STATYSTYKA MATERIAŁY POMOCNICZE DLA STUDENTÓW DO NAUKI STATYSTYKI
Mara Borowsa STATYSTYKA MATERIAŁY POMOCNICZE DLA STUDENTÓW DO NAUKI STATYSTYKI "Ale t, Pae wszsto pod marą lczbą, wagą urządzłeś" (Ks. Mądrośc..) Stalowa Wola 6
Recezec auow prof. zw. dr hab. Edward Nowa Uwerstet Eoomcz we Wrocławu Poltecha Rzeszowsa prof. zw. dr hab. Tadeusz Galac Poltecha Wrocławsa Wższa Szoła Zarządzaa "EDUKACJA" we Wrocławu Redacja techcza mgr Moa Paruch mgr Lucja Paruch Coprght b Mara Borowsa Wersja eletrocza opracowaa pod adresem: http://paruchl.webd.pl/mat/ ISBN 978-8-67-- Dru oprawa: Wdawctwo Decezjale Druara w Sadomerzu ul. Żeromsego 4, 7-6 Sadomerz tel. 5 64 4 4, fa. 5 8 77 87 www.wds.pl, zamówea@wds.com.pl 4
Sps treśc Wstęp... 7. Statsta podstawowe pojęca statstcze... 9.. Term statsta... 9.. Podzał statst, jao dscpl auowej... 9... Przedmot statst opsowej... 9... Przedmot statst matematczej..... Podstawowe pojęca statstcze....4. Etap badaa statstczego... 4.5. Ustalae lczb las w szeregu przedzałowm... 4.6. Wres w statstce... 5. Podstawowe wadomośc ze statst opsowej... 7.. Ops strutur zjaws... 7... Mar średe... 7... Mar rozproszea...... Zestawee mar średch mar rozproszea... 4..4. Momet, jao uogólee mar tedecj cetralej mar dspersj... 4..5. Mar asmetr (sośośc)... 5..6. Mar ocetracj (supea)... 7.. Aalza dam zjaws...... Metoda desowa... 4... Metod wodrębaa tredu... 6.. Aalza współzależośc zjaws... 8... Metod badaa zależośc orelacjej... 9... Mar orelacj... 4... Netóre sposob ogólej oce współzależośc... 4. Przpomee wadomośc z rachuu prawdopodobeństwa... 49.. Podstawowe pojęca probablstcze... 49.. Defcja prawdopodobeństwa... 49.. Własośc prawdopodobeństwa... 5.4. Prawdopodobeństwo waruowe... 5.5. Nezależość zdarzeń... 5.6. Prawdopodobeństwo całowte... 5.7. Wzór Baesa... 5.8. Schemat Beroullego... 5 5
4. Podstaw statst matematczej... 55 4.. Zmee losowe ch rodzaje... 55 4... Pojęce zmeej losowej... 55 4... Tp zmeej losowej... 55 4... Cecha statstcza, a zmea losowa... 55 4..4. Podstawowe parametr rozładu zmeej losowej... 57 4..5. Aaloge mędz zmem losowm soowm cągłm... 57 4.. Rozład zmeej losowej... 58 4... Rozład zmeej losowej soowej... 58 4... Rozład zmeej losowej cągłej... 6 4... Stadarzacja rozładu ormalego N,... 6 4..4. Reguła -ch... 64 4.. Rozład statst z prób... 66 4... Rozład średej artmetczej z prób... 66 4... Rozład waracj z prób... 67 4.4. Teora estmacj... 68 4.4.. Estmacja, estmator... 68 4.4.. Rodzaje estmacj... 69 4.4.. Przedzał ufośc... 69 4.5. Werfacja hpotez... 74 4.5.. Etap werfacj hpotez... 75 4.5.. Hpotez ch rodzaje... 75 4.5.. Pojęce podzał testu statstczego... 76 4.5.4. Pojęce obszaru rtczego... 76 4.5.5. Możlwe deczje rodzaje błędów... 78 4.5.6. Werfacja wbrach hpotez parametrczch... 79 4.5.7. Iformacja o werfacj hpotez eparametrczch... 8 4.6. Porówae wbrach zagadeń estmacj z testowaem etórch hpotez statstczch... 8 Sorowdz... 87 Bblografa... 9 Summar... 9 6
Wstęp Publacja ta jest serowaa do studetów różch eruów studów I lub II stopa uczącch sę a początowch latach statst pragącch utrwalć, powtórzć usstematzować swoją wedzę umejętośc w zarese tego przedmotu a studach wraz z oeczm przpomeem ze szoł średej wbrach częśc materału z matemat. Kompetecje te są ezbęde w pomślm przgotowwau sę a beżąco do zajęć ze statst opsowej, cz wosowaa statstczego oraz fale do zalczea lub egzamu z tego przedmotu. Opracowae prezetuje w sposób zwęzł usstematzowa materał programow ze statst opsowej dla szeroego ogółu studetów a początowch latach I stopa (lcecjacch). Zwera też obszere przpomee ezbędch wadomośc z rachuu prawdopodobeństwa z zaresu szoł średej oraz treśc programowe przedmotu: wosowae statstcze ze studów II stopa (uzupełającch magstersch). Treśc mertorcze poparte są przładowo rozwązam zadaam, wzbogacom wczerpującm ometarzem wjaśającm oleje etap postępowaa. Mam adzeję, że ejsze materał pomoccze mmo, ż e staową oe sstematczego władu statst będą stotą pomocą eduacją dla studetów różch eruów studów pragącch a zadowalającm pozome pozać sprawe posługwać sę arzędzam statstczm do opsu terpretacj otaczającej rzeczwstośc. 7
8
. Statsta podstawowe pojęca statstcze.. Term statsta Słowo: statsta pochodz od łacńsego słowa status, czl sta rzecz. Term te został wprowadzo do au w XVIII w. przez emecego uczoego Gottfreda Achewalla dla oreślea szeroego zboru wadomośc o państwe. Oto róże zaczea słowa statsta : ) państwozawstwo, tz. aua o państwe prezetująca podstawowe wadomośc ezbęde dla tch, tórz erowal państwem (ops stau państwa a podstawe dach lczbowch, sps ludośc, sps dóbr rólewsch, oścelch, lasztorch) zaczee hstorcze, starożte średowecze, ) wszele zestawea lczbowe, zespół formacj lczbowch (tabele, wres) dotczącch wbraej grup lub ategor zjaws, a taże wsuwae wosów a podstawe welośc lczbowch, ) czośc polegające a zberau opswau dach lczbowch (p. statsta wpadów drogowch), 4) dscpla auowa tratująca o metodach lczbowego opsu wosowaa o prawdłowoścach wstępującch w procesach masowch, 5) oreślee dowolego parametru mar (p. średej) opsującego w prób... Podzał statst, jao dscpl auowej STATYSTYKA STATYSTYKA OPISOWA STATYSTYKA MATEMATYCZNA (WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE)... Przedmot statst opsowej Statsta opsowa tratuje o metodach statstczego opsu (aalz) wów badań opartch a obserwacj pełej, wczerpującej jest to ujęce determstcze. Dzel sę oa a: ) aalzę strutur (budow) zjaws, ) aalzę dam (zma w czase) zjaws, ) aalzę współzależośc zjaws. 9
... Przedmot statst matematczej Statsta matematcza (ducja), aczej wosowae statstcze, zajmuje sę metodam wosowaa statstczego o całej zbrowośc (populacj geeralej) w oparcu o badaa reprezetatwe, częścowe (a podstawe prób, częśc zborowośc) jest to ujęce edetermstcze, probablstcze. Wosowae statstcze może dotczć aalz strutur oraz aalz współzależośc zjaws (orelacj regresj). Polega oo a uogólau formacj zebrach w próbe losowej a całą zborowość statstczą (populację geralą). Wosowae statstcze obejmuje: ) estmację (szacowae): parametrczą (putową przedzałową) eparametrczą, ) wefację (sprawdzae) hpotez za pomocą testów statstczch, statst (testów stotośc parametrczch eparametrczch: testów zgodośc, losowośc ezależośc). POPULACJA GENERALNA PRÓBA LOSOWA (STATYSTYKA OPISOWA) WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE.. Podstawowe pojęca statstcze ) Zborowość statstcza (geerala lub próba) zbór jedoste statstczch objętch badaem statstczm. Jedost zborowośc statstczej muszą posadać co ajmej jedą wspólą cechę (stałą). Na tm polega jedorodość zborowośc statstczej. Jedost zborowośc e mogą bć detcze, Zborowość geerala (populacja, masa) sończo lub esończo zbór jedoste podda obserwacj emprczej. ) Próba część zborowośc geeralej poddaa bezpośredemu badau emprczemu ze względu a badaą cechę w celu wcągęca wosów o ształtowau sę wartośc tej cech w całej populacj geeralej.
