Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI
Zadanie. a) Wiadomości i rozumienie Matematyka poziom rozszerzony Wykorzystanie pojęcia wartości argumentu i wartości funkcji. 0 Zdający otrzymuje punkt, jeśli obliczy wartość funkcji f dla x = 009. f 009 = 008 009 + 009 = 009 ( ) Interpretowanie otrzymanych wyników. 0 Zdający otrzymuje punkt, jeśli zapisze wniosek. Punkt P należy do wykresu funkcji f. b) Rysowanie w układzie współrzędnych zbioru opisanego układem warunków. 0 Zdający otrzymuje punkty, jeśli narysuje bezbłędnie zbiór opisany w zadaniu. y 0 x Zdający otrzymuje punkt, jeśli narysuje proste o równaniach y = x +, i na tym zakończy lub popełni błędy w zaznaczaniu opisanego zbioru. y = x Zadanie. Zapisanie wielomianu, który przy dzieleniu przez dany dwumian daje wskazany iloraz i daną resztę. Zdający otrzymuje punkt, jeśli zapisze wielomian ( x) W w postaci wynikającej z warunków zadania. W ( x) = ( x )(8x + x ) 5 0
Wiadomości i rozumienie Wykonywanie działań na wielomianach. 0 Zdający otrzymuje punkt, jeśli uporządkuje wielomian W ( x). W ( x) = 8x x 8x + 9. Wyznaczanie pierwiastków wielomianu. 0 Zdający otrzymuje punkty, jeśli obliczy pierwiastki wielomianu W ( x). x =, 5, x = 0,5, x =, 5. Zdający otrzymuje punkt, jeśli zapisze wielomian W ( x) w postaci iloczynu czynnika stopnia pierwszego i czynnika stopnia drugiego, np. W ( x) = (x )(x 9) i na tym zakończy rozwiązanie lub popełni błędy w wyznaczaniu pierwiastków wielomianu. Zadanie. a) Wiadomości i rozumienie Wykorzystanie definicji funkcji wykładniczej. 0 Zdający otrzymuje punkt, jeśli obliczy wartość podstawy a. a =. b) Rysowanie wykresu funkcji typu y = f ( x) b. 0 Zdający otrzymuje punkty, jeśli narysuje wykres funkcji ( x) = f ( x) y g. 5 g(x) y= x - - - - 0 5 6 - - Zdający otrzymuje punkt, jeśli narysuje tylko wykres funkcji y = f ( x) i na tym poprzestanie lub popełni błędy przy dalszym przekształcaniu wykresu. Interpretowanie liczby rozwiązań równania z parametrem. 0 Zdający otrzymuje punkt, jeśli poda wszystkie wartości parametru m, dla których równanie g ( x) = m ma dokładnie jedno rozwiązanie. {} 0, + ) m.
Zadanie. Wykorzystanie definicji ciągu arytmetycznego. 0 Zdający otrzymuje punkt, jeśli rozpozna, że ciąg liczb monet wkładanych do skarbca przez kolejne dni przez skarbnika jest arytmetyczny. Liczby monet wkładanych przez kolejne dni przez skarbnika tworzą ciąg arytmetyczny o pierwszym wyrazie równym 5 i różnicy równej. Zdający podaje opis matematyczny sytuacji w postaci funkcji. Zdający otrzymuje punkt, jeśli zapisze wzór na ( n) po południu. ( n) [ 5 + ( n ) ] 0 M liczbę monet w n tym dniu 5 + M = k + n 50n = n 6n + k. Formułowanie wniosków wynikających z postaci badanego wyrażenia. 0 Zdający otrzymuje punkty, jeśli zapisze warunek wystarczający na to, aby w skarbcu zawsze były monety i wyznaczy najmniejszą liczbę k. np. M ( n) = ( n ) + k 69 > 0, więc najmniejszą liczbą k jest 70 albo Δ < 0 (bo n w N ) czyli 6 k < 0, stąd k > 69, więc najmniejszą liczbą k jest 70. Zdający otrzymuje punkt, jeśli zapisze tylko warunek wystarczający na to, aby w skarbcu zawsze były monety i na tym zakończy rozwiązanie lub popełni błędy przy wyznaczaniu najmniejszej liczby k. np. ( ) ( ) 6 k < 0. M n = n + k 69 > 0 lub Δ < 0, bo n w N, stąd Posługiwanie się definicją i własnościami funkcji kwadratowej. 