Skrypt do laboratorium PRACOWNIA FIZYCZNA I wiczenie 4: Wyznaczanie wspóªczynnika zaªamania ciaª staªych. Opracowanie: mgr Tomasz Neumann Gda«sk, 2011 Projekt Przygotowanie i realizacja kierunku in»ynieria biomedyczna - studia mi dzywydziaªowe wspóªnansowany ze ±rodków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Spoªecznego.
Politechnika Gda«ska, mi dzywydziaªowy kierunek In»ynieria Biomedyczna USTALENIA WST PNE Wymagania wst pne: Zapoznanie si z wiadomo±ciami teoretycznymi oraz przebiegiem wiczenia zawartymi w instrukcji do wiczenia. Cele wiczenia: 1. Usystematyzowanie wiedzy z elektrodynamiki i optyki falowej. 2. Zapoznanie studentów z metodami pomiaru wspóªczynnika zaªamania ciaª staªych. 3. Wykonanie pomiaru wspóªczynnika zaªamania ±wiatªa materiaªu za pomoc metody de Chaulnes i k ta Brewstera. 4. Analiza zebranych danych pomiarowych, niepewno±ci pomiarowych oraz wykonanie odpowiedniej statystyki danych pomiarowych. 5. Oszacowanie niepewno±ci wielko±ci wyznaczanych. 6. Sformuªowanie wniosków. Wykaz przyrz dów niezb dnych do wykonania wiczenia: (a) Ukªad pomiarowy 1: 1 - lampka laboratoryjna; (b) Ukªad pomiarowy 2: 1 - ruchome ¹ródªo ±wia2 - mikroskop; 3 - badane obiekty, 4 - ±ruba mi- tªa ; 2 - soczewka skupiaj ca 1; 3 - obrotowy stokrometryczna. lik z polaryzatorem, 4 - pionowa ni celownika, 5 - analizator. Rys. 1: Ukªady pomiarowe wykorzystywane w wiczeniu. Wykaz literatury podstawowej: 1. D. Halliday, R. Resnick, J. Walker - Podstawy zyki. 2. M. Skorko - Fizyka dla studentów wy»szych technicznych studiów zawodowych. 3. I. Tarjan - Fizyka dla przyrodników. 4. K. Kozªowski, A. Zieli«ski - I Laboratorium z zyki. 5. K. A. Tsokos - Physics for IB diploma. 2 Pracownia Fizyczna I - Wyznaczanie wspóªczynnika zaªamania ciaª staªych.
WPROWADZENIE DO WICZENIA Podstawy optyki geometrycznej W o±rodku jednorodnym i izotropowym ±wiatªo rozchodzi si po liniach prostych. W optyce geometrycznej operuje si poj ciem promienia ±wietlnego, czyli bardzo w skiej wi zki ±wiatªa wyznaczaj cej kierunek rozchodzenia si fali ±wietlnej. Zgodnie z zasad Fermata, promie«±wietlny biegn cy z jednego punktu do drugiego przebywa drog, do której przebycia potrzebny jest ekstremalny czas (najmniejszy lub najwi kszy). Z zasady tej mo»na wyprowadzi prawo odbicia i zaªamania ±wiatªa na granicy dwóch o±rodków. Na rysunku 2 zostaª przedstawiony promie«padaj cy z punktu A pod k tem α do normalnej oraz promie«odbity od granicy dwóch o±rodków w punkcie P pod k tem α do normalnej. Caªkowita dªugo± drogi promienia ±wietlnego pomiedzy punktem A i B wynosi Rys. 2: Odbicie promienia ±wietlnego od granicy dwóch o±rodków. s = a 2 + x 2 + b 2 + (d x) 2 (1) W równaniu 1 na drog promienia ±wietlnego x jest zmienn zale»n od poªo»enia punktu P. Aby obliczy ekstremum funkcji 1 musi by speªniony warunek ds dx Po obliczeniu pochodnej i przeksztaªceniu otrzymujemy zwi zek x a2 + x 2 = = 0. (2) d x b 2 + (d x) 2. (3) Z rysunku 2 mo»na zauwa»y nast puj ce zale»no±ci trygonometryczne sin α = x a2 + x 2 oraz sin α = d x b 2 + (d x) 2, (4) 3
