64 5. Liniowe człony ynamiczne 5.. Człony potawowe elementarne W złożonych ułaach automatyi zwyle można wyorębnić zereg najprotzych niepozielnych już elementów funcjonalnych. Pomimo różnoronych form ich fizycznej buowy i fizycznych potaci ich ygnałów, właściwości tych najprotzych rzeczywitych elementów można przyporząować z więzym lub mniejzym przybliżeniem zalewie ilu różnym moelom matematycznym. Abtracyjne urzązenia o właściwościach opowiaających tym moelom nazywamy potawowymi elementarnymi liniowymi członami ynamicznymi. Równania ruchu potawowych liniowych członów ynamicznych tabl. 5. ą zczególnymi potaciami równania różniczowego 3.. abl. 5.. Równania ruchu potawowych liniowych członów ynamicznych Nazwa członu Człon proporcjonalny bezinercyjny Równanie ruchu członu y u 5. nazywa ię wpółczynniiem wzmocnienia wzmocnieniem, jeżeli u i y ą jenaowymi wielościami fizycznymi lub wpółczynniiem proporcjonalności gy u i y Człon inercyjny Człon całujący ą wielościami różnymi. y y u 5. - tała czaowa członu [], - wzmocnienie albo wpółczynni proporcjonalności Jeżeli u i y ą jenaowymi wielościami fizycznymi y u 5.3 - tała czaowa członu [] Jeżeli u i y ą różnymi wielościami fizycznymi y u 5.4 - wpółczynni proporcjonalności
65 c. tabl. 5. Człon różniczujący iealny Jeżeli u i y ą jenaowymi wielościami fizycznymi u y 5.5 - tała czaowa członu [] Jeżeli u i y ą różnymi wielościami fizycznymi Człon różniczujący rzeczywity u y 5.6 - wpółczynni proporcjonalności Jeżeli u i y ą jenaowymi wielościami fizycznymi y u y 5.7 - tała czaowa różniczowania [], - tała czaowa inercji [] Jeżeli u i y ą różnymi wielościami fizycznymi Człon ocylacyjny y u y 5.8 - tała czaowa inercji [], - wpółczynni proporcjonalności y y y u lub 5.9 y y y u 5. - pulacja rgań nie tłumionych, - wpółczynni tłumienia;, - wzmocnienie albo wpółczynni proporcjonalności Człon opóźniający y u t 5. - opóźnienie cza opóźnienia [] Uwaga! Równanie ruchu 5.9 gy nie reprezentuje członu ocylacyjnego. Wprowazając o równania 5.9 oznaczenie /, otrzymuje ię
66 y y y u ranmitancja operatorowa członu wyznaczona na potawie tego równania ma potać y G u W przypau gy, tranmitancję tę można przetawić jao G y u Element o taiej tranmitancji można tratować jao zeregowe połączenie wóch członów inercyjnych o jenaowych tałych czaowych. Element o taiej tranmitancji nazywany jet inercyjnym II-giego rzęu. Natomiat jeżeli, trójmian mianownia tranmitancji ma wa rzeczywite miejca zerowe, gyż 4 i można go wyrazić w potaci iloczynu wóch wumianów. A więc, jeżeli, tranmitancję członu można przetawić w potaci y G u Jet to więc tranmitancja zeregowego połączenia wóch członów inercyjnych o różnych tałych czaowych. 5... Człon proporcjonalny Potawowe charaterytyi członu proporcjonalnego zetawiono w tabl. 5.. Przyłay urzązeń, tóre w oreślonych warunach i oreślonych zareach zmian ygnałów, przy opowienich założeniach uprazczających, mogą być tratowane jao elementy o właściwościach członu proporcjonalnego elementy proporcjonalne przetawiono na ry. 5.. Np., w przypau źwigni załaa ię, że ą one elementami nieoztałcalnymi, bez may i bez tarcia w przegubie. Należy zwrócić uwagę na fat, że o potaci równania ruchu elementu ecyuje nie tylo jego buowa lecz taże poób jego wyorzytania o przetwarzania informacji. Dlatego obo chematów ieowych pozczególnych elementów zotały oreślone wielości wejściowe i wyjściowe. Na ry. 5. h, i na chematach bloowych poane ą tranmitancje elementów; wyznaczenie pozotałych pozotawia ię czytelniowi.
67 abl. 5.. Charaterytyi członu proporcjonalnego Równanie ruchu y u Charaterytya tatyczna y u ranmitancja operatorowa G y u Opowieź oowa y t L [ u ] t u t ranmitancja wimowa G j P Q Logarytmiczna charaterytya amplituowa M L lg [B] Logarytmiczna charaterytya fazowa Q arctg P
68 Ry. 5.. Przyłay elementów proporcjonalnych Przyła 5. Wyznaczyć równanie ruchu elementu wg ry. 5.a, tórego wielością wejściową jet napięcie U, a wyjściową napięcie U.
