąta P nazywamy liczbę P (P) równą sumie pól trójkątów pewnej triangulacji wielokąta P. Uwaga.1.7. Pole trójkąta rozpiętego na wektorach v, w określamy jako P ( (p, p + v, p + w)) = 1 a pole wielokąta nie zależy od wyboru triangulacji. det G(v, w) = 1 v w v, w,. Własności miarowe w trójkącie Definicja..1. W trójkącie ABC oznaczamy standardowo: długości boków: a = BC, b = CA, c = AB, miary kątów wewnętrzmnych: α = ( AB, AC ), β = ( BA, BC ), γ = ( CA, CB ), obwód: p = a + b + c, pole: P, promień okręgu opisanego: R, promień okręgu wpisanego: r. Twierdzenie.. (cosinusów). Przy oznaczeniach standardowych w ABC: c = a + b ab cos γ. 8

Twierdzenie..3 (sinusów). Przy oznaczeniach standardowych w ABC: a sin α = b sin β = c sin γ = R. Twierdzenie..4 (suma kątów w trójkącie). Przy oznaczeniach standardowych w ABC: Definicja..5. W danym trójkącie określamy: α + β + γ = π. symetralną boku jako symetralna odcinka będącego bokiem trójkąta, dwusieczną kąta wewnętrznego jako dwusieczną kąta płaskiego wyznaczonego przez wektory prowadzące od ustalonego wierzchołka trójkąta do pozostałych wierzchołków, środkową odcinek łączący wierzchołek ze środkiem przeciwległego boku, wysokość odcinek łączący wierzchołek z jego rzutem prostopadłym na prostą zawierającą przeciwległy bok. Twierdzenie..6 (wzory na pole trójkąta). Przy oznaczeniach standardowych w ABC: 1. P = 1 ah a, gdzie h a = d(a, BC),. P = 1 ab sin γ, 3. P = p(p a)(p b)(p c), 4. P = pr, 5. P = abc 4R, 6. P = R sin α sin β sin γ. Stwierdzenie..7 (długość środkowej). Przy oznaczeniach standardowych w ABC środkowa boku a ma długość: b + c m a = a Dowód. Niech A 1 będzie środkiem boku BC, wtedy BA 1 = CA 1 = a. Oznaczmy ϕ = AA 1B, wówczas AA 1 C = π ϕ. Oznaczając m a = AA 1 i stosując twierdzenie cosinusów do trójkątów ADB i ADC otrzymujemy: ( ) a c = + m a am a cos ϕ, ( ) a b = + m a am a cos(π ϕ). Dodając stronami i pamiętając, że cos(π ϕ) = cos ϕ dostajemy równość równoważną tezie. b + c = 1 a + m a 9

Twierdzenie..8 (o dwusiecznej kąta wewnętrznego w trójkącie). Dwusieczna kąta wewnętrznego w trójkącie dzieli bok przeciwległy na odcinki proporcjonalne do boków odpowiednio przyległych do tego kąta. Przy oznaczeniach standardowych w ABC, jeżeli D jest punktem przecięcia boku BC dwusieczną kąta płaskiego BAC oraz BD = a 1, CD = a, to a 1 = c a b, skąd także a 1 = ac b + c, a = ab b + c. Dowód. Oznaczmy ϕ = ADB, wówczas ADC = π ϕ. Stosując twierdzenie sinusów do trójkątów ADB i ADC otrzymujemy: a 1 sin α = c sin ϕ, a sin α = b sin(π ϕ), skąd a 1 a = c b, bo sin(π ϕ) = sin ϕ. Druga cześć tezy wynika z pierwszej i równości a 1 + a = a..3 Twierdzenia Cevy i Menelausa Twierdzenie.3.1 (Cevy). Dla danego trójkąta ABC niech punkty D, E, F / {A, B, C} leżą na prostych odpowiednio BC, CA, AB w taki sposób, że BD = k DC, CE = l EA, AF = m F B. Wówczas proste AD, BE, CF przecinają się w dokładnie jednym punkcie lub są parami równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy klm = 1. Dowód. Z założenia wynika, że k, l, m 1 (bo wtedy B = C lub C = A lub A = B) oraz D = 1 k + 1 B + k k + 1 C, E = 1 l + 1 C + l l + 1 A, F = 1 m + 1 A + m m + 1 B. ) Załóżmy najpierw, że proste AD, BE, CF przecinają się w punkcie O. Wówczas istnieją liczby rzeczywiste d, e, f takie, że Podstawiając za D, E, F widzimy, że O = (1 d)a + d k + 1 B + O = (1 d)a + dd = (1 e)b + ee = (1 f)c + ff. dk k + 1 C = el A + (1 e)b + e l + 1 l + 1 C = f m + 1 A + fm B + (1 f)c. m + 1 Przedstawienie punktu O jako środka ciężkości trzech niewspółliniowych punktów A, B, C jest jednoznaczne, otrzymujemy więc mnożąc współczynniki przy A, B, C w różnych postaciach, że def (k + 1)(l + 1)(m + 1) = def klm (k + 1)(l + 1)(m + 1), skąd klm = 1 (bo gdyby np. d = 0, mielibyśmy O = A, a więc także e = f = 1 i A = O = E = F sprzecznie z założeniem). 10

