Kubatury Gaussa (całka podwójna po trójkącie)
Całka podwójna po trójkącie Dana jest funkcja dwóch zmiennych f (x, y) ciągła i ograniczona w obszarze trójkątnym D. Wierzchołki trójkąta wyznaczają punkty (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ), (x 3, y 3 ) nie leżące na jednej prostej. Chcemy obliczyć całkę D f ( x, y) dxdy
Całka podwójna po trójkącie Normalizujemy całkę sprowadzając wyjściowy trójkąt D do trójkąta prostokątnego, równoramiennego o wierzchołkach: (0,0), (1,0), (0,1) y η (x 3, y 3 ) (x 1, y 1 ) D (x 2, y 2 ) (0,1) x (0,0) (1,0) ξ Trójkąt wyjściowy i znormalizowany
Całka podwójna po trójkącie Normalizacji dokonujemy przez podstawienie: x x ( x x )ξ ( x x )η 1 2 1 3 1 y y ( y y )ξ ( y y )η 1 2 1 3 1 Wierzchołki trójkątów odpowiadają sobie w następujący sposób: ( x, y ) (0,0) 1 1 ( x, y ) (1,0) 2 2 ( x, y ) (0,1) 3 3
Całka podwójna po trójkącie Zmiana układu współrzędnych wymaga pomnożenia funkcji podcałkowej przez jakobian przekształcenia J x ξ y ξ x η y η x x x x 2 1 3 1 y y y y 2 1 3 1 J ( x x )( y y ) ( x x )( y y ) 2 1 3 1 3 1 2 1 J 2 D D - pole wyjściowego trójkąta D
Całka podwójna po trójkącie Funkcja podcałkowa dla trójkąta znormalizowanego przyjmuje postać: F(ξ,η) J f [( x ( x x )ξ ( x x )η, y ( y y ) ξ ( y y )η] 1 2 1 3 1 1 2 1 3 1
Całka podwójna po trójkącie Końcowy wzór do obliczania całki podwójnej metodą kubatur Gaussa dla obszarów trójkątnych jest następujący 1 1 ξ n 1 dξ F(ξ,η) dη F (ξ,η ) w 2 0 0 i 1 i i i gdzie: ξ i,ηi w i n - współrzędne punktów Gaussa, - wagi dla punktów Gaussa, - liczba punktów Gaussa w obszarze trójkąta znormalizowanego. Wartości ξ i,η i, wi odczytujemy z tablic (z literatury).
Całka podwójna po trójkącie n ξ i η i wi 1/2 1/2 1/3 3 0 1/2 1/3 1/2 0 1/3 Współrzędne i wagi punktów Gaussa
Przybliżone metody rozwiązywania równań
Przybliżone metody rozwiązywania równań polegają najczęściej na tworzeniu tzw. wzorów rekurencyjnych określających sposób wyznaczania kolejnych wyrazów ciągu liczbowego, którego granicą jest szukane rozwiązanie równania typu Fx ( ) 0 Większość metod obliczeniowych należy do typowych metod iteracyjnych.
Podstawowe problemy tych metod to: Lokalizacja pierwiastka (dobór punktu startowego). Obliczanie przybliżeń pierwiastków. Zbieżność procesu iteracyjnego.
Popularnie stosowane metody iteracyjne (metody kolejnych przybliżeń): Metoda bisekcji Metoda cięciw Metoda stycznych
Lokalizacja pierwiastków
Twierdzenie 1 (Bolzano-Cauchy ego): Jeżeli funkcja F(x) jest ciągła w przedziale domkniętym [a, b] i na jego końcach przyjmuje wartości różnych znaków, tzn. F(a) F(b) < 0, to między punktami a i b znajduje się co najmniej jeden pierwiastek równania F(x) = 0.
y F(x) a b x Przebieg funkcji między punktami a i b
Twierdzenie 2: Jeżeli w przedziale [a, b] spełnione są założenia twierdzenia Bolzano - Cauchy ego i dodatkowo F (x) jest stałego znaku w tym przedziale (co oznacza, że funkcja jest stale rosnąca lub stale malejąca), to przedział ten jest przedziałem izolacji pierwiastka równania F (x) = 0 (w przedziale tym jest tylko jeden pierwiastek).
y F(x) a b x Przebieg funkcji między punktami a i b
Metoda cięciw
Jeżeli funkcja F (x) jest funkcją klasy C 2 w przedziale izolacji pierwiastka to rozwiązanie równania Fx ( ) 0 przybliżamy ciągiem miejsc zerowych cięciw poprowadzonych między punktami stanowiącymi końce kolejnych przedziałów izolacji.
y F(x) x 1 x 2 x 4 x 3 x Kolejne przybliżenia poszukiwania pierwiastka w metodzie cięciw
Równanie cięciwy można zapisać następująco y F( x ) x x F( x ) F( x ) x x i 1 i 1 k i 1 k i 1 gdzie x k cięciwę prowadzimy między punktami jest drugim krańcem przedziału [x i 1, x k ], czyli pierwszą ( a, F( a )) i ( b, F( b))
Podstawiając y = 0 otrzymujemy wzór x x F( x ) i i 1 i 1 xk xi 1 F( x ) F( x ) k i 1
Założenie: W przedziale [a, b] lub w kolejnym znalezionym przedziale izolacji znak drugiej pochodnej funkcji F (x) nie zmienia się. Wyrazy ciągu dają przybliżenie pierwiastka z niedomiarem lub nadmiarem.
y F (x) > 0 F (x) > 0 y x 1 x 3 x 4 x 2 x * x 2 x * x x x 1 3 x 4 F (x) < 0 F (x) < 0 x Oszacowanie pierwiastka z niedomiarem
y y F (x) < 0 F (x) > 0 x 1 x* x 4 x x 3 2 x* x 2 x x 1 F (x) > 0 F (x) < 0 x 4 x 3 x Oszacowanie pierwiastka z nadmiarem
Występujący w wzorze przedziału [a, b], czyli x k = x 1 lub x k = x 2. punkt x k jest lewym lub prawym końcem Określenie stałego punktu pęku cięciw: x [ a, b], F '( x) F ''( x) 0 xk x2 b x [ a, b], F '( x) F ''( x) 0 xk x1 a
Metoda stycznych (Newtona)
Rozwiązanie równania F (x) = 0 w przedziale izolacji pierwiastka [a, b] przybliżamy wyrazami ciągu utworzonego przez miejsca zerowe stycznych do funkcji F (x). y F(x) a x * b x Kolejne przybliżenia poszukiwania pierwiastka w metodzie stycznych
Równanie stycznej w punkcie o odciętej x i 1 można zapisać y F( x ) F '( x ) ( x x ) i 1 i 1 i 1 Podstawiając y = 0 otrzymujemy wzór F x xi xi 1 i F'( x ) ( i 1), 1 i 1
Określenie punktu startowego do obliczeń: x [ a, b], F '( x) F ''( x) 0 x b x [ a, b], F '( x) F ''( x) 0 x a 1 1 Uwaga! Jeżeli druga pochodna funkcji w przedziale izolacji nie ma stałego znaku, to proces iteracyjny może być rozbieżny.
y y F (x) < 0 F (x) > 0 x 1 x * b x x 1 x * b x F (x) > 0 F (x) < 0 Wybór pierwszego przybliżenia w metodzie stycznych
y F (x) > 0 F (x) > 0 y a x * x 1 x a x * x 1 x F (x) < 0 F (x) < 0 Wybór pierwszego przybliżenia w metodzie stycznych