69 Rozwiązanie Równanie ruchu anego elementu można wyznaczyć na potawie prawa Ohma. Wartość prąu płynącego w anej chwili t przez rezytory R i R wyraża toune napięcia o oporności I U U R, U R R ą wynia zależność U U, obowiązująca w owolnej chwili. Zatem, R R równanie ruchu ma potać R U U R R t Wzmocnienie elementu R R R ma wartość. Przyła 5. Wyznaczyć równanie ruchu elementu wg ry. 5.j załaając, że wielością wejściową jet ciśnienie p wprowazone o omory iłownia, a wyjściową położenie y tłoczya iłownia C - ztywność prężyny powrotnej. Rozwiązanie W tym przypau zależność wielości wyjściowej o wejściowej wynia z równania równowagi ił ziałających na ruchome części iłownia. Siła wyniająca z ziałania ciśnienia naciśnienia p na powierzchnię A membrany, ściając prężynę o ztywności C, powouje wyuwanie tłoczya o wartość y o tanu początowego. Załóżmy bra ił bezwłaności tj., że maa elementów ruchomych jet równa zero, bra ił tarcia w ułazie oraz pomijalnie małą objętość omory iłownia. Równanie równowagi ił ma potać p A C y, ą wynia zależność wielości wyjściowej o wejściowej C y p A i równanie ruchu C y p A Stoune C / A jet wpółczynniiem proporcjonalności.
7 5... Człon inercyjny Charaterytyi członu inercyjnego zetawiono w tabl. 5.3. abl. 5.3. Charaterytyi członu inercyjnego Równanie ruchu t u t y t y Charaterytya tatyczna u y ranmitancja operatorowa u y G Opowieź oowa e u u L y t t t t ranmitancja wimowa Q j P j j G Q P
7 c.tabl. 5.3 Logarytmiczna charaterytya amplituowa M M [ P ] [ Q ] L lg lg [B] M la M la M la Logarytmiczna charaterytya fazowa Q arctg arctg P 4 la la la W tablicy 5.3 oznaczono numerami: i rzeczywitą i aymptotyczną logarytmiczną charaterytyę amplituową, 3 - rzeczywitą logarytmiczną charaterytyę fazową, 4 - aymptotyczną logarytmiczną charaterytyę fazową wyznaczoną metoą iecznej, 5 - aymptotyczną logarytmiczną charaterytyę fazową wyznaczoną metoą tycznej. Opowieź oowa członu inercyjnego ry.5. może być wyorzytana o wyznaczenia jego parametrów i. Wartość wpółczynnia można wyznaczyć na potawie wartości utalonej opowiezi. Stałą czaową można wyznaczyć iloma poobami. Potawiając o równania opowiezi oowej cza t równy tałej czaowej,otrzymuje ię zależność
7 y 63, u t t, z tórej wynia, że po upływie czau równego tałej czaowej o wprowazenia wymuzenia oowego wartość opowiezi oowej oiąga ooło 63,% wartości utalonej. Stałą czaową elementu inercyjnego można również wyznaczyć na potawie opowiezi oowej jao cza, po tórym tyczna o opowiezi oiąga wartość utaloną tej opowiezi. Na przyła, równaniem tycznej z, wytawionej o opowiezi przy t, jet y z t [ ut e ] t t t t [ u t ] t Dla t tyczna z oiąga wartość u t, a więc utaloną wartość opowiezi oowej. Poobnie można wyznaczyć tałą czaową, wytawiając tyczną w owolnym puncie opowiezi oowej tabl. 5.3. Poobnie na potawie równania opowiezi oowej można obliczyć wartości opowiezi po upływie wielorotności tałej czaowej ry. 5.. Ry. 5.. Opowieź oowa członu inercyjnego Ry. 5. przetawia taże informację z jaą ołanością wyznaczana jet eperymentalnie wartość utalona opowiezi oowej urzązenia o właściwościach elementu inercyjnego w zależności o czau trwania eperymentu. Np., po upływie czau równego 4 błą wzglęny pomiaru wartości utalonej jet mniejzy niż %. Charaterytyę amplituowo-fazową wyznacza ię obliczając la zeregu wartości pulacji wartości P i Q albo M i. Charaterytya amplituowo-fazowa członu inercyjnego jet półoręgiem tabl. 5.3. Wpółrzęne charaterytycznych puntów tej charaterytyi poaje tabl. 5.4.
73 abl. 5.4. / P / Q / M / / 4 / Charaterytyczną wartością pulacji jet tzw. pulacja przęgająca /. Wieząc, że przy tej pulacji przeunięcie fazowe wynoi / 4, na potawie eperymentalnie wyznaczonej wartości pulacji powoującej taie przeunięcie można wyznaczyć wartość tałej czaowej elementu inercyjnego, a na potawie wartości moułu M przy pulacji przęgającej można wyznaczyć wartość wpółczynnia - z zależności M. efinicyjnych Wyznaczanie charateryty logarytmicznych na potawie wzorów L lg lg [B] arctg jet pracochłonne w tabl. 5.3 charaterytyi te wyreślono liniami ciągłymi. Dlatego w pratyce wyorzytuje ię tzw. charaterytyi aymptotyczne, łaające ię z ocinów linii protych w tabl. 5.3 wyreślono je liniami przerywanymi. Aymptotyczna logarytmiczna charaterytya amplituowa łaa ię z wóch półprotych, oreślonych równaniami: - la załaa ię, że, a więc L lg [B]; jet to równanie linii protej równoległej o oi ociętych, - la załaa ię, że, a więc L lg lg [B]; jet to równanie linii protej o nachyleniu - B na eaę rót: - B/e.