Próba jest: losowa tz. jedost do prób został pobrae z populacj w sposób losow, przpadow, reprezetatwa tz. strutura prób pod względem badaej cech e róż sę stote od strutur populacj pod względem tej cech próba dobrze reprezetuje badaą cechę w całej (ebadaej) populacj. ) Jedosta populacj elemet zborowośc statstczej. 4) Lczebość zborowośc geeralej lczba jedoste w populacj. Lczebość prób lczba jedoste w próbe. 5) Cecha statstcza właścwość (własość) jedoste statstczch. Warat cech wartośc, odma podaej cech. Podzał cech statstczch: Cech statstcze cech stałe (rterum przależośc do badaej zborowośc geeralej lub próbej) oreślają oe zborowośc pod względem: rzeczowm (co?) czasowm (ed?) przestrzem (gdze?) zaresowm (jae formacje?) (Cech stałe e podlegają badau statstczemu) jaoścowe (emerzale) warat e są wrażoe lczbowo, tlo opsowo lub zaodowae lczbowo (p. ma własość, bra własośc) cech zmee badae (różcujące jedost zborowośc mędz sobą) cągłe warat wczerpują przedzał lczbow loścowe (merzale) warat są wrażoe lczbowo o różch marach soowe (dsrete) warat, to put a os bez wartośc pośredch quas loścowe (porządowe) oreślają atężee własośc (p. oce a egzame) 6) Zjawsa masowe zdarzea często powtarzające sę (dośwadczea losowe), w tórch wstępują prawdłowośc badae przez statstę). 7) Badae statstcze badae emprcze (obserwacja) prawdłowośc w zjawsach masowch. Może bć: badae pełe (wczerpujące) dotcz wszstch jedoste zborowośc statstczej, badae częścowe (ewczerpujące) dotcz częśc jedoste, prób, a jego w są uogólae a całą populację.
BADANIE STATYSTYCZNE PEŁNE (dotcz wszstch jedoste) CZĘŚCIOWE (dotcz prób) 8) Materał statstcz zbór zapsów dotczącch waratów cech wstępującej u badach jedoste zborowośc. 9) W badań zaobserwowae warat badaej cech (w zborowośc geeralej w badau pełm lub z prób w badau częścowm). ) Ops statstcz aalza rozładu cech w próbe lub zborowośc geeralej sończoej. Jest to oblczae pewch charaterst lczbowch (parametrów, statst) badaego rozładu cech. Ops statstcz, w przpadu badaa częścowego, jest putem wjśca do wosowaa statstczego. W przpadu zaś badaa pełego, zama badae statstcze. ) Wosowae statstcze uogólae wów uzsach w prób losowej a całą populację geeralą. Jest to podejmowae deczj o ezach parametrach rozładach w zborowośc geeralej a podstawe wów z prób w waruach epewośc (rza statstczego) z worzstaem reguł rachuu prawdopodobeństwa. ) Parametr (statst, mer statstcze) charaterst lczbowe rozładu badaej cech w zborowośc geeralej lub próbej. Wróżam: parametr populacj, parametr prób (w przpadu badaa częścowego). ) Szereg statstcz zestawee wartośc zmech cech badaej wraz z przporządowam m lczeboścam lub częstoścam ch wstępowaa c N. Podzał szeregów statstczch: szereg statstcze szczegółowe (wlczające) rozdzelcze przestrzee (geografcze) czasowe (damcze) dotczące dotczące putowe (dla cech soowej) cech merzalch przedzałowe (dla cech cągłej) cech emerzalch mometów (put a os czasu) t t t t t oresów (przedzał a os czasu) t t t t t
Szereg surow zaps wów badaa w aturalej olejośc ch zberaa (przed uporządowaem). Szereg prost zaps wów badaa po uporządowau (rosąco względem pozomu waratów lub pogrupowa w las). 4) Rozład emprcz zestawee par, olumach lub werszach z waratam cech N lub w postac tabel o dwóch lczeboścam : N 5) Kumulacja szeregu sumowae olejch lczebośc. Powstaje wted szereg umulacj (rosąc). cum N N Uwaga: Powższą tabelę moża rozszerzać o oleje olum (częstośc c, częstośc sumulowae c cum, tp.) potrzebe róweż do oblczaa pewch merów (średej, odchlea, tp.): N cum c cum c c c N N N c c c c c c c N N c N c N N
Uwaga: Częstość c wrażać moża w procetach c %. 6) Dstrbuata emprcza F to częstość sumulowaa dla waratów cech e węszch od wartośc, czl dla Wartość masmala dstrbuat, to dla m.. ma, a mmala, to dla.4. Etap badaa statstczego Są to: ) Projetowae badaa (czośc przgotowawcze: oreślee celu metod badaa oraz zborowośc statstczej cech podlegającch badau). ) Orgazacja badaa (opracowae stro techczej badań). ) Obserwacja statstcza (pomar zmech cech statstczch we wszstch jedostach wtpowach do badaa). 4) Opracowae prezetacja materału statstczego (grupowae, zlczae, budowae szeregu statstczego, tablc, tabel, wresów). 5) Ops statstcz (oblczee mar, parametrów, statst oraz scharaterzowae badaego zjawsa zastosowae statst opsowej). 6) Wosowae statstcze w przpadu badaa częścowego prób (wosowae o populacj a podstawe prób zastosowae statst matematczej)..5. Ustalae lczb las w szeregu przedzałowm Oto etóre zalecea: ) lczba las w gracach 5-5, ) lczba las węsza, m zborowość lczejsza, ) lczba las: w zależośc od lczebośc zborowośc: N wrażoa może bć wzorem: N lub 5log N lub,log N, 4) lczba las: uzależoa od lczebośc zborowośc: N może bć w astępując sposób: N 4;6 6;8 N 6; 7; N ; 9; 4
N ;5 ;7 5) rozpętość las, terwał, rozstęp jest różcą mędz górą, a dolą gracą las może bć wrażoa wzorem: ma m ; lczba las - a ogół terwał przedzałowe są jedaowe, 6) tp przedzału lasowego: - lew oec przedzału, to dola graca las - praw oec przedzału, to góra graca las..6. Wres w statstce Rodzaje wresów: ) lowe, ) powerzchowe, ) pasmowe, 4) brłowe, 5) putowe, 6) mapowe (artogram), 7) ombowae, 8) specjale. Wres służą do grafczego przedstawaa: ) szeregów rozdzelczch (wres struturale), ) rozwoju zjaws w czase (wres damcze), ) zależośc mędz cecham (wres orelacje). Hstogram zbór przlegającch prostoątów w uładze współrzędch o podstawe długośc las wsoośc rówej lczebośc lub częstośc. Dagram (welobo lczebośc) łamaa łącząca put o współrzędch: środ las odpowadające m lczebośc lub częstośc c. 5
6
