II Modele tendencji czasowej w prognozowaniu 1 Składniki szeregu czasowego W teorii szeregów czasowych wyróżnia się zwykle następujące składowe szeregu czasowego: a) składowa systematyczna; b) składowa przypadkowa Składowa przypadkowa (losowa) to błąd losowy oraz wahania przypadkowe Składowa systematyczna jest efektem działania stałego zestawu czynników na obserwowaną zmienną Może ona wystąpić w postaci: tendencji rozwojowej (trendu); stałego (średniego) poziomu; składowej okresowej (periodycznej) która z kolei może przyjąć postać: wahań cyklicznych; wahań sezonowych Szeregi czasowe mogą zawierać jeden lub więcej a nawet wszystkie wyżej wymienione składniki tendencje i wahania Stały (średni) poziom obserwowanej występuje w szeregach czasowych w których wartości oscylują wokół stałego poziomu Tendencja rozwojowa (trend) jest własnością szeregu czasowego ujawniającą się poprzez systematyczne jednokierunkowe zmiany (wzrost lub spadek) poziomu badanego zjawiska zachodzące w długim okresie czasu Wahania okresowe (sezonowe) są to rytmiczne wahania wartości szeregu o określonym cyklu Mogą na przykład odzwierciedlać wpływ zmian pór roku wwwwkuwankopl 1
Wahania cykliczne (koniunkturalne) to zmiany powodowane przez systemowe falowe wahania rozwoju gospodarki obserwowane w dłuższych od roku okresach Analiza tego rodzaju wahań wymaga długoletnich obserwacji 2 Postacie analityczne funkcji trendu Klasyczny model tendencji rozwojowej w prognozowaniu przyjmuje postać: gdzie: - zmienna prognozowana - zmienna oznaczająca czas (zmienna czasowa) - parametry modelu - składnik losowy modelu Oprócz postaci liniowej można wykorzystać szereg innych funkcji w zależności od charakterystyki rozwoju badanego zjawiska Możemy wyróżnić następujące postacie : a) funkcja wykładnicza lub ; b) wielomian drugiego stopnia (parabolę) ; c) funkcja potęgowa d) funkcja logarytmiczna ; e) funkcja liniowo-odwrotnościowa f) funkcja logistyczna wwwwkuwankopl 2
; 3 Budowa modelu oraz wybór postaci analitycznej funkcji trendu a) Liczba zmiennych nie może być zbyt duża Znaczna liczba zmiennych utrudnia lub uniemożliwia poznanie prawidłowości w badanych zjawiskach b) Zmienne muszą wykazywać dostateczną zmienność c) Zmienne objaśniające powinny być istotnie skorelowane ze zmienną objaśnianą i słabo skorelowane między sobą d) Zmienne objaśniające muszą spełniać warunek koincydencji e) Model trendu powinien być dobrze dopasowany do danych empirycznych Opisują to następujące miary: Współczynnik determinacji : gdzie: liczba obserwacji wartość zmiennej y w okresie t teoretyczna wartość zmiennej y w okresie t średnia wartość zmiennej y Skorygowany (dopasowany) współczynnik determinacji Odchylenie standardowe reszt modelu (błąd standardowy) : wwwwkuwankopl 3
Współczynnik zmienności losowej : f) Brak autokorelacji składnika losowego normalność rozkładu składnika losowego stałość wariancji składnika losowego g) Wybór stopnia wielomianu trendu Wymaga to porównania wariancji resztowej z dwóch różnych wielomianowych modeli trendu za pomocą testu F przy hipotezach: Statystyka testowa: Przykład 1 Wielkości sprzedaży pewnego wyrobu w szt w poszczególnych półroczach lat 1998-2003 były następujące: 105 115 118 129 128 130 139 141 146 156 160 164 Oszacowana funkcja trendu za pomocą Metody Najmniejszych Kwadratów (MNK) jest następująca: reszt - współczynnik determinacji - odchylenie standardowe DW=2069 wwwwkuwankopl 4
Polecenie: Wyznaczyć prognozy punktowe i przedziałowe sprzedaży tego produktu na kolejne trzy półrocza (okres 13 14 i 15) Prognoza będzie dopuszczalna gdy spodziewany (ex ante) błąd prognozy będzie nie większy niż 3% Wiarygodność prognozy przedziałowej ma wynosić 95% Prognozę punktową tzn przyszłą wartość prognozowanej zmiennej uzyskuje się poprzez ekstrapolację funkcji trendu czyli przez podstawienie do oszacowanej funkcji trenu w miejsce zmiennej czasowej numeru okresu na który wyznacza się prognozę czyli: wwwwkuwankopl 5
Wielkości średniego błędu prognozy ex ante dla funkcji trendu wyznaczamy ze wzoru: Wielkość względnego błędu prognozy ex ante wyznaczamy ze wzoru: wwwwkuwankopl 6
Wartość prognozy przedziałowej otrzymujemy ze wzoru: gdzie: - wartość statystyki t-studenta W budowie prognozy założyliśmy niezmienność charakteru zmian prognozowanej zmiennej Jednak na rynku pojawia się konkurent który naruszył dotychczasowy charakter rzeczywistych wielkości sprzedaży produktu która w prognozowanych okresach wynosiła odpowiednio: 142 145 151 Błędy predykcji ex post: Względny błąd prognozy ( ): gdzie: - wartość rzeczywista zmiennej prognozowanej y w okresie prognozy Średni względny błąd prognoz (Ψ) wwwwkuwankopl 7
Średni kwadratowy błąd prognoz ( ): wwwwkuwankopl 8