I STATYSTYKA STOSOWANA, LISTA 1

I STATYSTYKA STOSOWANA, LISTA 1 1.Urządzenie składa się z 3 elementów. Każdy z elementów może mieć jedną z trzech jakości. Opisać zbiór zdarzeń elementarnych. Wypisać zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu: a) A - wszystkie elementy są takiej samej jakości; b) B - co najmniej dwa elementy są takiej samej jakości; c) C - każdy element jest innej jakości. Czy zdarzenia A oraz C są przeciwne?, czy zdarzenia A oraz C są rozłączne?, czy B oraz C są przeciwne?, czy zdarzenia A B oraz C są równe? 2.Niech A k, k = 1, 2,..., n oznacza zdarzenie: k-ty podzespół w urządzeniu zbudowanym z n podzespołów jest sprawny. Zapisać zdarzenia: a) podzespół pierwszy i drugi są sprawne, pozostałe są zepsute; b) co najmniej jeden z podzespołów A 1 lub A 2 jest zepsuty, pozostałe sprawne c) tylko jeden z A 1 oraz A 2 jest zepsuty, pozostałe są sprawne. d) dokładnie 2 podzespoły są sprawne. 3.Niech A, B, C oznaczają dowolne zdarzenia w Ω. Wykazać,że: a) P (A B C) = = P (A) + P (B) + P (C) P (A B) P (A C) P (B C) + P (A B C); b) jeśli A B to P (A ) P (B ); c) dla C = A B A B (C oznacza: zaszło tylko jedno ze zdarzeń A,B) zachodzi P (C) = P (A) + P (B) 2P (A B). 4.Trzy kule rozmieszczamy losowo w 6 komórkach. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia A- w każdej komórce o numerze nieparzystym znajduje się jedna kula jeśli: a) kule są rozróżnialne; b) kule są nierozróżnialne. 5.Rzucamy kostką sześcienną dopóki pojawi się 1 lub 6. Opisać zbiór zdarzeń elementarnych tego doświadczenia. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia: 1 lub 6 pojawi się po raz pierwszy na parzystym miejscu. 6.Wśród m losów; m 5 jest 5 wygrywających. Dla jakich m prawdopodobieństwo zdarzenia: zakupione 2 losy będą wygrywające jest mniejsze niż 0.5. 7.O pracę w pewnej firmie ubiega się n osób. Poproszono 3 specjalistów, aby każdy niezależnie uszeregował je według przydatności do pracy. Do pracy zostanie przyjęta osoba, którą przynajmniej 2 specjalistów umieści na pierwszym 1

miejscu. Obliczyć prawdopodobieństwo,że jedna z n osób zostanie przyjęta. Odpowiedzi. zad.1 Zdarzenia A,C są rozłączne; nie są przeciwne. Zdarzenia B,C są przeciwne; A B = C. zad.2 a) A 1 A 2 A 3... A n = A 1 A 2 ( n k=3 A k ) b)(a 1 A 2) n k=3 A k c)(a 1 A 2 A 2 A 1 ) n k=3 A k d) i<j(a i A j n k=1 A k)i, j = 1, 2,..., n; k i; k j. zad.3 Wsk. a) A B C = (A B) C zast. 2 razy wzór na sumę b)a B B A. c) Zdarzenia A B oraz A B są rozłączne i A = (A B) (A B ) to P (A B ) + P (A B) = P (A). zad.4 a) 3! = 1, b) ( 8 6 3 36 3 ) 1= 1 56 zad.5 2 5 ; zad.6 m 7; zad.7 P(A)= 3n 2 n 2 LISTA 2 1.W produkcji firmy A jest 1% braków, zaś w produkcji firmy B jest ich 2%.Kupujemy produkt firmy A oraz B. Jakie jest prawdopodobieństwo, że: a) przynajmniej jeden jest dobry; b) obydwa są dobre; c) tylko jeden z nich jest dobry. 2.Dwie osoby umawiają się na spotkanie. Każda z nich przychodzi w losowej chwili między godziną 16 a 17 i czeka 15 min. Jakie jest prawdopodobieństwo, że się spotkają? Ile czasu powinna czekać każda z osób, aby prawdopodobieństwo spotkania było większe niż 0.75? 3.Drut długości 40 cm zgięto w losowo wybranym punkcie pod kątem prostym, a następnie zgięto jeszcze w 2 punktach tak, aby powstała prostokątna ramka o obwodzie 40 cm. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pole obszaru ograniczonego ramką jest większe niż 75 cm 2? 4.Wśród wyrobów firmy A jest 0.5% wadliwych, firmy B jest 2% wadliwych zaś firma C ma 1% wadliwych. Z partii towaru zawierającej 500 elementów firmy A,300 firmy B oraz 200 firmy C losujemy jeden element.obliczyć prawdopodobieństwo, że a) jest on dobry, b) jest dobry i pochodzi z firmy B, c) wyprodukowała go firma C, jeśli wiemy,że jest dobry. 5.Dwie wyrzutnie W1 oraz W2 specjalnymi pociskami gaszą reaktor. W tym samym czasie gdy wyrzutnia W1 wyrzuca 9 pocisków to W2 wyrzuca 10. 2