. Podstawowe wadomośc ze statst opsowej.. Ops strutur zjaws Strutura zjaws, to budowa, sład zborowośc pod względem wróżoch cech jedoste tej zborowośc. Aalza strutur, to wrwae terpretowae prawdłowość w badaej zborowośc. Aalzę strutur zjaws masowch przeprowadza sę prz pomoc opsowch charaterst rozładów (oprócz tabel wresów). Są to: mar średe, dzelą sę a lascze pozcje mar rozproszea, mar asmetr, mar ocetracj. Ww. marom są pośwęcoe oleje moduł:.....6.... Mar średe Mar średe, to aczej: mar pozomu wartośc zmeej, mar położea, mar przecęte. Oreślają oe wartość zmeej, woół tórej wstępują wszste pozostałe warat badaej cech. Mar średe dzelą sę a: lascze (do oblczea tórch stosuje sę wszste warat cech), pozcje (ozaczają oretą pozcję w szeregu). MIARY ŚREDNIE KLASYCZNE: średa artmetcza (eważoa z wagą) średa harmocza średa geometrcza POZYCYJNE: domata (. modala, wartość tpowa, ajczęstsza) watle (wśród ch wartle, decle, cetle) medaa (. moda, wartość środowa jao szczególe watle, p. wartl drug, decl pąt, cetl pęćdzesąt) 7
Uwaga: Ozaczea: - warat cech, - środ przedzałów lasowch, N - lczebość badaej zborowośc, - lczebość jedoste o warace. ) Klascze mar średe: a) średa artmetcza eważoa dla szeregu wlczającego gd wszste : N N N b) średa artmetcza z wagą (ważoa) dla szeregu putowego gd warat cech wstępują z różą częstotlwoścą: N N ; N gdze wag odpowadające waratom ;,,, c) średa artmetcza (ważoa) dla szeregu przedzałowego ( środ las): N d) średa harmocza: N eważoa: ważoa: H N ; N H N N e) średa geometrcza: N N N eważoa: N N N G N N ważoa: N G ; N Uwaga: Zależośc mędz, H, G dla eujemch waratów: N H G wadratowa N. 8
) Pozcje mar średe: a) domata: w szeregu putowm jest to te warat cech, tóremu odpowada ajwęsza lczebość, w szeregu przedzałowm ależ do przedzału, tóremu odpowada ajwęsza lczebość, oblcza sę ją wg wzoru: D D D D D gdze: D D D D D - dola graca las z domatą, D - lczebość przedzału z domatą, - lczebość przedzału poprzedzającego przedzał D z domatą, - lczebość przedzału astępującego po przedzale D z domatą, D - rozpętość przedzału z domatą metoda grafcza wzaczaa domat c N D b) watle: są to warat cech, tóre dzelą badaą zborowość a oreśloe częśc pod względem lczebośc, p. wartale, decle, cetle. Kwartl jest trz: Q, Q, Q dzelą zborowość a 4 częśc. Kwartl drug Q to medaa. Decl jest 9 dzelą zborowość a częśc, Decl pąt, to medaa. Cetl jest 99 dzelą zborowość a częśc. Cetl 5-t to medaa. c) medaa (wartl drug, środow): to wartość środowa (moda), dla szeregu wlczającego: Me N ; gd N jest lczbą eparzstą N N d) wartle (są trz: Q, Q, Q ): ; gd N jest lczbą parzstą 9
wartl perwsz, dol Q dzel zborowość, uporządowaą rosąco pod względem waratów, a dwe częśc tae, że 5% zborowośc ma warat cech ższe, a 75% - wższe ż wartl perwsz; dla szeregu przedzałowego: 4 N Q Q Q Q gdze: Q - dola graca przedzału z Q, Q - lczebość przedzału z Q, Q - rozpętość przedzału z Q, - umer przedzału z Q, wartl drug, środow Q Me (medaa): dzel zborowość, uporządowaą rosąco pod względem waratów, a dwe rówe częśc (po 5%) tae, że 5% zborowośc ma warat ższe, a 5% - wższe ż wartl drug zwa medaą; dla szeregu przedzałowego: N Q Me Me Me Me gdze: Me - dola graca przedzału z Me, Me - lczebość przedzału z Me, Me - rozpętość przedzału z Me, - umer przedzału z Me, wartl trzec, gór Q dzel zborowość, uporządowaą rosąco pod względem waratów, a dwe częśc tae, że 75% zborowośc ma warat ższe, a 5% - wższe ż wartl trzec; dla szeregu przedzałowego: 4 N Q Q Q Q gdze: Q - dola graca przedzału z Q, Q - lczebość przedzału z Q,
Q - rozpętość przedzału z Q, - umer przedzału z Q, e) lustracja grafcza wartl: warat cech badaej zborowośc Q Me Q Q warat cech uporządowae rosąco 5% zborowośc 75% zborowośc 75% zborowośc 5% zborowośc 5% zborowośc 5% zborowośc dol półszereg Q jest medaą dolego półszeregu gór półszereg Q jest medaą górego półszeregu cała zborowość (%) Uwaga: Wzór Pearsoa ustalając zależość mędz maram średm (, D, Me ): D Me ) Zestawee mar średch: MIARY ŚREDNIE KLASYCZNE POZYCYJNE D, Me, H, G Q, Q, Q watle... Mar rozproszea Mar rozproszea, to aczej: mar zmeośc, mar zróżcowaa, mar dspersj. Oreślają oe stopeń rozproszea (zares zmeośc) waratów cech względem wartośc średej. Mar rozproszea (podobe, ja mar średe) dzelą sę a: lascze, pozcje.
MIARY ROZPROSZENIA KLASYCZNE: odchlee przecęte waracja odchlee stadardowe POZYCYJNE: rozstęp (emprcz obszar zmeośc) odchlee ćwartowe INNE MIARY ROZPROSZENIA, KTÓRE W ZALEŻNOŚCI OD RODZAJU WZORU MOGĄ BYĆ ZALICZANE DO MIAR KLASYCZNYCH LUB POZYCYJNYCH: tpow obszar zmeośc współcz zmeośc ) Klascze mar rozproszea: a) odchlee przecęte: dla szeregu wlczającego (wszste ): N N d odchlea od - jest to eważoa średa artmetcza różć, czl odchleń od średej dla szeregu putowego (warat cech wstępują z różą częstotlwoścą): N d odchlea wag od - jest to ważoa średa artmetcza różc średej dla szeregu przedzałowego ( - środ las): N d, czl odchleń od b) waracja, to średa artmetcza wadratów odchleń: waratów cech od średej :
dla szeregu wlczającego (wszste ): V S N N (eważoa) dla szeregu putowego (warat cech wstępują z różą częstotlwoścą): N (z wagą) V S dla szeregu przedzałowego ( - środ las): V S N Uwaga: We wzorach a warację z prób zamast N jest N. c) odchlee stadardowe, to perwaste wadratow z waracj: S V S V S - ja wżej w b) ) Pozcje mar rozproszea: a) rozstęp (emprcz obszar zmeośc): R b) odchlee ćwartowe (wrażoe poprzez wartale Q Q ) ma Q Q Q m - merz pozom zróżcowaa w połowe obszaru zmeośc (od Q do Q ) ) Ie mar rozproszea (w zależośc od rodzaju wzoru mogą bć zalczae do lasczch lub pozcjch): KLASYCZNE a) tpow obszar zmeośc: S tp S lub POZYCYJNE Me Q tp Me Q jedost etpowe jedost etpowe
b) współcz zmeośc, to loraz (wrażo w %) bezwzględej mar rozproszea: d, S, Q odpowedch średch:, Me, Q Q : S lub Q vs vq Me d Q Q vd vqq Q Q 4) Zestawee mar rozproszea: MIARY ROZPROSZENIA KLASYCZNE POZYCYJNE d, S, S, R, Q, v S, v v d Q, v QQ, tp, S tp Me, Q... Zestawee mar średch mar rozproszea MIARY ŚREDNIE ROZPROSZENIA KLASYCZNE, H, G v S, v d d, S, S, POZYCYJNE D, Me Q, Q, Q watle tp, S R, Q, v Q, v QQ, tp Me, Q..4. Momet, jao uogólee mar tedecj cetralej mar dspersj - są to średe artmetcze odchleń (różc) waratów cech od pewej welośc a podesoch do potęg r : m r odchlea a - dla a mam momet zwł - dla a mam momet cetral Zatem: jest to -wsz momet zwł, r - momet rzędu r ( r -t momet) S jest to -g momet cetral. 4
