Zasada rozszerzania f U V U jest zbiorem rozmytym V = f( ), jest obrazem zbioru Przeniesienie rozmytości w odwzorowaniu f na zbiór v) = ( v)? ( f ( ) = sup ( u) gdy ( v) 0 1 = 1 u f ( v) f( ) ( v) 1 0 ( ) 0 gdy f f v =
Iloczyn kartezjański zbiorów Def. Iloczynem kartezjańskim zbiorów i nazywamy zbiór wszystkich par uporządkowanych ( x, takich, że x i y i oznaczamy. = : {( x, x i y } Iloczyn kartezjański zbiorów rozmytych F( X) i F( X) są zbiorami rozmytymi posiadającymi funkcje przynależności odpowiednio (x) i (x). (, ) F( X) F( X) ( a, b) = ( a) ( b) najczęściej wykorzystywane są operacje min( ) i (iloczyn) Notacja iloczynu kartezjańskiego dla większej liczby zbiorów: F i F( X) - pewne zbiory rozmyte, (x) - funkcje przynależności n F i 1 X n ( x1,..., xn) = F( xi) i= i X F i= 1 i F i n i= 1
Relacje rozmyte Def. Relacją rozmytą R między dwoma zbiorami (nierozmytymi) X i Y nazywamy zbiór rozmyty określony na iloczynie kartezjańskim X Y. Relacja rozmyta jest zbiorem par: {(( x,, ( x, ): x X y Y} R = R, gdzie : X Y [ 0, 1] jest funkcją przynależności. R Funkcja ta każdej parze ( x,, x X, y Y przypisuje stopień przynależności R( x,, który ma interpretację siły powiązania między elementami x X i y Y. Przykład*: Rozważmy przestrzenie X = { x, x, x } = { 3, 4 5}, Y = { y, y, y } = { 4, 5 6} 1 2 3, 1 2 3, oraz relację R X Y jako y jest mniej więcej równe x. Relację tę może reprezentować macierz, gdzie wartość a ij oznacza stopień powiązania między elementami x i i y j : 1 jeżeli x = y 8 6 4 8 jeżeli x y = 1 = [ a ij ] = 1 8 6 lub relację R możemy zapisać: R( x, = 8 1 8 6 jeżeli x y = 2 4 jeżeli x y = 3 * Wojciech Jędruch. Sztuczna inteligencja. Gdańsk, listopad 2004. Materiały do wykładu.
Def. (Złożenie relacji rozmytych) Złożeniem typu relację rozmytą sup T relacji rozmytych R X Y i S Y Z nazywamy R o S X Z o funkcji przynależności: [ ( x, ( y, )] sup ( x, z) = z R o S R y Y S Przykład*: Rozważmy przestrzenie X = { x1, x2, x3, x4} = { 12,, 3, 4}, Y = { y, y2, y3} = { a, b, c} Z { z, z, z, z, } = { α, β, γ, δ, ε} oraz relację R X Y Y = 1 2 3 4 z5 1, ( x jest w relacji z y ), S Z ( y jest w relacji z z ) zdefiniowane odpowiednio przez macierze: 4 6 8 1 8 9 = R ( x, S( y, z) 7 7 7 8 4 1 = 6 2 1 2 3 2 3 5 9 4 3 6 5 2 3 Obliczymy Ro S( 2, α). Korzystając z powyższych definicji i przyjmując za T-normę operator min otrzymujemy: [ ( 2,, (, α) ] = [ 10,. 2, 1] 0 2 ( 2, α) = max min y max =. Ro S y Y R S * Wojciech Jędruch. Sztuczna inteligencja. Gdańsk, listopad 2004. Materiały do wykładu.