74 worzące charaterytyę aymptotyczną części tych linii tyają ię przy tą nazwa - pulacja przęgająca, gzie wytępuje najwięza różnica pomięzy charaterytyą rzeczywitą a aymptotyczną, wynoząca 3B. Dla pulacji przęgającej charaterytya aymptotyczna przyjmuje wartość L lg [B], natomiat charaterytya rzeczywita L lg lg = lg 3 [B]. Aymptotyczna logarytmiczna charaterytya fazowa członu inercyjnego łaa ię z wóch półprotych i łączącego je ocina linii protej, porywającego ię z charaterytyą rzeczywitą w puncie jej przegięcia o wpółrzęnych, / 4 tabl. 5.3. Stoowane ą wie metoy wyreślanie śroowego ocina charaterytyi aymptotycznej - metoa iecznej albo metoa tycznej. Metoa iecznej polega na przeprowazeniu tego ocina przez punty o wpółrzęnych,, i, /, metoa tycznej przez punty, i 4,8, / linia 4,8 przechoząca przez te punty jet tyczną o rzeczywitej logarytmicznej charaterytyi fazowej w puncie przegięcia. Ze wzglęu na mniejze maymalnie +5 73 i -5 73 ochylenia o rzeczywitego przebiegu charaterytyi fazowej oraz łatwość wyreślania, orzytniej jet toować metoę iecznej.
75 Ry. 5.3. Przyłay elementów inercyjnych Na ry. 5.3 przetawiono przyłay urzązeń, tóre przy opowienich założeniach uprazczających, mogą być tratowane jao elementy inercyjne. Przyła 5.3 Wyznaczyć równanie ruchu elementu wg ry. 5.3a, tórego wielością wejściową jet ciśnienie p prze zwężą, a wyjściową ciśnienie p panujące wewnątrz zbiornia o objętości V. Należy przyjąć, że: - zmiany ciśnienia w zbiorniu ą powolne i nie powoują zmian jego temperatury zmiany ciśnienia wg przemiany izotermicznej, - w zwężce wytępuje przepływ laminarny. Rozwiązanie W przypau przepływu laminarnego, trumień may G powietrza przepływającego przez zwężę jet proporcjonalny o pau ciśnienia na zwężce. W przypau opływu o zbiornia G p p,
76 gzie - wpółczynni proporcjonalności. Zależność may m powietrza w zbiorniu o objętości V la oreślonej wartości temperatury [K] i ciśnienia abolutnego p można wyznaczyć z równania tanu gazu prawo Clapeyrona p V m, R gzie: R 87 J/gK tała gazowa la powietrza. Zmiany may powietrza w zbiorniu wute opływu lub wypływu wywołują zmiany ciśnienia, zgonie z zależnością m V p R Z prawa ciągłości trumień may powietrza płynącego przez zwężę o zbiornia zwięza maę powietrza w zbiorniu wynia, że V p p p, R ą wynia równanie ruchu V p p p t R Jet to więc element inercyjny o tałej czaowej m G, a więc V R i wzmocnieniu. Przyła 5.4 Wyznaczyć równanie ruchu tłumia hyraulicznego wg ry. 5.3c, tórego wielością wejściową jet przeunięcie x ońca prężyny o ztywności C, a wyjściową przeunięcie y tłoa. Należy ponao założyć bra ściśliwości oleju oraz, że przepływy pomięzy omorami tłumia mają charater laminarny. Rozwiązanie Przeunięcie x ońca prężyny powouje jej ugięcie i powtanie iły wywołującej różnicę ciśnień p pomięzy omorami tłumia, co z olei powouje przepływ oleju przez ławi Z i w efecie przemiezczanie tłoa. Z równania równowagi ił ziałających na tło C[ x y ] Ap, gzie A - powierzchnia czynna tłoa, otrzymuje ię
77 C p [ x y ] A W przypau przepływu laminarnego, trumień objętości jet proporcjonalny o wywołującej go różnicy ciśnień y Q p A Uwzglęniając zależność oreślającą pae ciśnienia ruchu p, otrzymuje ię równanie A C y y x Jet to więc element inercyjny o tałej czaowej A i wzmocnieniu. C Przyła 5.5 Wyznaczyć równanie ruchu czwórnia RL wg ry. 5.3, tórego wielością wejściową jet napięcie U, a wyjściową napięcie U. Rozwiązanie Z równania oreślającego napięcie na zaciach wejściowych U I L U t oraz prawa Ohma U I R otrzymuje ię równanie ruchu L R U U U t L Jet to równanie elementu inercyjnego o tałej czaowej i wzmocnieniu. R Przyła 5.6 Wyznaczyć wartość napięcia wyjściowego U czwórnia RC wg ry. 5.3e po upływie e. o momentu oowej zmiany napięcia wejściowego U o amplituzie V. Wartości początowe napięć U U V, oraz R M, C F. Rozwiązanie Prą I płynący przez opór R i w obwozie wyjściowym można wyrazić jao