..5. Mar asmetr (sośośc) Asmetra, to problem, cz przeważająca lczba jedoste jest powżej, cz pożej przecętego pozomu badaej cech. Najłatwej oceć asmetrę rozładu porówując ze sobą trz astępujące mar średe: domatę D, medaę Me średą artmetczą. W rozładach smetrczch są oe rówe: D Me D Me W rozładach prawostroe asmetrczch: D Me D Me W rozładach lewostroe asmetrczch: D Me ) Mar asmetr: a) wsaź asmetr: Me D W D W Q Q Q Q S S 5
W rozładach smetrczch: WS W rozładach prawostroe asmetrczch: WS W rozładach lewostroe asmetrczch: WS b) współcz asmetr: WS D WS D AS Ad S S d d Q Q Q Q Q QMe AQ Q Q Q Q Q c) trzec momet cetral: N - merz erue asmetr m d) momet stadardow -go rzędu: m A S - merz słę erue asmetr S ) Zestawee mar asmetr: Asmetra Kerue Sła D, Me, D Me (sm.) D Me (asm. praw.) D Me (asm. lewos.) A S WS D WS D WS D Ad S S d d QQ Me AQ Q m A S S 6
..6. Mar ocetracj (supea) KONCENTRACJA rozumaa jao erówomer podzał zjaws (- ma zwąze z asmetrą dspersją) ocetracja woół średej (urtoza) (- porówae z wresem rozładu ormalego) rozł. leptourtcz rozł. ormal rozł. platourtcz Słę ocetracj moża badać metodą: grafczą (wreślee welobou ocetracj Loreza), aaltczą (oblczee mar atężea ocetracj). ) Welobo ocetracj Loreza: sumulowae częstośc globalej wartośc cech lczoe w % cum% % P P P % welobo ocetracj rzwa Loreza sumulowae częstośc lczoe w % cum% Współcz ocetracj Pearsoa: Pw P gdze: P P 5 P w - pole welobou ocetracj P w P 7
w P P P P P prz czm P - to trójąt, P, P,, P, to trapez. Zatem ocetrac ja ocetracja mała duża ) Mar ocetracj: a) momet cetral 4-go rzędu: 5 5 4 N P P P 4 m b) stadardow momet cetral 4-go rzędu: m4 a4 4 S c) esces mara spłaszczea: ea 4 d) zestawee mar spłaszczea: ROZKŁAD leptourtcz ormal (wsmulo) ł platourtcz (spłaszczo) a4 e a4 e a4 e Przładowe zadae: Oto w egzamu ze statst grup studetów:, 5, 4,,,, 4,,,,, 4, 4, 5,,, 5,, 4, 4. Dae te posłużą do zaprezetowaa wcześej omówoch pojęć mar strutur. Zborowość statstcza: grupa studetów Jedosta statstcza: studet 8
Cecha statstcza: ocea z egzamu Warat cech ( ): oce:,, 4, 5 Lczebość zborowośc: N (lczebość grup) Szereg surow:, 5, 4,,,, 4,,,,, 4, 4, 5,,, 5,, 4, 4 Szereg prost:,,,,,,,,,,, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5 Szereg rozdzelcz: 4 5 9 6 Wres rozładu: 9 8 7 6 5 4 4 5 ) Mar średe Uwaga: Wprost z ształtu wresu wdać, że domata D (ajczęstsza ocea ajwższ słupe). Kwartle:,,,,,,,,,,, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5 ¼ zborowośc Q Q Me ¾ zborowośc ½ zborowośc (połowa studetów otrzmała co ajwżej tróję) ½ zborowośc (połowa studetów otrzmała co ajmej tróję) Q 4 ¾ grup studetów otrzmało co ajwżej czwórę ¼ grup studetów otrzmała co ajmej czwórę 9
Średa : 4 9 7 4 6 4 5 5 7,5 7 Średa ocea z egzamu ze statst to,5. Kumulacja lczebośc częstośc: cum N c c % % c cum % N % % 9 9 45% 55% studetów otrzmało oceę lub 4 6 7 6 % 85% studetów otrzmało co ajwżej czwórę 5 5% % N c % osób otrzmało co ajwżej tróję 7 osób otrzmało co ajwżej czwórę ) Mar rozproszea Rozstęp: R 5 (emprcz obszar zmeośc to oce) W celu oblczea: d, S, S, Q moża posłużć sę tabelą: -,5,5,5 4,5 9 -,5,5,5,5,5 4 6,5,5,5,5 5,5,5 4,5,5 6,75 N 5
Odchlee przecęte: N d,55 Przecęte odchlee wszstch oce od średej,5 sęga poad pół oce. Waracja odchlee stadardowe: 5 N V S,75 S, 75,865 Stadardowe rozproszee sęga o.,865 oce. Odchlee ćwartowe: Q QQ 4 Zmeość oce w połowe szeregu (mędz trzecm, a perwszm wartlem) sęga jedej oce. Tpow obszar zmeośc: Me Q Me Q lub tp tp 4 tp s s tp,5,865,5,865 tp, 65 4,65 tp Oce: 5, to oce etpowe, zaś tpowe, to 4. Współcz zmeośc: s v % % 4,7% średej staow odchlee stadardowe s,865,5 d v % % 5,7% średej staow odchlee przecęte d,55,5 Q v % %,% meda staow odchlee ćwartowe Q Me QQ v QQ Q Q % % 8,57% 7 ) Mar asmetr Porówae D, Me : D, Me,,5 D Me,5
Wsaź asmetr: Ws D,5,5 - rozład prawostroe asmetrcz lub Ws Q Q Q Q 4 Współcz asmetr: A s W s s,5,865,58; Wsaź asmetr staow o. 58% odchlea stadardowego QQ Me 4 A Q Q,5 A d W s d,5,55,9 Wsaź asmetr staow 9% odchlea stadardowego ) Mar ocetracj W celu zbudowaa welobou ocetracj moża posłużć sę tabelą: 9 4 6 5 N cum cum% cum cum% % 4 4 7 7 5,7% 55% 7 7 7 44,8% 7 85% 4 7 55 7 78,57% % 5 7 7 7 % Welobo ocetracj Loreza: cum% % 78,57% 44,8% P 4 P P 5,7% P (%) % 55% 85% % (45%) (%) (5%) cum%
Współcz orelacj Pearsoa: 5 P P P P4 5, gdze P 5,7 8,55 P 44,8 5,7 45 4,775 P 78,57 44,8 84,75 P 78,57 5 9,75 4 P P P P4 45,5 Zatem 545,5 664,65 5 5, Czl pole welobou ocetracj Loreza staow poad % pola trójąta (połow wadratu % %). Momet cetral 4-go rzędu: 4 N 4 5,6,69,665,6 5,,54,65,8, m,6 Stadardow momet cetral 4-go rzędu: a - rozład spłaszczo m4,6 4 4,565,884 s Eces: e a 4,884,6 - rozład platourtcz.. Aalza dam zjaws Dama zjaws, to zma zjawsa w czase. Czas t może bć rozuma jao momet (dla zasobów) (put a os czasu) ores (dla strume) (przedzał a os czasu) t t t t t t t Szereg damcz (czasow), to zbór par (w forme tabel): t zmea ezależa, t zmea zależa f t, gdze t - czas, t - pozom badaego zjawsa w czase t t t t t
t t t lub t t t t t t Śred (przecęt) pozom zjawsa: - dla mometów: - dla oresów: 4 ch średa chroologcza t średa artmetcza Metod badaa dam zjaws: a) metoda desowa: oreślee tempa teswośc zma zjawsa w czase, b) metoda tredu wahań oresowch: modele szeregów czasowch.... Metoda desowa a) Przrost absolute (bezwzględe) dotczą porówwaa różcowego, są to różce: jedopodstawowe: lub łańcuchowe: o podstawe stałej dla,,, o podstawe zmeej b) Przrost względe, są to loraz przrostów absolutch do podstaw porówań: jedopodstawowe: lub łańcuchowe: o podstawe stałej dla,,, o podstawe zmeej Przrost względe mogą bć wrażoe w procetach. Są to wsaź tempa przrostu zjawsa. Przrost dodate śwadczą o wzrośce zjawsa, zaś ujeme o spadu pozomu badaego zjawsa.