Gdy proste AD, BE, CF są parami równoległe, to podobnie parami równoległe są wyznaczające je wektory: AD = 1 BE = 1 CF = 1 AB + k AC k + 1 k + 1 BC + l BA = AB + 1 AC l + 1 l + 1 l + 1 CA + m CB = m AB AC m + 1 m + 1 m + 1 Pary wektorów równoległych mają zerowe wyznaczniki złożone z ich współrzędnych w bazie ( AB, AC ) : skąd k = 1 l+1 1 k+1 k k+1 1 1 l+1 oraz m = l+1 l. Tym samym klm = 1. 1 = 0, 1 l+1 m 1 = 0, m+1 ) Załóżmy, że klm = 1, czyli m = 1 kl. Dowolny punkt prostej AD, odpowiednio BE, ma postać (1 d)a + d k + 1 B + dk k + 1 C, el A + (1 e)b + e l + 1 l + 1 C, Zatem punkt wspólny prostych AD i BE istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy układ 1 d = el l + 1, o niewiadomych d, e oraz macierzy uzupełnionej d k + 1 = 1 e, l 1 1 l+1 1 M = 1 1 k+1 k 1 0 k+1 l+1 dk k + 1 = e l + 1 gdzie d, e R posiada rozwiązanie, to zaś ze względu na niezerowy minor powstały przez skreślenie pierwszego wiersza i pierwszej kolumny oraz det M = 0 zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy nie wszystkie minory powstałe przez skreślanie ostatniej kolumny są równe 0, to zaś równoważne jest warunkowi kl + k + 1 0. Niech więc najpierw kl + k + 1 0. Wówczas ze wzorów Cramera otrzymujemy i punktem współnym prostych AD, BE jest O = d = k + 1 k(l + 1), e = kl + k + 1 kl + k + 1 kl kl + k + 1 A + 1 kl + k + 1 B + k kl + k + 1 C. Z założenia mamy, że F = kl A + 1 B i wystarczy przyjąć f = kl+1, aby zauważyć, że (1 kl+1 kl+1 kl+k+1 f)c + ff = O. Tym samym proste AD, BE, CF przecinają się w punkcie O. Jeżeli zaś kl + k + 1 = 0, to l = k+1 = 1 1 i m = 1 = 1, skąd k k kl k+1 E = kc + (k + 1)A, F = k + 1 k A 1 k B. 11

Zatem wektory BE = (k + 1)A B kc, CF = k + 1 k A 1 k B C są równoległe do wektora AD = A+ 1 B + k C, co oznacza równoległość prostych AD, BE, CF. k+1 k+1 Twierdzenie.3. (Menelausa). Przy oznaczeniach i założeniach jak w twierdzeniu Cevy punkty D, E, F są współliniowe wtedy i tylko wtedy, gdy klm = 1. Dowód. ) Z założenia więc, że D E F D oraz klm = 1, czyli m = 1 kl. Wówczas D = 1 k + 1 B + k k + 1 C, E = 1 l + 1 C + Wyrażając za pomocą k, l wektory DE = l l + 1 A 1 ( 1 k + 1 B + l + 1 k ) C = k + 1 DF = kl ( kl 1 A + 1 kl 1 1 ) B k + 1 k k + 1 C = l kl A, F = l + 1 kl 1 A 1 kl 1 B. l l + 1 A 1 k + 1 B kl 1 (k + 1)(l + 1) C kl kl 1 A k(l + 1) (kl 1)(k + 1) B k k + 1 C widzimy, że przyjmując α = k(l+1) otrzymujemy kl 1 DF = αde, co oznacza współliniowość punktów D, E, F. ) Jeżeli punkty D, E, F są współliniowe i parami różne, to istnieje liczba α taka, że DF = αde. Zatem αl l + 1 A α α(kl 1) B k + 1 (k + 1)(l + 1) C = 1 m + 1 A + km 1 (k + 1)(m + 1) B k k + 1 C i α = l+1 = k(l+1) l(m+1) kl 1, co upraszcza się do klm = 1. Wniosek.3.3. Przy oznaczeniach i założeniach jak w twierdzeniu Cevy oraz dodatkowym założeniu, że punkty D, E, F leżą odpowiednio na bokach BC, CA, AB proste AD, BE, CF przecinają się w dokładnie jednym punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy klm = 1. Dowód. Dodatkowe założenie oznacza dodatniość liczb k, l, m, co powoduje, że proste AD, BE, CF nie mogą być równoległe. Wniosek.3.4. Środkowe w trójkącie przecinają się w dokładnie jednym punkcie, który jest środkiem ciężkości tego trójkąta. Dowód. Ponieważ D, E, F są środkami odcinków, więc k = l = m = 1. Wniosek.3.5. Dwusieczne kątów wewnętrznych trójkąta przecinają się w dokładnie jednym punkcie, który jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt. Dowód. Z twierdzenia o dwusiecznej wynika (oznaczenia standardowe), że skąd klm = 1. k = c b, l = a c, m = b a, Wniosek.3.6. Proste zawierające wysokości trójkąta przecinają się w dokładnie jednym punkcie, który jest ortocentrum tego trójkąta. 1