78 U U I R U I C Z przyrównania tych zależności, po przeztałceniu, otrzymuje ię równanie ruchu U t RC U t U t Jet to równanie elementu inercyjnego o tałej czaowej RC e. i o wzmocnieniu. Po upływie e. o chwili wprowazenia na wejście ygnału oowego, tj. po upływie czau równego tałej czaowej, napięcie wyjściowe U oiągnie 63.% tanu utalonego, a więc wartość,63 V =,64 V. Przyła 5.7 Do pomiaru ciśnienia p gazu płynącego przez rurociąg zatoowano przetworni pomiarowy o tranmitancji operatorowej I G p gzie: I prąowy ygnał wyjściowy, p ciśnienie wejściowe przetwornia. Jai bęzie błą pomiaru amplituy zmian ciśnienia, zmieniającego ię inuoialnie z czętotliwością f, Hz, jeżeli tała czaowa przetwornia 3. Rozwiązanie Przyrot wartości ciśnienia o p powinien powoować, po utaniu proceów przejściowych, zmianę wartości ygnału wyjściowego przetwornia I p. W rozważanym przypau, zmiany ciśnienia wejściowego o amplituzie powoują zmiany ygnału wyjściowego o amplituzie I p M p, gzie f, 68 ra/. Po potawieniu anych otrzymuje ię I p, 983 p 3.68 p Błą wzglęny pomiaru amplituy zmian ciśnienia wynoi
79 I I I % p,983 p %,7% p Ćwiczenie 5. Jai jet ygnał wyjściowy elementu o tranmitancji wejście poawany jet ygnał x 5in t? G jeżeli na jego. Op.: y 5 int. 4 Ćwiczenie 5. Ry. 5.4 przetawia aymptotyczną logarytmiczną charaterytyę amplituową elementu inercyjnego. Jaa jet tała czaowa i wzmocnienie tego elementu? Op.:, 4 e.,. Ry. 5.4. Ryune o ćwiczenia 5. Ćwiczenie 5.3 Ry. 5.3b przetawia oło zamachowe o momencie bezwłaności J. Wyznaczyć równanie ruchu urzązenia przyjmując, że wielością wejściową jet moment napęzający M, wyjściową pręość ątowa oła. Przyjąć założenie, że w łożyach wytępuje tylo tarcie lepie proporcjonalne o pręości ątowej moment tarcia M t R ; R - wpółczynni proporcjonalności. J Op.: M R R 5..3. Człon całujący Charaterytyi członu całującego zetawiono w tabl. 5.5.
8 abl. 5.5. Charaterytyi członu całującego y Równanie ruchu u Charaterytya tatyczna u ranmitancja operatorowa G y u Opowieź oowa y t L ut u t t ranmitancja wimowa G j j j P, Q Logarytmiczna charaterytya amplituowa M [ P ] [ Q ] L lg lg [B] Logarytmiczna charaterytya fazowa Q arctg arctg P arctg
8 Na ry. 5.5 przetawiono przyłay urzązeń, tóre przy opowienich założeniach uprazczających, mogą być tratowane jao elementy całujące. Ry. 5.5. Przyłay elementów całujących: a erwomotor hyrauliczny, Przyła 5.8 b - przełania rolowa Ry. 5.5a przetawia chemat tzw. erwomotoru hyraulicznego, wyorzytywanego w hyraulicznych ułaach automatyi. Słaa ię on z iłownia tłoowego o powierzchni czynnej tłoa A i rozzielacza. Sygnałem wejściowym erwomotoru jet przemiezczenie x uwaa rozzielacza wzglęem pozycji, w tórej tłoczi uwaa całowicie zamyają otwory prowazące o omór iłownia ja na ryunu. W taiej pozycji rozzielacza tło iłownia jet unieruchomiony załaa ię, że wypełniający omory iłownia olej jet nieściśliwy, oraz że nie ma przecieów woół tłoa. Ochylenie uwaa rozzielacza o tej pozycji, powouje jenoczene połączenie jenej omory iłownia z zailaniem p z, a rugiej - ze pływem p i w onewencji ruch tłoa iłownia. Wielością wyjściową erwomotoru jet przemiezczenie y tłoa wzglęem pozycji początowej. Wyznaczmy równanie ruchu erwomotoru załaając, że iły ziałające na tło obciążenia zewnętrzne i opory ruchu ą pomijalnie małe, oraz że ciśnienia zailania p z i pływu p ą tałe. Przy taich założeniach trumień objętości Q oleju wpływającego o jenej omory iłownia i tai am trumień Q oleju wypływającego z rugiej omory zależą tylo o wielości powierzchni przepływowych w rozzielaczu, zależnych o położenia x uwaa. Do obliczania trumienia objętości Q cieczy o gętości przez zwężę o powierzchni przepływowej f, wyorzytuje ię wzór
8 Q f p gzie: - wpółczynni przepływu, p - różnica ciśnień wywołująca przepływ. W rozzielaczu, zczeliny przepływowe na opływie o iłownia i na wypływie tworzą wyonane w orpuie rozzielacza protoątne ona o zeroości b ; przy x ą one całowicie przyłonięte przez tłoczi rozzielacza. Dla x powierzchnie przepływowe ą równe Wprowazając oznaczenie b pz p B, f b x. na potawie prawa ciągłości można napiać y Q Q B x A, ą otrzymuje ię równanie ruchu A y x. B Jet to równanie elementu całującego o tałej czaowej A B b Przyła 5.9 A. p z p Wyznaczyć równanie ruchu przełani przetawionej na ry. 5.5b. Obracająca ię ze tałą pręością ątową tarcza, wprawia w ruch rolę o promieniu r. Wielością wejściową elementu jet oległość x puntu tyczności roli z tarczą o śroa tarczy, wielością wyjściową położenie ątowe roli. Rozwiązanie Przy założeniu, że toczenie obywa ię bez poślizgu, można przyjąć, że pręości liniowe tarczy i roli w puncie tyczności ą jenaowe t r x ą