a wi c sin α = sin α. (5) Z równania 5 wynika,»e zgodnie z zasad Fermata k t padania jest równy k towi odbicia α = α. (6) Analogicznie mo»na wyprowadzi prawo zaªamania, które zilustrowane zostaªo na rysunku 3. W tym przypadku, czas przej±cia promienia ±wietlnego od punktu A do punktu B przez Rys. 3: Zaªamanie promienia ±wietlnego na granicy dwóch o±rodków. punkt P wynosi t = s 1 + s 2, (7) v 1 v 2 w którym przez v 1 i v 2 rozumiemy pr dko± propagacji promienia ±wietlnego w danym o±rodku. Korzystaj c ze zwi zku pomi dzy pr dko±ci promienia ±wietlnego, a wspóªczynnikiem zaªamania wzgl dem pró»ni n = c v, (8) gdzie c jest pr dko±ci ±wiatªa, równanie 7 mo»na przeksztaªci do postaci t = n 1s 1 + n 2 s 2 c = s opt c. (9) Wielko± s opt = n 1 s 1 + n 2 s 2 jest drog optyczn promienia ±wietlnego i jest ró»na od drogi geometrycznej, która wynosi s geom = s 1 + s 2. Zgodnie z prawem Fermata droga optyczna promienia ±wietlnego powinna by ekstremalna, wi c» damy, aby speªniony byª warunek 4 ds opt dx. (10)
Po zró»niczkowaniu i przeksztaªceniach otrzymamy równanie n 1 x a2 + x = n d x 2 2 b 2 + (d x). (11) 2 Z rysunku 3 wida nast puj ce zwi zki trygonometryczne sin α = x a2 + x 2 oraz sin β = d x b 2 + (d x) 2, (12) co prowadzi do prawa zaªamania postaci sin α sin β = n 2 n 1 = n 21 (13) Wielko± n 21 nazywamy wzgl dnym wspóªczynnikiem zaªamania ±wiatªa o±rodka drugiego wzgl dem ±rodka pierwszego i wynosi n 21 = n 1 n 2. (14) Wspóªczynniki zaªamania s odwrotnie proporcjonalne do pr dko±ci rozchodzenia si ±wiatªa w o±rodkach. O±rodek, w którym ±wiatªo rozchodzi si z wi ksz pr dko±ci, nazywamy optycznie rzadszym, za± o±rodek, w którym pr dko± ±wiatªa jest mniejsza - optycznie g stszym. Nale»y pami ta,»e promie«padaj cy na granic dwóch o±rodków ulega zarówno odbiciu jak i zaªamaniu. Prawo odbicia i zaªamania mo»na równie» wyprowadzi korzystaj c z podstawowych praw falowych oraz zasady Huygensa. Zgodnie z tre±ci tej zasady, ka»dy punkt o±rodka do którego dociera czoªo fali, staje si ¹ródªem nowej fali elementarnej. Wyprowadzenie to jednak pozostawiam czytelnikowi do samodzielnego rozwi zania. Polaryzacja ±wiatªa wiatªo jest to fala elektromagnetyczna, która jest szczególnym rozwi zaniem równa«maxwella. S to naprzemienne zmiany wektora nat»enia pola elektrycznego E i pola magnetycznego H na pªaszczyznach wzajemnie prostopadªych. Kierunek propagacji ±wiatªa jest zawsze prostopadªy do pªaszczyzny zmian wektorów E i H zgodnie z kierunkiem przepªywu energii. Nie ma jednak wyró»nionej pªaszczyzny drga«, wi c kierunki drga«tych wektorów w przestrzeni s jednakowo prawdopodobne. Przez polaryzacj ±wiatªa rozumiemy