Dowód. Dla trójkąta prostokątnego teza jest oczywista, ponieważ przyprostokatne są wysokościami, a trzecia z wysokości zawiera także wierzchołek kąta prostego. Możemy więc dalej założyć, że trójkąt nie jest prostokątny. Jeżeli D jest spodkiem wysokości opuszczonej z punktu A oraz dodatkowo D BC, to BD = c cos β oraz DC = b cos γ (oznaczenia standardowe), skąd k = c cos β. Równość ta pozostaje w mocy, gdy b cos γ punkt D leży poza odcinkiem BC, wtedy jeden z kątów β, γ jest rozwarty. Analogicznie l = a cos γ, m = b cos α, co daje klm = 1. c cos α a cos β Symetralne boków trójkąta na ogół nie przechodzą przez przeciwległy wierzchołek, ale mają własność analogiczną do powyższych. Wniosek.3.7. Symetralne boków trójkąta przecinają się w dokładnie jednym punkcie, który jest środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie. Dowód. Zauważmy, że z nierównoległości boków trójkąta wynika nierównoległość ich symetralnych, bo są do boków prostopadłe. Niech O bedzie punktem przecięcia symetralnym boków BC i CA. Wówczas z 1.6.3 mamy, że OB = OC i OC = OA, co razem daje OA = OB. Korzystając ponownie z 1.6.3 widzimy, że punkt O należy także do symetralnej boku AB..4 Czworokąty Definicja.4.1. Równoległobokiem o wierzchołku p rozpiętym na nierównoległych wektorach u, v nazywamy zbiór P(p; u, v) = {p + au + bv ; a, b [0, 1]}. Równoległoobok P(p; u, v) jest rombem, gdy u = v, a kwadratem, gdy ponadto u v; sam ostatni warunek określa prostokąt. Definicja.4.. Trapezem nazywamy czworokąt, w którym pewną parę boków opisują wektory równoległe. Trapez równoramienny to trapez nie będący równoległobokiem, w którym boki nierównoległe mają równe długości. Twierdzenie.4.3 (o kątach w kole). Kąt środkowy w kole jest dwa razy większy niż kąt wpisany w to koło oparty na tym samym łuku. Dokładniej, jeżeli parami różne punkty A, B, C, D leżą na ustalonym okręgu o środku O oraz C ABO, D ABO, to ACB = AOB = π ADB, przy czym AOB oznacza miarę kąta wypukłego AOB. Twierdzenie.4.4 (warunek opisania okręgu na czworokącie). Na czworokącie można opisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy jego przeciwległych kątów wewnętrznych są równe. Dowód. W czworokącie ABCD oznaczmy przez α, β, γ, δ miary kątów wewnętrznych odpowiednio przy wierzchołkach A, B, C, D. ) Załóżmy, że wierzchołki czworokąta leżą na okręgu o środku O i promieniu R. Wynika stąd, że każdy kąt wewnętrzny tego czworokąta ma miarę mniejszą niż π, gdyż w przeciwnym wypadku jeden z wierzchołków leżałby wewnątrz koła. Kąty wewnętrzne o wierzchołkach A, C oparte są na dopełniających się łukach BD, a kąty środkowe oparte na tych łukach tworzą kąt pełny o mierze π, więc z twierdzenia o kątach w kole α + γ = 1 π = π. Analogicznie β + δ = π = α + γ. 13