0 Zdający otrzymuje punkt, jeśli obliczy, w którym dniu w skarbcu była najmniejsza liczba monet. n =. Zadanie 5. Wykonywanie działań na potęgach o wykładnikach rzeczywistych. 0 Zdający otrzymuje punkty, jeśli wykaże równość B = 9 A. Zdający otrzymuje punkty, jeśli poprawnie zastosuje wzór na iloczyn potęg o tych samych podstawach i wzór na potęgę potęgi i na tym zakończy. ( + ) + + + B = = = od jej lewej strony do prawej albo = + ( ), o ile dowód równości jest prowadzony 5
9 A = do lewej. + ( ) = + Matematyka poziom rozszerzony ( + ), o ile dowód równości jest prowadzony od jej prawej strony Zdający otrzymuje punkt, jeśli poprawnie zastosuje jedynie wzór na iloczyn potęg o tych samych podstawach albo tylko wzór na potęgę potęgi i na tym zakończy. ( + ) + + + B = = lub B =... = = ( ),o ile dowód równości jest prowadzony od jej lewej strony do prawej albo ( + ) + A = ( ) = + lub 9 A =... = ( ) 9 równości jest prowadzony od jej prawej strony do lewej. Zadanie 6. = + ( + ), o ile dowód Posługiwanie się definicją logarytmu. 0 Zdający otrzymuje punkt, jeśli wykorzysta definicję logarytmu i zapisze wszystkie warunki określające dziedzinę funkcji f. 9 x > 0, cosx > 0, cosx. Wiadomości i rozumienie Rozwiązywanie nierówności kwadratowej. 0 Zdający otrzymuje punkt, jeśli rozwiąże nierówność kwadratową. x,. ( ) Odczytywanie z wykresu odpowiedniej funkcji zbioru rozwiązań nierówności trygonometrycznej w przedziale ograniczonym. 0 Zdający otrzymuje punkty, jeśli poda zbiór rozwiązań nierówności cos x > 0 i w przedziale (, ). cos x y π π π 0 π π π x π π x, i π π x i x. Zdający otrzymuje punkt, jeśli poda zbiór rozwiązań tylko jednej z nierówności. 6
Matematyka poziom rozszerzony Zapisanie części wspólnej zbiorów w postaci sumy przedziałów liczbowych. 0 Zdający otrzymuje punkt, jeśli zapisze dziedzinę funkcji f. π π π π π π D f =,,,. Zadanie 7. Stosowanie własności ciągu geometrycznego. 0 Zdający otrzymuje punkt, jeśli wykorzysta własność ciągu geometrycznego i zapisze równanie opisujące warunki zadania. ( + ) = ( x )( 6x + ) x. Wiadomości i rozumienie Rozwiązywanie równania kwadratowego. 0 Zdający otrzymuje punkt, jeśli rozwiąże równanie kwadratowe. x = lub x = 5. 5 Wybór ciągu spełniającego warunki zadania. 0 Zdający otrzymuje punkt, jeśli wybierze odpowiednią wartość x, tak aby wszystkie wyrazy ciągu były dodatnie. x = 5. Stosowanie definicji ciągu geometrycznego. 0 Zdający otrzymuje punkt, jeśli obliczy iloraz ciągu. q =. Oszacowanie ilorazu sumy 9-tu przez sumę 0-tu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego. 0 Zdający otrzymuje punkty, jeśli oszacuje iloraz. 9 np. Przekształcając równoważnie nierówność < dostaje 0 9 0 0 0 kolejno: ( ) <, <, < 0, co jest prawdą. To kończy dowód. Zdający otrzymuje punkt, jeśli wykorzysta wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu S9 geometrycznego i zapisze iloraz w postaci umożliwiającej oszacowanie. S S S 9 0 = 9 0 0. 7