uporz dkowanie drga«wektora E i H wzdªu» wyró»nionego kierunku. Kierunek drga«wektora pola elektrycznego i magnetycznego ±wiatªa spolaryzowanego nie zmienia si w przestrzeni lub zmienia si wedªug okre±lonego prawa. Pªaszczyzna utworzona z kierunku drga«wektora E i kierunku rozchodzenia si fali to pªaszczyzna drga«, natomiast pªaszczyzna utworzona z kierunku drga«wektora H i kierunku rozchodzenia si fali nosi nazw pªaszczyzny polaryzacji. wiatªo mo»na spolaryzowa poprzez polaroid, pryzmaty polaryzuj ce, rozproszenie oraz w 5
wyniku odbicia i zaªamania ±wiatªa od granicy dwóch o±rodków. Przy padaniu ±wiatªa na granic dwóch o±rodków nast puje polaryzacja zarówno promienia odbitego, jak i zaªamanego. Polaryzatorem jest powierzchnia odbijaj ca ±wiatªo - granica dwóch o±rodków. Dla dowolnego k ta padania polaryzacja ta jest cz ±ciowa. Stopie«polaryzacji zmienia si ze zmian k ta padania ±wiatªa i jest opisany zale»no±ci P = I max I min I max I min, (15) w którym I max i I min oznaczaj nat»enie wi zek skªadowych o drganiach wzajemnie prostopadªych, odpowiednio o najwi kszym i najmniejszym nat»eniu za analizatorem. Caªkowita liniowa polaryzacja ±wiatªa odbitego zachodzi dla takiego k ta padania α B, dla którego promie«odbity jest prostopadªy do promienia zaªamanego - promie«ten jest jedynie cz ±ciowo spolaryzowany. K t α B nosi nazw k ta caªkowitej polaryzacji albo k ta Brewstera. Drgania wektora E w ±wietle odbitym zachodz prostopadle do pªaszczyzny, w której le»y promie«padaj cy i odbity, a w ±wietle zaªamanym odbywaj si w pªaszczy¹nie równolegªej do pªaszczyzny, w której le» te promienie. Zgodnie z prawem zaªamania oraz warunkiem,»e otrzymujemy sin α 1 sin α 2 = n 21, (16) α B + β = 90, (17) tg α B = n 21. (18) Polaryzacj ±wiatªa wykrywamy i badamy za pomoc analizatorów - mo»e to by np. pryzmat Nikola (nikol). Je»eli pªaszczyzna polaryzacji nikola b dzie równolegªa do pªaszczyzny polaryzacji ±wiatªa odbitego od pªytki, ±wiatªo przechodz ce przez analizator b dzie posiadaªo 6
maksymalne nat»enie. Przy pªaszczyznach prostopadªych obserwujemy caªkowite wygaszanie ±wiatªa. W wypadkach po±rednich, gdy pªaszczyzny polaryzacji ±wiatªa przez pªytk i przez nikol tworz ze sob pewien k t γ, obowi zuje prawo Malusa I = I 0 cos 2 γ, (19) w którym I 0 - nat»enie ±wiatªa wychodz cego z analizatora dla k ta γ = 0, I - nat»enie ±wiatªa wychodz cego z analizatora, gdy jest on skr cony o k t γ wzgl dem polaryzatora. PRZEBIEG WICZENIA CZ I: Obserwuj c przedmioty w o±rodkach optycznie g stszych z o±rodka optycznie rzadszego mamy wra»enie,»e przedmioty te znajduj si bli»ej ni» w rzeczywisto±ci (np. ryba w wodzie). Wykorzystanie tej obserwacji pozwala w prosty sposób zmierzy wspóªczynniki zaªamania prze¹roczystych pªytek. Obserwuj c punkt P przez pªytk pªaskorównolegª, Rys. 4: Powstawanie obrazu pozornego. widzimy go w poªo»eniu P - otrzymamy pozorne podniesienie obrazu na wysoko± h. Rozpatruj c trójk ty ABP i ABP, w których AB = e, AP = d h, tg α = e sin α, d tg β = e sin β. d h 7