) Załóżmy, że α + γ = β + δ. Ponieważ pewna triangulacja dowolnego czworokąta zawiera dwa trójkąty, więc suma kątów wewnetrznych czworokąta wynosi π. Zatem α + γ = β + δ = π, skąd na mocy twierdzenia sinusów promienie okręgów opisanych na trójkątach ABC i ADC są równe sobie, bo równe R = AC = AC. sin β sin δ Jeżeli O 1, O są odpowiednio środkami wspomnianych okręgów, to O 1, O l = sym AC. Na prostej l są dwa punkty odległe od punktu A o R, gdy R > AC AC, lub jeden gdy R =, punkty O 1, O mogą być więc równe (co już kończy dowód) lub symetryczne względem prostej AC. Wtedy jednak trójkąty ABC i ADC są przystające, co daje β = δ. Z założenia otrzymujemy β = δ = π, ale wówczas środki okręgów opisanych na trójkątach prostokatnych ABC i ADC leżą na środku wspólnej przeciwprostokatnej AC, czyli także O 1 = O. Twierdzenie.4.5 (warunek wpisania okręgu w czworokąt). W czworokąt wypukły można wpisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości jego przeciwległych boków są równe. W czworokąt niewypukły nie można wpisać okręgu. Dowód. Jeżeli czworokąt jest niewypukły, to jeden z jego kątów wewnętrznych, np. przy wierzchołku A ma miarę większą niż π i z jego dwusiecznej jest zawsze bliżej do wierzchołka niż któregokolwiek z boków AB, AD. Tym samym okrag styczny do dwóch pozostałych boków CB, CD po przekroczeniu przez promień wartości OA przecina już boki AB, AD i nie może być do nich styczny. W czworokącie wypukłym ABCD oznaczmy przez a, b, c, d długości boków odpowiednio AB, BC, CD, DA. ) Załóżmy, że okrąg o środku O i promieniu r jest wpisany w czworokąt ABCD. Jeżeli okrąg ten jest styczny do boków AB, BC, CD, DA odpowiednio w punktach K, L, M, N, to AK = AN, BK = BL, CL = CM, DM = DN, bo trójkąty prostokątne AKO i AN O są przystające jako posidające wspólną przyprostokatną AO oraz OK = ON = r itd. Zatem a + c = AK + KB + CM + MD = AN + LB + CL + ND = d + b. ) Załóżmy, że a+c = b+d. Niech O będzie punktem przecięcia dwusiecznych kątów wewnętrznych czworokąta ABCD przy wierzchołkach A i B (dwusieczne te nie są równoległe, bo AD BC). Oznaczmy przez K, L, M, N rzuty prostopadłe punktu O na proste odpowiednio AB, BC, CD, DA. Z własności dwusiecznej wynika, że OK = OL = ON ; oznaczmy tę wspólną wartość przez r. Z wypukłości czworokąta ABCD mamy, że kąty BAO i ABO są ostre i K leży na boku AB. Z własności dwusiecznej wynika, że tylko punkt O może być środkiem okręgu wpisanego w czworokąt ABCD. Gdyby punkt L nie leżał na odcinku BC, to a + c > b + d i podobnie dla punktu D. Zatem punkt O leży wewnątrz czworokąta i M CD. Oznaczając x = OM oraz a 1 = AK, a = KB, b 1 = BL, b = LC, c 1 = CM, c = MD, d 1 = DN, d = NA otrzymujemy skąd po odjęciu stronami OD = x + c = r + d 1, OC = x + c 1 = r + b, c 1 c = b d 1 lub inaczej c(c 1 c ) = (b + d 1 )(b d 1 ), co jednak wraz z założeniem daje (b + d a)(c 1 c ) = (b + d 1 )(b d 1 ), awięc (b + d 1 )((c 1 c ) (b d 1 )) = 0. 14

Ostatecznie c 1 + c = b d 1, c 1 c = b d 1, skąd c 1 = b, c = d 1, ale wtedy r = x, czyli okrąg o środku O i promieniu r jest także styczny do boku CD. Przykład.4.6. Dla równoległoboku warunkiem równoważnym opisania na nim okręgu jest bycie prostokątem, wpisania w ten równoległobok okręgu bycie rombem. Na każdym trapezie równoramiennym można opisać okrąg..5 Wielokąty foremne Definicja.5.1. Wielokątem foremnym nazywamy wielokąt wypukły o wszystkich bokach równej długości i wszystkich kątach wewnętrznych równych. Twierdzenie.5.. Dla dowolnego n 3 i dowolnego a > 0 istnieje (z dokładnością do izometrii) dokładnie jeden n kąt foremny o boku długości a. Dowód. Dla ustalonego b > 0 i n 3 rozważmy pierwiastki stopnia n tego z liczby b na płaszczyźnie zespolonej, czyli punkty w k = n b ( cos πk n ) πk + i sin, k = 0, 1,..., n 1. n Zauważmy, że dla dowolnego k spełniony jest warunek w k 1 0w k = π jak również w n k 1w k w k+1 = n π, czyli wielokąt w n 0w 1... w n 1 ma wszystkie katy wewnętrzne równe. Trójkat w k 1 0w k ma ramiona o długości n b, więc z twierdzenia cosinusów otrzymujemy długość podstawy ( Dla b = a sin π n w k 1 w k = n b 1 cos π n = n b sin π n ) n wielokąt w0 w 1... w n 1 ma wszystkie boki długości a. Jedyność takiego wielokąta z dokładnością do izometrii wynika z możliwości opisania odległości pomiędzy dowolnymi wierzchołkami tylko w zależności od a i n. Wniosek.5.3. n kąt foremny o boku długości a ma wszystkie kąty wewnętrzne równe n π, a n promień R okręgu opisanego i promień r okręgu wpisanego w ten wielokąt wyrażają się przez R = a sin π n, r = a tg π. n Dowód. Określając n kąt foremny jak w dowodzie twierdzenia.5. widzimy, że R = n b = r jest wysokością trójkąta w k 1 0w k, a stąd a = tg π. r n a, a sin π n Przykład.5.4. Trójkątem foremnym jest trójkąt równoboczny o kątach równych π 3, czworokątem foremnym kwadrat o wszystkich kątach prostych, zaś pięciokąt foremny ma kąty wewnętrzne 3π 5. 15

3 Wielościany 3.1 Definicja i podstawowe własności wielościanu Definicja 3.1.1. Wielościanem nazywamy spójny podzbiór przestrzeni trójwymiarowej, który jest sumą mnogościową takiej rodziny czworościanów, że część wspólna dowolnych dwóch spośród nich jest ich wspólną ścianą, wspólną krawędzią lub wspólnym wierzchołkiem lub zbiorem pustym. Każdy taki podział wielościanu nazywamy triangulacją. Definicja 3.1.. Punkt danego wielościanu, który przy dowolnej triangulacji jest wierzchołkiem czworościanu triangulacji nazywamy wierzchołkiem wielościanu. Krawędź wielościanu to odcinek łączący jego wierzchołki, który przy dowolnej triangulacji zawiera krawędź pewnego czworościanu tej triangulacji, zaś ścianą wielościanu jest wielokąt, którego wszystkimi bokami są krawędzie wielościanu, a wielokąt ten w dowolnej triangulacji zawiera ścianę czworościanu tejże triangulacji. Definicja 3.1.3. Charakterystyką Eulera wielościanu P nazywamy liczbę χ(p) = F E + V, gdzie F oznacza liczbę ścian, E liczbę krawędzi, a V liczbę wierzchołków wielościanu P. Twierdzenie 3.1.4. Charakterystyka Eulera wielościanu wypukłego wynosi. Uwaga 3.1.5. Charakterystykę Eulera równą mają wszystkie wielościany, których suma mnogościowa ścian (z topologią indukowaną) jest homeomorficzna ze sferą S. Inną charakterystykę mają np. wielościany, których suma ścian jest homeomorficzna z torusem T = S 1 S 1 (prostopadłościan z wydrążoną na wylot prostopadłościenną dziurą itp.); wówczas χ = 0. Stwierdzenie 3.1.6. Dla dowolnego wierzchołka wielościanu wypukłego suma miar kątów wewnętrznych ścian, dla których ten wierzchołek jest wierzchołkiem ściany, jest mniejsza niż π. 3. Wielościany foremne Definicja 3..1. Wielościanem foremnym nazywamy wielościan wypukły, którego ściany są przystającycmi wielokątami foremnymi, każdy wierzchołek należy do tej samej liczby ścian. Przez K n,k oznaczamy wielościan foremny o ścianach będących n kątami foremnymi stykającymi się po k w każdym wierzchołku. Twierdzenie 3... Istnieje (z dokładnością do podobieństwa) co najwyżej pięć wielościanów foremnych: K 3,3, K 3,4, K 3,5, K 4,3, K 5,3. Dowód. Przypuśćmy, że wielościan foremny ma ściany będące n kątami foremnymi i w każdym wierzchełek tego wielościanu należy do dokładnie k ścian. Wówczas k 3, a suma kątów płaskich przy każdym wierzchołku wynosi k n π i jest mniejsza od π na mocy stwierdzenia 3.1.6, bo wielościan n foremny jest wypukły. Stąd 3 ( 1 n) < lub inaczej n < 6. Ponadto w takim wielościanie E = nf, V = nf k. 16

