Wst p do sieci neuronowych, wykªad 15 Algorytmy genetyczne



Podobne dokumenty
Algorytm genetyczny (genetic algorithm)-

Lekcja 9 - LICZBY LOSOWE, ZMIENNE

ALGORYTMY GENETYCZNE ćwiczenia

SCHEMAT ROZWIĄZANIA ZADANIA OPTYMALIZACJI PRZY POMOCY ALGORYTMU GENETYCZNEGO

Algorytmy genetyczne. Paweł Cieśla. 8 stycznia 2009

Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.

PLAN WYKŁADU OPTYMALIZACJA GLOBALNA OPERATOR KRZYŻOWANIA ETAPY KRZYŻOWANIA

Metodydowodzenia twierdzeń

Lekcja 8 - ANIMACJA. 1 Polecenia. 2 Typy animacji. 3 Pierwsza animacja - Mrugaj ca twarz

ANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

Arkusz maturalny. Šukasz Dawidowski. 25 kwietnia 2016r. Powtórki maturalne

1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f(x)=0

Zastosowania matematyki

Algorytmy genetyczne. Materiały do laboratorium PSI. Studia niestacjonarne

Szeregowanie zada« Wykªad nr 5. dr Hanna Furma«czyk. 4 kwietnia 2013

Wst p do sieci neuronowych 2010/2011 wykªad 7 Algorytm propagacji wstecznej cd.

1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna

Lekcja 9 Liczby losowe, zmienne, staªe

6. Klasyczny algorytm genetyczny. 1

Zadanie 5 - Algorytmy genetyczne (optymalizacja)

Bash i algorytmy. Elwira Wachowicz. 20 lutego

Algorytmy genetyczne

Algorytmy genetyczne w optymalizacji

Metody dowodzenia twierdze«

Ukªady równa«liniowych

Wst p teoretyczny do wiczenia nr 3 - Elementy kombinatoryki

Algorytmy ewolucyjne - algorytmy genetyczne. I. Karcz-Dulęba

Algorytm Genetyczny. zastosowanie do procesów rozmieszczenia stacji raportujących w sieciach komórkowych

Algorytmy ewolucyjne NAZEWNICTWO

Listy i operacje pytania

Ekonometria - wykªad 8

Liczby zmiennoprzecinkowe

Algorytmy genetyczne. Materiały do laboratorium PSI. Studia stacjonarne i niestacjonarne

x y x y x y x + y x y

Algorytmy stochastyczne, wykład 01 Podstawowy algorytm genetyczny

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

Obliczenia ewolucyjne - plan wykładu

Równania ró»niczkowe I rz du (RRIR) Twierdzenie Picarda. Anna D browska. WFTiMS. 23 marca 2010

O pewnym zadaniu olimpijskim

PREZENTACJA DZIAŁANIA KLASYCZNEGO ALGORYTMU GENETYCZNEGO

6. Projektowanie składu chemicznego stali szybkotn cych o wymaganej twardo ci i odporno ci na p kanie

Programowanie wspóªbie»ne

XVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne

Metody przeszukiwania

CCNA Subnetting Guide

Rzut oka na zagadnienia zwi zane z projektowaniem list rozkazów

Edycja geometrii w Solid Edge ST

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

Zestaw 1 ZESTAWY A. a 1 a 2 + a 3 ± a n, gdzie skªadnik a n jest odejmowany, gdy n jest liczb parzyst oraz dodawany w przeciwnym.

5. (8 punktów) EGZAMIN MAGISTERSKI, r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach

WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14

Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb

Algorytmy genetyczne

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

CAŠKOWANIE METODAMI MONTE CARLO Janusz Adamowski

Vincent Van GOGH: M»czyzna pij cy li»ank kawy. Radosªaw Klimek. J zyk programowania Java

Lekcja 3 Banki i nowe przedmioty

MiASI. Modelowanie systemów informatycznych. Piotr Fulma«ski. 18 stycznia Wydziaª Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Šódzki, Polska

Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów

KLASYCZNE ZDANIA KATEGORYCZNE. ogólne - orzekaj co± o wszystkich desygnatach podmiotu szczegóªowe - orzekaj co± o niektórych desygnatach podmiotu

Algorytmy ewolucyjne. wprowadzenie

Listy Inne przykªady Rozwi zywanie problemów. Listy w Mathematice. Marcin Karcz. Wydziaª Matematyki, Fizyki i Informatyki.

Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór ϱ X X.

Podstawy modelowania w j zyku UML

Wst p do sieci neuronowych, wykªad 14 Zespolone sieci neuronowe

Lab. 02: Algorytm Schrage

Matematyka wykªad 1. Macierze (1) Andrzej Torój. 17 wrze±nia Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej

Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych

X WARMI SKO-MAZURSKIE ZAWODY MATEMATYCZNE 18 maja 2012 (szkoªy ponadgimnazjalne)

Algorytmy genetyczne. Dariusz Banasiak. Katedra Informatyki Technicznej Wydział Elektroniki

POLITECHNIKA WROCŠAWSKA WYDZIAŠ ELEKTRONIKI PRACA DYPLOMOWA MAGISTERSKA

Opis programu do wizualizacji algorytmów z zakresu arytmetyki komputerowej

Elementy geometrii w przestrzeni R 3

WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14

Zadania z kolokwiów ze Wst pu do Informatyki. Semestr II.

1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej. Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci

Algorytmy ewolucyjne (3)

3. (8 punktów) EGZAMIN MAGISTERSKI, Biomatematyka

JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1. JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1

Programowanie i struktury danych 1 / 44

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

Ekonometria. Typy zada«optymalizacyjnych Analiza pooptymalizacyjna SOLVER. 22 maja Karolina Konopczak. Instytut Rozwoju Gospodarczego

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

Temat: Co to jest optymalizacja? Maksymalizacja objętości naczynia prostopadłościennego za pomocą arkusza kalkulacyjngo.

2 Liczby rzeczywiste - cz. 2

Proste modele o zªo»onej dynamice

A = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy.

stopie szaro ci piksela ( x, y)

Strategie ewolucyjne (ang. evolu4on strategies)

Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI Zastosowanie eliptycznych równa«ró»niczkowych

Przykªady problemów optymalizacji kombinatorycznej

Teoria grafów i jej zastosowania. 1 / 126

Ewolucja Ró»nicowa - Wprowadzenie

Numeryczne zadanie wªasne

ZADANIA. Maciej Zakarczemny

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

METODY SZTUCZNEJ INTELIGENCJI W ROZWI ZYWANIU ZADA OPTYMALIZACJI

Algorytmy ewolucyjne. Łukasz Przybyłek Studenckie Koło Naukowe BRAINS

Transkrypt:

Wst p do sieci neuronowych, wykªad 15 Algorytmy genetyczne M. Czoków, J. Piersa Faculty of Mathematics and Computer Science, Nicolaus Copernicus University, Toru«, Poland 2011-25-01

Motywacja Algorytmy genetyczne powstaªy w wyniku bada«prowadzonych w latach 1956-1960 przez biologów Barricelliego i Frasera, po±wi conych symulacji procesów genetycznych. Ich idea opiera si na takich naturalnych procesach jak dziedziczenie, dobór naturalny oraz walka o prze»ycie.

Zastosowania Algorytmy genetyczne maj szerokie zastosowanie w rozwi zywaniu problemów optymalizacyjnych. W roku 1971 powstaªa pierwsza praca autorstwa J. Hollanda badaj ca skuteczno± algorytmów genetycznych do maksymalizacji/minimalizacji funkcji. Algorytmy genetyczne byªy z powodzeniem stosowane w zadaniach optymalizacji, takich jak wytyczanie trasy poª cze«kablowych, rozgrywanie gier, zadanie transportowe, zadanie komiwoja»era, sterowanie optymalne, optymalizacja obsªugi zapyta«w bazach danych.