otrzymamy warto± wspóªczynnika zaªamania o±rodka w postaci n = d d h. (20) Z wzoru 20, wynika,»e wyznaczaj c do±wiadczalnie d oraz h wyznaczymy wspóªczynnik za- ªamania n danej pªytki. Pomiar grubo±ci pªytki d wykonujemy za pomoc ±ruby mikrometrycznej. Grubo± mierzymy 10 razy w ró»nych miejscach pªytki, aby w obliczeniach uwzgl dni ewentualne niejednorodno±ci grubo±ci pªytki. Na podstawie tych pomiarów, obliczamy ±redni warto± d r. Warto± pozornego podniesienia obrazu h mierzymy, posªuguj c si mikroskopem. ruba przesuwaj ca tubus mikroskopu jest ±rub mikrometryczn. Peªny obrót ±ruby powoduje przesuni cie o z = 0, 5 mm. Ten peªny obrót podzielony jest jeszcze na 50 cz ±ci tak,»e dokªadno± odczytu wynosi 0, 01mm. Na stoliku umieszczamy zarysowan pªytk i ustawiamy mikroskop tak, aby brzegi rysy byªy ostro widoczne. Nast pnie przykrywamy rys badan pªytk o nieznanym wspóªczynniku zaªamania i ponownie szukamy ostrego obrazu rysy, przesuwaj c tubus mikroskopu za pomoc ±ruby. Liczymy peªn ilo± obrotów ±ruby k, a ze skali odczytujemy setne cz ±ci milimetra r. Pozorne podniesienie obrazu w pªytce wyniesie h = kz + r [mm]. (21) Dla badanej pªytki pomiar h wykonujemy dziesi ciokrotnie po czym obliczamy ±redni warto± h r. Cz ± II: Wykorzystuj c prawo Brewstera tg α B = n 21, (22) do±wiadczalnie wyznaczamy k t α B, posªuguj c si przy tym ukªadem optycznym jak na rysunku 5 Na ªawie optycznej umieszczona jest, w ruchomej podstawce, badana pªytka P b d ca polaryzatorem ±wiatªa oraz nikol A, speªniaj cy w tym ukªadzie rol analizatora. Monochromatyczne ¹ródªo ±wiatªa Z znajduje si na ruchomym ramieniu obracaj cym si wokóª polaryzatora. W celu znalezienia k ta caªkowitej polaryzacji ustawiamy ¹ródªo tak, aby promie«padaª na pªytk w ±rodku skali k towej. Speªnione to b dzie wówczas, je»eli na tle plamki ±wietlnej b dziemy widzie pionow ni celownika C umieszczonego mi dzy P i A. Obracamy analizator wokóª kierunku biegu promienia odbitego. Zmiany nat»enia wi zki ±wiatªa ±wiadcz o pewnym uporz dkowaniu drga«wektora E. Je»eli przy obrocie nikola natramy na takie jego poªo»enie, przy którym nat»enie promienia odbitego b dzie równe zeru, wówczas znaleziony k t padania jest k tem caªkowitej polaryzacji α B. Odnajdujemy ten k t metod kolejnych prób dla ró»nych k tów padania ±wiatªa na pªytk P. Nale»y pami ta,»e przy zmianie poªo»enia ¹ródªa ±wiatªa nale»y odpowiednio zmienia poªo»enie 8