W1 trafia w cel z prawdopodobieństwem 0.8, zaś W2 z prawdopodobieństwem 0.7. Reaktor ugaszono. Jakie jest prawdopodobieństwo, że zrobiła to W2? 6.Test na obecność pewnego wirusa w organizmie daje wynik pozytywny z prawdopodobieństwem 0.98, jeśli wirus jest w organizmie. Jeśli wirusa w organizmie nie ma to prawdopodobieństwo wyniku pozytywnego wynosi 0.07. Zakłada się, że 1 % populacji jest zarażona wirusem. Obliczyć prawdopodobieństwo, że: a) test dał wynik pozytywny u losowo wybranej osoby z tej populacji; b) losowo wybrana osoba jest zarażona wirusem, jeśli test dał wynik pozytywny. 7.Wiadomo,że przeciętnie 5 % badanych elementów ma wadę. Do wykrycia wady wykorzystuje się następujący test. Jeśli element ma wadę to test w 90 % wskazuje jej istnienie ( wynik testu jest pozytywny) i w 90 % nie wskazuje wady,gdy element jej nie ma. Jakie jest prawdopodobieństwo, że element ma wadę,jeśli wynik testu jest pozytywny? Jakie będzie powyższe prawdopodobieństwo, jeśli element zostanie poddany testowi dwukrotnie i w obu przypadkach wynik testu będzie pozytywny? Odpowiedzi zad.1 a) 09998; b) 0.9702; c) 0.0296 zad.2 odp. 7 16 zad.3 odp. 1 2 ( w zad.2,3 wykorzystać prawdopodobieństwo geometryczne) zad.4 a) 0.9895; b) 0.294; c) 0.2 zad.5 odp. 35 71 zad.6 a) 0.0791; b) 0.1239 zad.7 odp. 9 28 ; 0.81. LISTA 3 1. Podać przykład (Ω, P ), i w niej dwóch zdarzeń niezależnych. 2. Wykazać,że jeśli zdarzenia A i B są niezależne to niezależne są A i B. 3.Uzasadnić,że jeśli P (A B) = P (A B ) to zdarzenia A i B są niezależne. 4. Grupie studentów zadano pytanie: czy ściągają na egzaminach? i poproszono o odpowiedź z wykorzystaniem metody losowej. Polega ona na tym,że każdy student rzuca monetą :jeśli wypadnie orzeł i student nie ściąga to odpowiada : NIE w pozostałych przypadkach odpowiada : TAK. Przyjmując,że 40% studentów ściąga,obliczyć prawdopodobieństwo,że losowo wybrana osoba odpowie NIE.Jak oszacować procent studentów ściągających, jeśli w grupie było 20% odpowiedzi NIE. 5. Z talii 52 kart losujemy bez zwracania 2 karty. Jeśli wśród nich będą : 2 piki to wygrywamy 20 punktów, jeśli tylko jeden pik wygrywamy 10 pkt,jeśli 3