Zastasowania Bardzo ciekawym przykªadem pot gi algorytmów genetycznych byªo zaprojektowanie tzw. crooked wire genetic antennas, czyli optymalnego ksztaªtu anteny nadaj cej równomiernie we wszystkich kierunkach ponad krzywizn ziemi. W przeciwie«stwie do przewidywa«, symetryczne anteny o geometrycznych ksztaªtach nie rozwi zywaªy tego problemu optymalnie. Dopiero algorytm genetyczny znalazª optymalne rozwi zanie, którym okazaªa si ±mieszna pl tanina drutów. Co wi cej, znacz ce jest to,»e genetyczny algorytm wyszukaª j w±ród innych, podobnie fantazyjnie poskr canych anten, z których wi kszo± jednak nie pracowaªa wªa±ciwie.

Podstawowe elementy Przed zaimplementowaniem algorytmu genetycznego, programista musi zdeniowa pi podstawowych elementów, od których w du»ym stopniu zale»y efektywno± programu. Elementy te to: odpowiednia reprezentacja danych, stanowi cych potencjalne rozwi zania zadania sposób tworzenia pocz tkowej populacji mo»liwych rozwi za«funkcja oceniaj ca, która gra rol ±rodowiska i ocenia rozwi zania wedªug ich dopasowania podstawowe operatory, które wpªywaj na skªad populacji potomnej warto±ci ró»nych parametrów u»ywanych w algorytmie genetycznym (rozmiar populacji, prawdopodobie«stwo u»ycia operatorów genetycznych itp.)

Reprezentacja danych Jeden ci g binarny jest odpowiednikiem jednego chromosomu. Genotyp to inaczej zespóª chromosomów danego osobnika. Osobnika w populacji mo»e tworzy zarówno genotyp jak i pojedynczy chromosom. Zbiór osobników, tworzy populacj. W danej populacji ka»dy ci g binarny ma tak sam dªugo± L. Jeden znak w ci gu binarnym jest odpowiednikiem genu w chromosomie, warto±ci jakie mo»e przyjmowa ten znak czyli 0 lub 1 to allele, a poªo»enie znaku w ci gu to locus.

Reprezentacja danych W wyniku dziaªania algorytmu genetycznego w ka»dej iteracji powstaje nowy zbiór osobników, czyli nowe pokolenie. Ka»da kolejna iteracja to generacja.

Populacja pocz tkowa Kolejne bity dla ci gu dªugo±ci L wybierane s w sposób losowy. Tworzy si tyle osobników ile wynosi rozmiar populacji.

Funkcja celu ψ : chromosomy R. Im wy»sza warto± tej funkcji dla danego argumentu, tym dany osobnik jest bli»szy rozwi zaniu optymalnemu. Szukaj c analogii w naturze mo»emy powiedzie,»e dla danego osobnika funkcja ta gra rol ±rodowiska oceniaj c potencjalne rozwi zania wedªug ich dopasowania.

Operatory Operatory dzielimy na dwuargumentowe i jednoargumentowe. Operatorem dwuargumentowym jest operacja krzy»owania. Jej celem jest wymiana materiaªu genetycznego mi dzy dwoma osobnikami populacji. W jej wyniku powstaj dwa nowe osobniki potomne. Proces krzy»owania mo»na podzieli na poszczególne etapy: wybranie punktu krzy»owania poprzez losowanie liczby naturalnej l z przedziaªu [0, L 1] rozerwanie dwóch ci gów binarnych b d cych rodzicami w miejscu l tworzenie potomków poprzez wymian podci gów binarnych mi dzy rodzicami

Operatory Rysunek: Przed krzy»owaniem. Rysunek: Po krzy»owanu.