c) Ides dwduale dotczą porówwaa lorazowego, są to loraz: lub łańcuchowe: jedopodstawowe: o podstawe (baze) stałej dla,,, o podstawe (baze) zmeej Ides jedopodstawowe moża otrzmać z przrostów względch jedopodstawowch przez dodae lczb. Ides łańcuchowe moża otrzmać z przrostów względch łańcuchowch przez dodae lczb. Moża też doować przeształceń desów jedopodstawowch a łańcuchowe a odwrót. Ides są ajczęścej wrażoe w procetach. spade pozomu zjawsa % % wzrost pozomu zjaws % pozom zjawsa bez zma % Ides służą do oce zma badaego zjawsa mędz dwoma wróżom oresam lub mometam. d) Średe tempo zma zjawsa w czase: Średa geometrcza desów łańcuchowch Uwaga : W statstce rozpatruje sę: p des ce: p p q des lośc: q q pq des wartośc: w pq gdze p, q ozaczają odpowedo ceę lość w orese badam t, p, q - w orese podstawowm t. 5
Uwaga : W celu zbadaa łączej dam produtów w orese badam t w porówau z oresem podstawowm t wzacza sę des agregatowe, p. I w pq p q.... Metod wodrębaa tredu a) Metoda średch ruchomch (metoda mechacza), p. średe ruchome (zwłe) trzoresowe: 4 ; ; ; służą wgładzeu szeregu czasowego. b) Metoda aaltcza aprosmacj fucj tredu: fucja lowa tredu I rodzaju: t t gdze t - pozom badaego zjawsa w czase t t - czas, - ezae parametr struturale - sład losow aprosmacja lowa fucja tredu (fucja tredu II rodzaju): gdze ˆt - teoretcze wartośc tredu a a t z ˆt, a, a - estmator parametrów z t - sład resztow Oszacowae, a podstawe emprczego szeregu czasowego, współczów lowej fucj tredu II rodzaju: a t t t t t t t t t t t t 6
t t t t a a at Przładowe zadae: Daa jest lczba detal (w ts. szt.) wproduowach w latach 5-: 5 6 7 8 9 t t t t t t 4 5 t 4 65 7 5 45 5 Przrost absolute względe o podstawe stałej t % t 4 - - t 65 5 6,5% t 7 75% t 5-5 -,5% 4 t 45 5,5% 5 t 6 5 5% Przrost absolute względe o podstawe zmeej t % t 4 - - t 65 5 6,5% t 7 5 6% t 5-5 -,% 4 t 45 8,6% 5 t 6 5 5 5% Ides dwduale jedopodstawowe t % t 4 - t 65 6,5% >% t 7 75% >% t 5 87,5% <% 4 t 45,5% >% 5 t 5 5% >% 6 W porówau z pozomem producj z 5r.: w 7r. producja wzrosła o ts. szt., tj. wzrost o 75%, zaś w 8r. producja zmalała o 5 ts. szt., tj. spade o,5%. W porówau z roem poprzedm w rou 7 producja wzrosła o 5 ts. szt. detal, tj. wzrost o 6%, zaś w rou 8 producja spadła o 5 ts. szt., tj. spadła o poad %. Producja detal w 7r. staowła 75% producj z rou 5 (czl wzrosła o 75%), atomast w 8r. tlo 87,5% producj z tego porówawczego rou. 6 7
Ides dwduale łańcuchowe t % t 4 - t 65 6,5% >% t 7 7,7% >% t 5 5% <% 4 t 45 8,57% >% 5 t 6 5,% >% Średe tempo zma producj detal w latach 5- W porówau z pozomem producj w rou poprzedm, producja w 7r. wzrosła o 7,7%, zaś w 8r. w porówau z roem poprzedm zmalała o 5% 5 5 5 4, 5,45 - średa producja w latach 5- rosła przecęte o 4,5% rocze Wres szeregu czasowego 7 65 5 45 4 5 W latach 5-7 tred rosąc, w latach 8- też tred rosąc. t t t t 4 t 5 t 6 t.. Aalza współzależośc zjaws Aalza współzależośc (aalza orelacj regresj) bada zależość mędz loma cecham. Rodzaje zależośc (zwązów): zależość fucjoala Y f X, gd oreśloej wartośc X odpowada ścśle oreśloa jeda wartość zmeej Y zależość stochastcza (probablstcza) Y f X, gd wraz ze zmaą wartośc jedej zmeej zmea sę rozład prawdopodobeństwa drugej zmeej Szczególm przpadem zależośc stochastczej jest zależość orelacja (statstcza), ed oreślom wartoścom jedej zmeej odpowadają ścśle oreśloe średe wartośc drugej zmeej. 8
zwąz przczowosutowe ( X - przcza, Y - sute) Podzał zwązów stochastczch zwąz smptomatcze ( X Y mają wspóle przcz) zwąz pozore (luzorcze) jedoeruowe dwueruowe... Metod badaa zależośc orelacjej a) Szereg orelacj (szczegółow) zbór par, lub : - warat zmeej objaśającej (ezależej) X - warat zmeej objaśaej (zależej) Y b) Dagram orelacj wres szeregu orelacjego: orelacja lowa dodata orelacja lowa ujema c) Tablca orelacja (szereg rozdzelcz): l orelacja rzwolowa l j j l l bra orelacj S S S l S j j j l S S S S j l l N j l j S S 9
W tablc orelacjej cecha (zmea) X przjmuje waratów:,,,, a cecha (zmea ) Y - l waratów:,,, l. Lczebośc waruowe j (,,,, j,,, l) ozaczają lczbę jedoste reprezetującch rówocześe -t warat X oraz j -t warat zmeej Y dla,,,, j,,, l. W tablc orelacjej wróżam dwa rozład: waruow brzegow dotcząc zarówo zmeej X, ja Y. d) Rozład waruow (dotcz rozładu obu cech): l l l l e) Parametr rozładu waruowego: zmeej X średe waruowe X : j j j waracje waruowe X : j j j j S dla j,,, l zmeej Y średe waruowe Y : l jj j waracje waruowe Y : l j j j S dla,,, f) Rozład brzegowe (dotczą rozładu tlo jedej cech): zmeej X zmeej Y (perwsza ostata (perwsz ostat wersz z tablc orelacjej) oluma z tablc l orelacjej) l j j l j j j j l j j l l l j j 4
Lczebośc:,,, oraz,,, l - to lczebośc brzegowe. g) Parametr rozładów brzegowch zmeej X średa cech X : N waracja cech X : N S gdze N zmeej Y średa cech Y : l N j waracja cech Y : l j l S N j j j h) Wres regresj emprczej Zestawając wartośc jedej cech ze średm waruowm drugej otrzmujem wres regresj emprczej: Y od X : oraz X od Y : j j j l l j p. j lub j lub j j j j zwąze low bra zależośc orelacjej... Mar orelacj Wbór mar zależ od: rodzaju zmech (loścowe, jaoścowe, meszae), lczb obserwacj (mała próba, to szereg orelacj, duża to tablca orelacja), ształtu zależośc (lowa, elowa). 4
a) owaracja dla szeregu orelacjego cov cov dla tablc orelacjej l N j j j Kowaracja formuje o eruu współzależośc: dodatej, gd cov, ujemej, gd cov. Uwaga: S S S S cov. b) współcz orelacj lowej Pearsoa cov r S S Uwaga: r, Za współcza orelacj formuje o eruu sle współzależośc: orelacja ujema orelacja dodata zwąze - fucj ujem orelacja: bardzo sla -,8 sla -,6 -,4 umarowaa słaba -,,,4,6,8 bardzo słaba umarowaa słaba sla bardzo sla zwąze fucj dodat r... Netóre sposob ogólej oce współzależośc Aalza jaoścowa oreśla zwąz przczowo-sutowe: współzależość dwustroa X Y przcza sute sute przcza współzależość jedostroa X Y przcza sute współzależość pozora X Y przcza 4
Aalza loścowa obejmuje: aalzę orelacj badającą słę erue zwązu mędz cecham, aalzę regresj budującą matematcz model powązań mędz cecham. Wzroowa obserwacja dagramu orelacjego pozwala oretacje oceć stee zależośc mędz zmem lub stwerdzć jej bra. Jedoeruowe zma waratów obu cech śwadczą o orelacj dodatej, zaś różoeruowe o orelacj ujemej. Low rozrzut putów, dagramu śwadcz o zależośc lowej, zaś elow o zależośc elowej. Supee lub rozproszee lczebośc j (,,,, j,,, l ) waratów, zmech X Y w tablc orelacjej pozwala oceć erue, słę ształt zależośc. Uład lczebośc j wzdłuż przeątch tablc orelacjej śwadcz o zależośc (dodatej lub ujemej) lowej, atomast ch supae woół ej rzwej może sugerować zależość elową. Lowość zależośc: X od Y : Y od X : l l Nezależość orelacja: X od Y : Y od X : l Nezależość stochastcza: X od Y : Y od X : S S Sl S l S S S S Nezależo ść stochastcza Nezależość orelac ja Nezależość orelacja zmeej orelacjej Y od X. Przładowe zadae : Dae są warat zmeej X Y : 7 9 5 8 6 - jest to szereg orelacj X od Y e mus ozaczać ezależośc j 4