Rys. 5: Schemat ukªadu pomiarowego do wyznaczania wspóªczynnika zaªamania materiaªu, wykorzystuj c zjawisko polaryzacji ±wiatªa przez odbicie. pªytki P. K t Brewstera mierzymy pi ciokrotnie z jednej i drugiej strony ªawy optycznej. Odczytu warto±ci k ta caªkowitej polaryzacji α B dokonujemy na tarczy obracaj cej si razem z pªytk P. Warto± wspóªczynnika zaªamania obliczamy dla warto±ci ±redniej k ta Brewstera zgodnie z formuª Zadania n = tg α r. (23) 1. Wyznaczy wspóªczynnik zaªamania ±wiatªa metod mikroskopow de Chaulnesa, mierz c grubo± pªytki d oraz pomiar pozornego podniesienie obrazu h. 2. Wyznaczy wspóªczynnik zaªamania ±wiatªa, stosuj c prawo Brewstera przez pomiar k ta Brewstera dla badanej pªytki. OPRACOWANIE DANYCH POMIAROWYCH Niepewno± pomiarów wspóªczynnika zaªamania metod mikroskopow de Chaulnesa wyznaczamy jako niepewno± standardow wielko±ci zªo»onej w postaci [ h ] 2 [ ] d 2 S n = ( d h) (S d) 2 + 2 ( d h) (S h) 2, 2 w której S d i S h s niepewno±ciami standardowymi wielko±ci wyznaczonych d i h, które mo»na wyliczyc z formuªy n ( d d i ) 2 n S d = i=1 n(n 1), ( h h i ) 2 S h = i=1 n(n 1). (24) 9
Niepewno± maksymalna wspóªczynnika zaªamania n, wyznaczona t metoda wynosi n = 3S n. (25) Niepewno± wspóªczynnika zaªamania ±wiatªa wyznaczonego metod, opart na prawie Brewstera, wyznaczamy metod ró»niczki zupeªnej. Wyliczaj c pochodn ze wzoru 23 po k cie α uzyskamy n w postaci n = 1 cos 2 α sr α sr. (26) We wzorze 26 α sr = 3S αsr, natomiast S αsr jest odchyleniem standardowym wyznaczonego ±redniego k ta Brewstara i wynosi n (α sr α i ) 2 S αsr = i=1 n(n 1). (27) Nale»y pami ta, aby przed podstawieniem zale»no±ci 27 do 26 zamieni miar k tow wyra»an w stopniach na radiany. SPRAWD CZY ROZUMIESZ. ZADANIA PROBLEMOWE 1. Korzystaj c z zasady Huygensa wyprowad¹ prawo odbicia i prawo zaªamania. 2. Pªaska bªonka mydlana widziana w ±wietle odbitym, gdy promienie ±wietlne wpadaj do oka pod k tem α = 30 (jest to k t mierzony od normalnej) ma zabarwienie zielone. Jak grubo± ma ta bªonka? Jaka jest barwa bªonki, gdy patrzymy na ni pod k tem α = 0. Wspóªczynnik zaªamania bªonki przyj n = 1, 33, dªugo± fali ±wiatªa zielonego λ ziel = 501, 6 nm. ODP. d min = 0, 1µm, barwa zielona-»óªta. 10
PRACOWNIA FIZYCZNA I - KARTA POMIARÓW WYZNACZANIE WSPÓŠCZYNNIKA ZAŠAMANIA WIATŠA CIAŠ STAŠYCH...... nazwisko i imi data wykonania 1) Metoda mikroskopowa - pªytka I i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 d[ ] h[ ] 2) Metoda mikroskopowa - pªytka II i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 d[ ] h[ ] 2) Metoda oparta na polaryzacji ±wiatªa odbitego i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ϕ L [ ] ϕ R [ ]... podpis prowadz cego zaj cia 11
Wspóªczynniki zaªamania ±wiatªa n ró»nych materiaªów wyznaczonych dla»óªtej linii sodu λ = 589 nm. O RODEK n pró»nia 1,0 powietrze (0 C, 1 atm 1,00029 woda (20 C 1,33 aceton 1,36 alkohol etylowy 1,36 roztwór cukru (30%) 1,38 kwarc topiony 1,46 roztwór cukru (80%) 1,49 szkªo typowe (kron) 1,52 chlorek sodu 1,54 polistyren 1,55 dwusiarczek w gla 1,63 ci»kie szkªo (int) 1,65 szar 1,77 diament 2,24 12