Operatory Operatorem jednoargumentowym jest mutacja. Jej celem jest zwi kszenie obszaru poszukiwa«algorytmu genetycznego i nie dopuszczenie do odrzucenia potencjalnie obiecuj cego materiaªu genetycznego. Dokonuje si jej na osobnikach potomnych zaraz po operacji krzy»owania. Dla ka»dego genu w chromosomach potomków z prawdopodobie«stwem mutacji p m (np. p m = 0, 01), dokonujemy zamiany warto±ci genu w chromosomie na przeciwn (1 0, 0 1).

Operatory

Warto±ci parametrów Warto±ci, jakie przypiszemy poszczególnym parametrom, mog mie du»y wpªyw na dziaªanie programu. Parametry, dla których musimy okre±li warto±ci, to prawdopodobie«stwo mutacji, dªugo± genu w chromosomie, rozmiar populacji. Czasem okre±la si, po której iteracji program si zatrzyma, pod warunkiem,»e wcze±niej nie wyst pi inny warunek stopu.

Funkcja przystosowania Funkcja przystosowania ϕ : chromosomy R + ocenia ka»de mo»liwe rozwi zanie. Im wy»sza warto± funkcji ϕ dla danego chromosomu, tym jest on bli»szy rozwi zaniu optymalnemu. Funkcje przystosowania uzyskuje si z przeksztaªcenia funkcji celu ψ : chromosomy R, która podlega maksymalizacji. Je±li ψ przyjmuje tylko warto±ci dodatnie, to: ϕ(x) = ψ(x) gdzie x chromosomy. Mo»na równie» przej± z ψ w ϕ za pomoc przeksztaªcenie liniowego: ϕ(x) = ψ(x) + c gdzie x chromosomy, c jest staª wi ksz od liczby przeciwnej do minimum globalnego funkcji ψ.

Selekcja Selekcja jest to sposób wyboru osobników z bie» cej populacji, tworz cej populacj rodzicielsk, na których nast pnie wykonywane s takie operacje jak mutacja, krzy»owanie w celu uzyskania nast pnego pokolenia. W klasycznym algorytmie genetycznym selekcja jest wykonywana za pomoc metody koªo ruletki.

Koªo ruletki W metodzie koªa ruletki rodzice wybierani s z prawdopodobie«stwem proporcjonalnym do ich funkcji przystosowania. Je»eli przystosowanie i-tego osobnika oznaczymy przez ϕ i, to prawdopodobie«stwo jego wybrania jest równe: p i = ϕ i Φ gdzie Φ oznacza sum przystosowa«wszystkich osobników w populacji.

Algorytm Na klasyczny algorytm genetyczny skªadaj sie poszczególne kroki: 1 Inicjalizacja, czyli wybór pocz tkowej populacji. 2 Ocena przystosowania chromosomów w populacji, czyli obliczenie warto±ci funkcji ϕ : chromosomy R + dla ka»dego chromosomu w populacji. 3 Sprawdzenie warunku zatrzymania. Mo»e on wyst pi w trzech sytuacjach: gdy uzyskamy» dan warto± optymaln lub z okre±lon dokªadno±ci dalsze dziaªanie algorytmu nie poprawia uzyskanej ju» najlepszej warto±ci na algorytm naªo»one jest ograniczenie czasowe lub wykonamy z góry zaªo»on ilo± iteracji

Algorytm 4 Selekcja chromosomów, czyli wybór osobników bior cych udziaª w tworzeniu potomków nast pnego pokolenia. Im osobnik ma wy»sz warto± dla funkcji przystosowania, tym wi ksza szansa,»e zostanie on wylosowany. 5 Zastosowanie operatorów genetycznych. Tworzymy now populacj krzy»uj c parami osobniki wyselekcjonowane w poprzednim punkcie, a nast pnie stosujemy operator mutacji na potomkach. 6 Utworzenie nowej populacji. Stanowi j chromosomy otrzymane w punkcie 5. 7 Powrót do punktu 2.