Dagram orelacj: 6 8 Obserwacja wzroowa wsazuje a zależość lową. Lp. 4 5 7 9 5 Kowaracja współcz orelacj lowej: 7 9 5 55 55 5 8 6 6 ; 5-4 - 4-4 - 4 6 6 6 4 ; 6 4 4 6 6 6 4 4 cov 4 8,5 Kowaracja jest dodata, zatem współzależość jest dodata. S 4 4 ; S,6 ; S,9 cov 8,5 9,9,9 S S r,9 - r 4 S 4 8,5 Współcz orelacj lowej bls jest lczbe, zatem mędz zmem X Y zostają w bardzo slej zależośc lowej (dodatej). 4 Przładowe zadae : Dla N da jest szereg orelacj: 4 4 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 j 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 Zmea X przjmuje 4 warat, zaś zmea Y - l warat. 44
Tabela orelacja: j 4 5 j 5 5 4 7 4 8 8 4 5 6 4 4 j 9 7 4 N j 5 4 Lczebośc waruowe tworzą macerz:. 8 6 44 Obserwacja wzroowa wsazuje a supee sę lczebośc woół przeątej główej, co sugeruje zależość lową dodatą. Parametr rozładu waruowego: Średe waruowe cech X : j j j 4 9 9 5 4 4 5,4 4 7 7 7 48 56 4, 4 4 4 4 54 5 Średe waruowe cech Y : l jj j 5 5 jj 5 5 j 5 4 5 4 7 jj 7 7 j 4 4 5,4 8 jj 8 8 j 48 5 4 45
46 44 4 j4j j 46 54 4,4 Waracje waruowe cech X : j j j j S 4,4 8 8 S,4 5,6 4,8 4 8,48 6 6 S,, 8,8 6,5 4 S Waracje waruowe cech Y : l j j j S j j j 4 S,7 j j 6 6 j S, 4 4, 6, j j j 7 S 4 4 j 4 4 j 9 j S,4 6,6 4,8 Rozład brzegowe ch parametr: zmeej X : zmeej Y : 5 7 4 8 5 N Średa cech X : 57 485,9 9 9 Średa cech Y : 5 9 47 54,96 9 9 Waracja cech X : 4 5 9 7 4 N 5,9 9 9 S,9 5,9 7, 8,, 4 j
Waracja cech Y :,88 9 9 S,96 9, 4 7, 4 4, 44 Wres regresj emprczej: Y od X : 4 5,4 4 4,4 X od Y : j 4 5 j,4 4, 5 4,4 4,4 5 j 4, 4 5,4 4 5 j Wres regresj wsazuje a zależość lową dodatą. Mar orelacj: Kowaracja: cov l N j j j 9,9,96 4,94,96,95,96 4,9,96 4,94,96 8 4,95,96 5,9,96 5,94,96 6 5,9 5,964 9,, 4 6,, 4 4,56, 45 zależość dodata,9,96 5,9 4,96,9 5,96,9,96 5,9,96 4,9, 4,, 48 Współcz orelacj lowej: cov,45,45,4,44,7 r SS 9,6,6 czl wstępuje sla orelacja dodata,6 - r 47
48
. Przpomee wadomośc z rachuu prawdopodobeństwa.. Podstawowe pojęca probablstcze Dośwadczee losowe to espermet dając sę welorote powtarzać w prawe detczch waruach. Zdarzee losowe A, B, C, - to edając sę przewdzeć w dośwadczea losowego. Zdarzee elemetare - to pojęce perwote rachuu prawdopodobeństwa; rozume sę je jao pojedcz w dośwadczea losowego. Zbór (przestrzeń) zdarzeń elemetarch - to zbór wszstch możlwch wów dośwadczea losowego. Podzbor zboru A, B, C,. Zdarzee emożlwe - to zdarzee, tóre e może zasteć. Zdarzee pewe to przestrzeń. Zdarzee przecwe do A - to A ozacza, że e zachodz A... Defcja prawdopodobeństwa, to zdarzea losowe Częstość zdarzea Jeżel w powtórzeach pewego dośwadczea teresując as w pojaw sę raz, to lczba: jest częstoścą wstępowaa tego wu. Klascza defcja prawdopodobeństwa - zbór sończo o zdarzeach elemetarch. Zdarzea elemetare są jedaowo prawdopodobe,,, prawdopodobeństwo zdarzea A wraża sę wzorem:. Zdarzee A. Wówczas A lczba zdarzeń sprzjającch zajścu zdarzea A PA lczba wszstch możlwch zdarzeń Asjomatcza defcja prawdopodobeństwa Prawdopodobeństwo P jest fucją rzeczwstą oreśloą a zdarzeach losowch w sposób astępując: P: A P A; A, A) P A, P A spełającą asjomat: A) A B P A B P A PB A) P. 49
Dla dowolch AB:, a) P,, b) P A P A c) A B P A PB.. Własośc prawdopodobeństwa, d) P A B P A PB P A B, e) A B P A PB, f) P A, g) P A B P A PB P A B h) P A B P A PB ) P A ; j) P A B PB C P A C P A B C P A B C P A P B P C.4. Prawdopodobeństwo waruowe Jest to prawdopodobeństwo zajśca zdarzea A pod waruem, że zaszło zdarzee B, prz czm PB. Zdarzea A B są ezależe, jeśl P A / B Zdarzea A, B C są ezależe, jeśl P A B P B.5. Nezależość zdarzeń P A B P A PB P A B C P A P B P C - ezależość zespołowa P A B P A P B P B C P B P C - ezależość param P AC P A P C 5
.6. Prawdopodobeństwo całowte Jeżel B B B B Bj dla, j,,,. Wówczas prawdopodobeństwo zdarzea A wraża sę wzorem: / P A P A B P B Prawdopodobeństwo całowte ma zwąze z drzewem probablstczm oraz regułą loczu sum: P B P B P B B B B P(A/B ) P(A'/B ) P(A/B ) P(A'/B ) P(A/B ) P(A'/B ) A/B A'/B A/B A'/B A/B A'/B.7. Wzór Baesa Uwaga: Prz założeach, ja w prawdopodobeństwe całowtm, mam: P B / A / P B P A B P A / B P B Prawdopodobeństwo PB azwae jest prawdopodobeństwem a pror, zaś prawdopodobeństwo PB / A - prawdopodobeństwem a posteror..8. Schemat Beroullego W próbach, z tórch ażda ończć sę może jedm z dwóch możlwch wów: sucesem: A z prawdopodobeństwem: p P A z prawdopodobeństwem: q p., albo porażą: A Wówczas prawdopodobeństwo uzsaa sucesów w próbach wraża sę wzorem: P S p q. 5
Przładowe zadae Z ur zawerającej 5 ul bałch 5 ul czarch wcągam jedą ulę, a z pozostałch losujem dwe ule. Oblczć prawdopodobeństwo, że ule wcągęte w drugm losowau są różch olorów. Oto drzewo reprezetujące dośwadczee losowe opsae w zadau wraz z lustracją ur: 5 5 ul 5 ul bałch czarch 5 4 ule 5 ul 5 ul 4 ule bałe czarch bałch B (bała) C (czara) czare 4 5 5 4 9 4 5 9 9 5 4 9 9 9 (B, B) (B, C) (C, C) (B, B) (B, C) (C, C) (bała, bała) (bała, czara) (czara, czara) (bała, bała) (bała, czara) (czara, czara) I etap dośwadczea - wcągęce perwszej ul z ul - - B - bała lub C - czara II etap wcągęce dwóch ul z ul Zgode z treścą zadaa teresują as tlo wróżoe gałęze zaończoe wlosowaem w drugm etape dwóch ul różch olorów: (B, C) bałej czarej. P B, C 45 4 4 5 9 9 9 zasada możea zasada dodawaa zasada możea Przładowe zadae Oblcz prawdopodobeństwo, że w -cu rzutach ostą: a) 8 raz uzsam sześć ocze. 8 5 5 Rozwązae: PS 8 8 6 6 6 b) co ajmej 8 raz uzsam sześć ocze. Rozwązae: PS 8 5 76 8 6 6 6 c) co ajwżej 8 raz uzsam sześć ocze. 5
Rozwązae: PS 8 8 5 6 5 6 6 6 d) węcej ż 8 raz uzsam sześć ocze. Rozwązae: PS 8 5 5 9 6 6 6 e) mej ż 8 raz uzsam sześć ocze. Rozwązae: PS 8 7 5 6 76 6 6 6 f) węcej ż 5 mej ż 8 raz uzsam sześć ocze. Rozwązae: P5 S 8 6 4 7 5 5 5 7 6 6 6 7 6 6 6 5
54
4. Podstaw statst matematczej 4.. Zmee losowe ch rodzaje 4... Pojęce zmeej losowej Zmea losowa X, to fucja oreśloa a przestrze probablstczej przjmująca wartośc lczbowe z oreślom prawdopodobeństwem: X : realzacje zmeej losowej X X : X z prawdopodobeństwem p P X 4... Tp zmeej losowej Zbór wartośc zmeej losowej może bć: sończo lub przelczal Wted zmea losowa azwa sę soową, czl dsretą. lub esończo eprzelczal Wted zmea losowa azwa sę cągłą. 4... Cecha statstcza, a zmea losowa X : X P X zmea fucja losowa realzacja rozładu prawdopodobeństwo, zmeej losowej prawdopodobeństwa że zmea losowa X (rozład przjmuje wartość prawdopodobeństwa ) Aaloge mędz statstą opsową, a matematczą: STATYSTYKA OPISOWA STATYSTYKA MATEMATYCZNA zborowość statstcza populacja geerala cecha statstcza X warat cech zmea losowa X realzacje zmeej losowej fucja rozładu: 55