Charakterystyka Eulera wielościanu foremnego, jako wypukłego jest więc równa F nf + nf k =. Rozważmy przypadki: n = 3) F + 3F 4k =, czyli F =, skąd k < 6. Dla k = 3 otrzymujemy F = 4, dla k = 4 wielościan k 6 k ma 8 ścian, a dla k = 5 0 ścian. n = 4) F + 4F k =, czyli F =, co jest możliwe tylko dla k = 3 i wówczas F = 6. k 4 k n = 5) 3F + 5F 4k =, czyli F =, co jest możliwe tylko dla k = 3 i wówczas F = 1. k 10 3k Twierdzenie 3..3. Istnieje (z dokładnością do podobieństwa) dokładnie pięć wielościanów foremnych. Każdy z nich można określić podając wierzchołki w trójwymiarowym prostokątnym układzie współrzędnych: K 3,3 : (1, 0, 0), ( 1, 3, 0), ( 1, 3, 0), (0, 0, ) K 3,4 : (±1, 0, 0), (0, ±1, 0), (0, 0, ±1); K 3,5 : (0, ±1, ±ϕ), (±1, 0, ±ϕ), (±1, ±ϕ, 0); K 4,3 : (±1, ±1, ±1); K 5,3 : (±1, ±1, ±1), (0, ± 1, ±ϕ), (± 1, 0, ±ϕ), (± 1, ±ϕ, 0). ϕ ϕ ϕ gdzie ϕ = 5+1 i tym samym 1 ϕ = 5 1. Dowód. Dla K 3,3 krawędź ma długość 3, a każda z 4 ścian powstaje przez wybór dowolnych trzech wierzchołków. Określony w tezie wielościan K 3,4 ma krawędź długości, a trójkątne ściany mają po jednym wierzchołku z każdej serii. Podany przykład wielościanu K 4,3 ma krawędź długości, a każda z 6 kwadratowych ścian ma wierzchołki o ustalonej jednej współrzędnej. Obliczenia dla K 3,5 i K 5,3 są nieco bardziej skomplikowane. Przykład 3..4. Wielościany foremne mają następujace nazwy oraz liczby ścian, krawędzi i wierzchołków: K 3,3 : czworościan foremny, F = 4, E = 6, V = 4, K 3,4 : ośmiościan foremny, F = 8, E = 1, V = 6, K 3,5 : dwudziestościan foremny, F = 0, E = 30, V = 1, K 4,3 : sześcian, F = 6, E = 1, V = 8, K 5,3 : dwunastościan foremny, F = 1, E = 30, V = 0. 17

4 Izometrie płaszczyzny 4.1 Rozkład izometrii na symetrie osiowe Stwierdzenie 4.1.1. Jeżeli izometria f płaszczyzny E spełnia dla pewnych trzech niewspółliniowych punktów A, B, C E warunki: f(a) = A, f(b) = B, f(c) = C, to f jest tożsamością na E. Dowód. Jeżeli punkty A, B, C są niewspółliniowe i są punktami stałymi izometrii f, to dla dowolnego punktu X E mamy f(x)a = f(x)f(a) = XA. Przypuśćmy, że f(x) X. Wtedy zgodnie z własnością symetralnej A sym Xf(X) i podobnie B sym Xf(X), C sym Xf(X), co jest sprzeczne z niewspółliniowością punktów A, B, C. Zatem dowolny punkt X E jest punktem stałym izometrii f, która tym samym jest tożsamością. Wniosek 4.1.. Jeżeli dwie izometrie f, g płaszczyzny E spełniają dla pewnych trzech niewspółliniowych punktów A, B, C E warunki: f(a) = g(a), f(b) = g(b), f(c) = g(c), to f = g. Dowód. Wystarczy zauważyć, że przy powyższych założeniach izometria h = g f 1 spełnia założenia poprzedniego stwierdzenia, jest więc tożsamością. Twierdzenie 4.1.3. Każda różna od tożsamości izometria płaszczyny jest symetrią osiową lub złożeniem dwóch symetrii osiowych lub złożeniem trzech symetrii osiowych. Dowód. Niech f będzie nietożsamościową izometrią płaszczyzny, a A, B, C punktami niewspółliniowymi. Oznaczmy A = f(a), B = f(b), C = f(c). Ze stwierdzenia 4.1.1 co najmniej jeden z nich nie przechodzi na siebie, np. A A. Oznaczmy przez k symetralną odcinka AA, zaś B 1 = s k (B), C 1 = s k (C). Jeżeli B 1 = B i C 1 = C, to na mocy wniosku 4.1. f = s k. Załóżmy teraz, że punkty B, C nie przechodzą w symetrii s k odpowiednio na B, C, np. B 1 B. Oznaczmy przez l symetralną odcinka B 1 B, zaś C = s l (C 1 ). Zauważmy, że z izometryczności s k mamy AB = A B 1, a izometryczności f również AB = A B. Stąd A B 1 = A B, co wraz z własnością symetralnej daje A l, a więc także s l (A ) = A. Tym samym złożenie symetrii