żadnego przegrywamy 5 pkt (wygrywamy -5 pkt). Niech zmienna losowa X oznacza wartość wygranej.wyznaczyć rozkład prawdopodobieństwa oraz dystrybuantę X. 6. Spośród liczb 1,2,3,...,20 losujemy 4 razy ze zwracaniem po jednej liczbie.obliczyć prawdopodobieństwo, że wśród 4 wylosowanych liczb będą: a) co najmniej 2 liczby mniejsze od 16; b) 2 liczby podzielne przez 5; c) żadnej liczby większej niż 5. W każdym przypadku wykorzystać rozkład dwumianowy z odpowiednimi parametrami. 7.Prawdopodobieństwo,że w każdej sekundzie pojawi się sygnał wynosi 3 5. Obliczyć prawdopodobieństwo,że; a) w ciągu 2 minut pojawią się 3 sygnały; b) w ciągu 2 minut pojawią się co najmniej 2 sygnały. Jaka jest najbardziej prawdopodobna liczba pojawień się sygnału w przeciągu 121s, 122s a jaka w przeciagu 124 s? 8.Partia towaru zawiera 1 % braków. Ile elementów należy sprawdzić, aby prawdopodobieństwo wykrycia co najmniej jednego braku było większe niż 0.9. 9.Spośród 3 dobrych i 2 wadliwych elementów losujemy jednocześnie 3 elementy.wyznaczyć rozkład prawdopodobieństwa oraz dystrybuantę zmiennej losowej X, gdzie X jest liczbą wylosowanych elementów wadliwych. Z wykresu dystrybuanty odczytać: P (X > 1), P (1 X < 4). 10.Rzucamy kostką tak długo, aż pojawi się szóstka. Niech zmienna losowa X oznacza numer rzutu, w którym szóstka pojawi się po raz pierwszy. Wyznaczyć rozkład prawdopodobieństwa oraz dystrybuantę X. Obliczyć a) P( X 10); b) P (X 10). 11.Liczba samochodów, które ulegają wypadkowi w ciągu jednego dnia w danym mieście i wymagają naprawy w warsztacie ma rozkład Poissona z parametrem λ = 10. Ile miejsc do naprawy należy przygotować, aby z prawdopodobieństwem większym niż 0.95 było wolne miejsce dla uszkodzonego samochodu. 12.Urządzenie produkuje element wadliwy z prawdopodobieństwem p=0.02. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w partii 100 elementów są co najwyżej 2 4

wadliwe? Podaj rozwiązanie dokładne i przybliżone rozkładem Poissona. Odpowiedzi zad.2 P (A)P (B ) = P (A)(1 P (B)) = P (A) P (A B) = P (A B ) bo A,B są niezależne oraz A B i A B są rozłączne i ich sumą jest A. zad.4 P( NIE )=0.3; P(ściąga)=0.6 zad.5 P (X = 5) = 57 102 39, P (X = 10) = 102 F (t) =, P (X = 20) = 6 102 0, gdy t 5,, gdy 5 < t 10,, gdy 10 < t 20 1, gdy t 20 57 102 96 102 zad.6 a) sukces -wylosowanie liczby mniejszej niż 16; X-liczba sukcesów wśród wylosowanych 4 liczb; X B(4, 3 243 ); P (X 2) = ; 4 256 b) Y B(4, 1 ), P (Y = 2) = 96/625; 5 c) Z B(4, 1 ), P (Z = 4) = 1/256 4 zad.7 X-liczba sygnałów w ciągu 2 min. X B(120, 3 ), najbardziej prawdopodobna 5 liczba sygnałów to odpowiednio: 73; 73; 74 lub 75. zad.8 n 230, zad.9 P(X=0)=0.1; P(X=1)=0.6; P(X=2)=0.3 F (t) = 0, gdy t 0, 0.1, gdy 0 < t 1, 0.7, gdy 1 < t 2 1, gdy t 2 P (X > 1) = 0.3; P (1 X < 4) = 0.9. zad.10 X-numer rzutu w którym szóstka pojawi się po raz pierwszy P (X = k) = 1( 5 6 6 )k 1, F (t) = k<t 1( 5 6 6 )k 1, k = 1, 2,...; tɛr; a) 1 F (10) = ( 5 6 )9 ; b) P (X 10) = F (11) = 1 ( 5 6 )10 ; zad.11 X-liczba uszkodzonych samochodów P (X n) > 0.95, z tablic rozkładu Poissona dla λ = 10 odczytujemy : n 15. zad.12 X-liczba elementów wadliwych wśród 100 elementów; X B(100; 0.02); P (X 2) = (0.98) 100 + 2(0.98) 99 + 4950(0.02) 2 (0.98)98, z rozkładu Poissona z λ = 2 mamy P (X 2) = 0.6767. LISTA 4 1*.Liczba komputerów, które mogą być zarażone wirusem poprzez pewną sieć ma rozkład Poissona z parametrem λ. Prawdopodobieństwo,że wirus uaktywni się w zarażonym komputerze wynosi p. Jakie jest prawdopodobieństwo,że 5