Def. (Złożenie zbioru rozmytego i relacji rozmytej) Złożenie zbioru rozmytego X i relacji rozmytej R X Y oznaczamy o R i definiujemy jako zbiór rozmyty Y = o R o funkcji przynależności [ ( x) ( x, )] sup ( = y x X R. Konkretna postać tego wzoru zależy od przyjętej T-normy oraz od właściwości zbioru X. Jeżeli T( a, b) = min( a, b) oraz X jest zbiorem o skończonej liczbie elementów, otrzymujemy złożenie: [ ( x), ( x, )] x X R ( = max min y
Struktura rozmytego regulatora Inference mechanism maszyna wnioskująca (generator wywodu) Fuzzification rozmywanie (fazyfikacja) Defuzzification wyostrzanie (defazyfikacja) Rule base baza wiedzy * K. M. Passino, S. Yurkovich, Fuzzy Control, ddison Wesley Longman, Inc. 1998
Rozmyta baza wiedzy Wiedza reprezentowana jest w postaci reguł k-ta reguła (k) R : IF ( x 1 IS 1 ( x 2 IS ( x n IS (k) (k) 2 (k) n ) ND/OR ) ND/OR ) THEN ( y IS (k) ) ( U, ( k) V - zbiory rozmyte k ) i i Pojawiają się dwa nowe pojęcia: zmienna rozmyta to samo co zbiór rozmyty (wartość rozmyta) zmienna lingwistyczna jest to taka zmienna, która jako wartość może przyjmować zmienną rozmytą
Przez zmienną lingwistyczną rozumiemy zmienną, której wartościami są słowa lub zdania w języku naturalnym lub sztucznym. Dla przykładu Wiek jest zmienną lingwistyczną, jeśli jej wartości są wyrażone słowami, a nie liczbami, to znaczy młody, niemłody, bardzo młody, całkiem młody, stary, nie bardzo stary i nie bardzo młody itd. Zamiast 21, 21, 22, 23, * Szablon związany z pojęciem zmiennej lingwistycznej gdzie: x, L x, X, M x x - symboliczna nazwa zmiennej lingwistycznej, np. wiek, wzrost, szybkość, temperatura, uchyb itd. L x - zbiór wartości lingwistycznych, które może przyjąć x dla zmiennej lingwistycznej temperatura mamy L x = { zimny, chłodny, komfortowy, ciepły, gorący} Lx - element zbioru L x X - rzeczywista dziedzina fizyczna, nad którą zmienna lingwistyczna x przyjmuje swoje wartości ostre, np. przedział [-10ºC, -35ºC] M x - jest funkcją semantyczną, która nadaje znaczenie (interpretację) wartości lingwistycznej w przeliczeniu na elementy ilościowe X (zwraca zbiór rozmyty, odpowiadający danej wartości lingwistycznej (zmiennej rozmytej)). M x : Lx F( X) * D. Driankov, H. Hellendoorn, M. Reinfrank, Wprowadzenie do sterowania Rozmytego, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa 1996
Implikacja jest relacją mającą postać reguły stosowanej we wnioskowaniu. Implikacja klasyczna: JEŚLI p TO q p q gdzie: p - zdanie zwane poprzednikiem (przesłanką) q - zdanie zwane następnikiem (konkluzją, wnioskiem) Dla implikacji klasycznej, wszystkie funkcje przynależności przyjmują tylko dwie wartości: 0 i 1. p q p q 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 Funkcja przynależności implikacji klasycznej p q. Przykład: JEŚLI (wiek samochodu x = now TO (spalanie y = mał Operator implikacji klasycznej posiada cechy, które utrudniają jego stosowanie w modelowaniu i sterowaniu rozmytym.
Operator I (implikacji) może być: - implikacją rozmytą w sensie klasycznym - implikacją rozmytą inżynierską (t-normą) Implikacja rozmyta w sensie klasycznym: - jeżeli przesłanka zachodzi to konkluzja musi zachodzić - jeżeli przesłanka nie zachodzi nie potrafimy nic powiedzieć o zachodzeniu konkluzji - relacja nie może być odwrócona (nie jest symetryczna) Implikacja rozmyta w sensie inżynierskim: - implikacja zachodzi jeżeli zachodzi przesłanka i konkluzja - relacja może być odwrócona (jest symetryczna)
Def. (Reguły rozmytej implikacji) Niech i będą zbiorami rozmytymi, X oraz Y. Rozmytą implikacją nazywamy relację R określoną w X Y i zdefiniowaną, na przykład, za pomocą jednej z reguł: I1. rozmyta koniunkcja I2. rozmyta dysjunkcja I3. ( x, = ( x) ( ( x, = ( x) ( ( x, = ( x) (, gdzie ( x) = ( 1 ( x) ) I4. ( x, = ( x) (, gdzie ( x) = ( 1 ( x) ) I5. Uogólnienie zasady modus popendo ponens (sposób potwierdzający przez potwierdzenie) { z [ ]: ( x) z ( )} ( x, = sup 0,1 y I6. Uogólnienie zasady modus tollendo tollens (sposób zaprzeczający przy pomocy zaprzeczenia) { z [ ]: ( z ( )} ( x, = inf 0,1 x
Przykłady implikacji rozmytej klasycznej: odpowiedniki klasycznej implikacji: ( p q) ( ~ p q) - implikacja Łukasiewicza [ 1,1- ( x) ( )] ( x, = min y -implikacja Kleene-Diene (Kleene-Dienesa) [ ( x), ( )] ( x, = max 1- y