83 t x r Jet to równanie elementu całującego o wpółczynniu proporcjonalności Ćwiczenie 5.4. r Wyznaczyć tałą czaową erwomotoru hyraulicznego przetawionego na ry. 5.5a. Dane: powierzchnia czynna tłoa A cm, zeroość zczeliny wlotowej b cm, wpółczynni przepływu,6, gętość oleju 88 g/m 3, ciśnienie zailania Op.: p MPa, ciśnienie pływu p MPa. z, e. Ćwiczenie 5.6 Oreślić wartość tałej czaowej elementu o tranmitancji G, jeżeli jego ygnał wyjściowy oiągnął wartość po upływie 3 e. o momentu oowej zmiany ygnału wejściowego u. Założyć zerowe waruni początowe. Nazicować przebieg zmian u i y. Op.: = 6 e. Ćwiczenie 5.7 Ry. 5.6 przetawia charaterytyę amplituowo fazową elementu całującego. Oreślić wartość tałej czaowej tego elementu. Op.: =, e. Ry. 5.6. Ryune o ćwiczenia 5.7
84 5..4. Człon różniczujący iealny Charaterytyi iealnego członu różniczującego iealnego zetawiono w tabl. 5.6. abl. 5.6. Charaterytyi członu różniczującego iealnego Równanie ruchu y u Charaterytya tatyczna y ranmitancja operatorowa y G u Opowieź oowa y L u t u t ranmitancja wimowa G j j P, Q Logarytmiczna charaterytya amplituowa M [ P ] [ Q ] L lg [B] Logarytmiczna charaterytya fazowa Q arctg arctg P arctg
85 Przyłaem iealnego elementu różniczującego jet prąnica tachometryczna. Napięcie wyjściowe U y prąnicy jet proporcjonalne o pręości obrotowej jej wirnia, a więc o pochonej ątowego położenia wirnia. ratując położenie ątowe wirnia jao wielość wejściową, a napięcie równanie ruchu prąnicy można formułować w potaci U y U y jao wielość wyjściową, 5..5. Człon różniczujący rzeczywity Charaterytyi członu różniczującego rzeczywitego zetawiono w tabl. 5.7. abl. 5.7. Charaterytyi członu różniczującego rzeczywitego Równanie ruchu y y u Charaterytya tatyczna y ranmitancja operatorowa y u G Opowieź oowa y L u t u e t t u t e t - wzmocnienie ynamiczne ranmitancja wimowa j G j P jq j P Q
86 c. tabl.5.7 Logarytmiczna charaterytya amplituowa M L [ lg lg ] [B] M M M la la la Logarytmiczna charaterytya fazowa Q arctg arctg P arctg la la la 4 W tablicy 5.7 oznaczono numerami: i rzeczywitą i aymptotyczną logarytmiczną charaterytyę amplituową, 3 - rzeczywitą logarytmiczną charaterytyę fazową, 4 - aymptotyczną logarytmiczną charaterytyę fazową wyznaczoną metoą iecznej. Znajomość cech opowiezi oowej i charaterytyi amplituowo-fazowej umożliwia wyznaczanie parametrów członu na potawie charateryty wyznaczonych eperymentalnie. W przypau charaterytyi amplituowo-fazowej, o wyznaczenia tych parametrów wytarczy fragment w zareie pulacji o o pulacji, przy tórej przeunięcie fazowe oiągnie wartość 45. Charaterytyi logarytmiczne rzeczywitego członu różniczującego ą funcjami nieliniowymi. Poobnie ja w przypau członu inercyjnego, zatępuje ię je
87 charaterytyami aymptotycznymi. W tabl. 5.6 aymptotyczną charaterytyę fazową wyznaczono metoą iecznej. Aymptotyczne charaterytyi logarytmiczne amplituową i fazową można taże wyreślić tratując rzeczywity człon różniczujący jao uła bęący zeregowym połączeniem iealnego członu różniczującego i członu inercyjnego - ry. 5.7. Ry. 5.7. Rzeczywity człon różniczujący jao zeregowe połączenie iealnego członu różniczującego i członu inercyjnego Przyłay urzązeń, tóre mogą być tratowane jao elementy różniczujące rzeczywite, przetawia ry. 5.8. Ry. 5.8. Przyłay elementów różniczujących rzeczywitych: a amortyzator Przyła 5. hyrauliczny, b czwórnia RC Sformułować równanie ruchu i wyznaczyć opowieź oową hyraulicznego amortyzatora wg ry. 5.8a, jeżeli jego wielością wejściową jet przemiezczenie u cylinra, wielością wyjściową przemiezczenie y tłoczya, załaając nieściśliwość oleju. Komory cylinra połączone ą ze obą przewoem ze zwężą, przez tórą może przepływać olej w innych rozwiązaniach zwężę tę tanowi zczelina pomięzy tłoiem i cylinrem lub otwór w tłou. łoczyo z tłoiem oiąga położenie poczynowe y tylo wtey, iey prężyna o ztywności C nie jet napięta. Ze wzglęu na nieściśliwość oleju, oowa zmiana wielości wejściowej powouje, z chwilą jej wprowazenia, powtanie taiej