częstość względa N f lm p P X P X fucja gęśtosc prawdopodobeństwa ; dla zmeej losowej soowej ; dla zmeej losowej cągłej rozład cech:, rozład zmeej losowej soowej:, p p p p p dstrbuata emprcza (częstość sumulowaa) F F dstrbuata zmeej losowej: p ; dla zmeej soowej f t dt; dla zmeej cągłej parametr opsowe, S Uwaga: Fucja rozładu prawdopodobeństwa: dla zmeej losowej soowej: ;,,, P X p oraz dstrbuata: dla zmeej losowej soowej: F P X p są to fucje opsujące rozład zmeej losowej. parametr rozładu EX, S X dla zmeej losowej cągłej: f lm P X (gęstość prawdopodobeństwa) dla zmeej losowej cągłej: F f t dt 56
4..4. Podstawowe parametr rozładu zmeej losowej Rozład zmeej losowej (podobe, ja rozład cech) jest scharaterzowa za pomocą parametrów rozładu. () Wartość oczewaa (wartość średa) zmeej losowej: m EX () Waracja zmeej losowej: p; dla zmeej soowej f d; dla zmeej cągłej m p; dla zmeej soowej VX S X D X m f d; dla zmeej cągłej () Odchlee stadardowe zmeej losowej: SX DX VX 4..5. Aaloge mędz zmem losowm soowm cągłm ZMIENNE LOSOWE SKOKOWE zagadea CIĄGŁE P X p;,,, P X fucja rozładu f lm prawdopodobeństwa fucja p p gęstośc p p F P X p dstrbuata F f t dt p własość f d EX p wartość oczewaa (średa) zmeej losowej waracja zmeej VX S X EX p losowej odchlee stadardowe SX VX S X wzór VX S X EX EX EX f d VX S X EX f d 57
4.. Rozład zmeej losowej 4... Rozład zmeej losowej soowej () Rozład dwuputow (zerojedow): a) fucja prawdopodobeństwa: p p q p p b) dstrbuata: c) wres: P ; dla F p; dla p; dla F p p p d) parametr rozładu: EX p ; S X p p pq e) własośc: - ma zastosowae w jedorazowej realzacj dośwadczea. () Rozład dwumaow (Beroullego): a) fucja prawdopodobeństwa: P X p q ; b) dstrbuata: F P X p q ; q p 58
c) wres: P F p. d) parametr rozładu: EX p ; e) własośc: - p q, to rozład jest smetrcz, S X pq; q p - p q, to rozład jest lewostroe asmetrcz, - p q, to rozład jest prawostroe asmetrcz, - p q, to graczm rozładem jest rozład ormal, - p,, to graczm rozładem jest rozład Possoe a. () Rozład Possoa: a) fucja prawdopodobeństwa: P X e ; p ; ; e,78...! b) dstrbuata: c) parametr rozładu: F P X e! EX p ; S X p d) własośc: - wartośc prawdopodobeństw są stablcowae dla, - jest rozładem prawostroe asmetrczm, - ma zastosowae w otrol jaośc, - jest graczm rozładem dla rozładu dwumaowego, gd p,. (4) Rozład geometrcz: realzacje X : ;,, prawdopodobeństwa: p p p EX ; S X p p p 59
4... Rozład zmeej losowej cągłej Dla zmech losowch cągłch emożlwe jest przpsae prawdopodobeństw wszstm ch wartoścom, ale moża oreślć gęstość prawdopodobeństwa w dowole małm przedzale, gd. Jest to fucja gęstośc prawdopodobeństwa: P X f lm Pole pod wresem fucj gęstośc jest rówe : Dstrbuata zmeej losowej cągłej: f d F P X f t dt Zatem fucja gęstośc zmeej losowej cągłej jest pochodą dstrbuat: Iterpretacja geometrcza: f df f F (dla F różczowalej) d P F F 4 F P P F F 4 4 Ogóle: P P X F P P X F F P P X F 4 4 b P a X b f d F b F a () Rozład jedostaj (prostoąt, rówomer): a Każdej wartośc a, b odpowada jedaowa gęstość prawdopodobeństw f. a b 6
a) fucja gęstośc: b) dstrbuata: c) wres: f b a ; dla a f ba; dla a b ; dla b ; dla a a F ba; dla a b ; dla b F a d) parametr rozładu: b a EX ; ab b S X ba e) własośc: - zastosowae do opsu zma ze stała częstotlwoścą (prędoścą). () Rozład ormal (Gaussa-Laplace a): z parametram, : N, a) fucja gęstośc: f e b) dstrbuata: c) wres: f ; ; t F e dt ; ;,4 ; e,78 ; ; F ;,5 rzwa ormala w ształce dzwou 6
d) parametr rozładu: EX e d ; S X e d e) własośc: - rozład smetrcz - jest graczm rozładem rozładu dwumaowego dla p q - ma szeroe zastosowae do opsu zjaws społeczch przrodczch. () Rozład t-studeta (Gosseta): Statsta: swobod. X t ma rozład t-studeta z lczbą stop S Et ; St ; f t Wres fucj f t - rzwa gęstośc rozład t-studeta ma ształt rzwej dzwoowej eco spłaszczoej w porówau z wresem fucj gęstośc rozładu ormalego. Rozład t-studeta ma zastosowae do wosowaa o średej w populacj z rozładem ormalm z ezam odchleem stadardowm. Jest o stablcowa. (4) Rozład (ch-wadrat): S Statsta: ma rozład Fucja gęstośc rozładu wres ma róż ształt w zależośc od : f z t lczbą stop swobod. zależ od lczb stop swobod jej 5 ; S E 6
Rozład ma zastosowae do wosowaa o waracj w populacj z rozładem ormalm. Jest o stablcowa. (5) Rozład F-Sedecora: Sˆ Statsta F ma rozład F-Sedecora o ˆ stopach S swobod, gdze - lczebość perwszej prób, - lczebość drugej prób. Wres fucj gęstośc rozładu F-Sedecora: f F ; S F E F F 4 Rozład F-Sedecora ma zastosowae do wosowaa prz porówau waracj dwóch prób wlosowach ezależe z dwóch populacj ormalch o jedaowch waracjach dowolch średch. Rozład te jest stablcowa. 4... Stadarzacja rozładu ormalego N, Rozład ormal N, moża stadarzować (sprowadzć) do rozładu, czl do rozładu N, poprzez ormalego z parametram X wprowadzee owej zmeej losowej: U. X - ma rozład N,, a U - ma rozład N, Wówczas: fucja gęstośc ma postać: a dstrbuata: f u u e u t u e dt 6
f u u,5 u u u Rozład ormal stadarzowa N, jest stablcowa. Ma o zastosowae do wosowaa o średej w populacj z rozładem ormalm N, ze zam odchleem stadardowm w populacj. u 4..4. Reguła -ch Nech X ma rozład ormal N,. Wówczas: - o.68,% obserwacj meśc sę w gracach -go odchlea stadardowego : f po stadarzacj: P X,686 f u - u P U,686 - o. 95,5% obserwacj meśc sę w gracach -ch odchleń stadardowch : 64
f P 5 X 5,9545 po stadarzacj: f u - P U,9545 - o. 99,7% obserwacj meśc sę w gracach -ch odchleń stadardowch : f u po stadarzacj: P 5 X 5,997 f u - P U,997 u 65
Podsumowując, mam: f 68,% wszstch obserwacj 95,5% wszstch obserwacj 99,7% wszstch obserwacj 4.. Rozład statst z prób Statst z prób W, to parametr charaterzujące próbę losową -elemetową: X, X,, X. Są oe zmem losowm oreślom a przestrze prób: W f X, X,, X Podczas wosowaa statstczego o populacj a podstawe prób moża posłużć sę różm statstam, p. średą z prób, waracją z prób:, X X S X X Statsta, jao fucja zmech losowch, jest zmeą losową, tóra ma pewe rozład jest to rozład statst z prób. 4... Rozład średej artmetczej z prób Nech X ma rozład, N, a X, X,, X - to -elemetowa próba losowa. Średa artmetcza z prób ma rozład ormal ze średą E X waracją D X. Czl:,, to, X N X N 66