osiowych s l s k przekształca A na A oraz B na B. Jeżeli dodatkowo C = C, to na mocy 4.1. f = s l s k. Załóżmy wreszcie, że C C i niech m oznacza symetralną odcinka C C. Z izometryczności f, s k, s l otrzymujemy kolejno AC = A C, BC = B C, AC = A C 1, BC = B 1 C 1, A C 1 = A C, B 1 C 1 = B C, skąd A C = A C oraz B C = B C. Z własności symetralnej mamy więc, że A, B m, tak więc złożenie symetrii osiowych s m s l s k przekształca punkty A, B, C na punkty odpowiednio A, B, C i na mocy stwierdzenia 4.1. f = s m s l s k. 4. Izometrie parzyste Stwierdzenie 4..1. Złożenie dwóch symetrii osiowych płaszczyzny o osiach równoległych jest translacją. Dokładniej, jeżeli l 1 l oraz A 1 l 1, A l są takie, że l 1 w = A 1 A l, to s l s l1 = T w. Dowód. Wektor u = w jest jednostkowym wektorem normalnym do prostych l w 1, l. Rozważane symetrie można opisać więc wzorami s li (x) = x x A i, u u, i = 1,. 18

Zatem dla x E s l s l1 (x) =s l (x x A 1, u u) = x x A 1, u u x x A 1, u u A, u u =x x A 1, u u x A, u u + 4 x A 1, u u w w =x + A A 1, u u = x + w, w w = x + w = T w(x). Stwierdzenie 4... Złożenie dwóch symetrii osiowych płaszczyzny o osiach przecinających się w jednym punkcie jest obrotem. Dokładniej, jeżeli l 1 l = {O} oraz dla pewnych A 1 l 1, A l A1 OA = α, to sl s l1 = RO α. Dowód. Załóżmy, że proste l 1, l przecinają się w punkcie O oraz że v 1, v są jednostkowymi wektorami kierunkowymi, zaś n 1, n jednostkowymi wektorami prostopadłymi odpowiednio do l 1, l, przy czym (v 1, v ) = α, a baza (v 1, v ) przestrzeni liniowej R ma tę samą orientację, co baza (n 1, n ). Zapisujemy v i n w bazie ortonormalnej (v 1, n 1 ): v = cos α v 1 + sin α n 1, n = sin α v 1 + cos α n 1. Dowolny punkt X płaszczyzny można zapisać w postaci X = O + r cos ϕ v 1 + r sin ϕ n 1, gdzie r = OX, a ϕ jest kątem skierowanym pomiędzy v 1 a OX. Zatem skąd s l1 (X) =X X O, n 1 n 1 = O + r cos ϕ v 1 + r sin ϕ n 1 r cos ϕ v 1 + r sin ϕ n 1, n 1 n 1 =O + r cos ϕ v 1 r sin ϕ n 1, s l (s l1 (X))) =s l1 (X) s l1 (X) O, n n = O + r cos ϕ v 1 r sin ϕ n 1 r cos ϕ v 1 r sin ϕ n 1, sin α v 1 + cos α n 1 ( sin α v 1 + cos α n 1 ) =O + r cos ϕ v 1 r sin ϕ n 1 + r sin(ϕ + α)( sin α v 1 + cos α n 1 ) =O + r (cos ϕ sin(ϕ + α) sin α) v 1 + r ( sin ϕ + sin(ϕ + α) cos α) n 1 =O + r (cos ϕ + cos(ϕ + α) cos ϕ) v 1 + r ( sin ϕ + sin(ϕ + α) + sin ϕ) n 1 =O + r cos(ϕ + α) v 1 + r sin(ϕ + α) n 1 = R α O (X). 4.3 Izometrie nieparzyste Stwierdzenie 4.3.1. Złożenie trzech symetrii osiowych płaszczyzny o osiach: 1. parami równoległych jest symetrią osiową o osi równoległej do tych trzech osi.. przecinających się w dokładnie jednym punkcie jest symetrią osiową o osi przechodzacej przez ten punkt. Dowód. Rozważmy proste l 1, l, l 3 i złożenie symetrii osiowych s l3 s l s l1. 19

1. Jeżeli l 1 l l 3, to złożenie s l s l1 jest translacją o pewien wektor v l 1 (i tym samym prostopadły także do pozostałych prostych). Określmy l 3 = T v (l 3). Wtedy na mocy stwierdzenia 4..1 s l3 s l 3 = T v i dalej przy czym oczywiście l 3 l 1 l l 3. s l3 s l s l1 = s l3 T v = s l3 s l3 s l 3 = s l 3,. Jeżeli l 1 l l 3 = {O}, to złożenie s l s l1 jest obrotem o pewien kąt α dookoła punktu O. Określmy l 3 = R α O (l 3 ) O. Wtedy na mocy stwierdzenia 4.. s l3 s l 3 = RO α oraz s l3 s l s l1 = s l3 R α O = s l3 s l3 s l 3 = s l 3. Stwierdzenie 4.3.. Dla prostej l i równoległego do niej wektora u spełniony jest warunek s l T u = T u s l. Dowód. Niech l 1, l będą prostymi równoległymi taki, że s l s l1 = T u jak w stwierdzeniu 4..1. Wówczas z