88 amej zmiany wielości wyjściowej, z czym związane jet ugięcie prężyny. Siła ściśniętej lub rozciągniętej prężyny, ziałając na tło, wywołuje powtanie różnicy ciśnień w omorach cylinra i przetłaczanie oleju przez zwężę z omory o ciśnieniu wyżzym o rugiej omory, zięi czemu natępuje topniowe rozprężanie prężyny i powrót tłoa o położenia początowego. Należy założyć, że w zwężce ztałtuje ię przepływ laminarny, tzn., że trumień objętości Q jet proporcjonalny o wywołującej go różnicy ciśnień zwężi. Rozwiązanie p, a więc Q p - wpółczynni proporcjonalności, tała W tym przypau potawą wyznaczenia równania ruchu jet zaaa ciągłości. Przepływ przez zwężę umożliwia wzglęny ruch tłoa wzglęem cylinra, a więc: u y A Q p Uwzglęniając, że C p y, gzie A - powierzchnia czynna tłoa, A otrzymuje ię równanie ruchu A y A u t y C C Jet to więc równanie ruchu elementu różniczującego rzeczywitego o tałych czaowych A C wzmocnienie ynamiczne. ranmitancja operatorowa elementu ma potać y G u Opowieź oową y L u t przetawia ry. 5.9. u t e t
89 Przyła 5. Ry. 5.9. Opowieź oowa amortyzatora hyraulicznego Obliczyć wartość napięcia U na zaciach rezytora R czwórnia RC, przetawionego na ry. 5.8b, po upływie e. o oowej zmiany napięcia U o wartości V, załaając zerowe waruni początowe oraz R M, C Rozwiązanie Wyznaczmy równanie ruchu elementu. Przez onenator i przez rezytor płynie prą o taim amym natężeniu I, zatem można napiać U U I C U R Po przeztałceniu otrzymuje ię U U RC U RC. Jet to równanie elementu różniczującego rzeczywitego o tałych czaowych RC e. wzmocnienie ynamiczne. Opowieź oowa elementu ma potać U U t e t Dla t e., U,364 V =,78 V. Ćwiczenie 5.8 Ry. 5. przetawia aymptotyczną logarytmiczną charaterytyę amplituowo fazową członu różniczującego rzeczywitego. Oreślić tałą czaową różniczującego, tałą czaową inercji oraz wzmocnienie ynamiczne. F. ziałania
9 Ry. 5.. Ryune o ćwiczenia 5.8 Op.: 3, 33 e.,, 33 e.,. Ćwiczenie 5.9 Ry. 5. przetawia opowieź oową rzeczywitego elementu różniczującego o tranmitancji operatorowej y G. Wyznaczyć tałą czaową u ziałania różniczującego, tałą czaową inercji oraz wzmocnienie ynamiczne. Op.: 5 e., 3e., 5. Ry. 5.. Ryune o ćwiczenia 5.9 5..6. Człon ocylacyjny Rozpatrzmy właściwości członu ocylacyjnego, wyorzytując równanie ruchu w potaci y y y u 5. Charaterytyę tatyczną członu ocylacyjnego opiuje równanie y u 5.3 Poając równanie ruchu tranformacji Laplace a przy zerowych warunach początowych, otrzymuje ię tranmitancję operatorową
9 y G 5.4 u Korzytając z tablicy tranformat wyznaczmy charaterytyę oową L u y t t ut e in t, 5.5 gzie arc tg. 5.6 Opowieź oową członu ocylacyjnego la poazano na ry. 5.. Ry. 5.. Opowieź oowa członu ocylacyjnego Z równania 5.5 wynia, że opowieź oowa jet różnicą funcji tałej o wartości i inuoiy A in t, tórej: u t - amplitua A maleje wyłaniczo w funcji czau A t u t e 5.7 - ore ocylacji oc 5.8 rośnie wraz ze wzrotem wpółczynnia tłumienia o wartości / przy o nieończoności przy, - oatnie przeunięcie fazowe
9 arc tg wzglęem inuoiy in t przy wzroście tłumienia maleje o wartości / przy o zera przy. Wpływ wartości wpółczynnia tłumienia na charater opowiezi oowej ilutruje ry. 5.3. Ry. 5.3. Wpływ wartości wpółczynnia tłumienia na charater opowiezi oowej członu ocylacyjnego członu. Na potawie opowiezi oowej można wyznaczyć parametry, i Wyznaczając toune amplitu oległych o iebie o ore ocylacji oc A u A t u t e e t t oc gzie t to chwila, w tórej wytępuje amplitua A, otrzymuje ię 5.9 oc A ln A Oznaczając wartość lewej trony równania 5. przez, otrzymuje ię zależność 5. / 5. Z zależności 5. i 5.8 wynia wzór
93 oc 5. umożliwiający wyznaczenie pulacji na potawie anych oświaczalnych. Znając wartość, z zależności 5. wyznacza ię wartość wpółczynnia tłumienia. A więc, mierząc ore ocylacji i wie olejne amplituy, można wyznaczyć pulację i wpółczynni tłumienia, a na potawie utalonej wartości opowiezi wzmocnienie. Wyorzytując zależność j, na potawie tranmitancji operatorowej 5.4 otrzymuje ię tranmitancję wimową członu ocylacyjnego, ] [ j j j j G 5.3 ą P 5.4 3 Q 5.5 oraz M j G 5.6 ] lg [lg L [B] 5.7 arg arctg j G 5.8 Przebiegi charateryty czętotliwościowych członu ocylacyjnego zależą o wartości wpółczynnia tłumienia, co ilutruje ry. 5.4. Ze wzglęu na ich złożony ztałt, w pratyce wyorzytuje ię charaterytyi logarytmiczne aymptotyczne.