Selekcja metoda elitarna dwukrokowa odmiana podstawowej metody selekcji, w pierwszym kroku dokonujemy tradycyjnej selekcji, a w drugim uzupeªniamy populacj potomków o osobniki najlepiej przystosowane w populacji rodziców. Jej celem jest ochrona najlepiej przystosowanych chromosomów w kolejnych iteracjach (w klasycznym algorytmie osobniki najlepiej przystosowane nie zawsze wchodz do nast pnej generacji).

Selekcja metoda porz dkowa sortujemy populacj ze wzgl du na warto±ci funkcji przystosowania, prawdopodobie«stwo doboru uzale»nione jest od liczby porz dkowej w populacji. metoda turniejowa z populacji o rozmiarze N wybiera si N razy po k osobników, z ka»dej grupy selekcj przechodzi najlepszy.

Problem Dwóch zamieszanych w du»e przest pstwo przest pców zªapano za maªe przewinienie. Policja wie,»e s winni, lecz nie ma dowodów. Je±li: b d wspóªpracowa ze sob (nie b d zeznawa przeciwko sobie), odsiedz niewielk kar za maªe przewinienie, jeden zerwie wspóªprac i b dzie zeznawaª, a drugi nie, pierwszy zostanie uwolniony, drugi natomiast pójdzie siedzie za powa»ne przest pstwo, obaj b d zeznawa - obaj pójd siedzie, przy czym wyrok b dzie z tego wzgl du nieco zªagodzony. Problem jest nast puj cy: niezale»nie od post powania drugiego, opªaca si zeznawa. Je±li natomiast»adna ze stron nie b dzie zeznawa, wynik b dzie o wiele lepszy dla obu graczy.

Dylemat wi ¹nia jako gra Dylemat wi ¹nia mo»na traktowa jako dwuosobow gr. W kolejnych etapach gry ka»dy gracz, albo zdradza albo wspóªpracuje z drugim. W zale»no±ci od konguracji rozgrywki graczom przyznawane s punkty. Gracz 1 Gracz 2 Punkty Punkty Konguracja gracza 1 gracza 2 rozgrywki Zdrada Zdrada 1 1 0 Zdrada Wspóªpraca 5 0 1 Wspóªpraca Zdrada 0 5 2 Wspóªpraca Wspóªpraca 3 3 3 Tablica: Ocena poszczególnych graczy w zale»no±ci od konguracji rozgrywki. Dodatkowo z ka»dym ukªadem post powania obu graczy zwi zana jest liczba k {0, 1, 2, 3}.

Reprezentacja strategii Tworzymy populacj graczy. Ka»dy z nich ma swoj strategi oraz histori kilku poprzednich gier - z pocz tku obie te cechy s losowe. Zakªadamy,»e do wyboru ka»dego nast pnego ruchu b dziemy brali pod uwag trzy ostatnie ruchy przeciwnika. Poniewa» s cztery mo»liwe przebiegi ka»dej gry oraz bierzemy pod uwag trzy ostatnie gry, to do opisania strategii jednego osobnika potrzebujemy 4 3 = 64 bitów. Zdrad b dziemy opisywa za pomoc 0 a wspóªprac za pomoc 1.

Reprezentacja strategii bit bit bit bit bit bit bit nr 1 nr 2 nr 3 nr 4 nr 5 nr k nr 64 ª czna konguracja 0 1 2 3 0... 3 dotychczasowej rozgrywki 0 0 0 0 1... 3 w trzech ostatnich grach 0 0 0 0 0... 3 przykªadowe postepowanie gracza 1 1 0 0 0... 1 w danej sytuacji Tablica: Przedstawienie sposobu kodowania strategii osobnika w zale»no±ci od zaistniaªej sytuacji.