Zadanie 8. Podanie opisu matematycznego danej sytuacji problemowej. 0 Zdający otrzymuje punkty, jeśli zapisze zależność między promieniami okręgów. R + r = ( R r). Zdający otrzymuje punkt, jeśli zapisze długość przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego równoramiennego ABC w zależności od R i r i na tym zakończy rozwiązanie lub w dalszej części popełni błędy. B R R r A r. C AB = R + r. Przetwarzanie informacji do postaci ułatwiającej rozwiązanie problemu. 0 Zdający otrzymuje punkty, jeśli obliczy stosunek promieni większego i mniejszego okręgu. R = +. r R + r = R r do postaci Zdający otrzymuje punkt, jeśli przekształci zależność ( ) umożliwiającej obliczenie stosunku promieni i na tym zakończy rozwiązanie. R R np. r ( + ) = R( ) lub = +, r r r r lub + = R R. 8
Zadanie 9. Wiadomości i rozumienie Wyznaczanie środka i promienia okręgu. 0 Zdający otrzymuje punkt, jeśli narysuje w układzie współrzędnych opisany w zadaniu okrąg i zaznaczy dany punkt A. y 5 0 A x Wyznaczanie równania rodziny prostych (nierównoległych do osi Oy) przechodzących przez dany punkt. 0 Zdający otrzymuje punkt, jeśli zapisze równanie szukanej rodziny stycznych. y = ax lub ax y = 0. Analizowanie wzajemnego położenia prostej i okręgu. 0 Zdający otrzymuje punkt, jeśli zapisze warunek styczności prostej k o równaniu y = ax i danego okręgu. Odległość środka okręgu S od prostej k jest równa promieniowi okręgu. Stosowanie wzoru na odległość punktu od prostej. 0 Zdający otrzymuje punkt, jeśli zapisze równanie z niewiadomą a. a ( ) =. a + Wyciąganie wniosku i zapisanie równania prostej. 0 Zdający otrzymuje punkt, jeśli zapisze równanie szukanej stycznej. y = x. 9
Zadanie 0. Analizowanie sytuacji i budowanie jej modelu matematycznego. 0 Zdający otrzymuje punkty, jeśli zapisze liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych oraz liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A w tym samym modelu. n n n Ω= = n ( n ), A = = n n Ω = n n, A = n n gdzie n liczba kul czarnych, n liczba kul białych, dla lub ( ) n. Zdający otrzymuje punkt, jeśli zapisze tylko liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych i na tym zakończy rozwiązanie. Obliczanie prawdopodobieństwa. 0 Zdający otrzymuje punkt, jeśli zapisze prawdopodobieństwo zdarzenia A w postaci wyrażenia wymiernego. n P ( A) =. n ( ) Analizowanie sytuacji i budowanie jej modelu matematycznego. 0 Zdający otrzymuje punkt, jeśli rozwiąże nierówność w urnie. W urnie są kule albo jest 8 kul. n 9 > ( n ) i poda liczbę kul Zadanie. Wykorzystanie funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym. Zdający otrzymuje punkt, jeśli obliczy cosinusa kąta między krawędzią boczną a krawędzią podstawy ostrosłupa. cosα =. Narysowanie przekroju ostrosłupa płaszczyzną. 0 Zdający otrzymuje punkt, jeśli zaznaczy właściwy przekrój na rysunku. 0 0
S F α C A E O B D Zastosowanie twierdzenia cosinusów. 0 Zdający otrzymuje punkty, jeśli obliczy wysokość opuszczoną na podstawę AB w trójkącie równoramiennym ABF (szukanym przekroju). a 5 h p =. Zdający otrzymuje punkty, jeśli obliczy długość ramienia trójkąta równoramiennego ABF i na tym zakończy rozwiązanie. a 6 AF = BF =. Zdający otrzymuje punkt, jeśli zastosuje twierdzenie cosinusów i zapisze równanie z niewiadomą x, gdzie x = BF i na tym zakończy rozwiązanie lub w dalszej części popełni błędy. x = a + a a a. Obliczanie pola przekroju ostrosłupa 0 Zdający otrzymuje punkt, jeśli obliczy pole przekroju. a 5 P p =. Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną metodą niż przedstawiona w kluczu punktowania przyznajemy maksymalną liczbę punktów.