wirus uaktywni się w m komputerach? Wykonaj obliczenia dla λ = 8, p=0.125, m=10. 2.Czy można dobrać stałe a, b ; aby funkcja F(t) była dystrybuantą zmiennej losowej ciągłej? a) a + 1 + e t, gdy t 1, F (t) = e 1, gdy 1 t < 1, b(3 2 ), gdy t > 1. t b) F (t) = a + barctgt. 3.Dla jakiej { wartości a funkcja a(2 x), gdy 1 < x < 2 a) f(x) = 0, gdy x 1 lub x 2 b) f(x) = ae x jest gęstością pewnej zmiennej losowej X. Dla przykładu a) oraz b) znaleźć dystrybuntę zmiennej losowej X, naszkicować wykresy gęstości oraz dystrybuantę. Obliczyć P (1 < X < 5), P (X < 0 X > 1). 4.Dzienne zużycie energii (w setkach kwh) pewnej firmy jest zmienną losową X o gęstości: f(x) = { 1 (3 + 2x 9 x2 ), gdy 0 < x < 3, 0, gdy x 0 lub x 3 Jakie jest prawdopodobieństwo, że zużycie energii w ciągu dnia jest: większe niż 50 kwh; między 100 a 200 kwh. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w ciągu 30 dni jest 10 dni, w których zużycie energii przekroczy 200 kwh. 5.Czas pracy diody jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z α = 10 4. Wiadomo, że dioda pracowała bezawaryjnie przez 1000h, jakie jest prawdopodobieństwo, że popracuje co najmniej 6000h? 6.Prawdopodobieństwo wykrycia awarii urządzenia w czasie krótszym niż t minut wynosi F (t) = 1 e 5t. Jakie jest prawdopodobieństwo, że na wykrycie awarii potrzeba: a) więcej niż 4 min. b) więcej niż 4,ale mniej niż 6 min. c) co najwyżej 5 min. Ile potrzeba czasu na wykrycie awarii z 6

prawdopodobieństwem większym niż 0.5? 7.Dla zmiennej losowej X o rozkładzie normalnym N(-3,2) wyznaczyć, korzystając z tablic: P ( 1 X 1), P (X > 2), P ( 3 X 1), P (X 5), P (X > 10), P ( X > 2). 8.Dla zmiennej losowej X o rozkładzie normalnym N(m,σ) obliczyć P ( X m < σ). 9.Czas oczekiwania na połączenie telefoniczne w pewnej centrali dla każdego abonenta ma rozkład wykładniczy z α =0.2 s. Z centrali korzysta jednocześnie i niezależnie 100 abonentów. Obliczyć prawdopodobieństwo, że: najkrótszy z czasów oczekiwania na połączenie jest większy niż 5s; najdłuższy mniejszy niż 10s. 10.Czasy pracy każdej z n żarówek są niezależne i mają taki sam rozkład wykładniczy z parametrem α = 0.001. Niech zmienna losowa X oznacza czas pracy układu złożonego z n żarówek połączonych równolegle, zaś zmienna losowa Y czas pracy układu złożonego z n żarówek połączonych szeregowo. Wyznaczyć dystrybuantę i gęstość X oraz Y. Odpowiedzi zad.1 z wzoru na prawdopodobieństwo całkowite mamy (pλ)m. m!e pλ zad.2 a) nie; b) tak; a = 1/2; b = 1/π zad.3 a) a=2/9 0, gdy t 1, 4 F (t) = 9 t 1 9 t2 + 5, gdy 1 < t 2, 9 1, gdy t > 2. P (1 < X < 5) = 1, P (X < 0 X > 1) = 2; 9 3 b) a=1/2 { 1 F (t) = 2 et, gdy t 1 1 1 2 e t, gdy t > 0 P (1 < X < 5) = 1 2 (e 1 e 5 ), P (X < 0 X > 1) = 1(1 + 2 e 1 ). zad.5 P (X > 5000) = e.5 ; zad.6 a) P (X > 4) = e 20 ; b) P (4 < X < 6) = e 20 e 30 ; c) P (X 5) = 1 e 25 ; P (X < T ) 0.5 dla T 0.2 ln(2). zad.7 P ( 1 < X < 1) = Φ(2) Φ(1) = 0.1359 P (X > 2) = 1 Φ(0.5) = 03085; P ( 3 < X < 1) = 0.3413; P (X < 5) = Φ(4) = 1; P (X > 10) = 1; P ( X > 2) = 1 Φ(2.5)+Φ(0.5) zad.8 2Φ(1) 1 = 0.6826. zad.10 X = max(x 1, X 2,..., X n ); Y = min(x!, X 2,..., X n ) 7