Przykªad Zaªó»my,»e tabela opisuje strategi gracza X. Tak wi c, je±li gracz X rozgrywa mecz z innym graczem, za± 3 ostatnie gry mo»na opisa za pomoc trójki (3,0,0) (w pierwszej grze wi ¹niowie wspóªpracowali, a wszystkie pozostaªe decyzje obu stron byªy zdrad ) to decyduje si on na zdrad, poniewa» w swojej strategii na ukªad konguracji w trzech ostatnich grach (3,0,0) ma zdeniowan zdrad. Aby móc stosowa strategi na pocz tku gry, musimy zada trzy hipotetyczne ruchy, które poprzedziªy rozpocz cie gry. To wymaga 6 bitów. W sumie nasz chromosom b dzie miaª 64+6 = 70 genów.

Algorytm Axelroda 1 Stwórz pocz tkow populacj. Ka»demu graczowi przyporz dkowuje si losowy ªa«cuch 70-bitowy reprezentuj cy strategi. 2 Ka»dy gracz u»ywa strategii zapisanej w swoim chromosomie do rozegrania gier z pozostaªymi graczami. Wynik gracza jest ±redni ze wszystkich rozegranych przez niego gier. 3 Wybierani s gracze do rozmna»ania. Najgorsi nie bior udziaªu w rozmna»aniu, ±redni gracze dostaj jednego partnera, natomiast najlepsi dwóch partnerów. 4 W wyniku krzy»owania powstaj potomkowie, których strategia opiera si na strategii rodziców. Dodatkowe zmiany w strategii potomków wprowadzaj mutacje.

Wyniki oblicze«wyniki, jakie daª program oparty na algorytmie Axelroda, byªy zaskakuj ce. Z zupeªnie przypadkowego punktu startowego zostaªa utworzona populacja, której ±redni czªonek reprezentowaª taka strategi jak uzyskiwaªy najlepsze algorytmy heurystyczne.

Motywacja W poªowie XX wieku powstaªy ró»ne o±rodki rozwijaj ce algorytmy korzystaj ce z idei ewolucji. W miar upªywu czasu, gdy zacz to szuka coraz szerszych zastosowa«dla tych algorytmów a co za tym idzie coraz bardziej je modykowa, granice mi dzy nimi zacz ªy si zaciera. Algorytmy powstaªe w tym procesie ogólnie nazywamy ewolucyjnymi. Na przykªad w algorytmach genetycznych zacz to eksperymentowa z reprezentacjami danych odmiennymi od binarnej. Konsekwencj tego byªa konieczno± zdeniowania nowych operatów mutacji i krzy»owania i inych elementów algorytmów genetycznych.

Cel Mamy dan map dwuwymiarow z wielok tnymi przeszkodami oraz robota poruszaj cego si po tej mapie. Celem algorytmu jest wyszukanie optymalnej ±cie»ki, po której robot mógªby przemie±ci si z punktu startowego do punktu docelowego.

Etapy algorytmu Proces planowania ±cie»ki mo»na podzieli na dwie zasadnicze cz ±ci. Planowanie zawczasu - ustala si ±cie»k, po której robot b dzie si poruszaª. W tym etapie zakªadamy,»e ±rodowisko jest dokªadnie znane i nie zmieni si. Planowanie na bie» co - robot porusza si po ±cie»ce wyznaczonej w pierwszej fazie i w sytuacji kolizji z nieznanym wcze±niej obiektem zmienia drog, tak by jak najoptymalniej omin przeszkod. Planowanie obu etapów odbywa si za pomoc tego samego algorytmu ewolucyjnego, tylko z innymi parametrami.

Reprezentacja ±cie»ki cie»ki s reprezentowane za pomoc ci gu punktów (m 1, m 2,..., m n ), zwanych w zªami, o wspóªrz dnych x i y, oraz znacznika informuj cego czy w zeª jest dopuszczalny czy nie. Robot porusza si z punktu do punktu po linii prostej. W zeª niedoposzczalny jest to w zeª, którego nie mo»na poª czy z nast pnym, z powodu wyst puj cej po drodze przeszkody. cie»ka p = (m 1, m 2,..., m n ) jest dopuszczalna, je±li wszystkie w zªy w niej s dopuszczalne, natomiast niedopuszczalna, je±li przynajmniej jeden w zeª jest niedopuszczalny. Pierwszym w zªem na li±cie jest punkt startowy, ostatnim w zeª docelowy.