94 a b Ry. 5.4. Charaterytyi czętotliwościowe członu ocylacyjnego: a charaterytyi amplituowo fazowe, b charaterytyi logarytmiczne Aymptotyczna logarytmiczna charaterytya amplituowa łaa ię z wóch półprotych, oreślonych równaniami: - la jet to równanie linii protej równoległej o oi ociętych L lg [B], 5.9 - la jet to równanie linii protej o nachyleniu -4 B na eaę L lg 4lg [B]. 5.3 worzące charaterytyę aymptotyczną części tych linii tyają ię przy. Aymptotyczna logarytmiczna charaterytya fazowa członu ocylacyjnego łaa ię z wóch półprotych i, równoległych o oi rzęnych i łączącego je ocina linii protej, porywającego ię z charaterytyami rzeczywitymi w puncie ich przegięcia o wpółrzęnych, /. Poobnie ja w przypau członów inercyjnych, toowane ą wie metoy wyreślanie śroowego ocina charaterytyi aymptotycznej - metoa iecznej
95 albo metoa tycznej. Metoa iecznej polega na połączeniu ociniem protej puntów o wpółrzęnych,, i,, metoa tycznej puntów, i 4,8 4,8, linia przechoząca przez te punty jet tyczną o rzeczywitej logarytmicznej charaterytyi fazowej la w puncie przegięcia. Na ry. 5.5 przetawiono przyłay urzązeń, tóre przy opowienich założeniach, mogą być tratowane jao elementy ocylacyjne. Ry. 5.5. Przyłay elementów ocylacyjnych: a zepół maa tłumi - prężyna, b iłowni pneumatyczny, c czwórni RLC Przyła. 5. Wyznaczyć tranmitancję operatorową czwórnia RLC przetawionego na ry. 5.5c. Rozwiązanie I Wieząc, że: U3 I R ; U 4 L ; z zależności U U U3 U4 wynia równanie ruchu elementu ocylacyjnego U R U U U, L LC LC U I C,
96 w tórym LC i C R,. L Zatem tranmitancja operatorowa czwórnia RLC ma potać G Przyła 5.3 Wyznaczyć równanie ruchu elementu wg ry. 5.5b, załaając, że wielością wejściową jet ciśnienie p wprowazone o omory iłownia, a wyjściową położenie y tłoczya iłownia. Jai warune mui być pełniony, aby oowa zmiana wielości wejściowej wywołała aperioyczną zmianę wielości wyjściowej. Parametry iłownia: powierzchnia efetywna membrany A, ztywność prężyny C, maę części ruchomych iłownia m, wpółczynni tarcia lepiego w ławicy iłownia B. Rozwiązanie Zależność wielości wyjściowej o wejściowej wynia z równania równowagi ił ziałających na ruchome części iłownia. Siła wyniająca z ziałania ciśnienia naciśnienia p na powierzchnię A membrany, ściając prężynę o ztywności C, powouje wyuwanie tłoczya o wartość y o tanu początowego. Sile ciśnieniowej, oprócz iły prężyny C y, przeciwtawia ię iła bezwłaności zepołu wprawianego y w ruch m oraz iła tarcia y B. Równanie równowagi ił ma potać y y m B Cy lub po przeztałceniu Ap y B m y C m y A m p C B Jet to równanie ruchu elementu ocylacyjnego, w tórym i, m mc A. C Aby przebieg przejściowy był aperioyczny mui być pełniony warune B mc
97 Spełnienie tego warunu zapewni mniejze zużywanie ię części ruchomych iłownia. Ćwiczenie 5. Wyznaczyć równanie ruchu elementu wg ry. 5.5a załaając, że wielością wejściową jet iła F ziałająca na tłoczyo, a wyjściową położenie y zepołu ruchomego. y A y Op.: m Cy F. Ćwiczenie 5. Ry. 5.6 przetawia wyre opowiezi oowej elementu ocylacyjnego o y tranmitancji G. Wyznaczyć parametry tego elementu. u Op.:, 5, ra/,,. 5..7. Człon opóźniający Ry. 5.6. Ryune o ćwiczenia 5. Człon opóźniający owarza na wyjściu przebieg wielości wejściowej u ze tałym opóźnieniem zwanym opóźnieniem tranportowym, co wyraża równanie ruchu: y u t 5.3 Poając obie trony równania 5.3 przeztałceniu Laplace a i wyorzytując twierzenie o przeunięciu w ziezinie rzeczywitej, otrzymuje ię tranmitancję operatorową: G y u e 5.3
98 Zetawienie charateryty członu opóźniającego zawiera tabl. 5.8. abl. 5.8. Charaterytyi członu opóźniającego Równanie ruchu y u t Charaterytya tatyczna y u ranmitancja operatorowa y G e u Opowieź oowa [ y t L u e ] u t t t ranmitancja wimowa G j e j P co Q in Logarytmiczna charaterytya amplituowa M L [B] Logarytmiczna charaterytya fazowa Q arctg P