f rozład X N, rozład X N, Do wosowaa o średej w populacj worzstuje sę odpowedą zmeą losową w zależośc od tego, cz zae jest w populacj, cz e: - zae lub - ezae U X o rozładze N, t X S o rozładze t-studeta o stopach swobod, gdze odchlee stadardowe z prób wraża sę wzorem: S X X Nech X ma rozład, o waracj S X X 4... Rozład waracj z prób N, a X, X,, X - to -elemetowa próba losowa. Do wosowaa o waracj w populacj worzstuje sę odpowedą zmeą losową w zależośc od welośc prób: mała próba duża próba X S o rozładze z stopam swobod Z o rozładze N, 67
4.4. Teora estmacj POPULACJA eza parametr Q? p.,,, p (fracja) PRÓBA estmator T parametru Q w populacj p. X, S, S, ˆp (częstość w próbe) WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE 4.4.. Estmacja, estmator a) Estmacja, to aczej szacowae, przblżae ezaego parametru w populacj Q a podstawe badań statstczch przeprowadzoch w próbe. b) Estmator T, to oblczo w próbe parametr odpowed ezaego parametru Q w populacj. c) Defcja własośc estmatora: Nech X, X,, X ozacza próbę losową. Estmator T ezaego parametru Q populacj jest fucją prób losowej: T f X, X,, X Wartość estmatora, to ocea (putowa) ezaego parametru populacj: estmator T parametr Q populacj Róże wartośc oce T parametru Q są obarczoe błędam szacuu: X Mał błąd szacuu gwaratuje dużą preczję oce. Własośc estmatorów zapewają optmalą preczję szacuu. Oto oe: () eobcążoość: ET Q, () zgodość: P T Q lm, S S T Q. () efetwość ajmejsza waracja estmatora (odwrotość waracj, to preczja estmatora), (4) dostateczość worzstae wszstch formacj z prób o szacowam parametrze. 68
4.4.. Rodzaje estmacj ESTYMACJA PARAMETRYCZNA (szacowae tlo ezach parametrów w zam tpe rozładu populacj geeralej) NIEPARAMETRYCZNA (szacowae dotcz róweż ezaej postac fucj rozładu populacj) PUNKTOWA (za oceę przjmuje sę oretą lczbę z wów prób) PRZEDZIAŁOWA (ostruuje sę przedzał ufośc, tór z oreślom z gór prawdopodobeństwem blsm lczbe porwa (zawera) ezaą wartość szacowaego parametru populacj) 4.4.. Przedzał ufośc a ; b tz. P a Q b dola graca przedzału ufośc góra graca przedzału ufośc współcz ufośc (o.,9;,95,98;,99) ( - pozom stotośc, p.,,,5,,,, ) l b a - tj. długość przedzału ufośc l - tj. bezwzględa preczja (masmal błąd) szacuu l % - względa preczja szacuu estmatora T T () Przedzał ufośc dla średej w populacj ormalej Estmatorem średej jest średa z prób: X X o rozładze N, - zae ze zam odchleem stadardowm X Po stadarzacj U ma rozład, N. założee: populacja ma rozład N, - ezae, mała próba z ezam odchleem stadardowm (mała próba: ) X Stosujem statstę t S o rozładze t-studeta o stopach 69
Dla oreśloego z tablc rozładu ormalego odcztuje sę u ta, b P u U u, czl po przeształceu: P X u X u swobod. Dla oreśloego z tablc rozładu t-studeta odcztujem t ta, b P t U t, czl po,, przeształceu P X t X t S S,, Uwaga: Szacowae średej w populacj o ezam rozładze a podstawe dużej prób odbwa sę z worzstaem wosu o tm, że w marę wzrostu prób rozład średej artmetczej z prób dąż do rozładu ormalego. Wówczas przjmując, że przedzał ufośc dla średej : S S S P X u X u, mam astępując Jaość taego oszacowaa wzrasta wraz ze wzrostem lczebośc prób. () Przedzał ufośc dla waracj Estmatorem waracj w populacj ormalej jest waracja z prób: S X X Założee: populacja ma rozład ormal, Stosujem statstę S Dla oreślea z tablc rozładu czl po przeształceu:. N próba jest mała. o rozładze z stopam swobod. odcztujem P,, P Uwaga: Szacowae waracj. S S,, ta, b:,, w populacj o rozładze ormalm N, a podstawe dużej prób odbwa sę z worzstaem tablc rozładu ormalego ( u - odcztuje sę z tablc dla oreśloego ). Wówczas przedzał ufośc dla waracj jest astępując: us us P S S. gdze S X X 7
() Przedzał ufośc dla odchlea stadardowego w populacj ormalej Estmatorem odchlea stadardowego jest odchlee stadardowe o rozładze N, w prób: S X X ma rozład ormal, U S N próba jest duża. Założee: populacja. Stosujem statstę o rozładze asmptotcze ormalm N,. Dla oreśloego z tablc rozładu ormalego odcztujem u ta, b: czl po przeształceu P u U u, P S u S u. S S Uwaga: Szacowae odchlea stadardowego w populacj o rozładze ormalm N, a podstawe małej prób z zastosowaem rozładu z odbwa sę stopam swobod. Wówczas przedzał ufośc dla odchlea stadardowego jest astępując: S S P.,, (4) Przedzał ufośc dla fracj w populacj Fracja P, to odsete (wsaź strutur) wróżoch elemetów w populacj mającch daą cechę. Założea: populacja ma rozład dwumaow, lczebość prób jest duża (p., ). Estmatorem p jest częstość sucesu w próbe: P oblczaa, jao lczba sucesów w -elemetowej próbe. Wsaź p N b:, p p : N p, p p P ma rozład ormal z parametram. Stosujem statstę p U o rozładze p p. Dla ustaloego z tablc rozładu ormalego odcztujem u ta, czl po przeształceu podstaweu P u U u p : P u p u. 7
Przładowe zadae Oreślć przedzał ufośc dla średego stażu prac pracowów w populacj o rozładze ormalm N ; a pozome ufośc,95 wedząc, że a podstawe 44-elemetowej prób losowej ustaloo śred staż prac rów lat. Rozwązae: Soro,95, to,5. Odchlee stadardowe jest dae:. Lczebość prób 44. Średa X. Stosujem statstę U X 44 o rozładze N,. Z tablc rozładu ormalego odcztujem u,5,96. Wzaczam przedzał ufośc dla średej : P X u X u czl P,96,96,95 czl 44 44 P 9,56, 44,95 Zatem przedzał ufośc 9,56;,44 z prawdopodobeństwem,95 porwa ezaą średą stażu prac w populacj. Przładowe zadae Na podstawe prób lczącej 4 uczów szół daego regou ustaloo śred dze czas samodzelej au a pozome 9 mut dzee z odchleem stadardowm 4 mut. Na pozome ufośc,9 oszacować śred dze czas samodzelej au uczów w tm regoe, załadając, że rozład czasu au jest rozładem N,. Rozwązae Z dach mam:,, X 9, S 4, 4, - ezae Stosujem rozład t-studeta t X 9, S 4 4. Dla, stop swobod odcztujem wartość rtczą t,;, 74 rozładu t-studeta. Wzaczm przedzał ufośc średej : P X t X t czl S S,, P 9, 74 9, 74,9 czl 4 4 4 4 7
P 88,6 9, 4,9 Zatem z 9%-ową pewoścą szacujem, ż średo uczowe tego regou pośwęcają dzee od 88,6 do 9,4 mut a samodzelą auę. Przładowe zadae Ab oceć zróżcowae średc drzew w paru zmerzoo średcę 7-mu losowo wbrach drzew otrzmao X 5cm S cm. Załadając, że rozład średc drzew w paru ma rozład ormal, a pozome ufośc,95, oceć zróżcowae średc drzew w paru. Rozwązae: Na podstawe dach mam:,5, X 5, S 6 S, 7. Stosujem statstę o rozładze ch-wadrat z 6 stopam swobod. Z tablc tego rozładu odcztujem dla,5 wartość rtczą tej statst 4, 449 oraz ;,5 ;6 ; ;6,975;6, 7. Zatem,5,5;6 wzaczam przedzał ufośc dla waracj: S S P ; ; czl 7 7 P 4, 449, 7 czl P,8 9, 7,95,95 Stąd z prawdopodobeństwem,95 waracja,8;9,7. Wedząc, że porta jest przez przedzał, otrzmujem z 95% ufoścą przedzał ufośc dla odchlea stadardowego,9,. Jest to zares zróżcowaa średc drzew w tm paru. Przładowe zadae 4 Z populacj tsęc osób wlosowao osób, z tórch ma zmeć mejsce zameszaa. Przjmując współcz ufośc,9 wzaczć przedzał ufośc dla fracj osób tej grup zamerzającch opuścć dotchczasowe mejsce zameszaa. Rozwązae: 7