Inne używane operatory implikacji rozmytej ( x, (odpowiadające operatorom klasycznym implikacji) - implikacja Kleene-Dienes-Łukasiewicza ( x, = ( x) + ( x) ( 1 - implikacja Gödela ( x, = 1 ( dla dla ( x) ( x) < ( ( - implikacja Yagera ( x, = ( ( ( x) ) - implikacja Zadeha [ ( x), [ ( x), ( ) ] ( x, = max min y 1
Przykłady implikacji rozmytej inżynierskiej: - implikacja Mamdani ego (t-norma MIN) [ ( x), ( )] ( x, = min y - implikacja Larsena (t-norma PROD) ( x, = ( x) (
Wnioskowanie Wnioskowanie rozmyte jest procedurą wnioskowania, wyprowadzającą konkluzje w oparciu o zbiór rozmytych reguł IF-THEN i znane fakty. Inaczej: Wnioskowanie rozmyte, jest procesem wyznaczania rozmytego zbioru wyjścia systemu w oparciu o zbiór rozmytych reguł IF-THEN i rozmyte zbiory wejścia. Mechanizm wnioskowania oparty jest na uogólnionej regule modus ponens JEŚLI x jest TO y jest IF x is THEN y is Mając regułę if-then oraz fakt x jest ' zbiór wyjściowy w oparciu o relacyjną regułę zbliżeniową ' jest wyliczany = o R
Złożeniowa reguła wnioskowania (Zadeh a 1973) Jeżeli jest zbiorem rozmytym określonym na przestrzeni X, a R jest dwuargumentową relacją zdefiniowaną a iloczynie kartezjańskim przestrzeni X Y, to złożenie i R oznaczone jako o R daje zbiór rozmyty określony w przestrzeni rozważań Y funkcją przynależności ( wyrażony wzorem: x X R = x X R sup sup ( = min[ *( x,, ( x, ] min[ ( x), ( x, ] gdzie * jest rozszerzeniem cylindrycznym na przestrzeni X Y,
Wnioskowanie klasyczne reguła Modus Ponens Reguła Modus Ponens (klasyczna): Przesłanka 1/premise 1 (fakt/fact) x = Przesłanka 2/premise 2 (implikacja/implication) JEŚLI x = TO y = Wniosek/conclusion y = gdzie:, - zbiory rozmyte x, y - zmienne lingwistyczne Przykład: Fakt: Pomidor jest czerwony ( x = Pomidor = czerwon Reguła: Jeżeli pomidor jest czerwony to jest dojrzały JEŚLI ( ) TO ( ) Wniosek: Pomidor jest dojrzały ( y = Pomidor = dojrzał
Podstawą wnioskowania w rozmytej logice jest tautologia Uogólniony Modus Ponens: Przesłanka 1/premise 1 (fakt/fact) x = ' Przesłanka 2/premise 2 (implikacja/implication) JEŚLI x = TO y = Wniosek/conclusion y = ' gdzie: ', ' oznacza odpowiednio bliski, bliski, ',, ' - zbiory rozmyte x, y - zmienne lingwistyczne Przykład: Fakt: Pomidor jest prawie czerwony ( x = ' Pomidor = prawie czerwony ) Reguła: Jeżeli pomidor jest czerwony to jest dojrzały JEŚLI x = TO y = Wniosek: Pomidor jest prawie dojrzały ( y = ' Pomidor = prawie dojrzały ) Skróty: Uogólniony Modus Ponens UMP Generalised Modus Ponens GMP
1. Oblicz relację implikacji Wnioskowanie z jedną regułą ( ( x), ( )) ( x, = I y R 2. Użyj regułę złożeniową dla obliczenia ' z ' = ' o R = ' o( ) ' Przykład graficzny: ( x, = min [ ( x), ( ] ( x, = max[ min[ ( x), ( x, ] R ' ' R x Dr hab.. Inż.. Kazimierz Duzinkiewicz, prezentacja: Wybrane modele rozmyte i schematy wnioskowania
Wnioskowanie z jedną regułą interpretacja graficzna reguła: JEŚLI x = TO y = fakt: x = ' wniosek: y = ' 1. Zbiory rozmyte i (x) ( y ) 2. Graficzna interpretacja zbioru ' (x) ' ( x) ' ( x)
Wnioskowanie z jedną regułą interpretacja graficzna reguły: IF ( x 1 is 1) ND ( x 2 is 2 ) THEN ( y is ) IF ( x 1 is 1) OR ( x 2 is 2 ) THEN ( y is ) fakty: x 1 = 1' i x 2 = ' 2 wniosek: y = ' 1. Operator ND 2. Operator OR
Połączenie wyników przetworzenia kilku reguł (1) R : IF [( x 1 is (2) R : IF [( x 1 is (1) 1 ) ND ( x 2 is (2) 1 ) ND ( x 2 is )] THEN ( y is (1) 2 (2) 2 )] THEN ( y is (1) ) (2) ) Stosując implikację Mamdaniego otrzymujemy: agregacja aktywacja ostateczna akumulacja
(1) R : IF [( x 1 is (1) 1 ) ND ( x 2 is (1) 2 )] THEN ( y is (1) ) (2) R : IF [( x 1 is (2) 1 ) ND ( x 2 is (2) 2 )] THEN ( y is (2) ) Wynik przetworzenia dwóch reguł:
Załóżmy, że implikację definiujemy za pomocą iloczynu, a definicje t-normy i s-normy nie ulegają zmianie: Jeśli t-norma i implikacja zdefiniowane są za pomocą iloczynu (definicja s-normy nie ulega zmianie) otrzymujemy: Taki sposób agregacji jest najczęściej stosowany w praktyce. Wyznaczenie kształtu ostatecznego wyjścia zbioru rozmytego odbywa się jak w poprzednim przykładzie.