Reprezentacja ±cie»ki Proces nawigacji (kierowania) ko«czy si, kiedy robot osi ga punkt docelowy lub nie mo»e znale¹ rozwi zania w okre±lonym przedziale czasowym. Dªugo± chromosomu reprezentuj cego ±cie»k jest zmienna, na wst pie dziaªania algorytmu jest równa ilo±ci przeszkód.

Funkcja kosztu dla dopuszczalnej drogi U»ywamy ró»nych funkcji kosztu dla dopuszczalnej i niedopuszczalnej drogi. Koszt caªej trasy chromosomu p = (m 1, m 2,..., m n ) dla dopuszczalnej drogi: gdzie ϕ(p) = w d dist(p) + w s smooth(p) + w c clear(p) w d, w s, w c staªe dist(p) caªkowita dugo± drogi smooth(p) maksymalna niegªadko± drogi clear(p) rozmiar najgorszej kolizji

Caªkowita dugo± drogi n 1 dist(p) = d(m i, m i+1 ) i=1 gdzie d(m i, m i+1 ) jest odlegªo±ci mi dzy w zªami m i oraz m i+1, to znaczy funkcja dist(p) podaje caªkowit dªugo± drogi p,

Maksymalna niegªadko± drogi gdzie: s(m i ) = smooth(p) = max n 1 s(m i) i=2 θ i min{d(m i 1, m i ), d(m i, m i+1 )} gdzie θ i jest k tem pomi dzy odcinkami m i 1, m i oraz m i, m i+1. To znaczy funkcja smooth(p) podaje najwi ksz niegªadko± p w w ¹le.

Rozmiar najgorszej kolizji gdzie: c i = clear(p) = max n 1 c i i=1 { τ d i, je»eli d i τ 0, w odwrotnym przypadku gdzie τ to promie«robota, d i odlegªo± odcinka [m i, m i+1 ] od najbli»szej przeszkody.

Koszt dla niedopuszczalnej drogi Koszt caªej trasy chromosomu p = (m 1, m 2,..., m n ) dla niedopuszczalnej drogi: ϕ(p) = α + β + γ gdzie α to ilo± uderze«p w przeszkod, β jest ±redni liczba zderze«w odcinku niedopszczalnym, a γ to koszt najgorszej dopuszczalnej drogi w bie» cej populacji, dzi ki γ wszystkie dopuszczalne ±cie»ki maj lepsze przystosowanie od niedopuszczalnej.

Krzy»owanie operator krzy»owania - dwa wybrane chromosomy rozdziela si w pewnym miejscu i ª czy ze sob : pierwsz cz ± pierwszego chromosomu z drug cz ±ci drugiego chromosomu, a pierwsza cz ± drugiego chromosomu z drug cz ±ci pierwszego chromosomu, punkt ci cia wybiera si po w ¹le niedopuszczalnym jednego z chromosomów

Mutacje przesuwanie - polega na przesuni ciu w zªa w przestrzeni, w zeª mo»e zosta przesuni ty: lokalnie - przesuni cie wykonuje si wedªug rozkªadu normalnego, celem tej mutacji jest wygªadzenie drogi globalne - przesuwa si w zeª do losowego punktu w przestrzeni, mutacja ta jest u»yteczna w przypadkach, gdy jest potrzebna wi ksza zmiana geometrii ±cie»ki (na przykªad w czasie planowania zawczasu, gdy przeszkoda blokuje nam drog ) wstawianie - wstawia si w zeª pomi dzy dowolne dwa losowe w zªy usuwanie - usuwa si dowolny w zeª wymiana - zmienia si kolejno± losowo wybranych w zªów lub kawaªków chromosomów

Mutacje optymalizacja - odcina si ostre k ty