99 Elementami opóźniającymi ą najczęściej urzązenia o tranportu ubtancji. Przyła taiego urzązenia przenośnia taśmowego przetawia ry. 5.7. Ry. 5.7. Schemat przenośnia taśmowego Jeżeli jao wielość wejściową bęziemy tratować trumień may Q materiału ypiego na początu tranportera, a wielością wyjściową trumień may Q na ońcu tranportera, to zależność wielości wyjściowej o wejściowej ma potać Q V Q t L gzie: V - pręość taśmy tranportera, L - ługość rogi przenozenia ubtancji. V Jet to więc równanie ruchu elementu opóźniającego z czaem opóźnienia L 5.. Elementy wielowejściowe. Dotychcza omawiane elementy o jenym ygnale wejściowym i jenym wyjściowym przetawiane ą na chematach bloowych w potaci jenego blou. Spoób przetawiania elementów o ilu ygnałach wejściowych wyjaśniono na przyłaach. Przyła 5. Wielościami wejściowymi elementu ry. 5.7a ą przeunięcia x i x wzglęem oreślonych pozycji początowych, a wielością wyjściową - przeunięcie y. a b Ry. 5.7. Dźwignia jao element o wóch ygnałach wejściowych: a chemat ieowy, b - chemat bloowy
Wyorzytując zaaę uperpozycji, ygnał wyjściowy elementu można tratować jao umę przeunięcia y wywołanego ygnałem x gy x y b x a b t t i przeunięcia y wywołanego ygnałem x gy x t a y x a b Równanie ruchu elementu, wyrażające zależność ygnału wyjściowego o ygnałów wejściowych, ma potać b a y y y x x a b a b Po wyonaniu przeztałcenia Laplace a otrzymuje ię równanie b a y x x, a b a b tóremu opowiaa chemat bloowy przetawiony ry. 5.7b. Rozważana źwignia jet elementem proporcjonalnym o wóch ygnałach wejściowych. Przyła 5.4 Wielościami wejściowymi erwomotoru hyraulicznego ry. 5.8a ą przeunięcia x i x opowienio tłoczów i orpuu rozzielacza wzglęem oreślonej pozycji początowej w utalonym tanie ułau, a wielością wyjściową - przeunięcie y tłoa iłownia. t t a b Ry. 5.8. Serwomotor hyrauliczny o wu ygnałach wejściowych: a chemat ieowy, b - chemat bloowy
Zgonie z utaleniem w p. 5..3, la rozważanego erwomotoru obowiązuje równanie ruchu y u gzie u jet ochyleniem uwaa rozzielacza o pozycji, w tórej zczeliny oprowazające olej o iłownia ą zamnięte. Przyjmując poazane na ryunu ieruni przemiezczeń tłoczów i orpuu rozzielacza jao oatnie, ochylenie u jet umą ochyleń x i x. Równanie ruchu można więc zapiać w potaci y x x Po wyonaniu przeztałcenia Laplace a z uwzglęnieniem zerowych warunów początowych, otrzymuje ię równanie y x x ą wynia zależność y [ x x ], tórą wyraża chemat bloowy przetawiony na ry. 5.8b. Przyła 5.5 Wielościami wejściowymi elementu przetawionego na ry. 5.9 ą przemiezczenia x cylinra i x ońca prężyny wzglęem oreślonej pozycji początowej w utalonym tanie ułau, a wielością wyjściową - przemiezczenie y tłoa. a b Ry. 5.9. Dwuwejściowy element hyrauliczny: a chemat ieowo-ontrucyjny, b chemat bloowy A powierzchnia czynna tłoa, C ztywność prężyny, Q trumień objętości oleju przepływającego przez zwężę, - tała zwężi
Zgonie z zaaą uperpozycji, wielość wyjściowa jet umą wyniów oziaływań na element wielości x i wielości x. Oznaczmy wyni oziaływania przemiezczenia x gy x na element jao y. Korzytając z utaleń w przyłazie 5., można napiać A y t A x t y t 5.56 C C Oznaczając wyni oziaływania przemiezczenia x gy x na element jao y i orzytając z utaleń z przyłau 5.4, można napiać A C y y x 5.57 Dla przyjętych jao oatnie, poazanych na ryunu ierunów przemiezczeń x i x, jet y y y i taże y y y 5.58 Poając równania 5.56 i 5.57 tranformacji Laplace a przy zerowych warunach początowych można wyznaczyć tranformaty y i y y y x 5.59 x 5.6 gzie A. C Otatecznie na potawie zależności 5.58, 5.59 i 5.6 otrzymuje ię równanie y x x, tóremu opowiaa chemat bloowy przetawiony na ry. 5.9b. Przyłay ilu innych elementów wielowejściowych przetawia ry. 5.3.
3 Ry. 5.3. Schematy ieowo ontrucyjne elementów wielowejściowych ; a chemat ztywnej aay pneumatycznej, b chemat elatycznej aay hyraulicznej, c, ułay mechaniczne