założenia l 1 l l, a zgodnie ze stwierdzeniem 4.. także s l1 s l = s l s l1, s l s l = s l s l (bo obrót o kąt π jest tym samym przekształceniem co obrót o kąt π względem tego samego punktu). Stąd s l T u = s l s l s l1 = s l s l s l1 = s l s l1 s l = T u s l Definicja 4.3.3. Symetrią osiową z poślizgiem nazywamy złożenie symetrii osiowej z translacją o wektor równoległych do osi tej symetrii. Twierdzenie 4.3.4. Złożenie trzech dowolnych symetrii osiowych płaszczyzny jest symetrią osiową z poślizgiem. Dowód. Niech l 1, l, l 3 będą dowolnymi prostymi. Na mocy stwierdzeń 4..1 i 4.. złożenie s l s l1 jest translacją lub obrotem. Przedstawmy tę translację lub ten obrót jako złożenie s l 3 s l, gdzie l 3 l 3. Wówczas s l3 s l s l1 = s l3 s l 3 s l = T w s l, gdzie 1 w jest wektorem prostopadłym do l 3 i l 3 łączącym punkty na tych prostych. Niech u oznacza składową wektora w równoległą do prostej l, zaś v jego składową prostopadłą do l. Niech m 1, m będą taki prostymi, że s m s m1 = T v. Wówczas m 1 m l i zgodnie z 4.3.1(1) istnieje prosta k l spełniająca warunek s k = s m s m1 s l. Stąd s l3 s l s l1 = T w s l = T u T v s l = T u s m s m1 s l = T u s k. Ostatnia postać złożenia jest już symetrią z poślizgiem, bo u l k. 0

4.4 Klasyfikacja izometrii płaszczyzny Stwierdzenie 4.4.1. Złożenia parzystej liczby symetrii osiowych płaszczyzny nie można przedstawić jako złożenia nieparzystej liczby symetrii osiowych płaszczyzny, i na odwrót. Dowód. Wystarczy zauważyć, że pojedyncza syemtria osiowa na płaszczyźnie odwraca orientację. Definicja 4.4.. Izometrię płaszczyny nazywamy izometrią parzystą (odpowiednio nieparzystą), jeżeli można ją przedstawić jako złożenie parzystej (odpowiednio nieparzystej) liczby symetrii osiowych. Stwierdzenie 4.4.3. Zbiorem punktów stałych izometrii płaszczyzny jest pusty lub jest podprzestrzenią afiniczną. Dowód. Z wniosku 1..4 wynika, że jeżeli dwa różne punkty płaszczyzny są punktami stałymi f Isom (E ), to prosta łącząca te punkty składa się z punktów stałych izometrii f. Twierdzenie 4.4.4 (klasyfikacja izometrii płaszczyzny). Wszystkie izometrie płaszczyzny w zależności od parzystości i zbioru punktów stałych można opisać w tabeli: parzysta nieparzysta płaszczyzna tożsamość prosta symetria osiowa punkt niezerowy obrót zbiór pusty niezerowa translacja symetria osiowa z niezerowym poślizgiem Dowód. Zgodnie z twierdzeniem 4.1.3 każda izometria płaszczyzny jest tożsamością lub złożeniem n {1,, 3} symetrii osiowych. Złożenie dwóch symetrii osiowych jest translacją lub obrotem (4..1 i 4..), a złożenie trzech symetrii osiowych symetrią osiową lub symetrią osiową z poślizgiem (4.3.1 i 4.3.4). Tym samym pełna lista izometrii płaszczyzny przedstawia się następująco: 1. tożsamość (także jako zerowa translacja lub zerowe obroty),. symetrie osiowe (także jak symetrie osiowe z zerowym poślizgiem) 3. niezerowe translacje, 4. niezerowe obroty, 5. symetrie osiowe z niezerowym poślizgiem. Spośród nich jedynie tożsamość ma całą płaszczyznę punktów stałych, a symetria osiowa prostą (swoją oś). Punktem stałym obrotu jest tylko jego środek, a pozostałe przekształcenia punktów stałych nie posiadają. 1

Literatura [A] [AF] J. Aarts, Plane and Solid Geometry, Springer I. Agricola, T. Friedrich, Elementary Geometry, American Mathematical Society [BEG] D. Brannan, M. Esplen, J. Gray, Geometry, Cambridge University Press [D] [MS] R. Doman, Wykłady z geometrii elementarnej, Wydawnictwo Naukowe UAM M. Moszyńska, J. Święcicka, Geometria z algebrą liniową, PWN