{ 0, gdy t < 0 F X (t) = (1 e tα ) n, gdy t 0 { 0, gdy t < 0 f X (t) = nαe tα (1 e tα ) n 1, gdy t > 0 { 0, gdy t < 0 F Y (t) = 1 e ntα, gdy t 0 { 0, gdy t < 0 f Y (t) = nαe ntα, gdy t > 0 LISTA 5 1.Na loterii jest n 1 losów na które pada wygrana x 1, n 2 losów na które pada wygrana x 2,..., n k losów na które pada wygrana x k. Wszystkich losów jest N. Wartość oczekiwana wygranej X przy jednokrotnym losowaniu jest równa połowie ceny losu. Obliczyć cenę losu.czy warto wziąć udział w takiej loterii. 2.Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na przedziale [a,b]. Jaka jest jej wartość oczekiwaną i wariancję. Wyznaczyć stałe A, B takie, że zmienna losowa Y = AX + B ma rozkład jednostajny na przedziale [0,1]. 3.Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję dla następujących zmiennych losowych: a) zmienna losowa X każdą z wartości 1,2,3,4,5,6 przyjmuje z takim samym prawdopodobieństwem; b) P( Y = -2)= P( Y = 0)= 0.1; P( Y = 2)= 0.8; c) dystrybuanta zmiennej losowej Z jest postaci: 0, gdy x 1, F (x) = x 1, gdy 1 < x < 4 1, gdy x 4 d) zmiennej losowej o rozkładzie wykładniczym z parametrem α. 4.Dla zmiennej losowej o rozkładzie wykładniczym z α = 2 wyznaczyć medianę oraz kwantyl rzędu 3.Jaka jest interpretacja otrzymanych wartości? 4 5.Zmienna losowa X ma rozkład B(n,p). Dla jakich p wariancja X jest największa? 6.Wiedząc,że: EX= -1, EX 2 = 3 wyznaczyć: 8

varx, E(4X-1), var(4x-1), E(-2X-2), var(-2x-2). 7*.Rzucamy kostką sześcienną. Niech X oznacza numer rzutu, w którym ścianka z 2 oczkami wypadła po raz pierwszy. Jaka jest EX oraz varx? 8.Prawdopodobieństwo,że obroty firmy jednego dnia przekroczą 1 mln zł wynosi 0.2.Jaka jest oczekiwana, a jaka jest najbardziej prawdopodobna liczba dni z obrotami większymi niż 1 mln w ciągu 24 dni pracy firmy? Odpowiedzi: zad.1 c = 2EX = 1 Ni=1 x N i n i, nie warto,ponieważ cena losu jest większa niż wartość oczekiwana wygranej. zad.2 EX = a+b (b a)2, varx =, A = 1 albo A = 1 ; B = 1 A (a + b). 2 12 b a b a 2 2 zad.3 a)ex= 7 35, varx = ; b) EY=1.4, vary=1.64 2 12 c)ex= 7 34, varx= ; d) 3 45 EX=α 1 ;varx=α 2. zad.4 mediana=ln 2, kwantyl rzędu 3 = ln 2; zad.5 p=0.5; 4 zad.6 2; -5; 32; 0; 8. zad.7 EX=6, varx=30; zad.8 EX=4.8,k 0 = 4lubk 0 = 5. LISTA 6 1.Czas sprawnej pracy mierników pewnego typu (w dniach) ma rozkład N(1000,100).Jaki powinien być okres gwarancji, aby na 99% miernik działał przynajmniej przez okres gwarancji? 2.Czas działania (w dniach) drukarek pewnego typu ma rozkład N(1000,σ).Dobrać σ,aby drukarka działała co najmniej 900 dni z prawdopodobieństwem 0.95. 3.W windach osobowych jest napis: maksymalne obciążenie 7 osób albo 500 kg. Zakładając,że waga pasażerów ma rozkład N(70,4) obliczyć prawdopodobieństwo, że waga 7 osób przekroczy dopuszczalne obciążenie 500 kg. 4.Zmienne losowe X 1, X 2 są niezależne i mają rozkład jednostajny na przedziale [-1,5]. Dla zmiennej losowej Z = max(x 1, X 2 ) wyznaczyć funkcję gęstości oraz obliczyć EZ. 5.Zmienne losowe X 1, X 2,..., X n są niezależne i każda ma rozkład N(0,1).Jaki rozkład prawdopodobieństwa ma zmienna losowa Y n = 1 nk=1 n X k. 6.Prawdopodobieństwo sukcesu w jednej próbie wynosi 0.25. Ile prób należy wykonać,aby prawdopodobieństwo,że liczba sukcesów odchyla się od swojej wartości oczekiwanej o mniej niż 20% wszystkich prób było większe 9

od 0.8? 7.Prawdopodobieństwo porażki w każdej próbie wynosi 0.9. Oszacować: a) wykorzystując nierówność Czebyszewa; b) centralne twierdzenie graniczne prawdopodobieństwo,że w 400 próbach liczba porażek będzie większa niż 320 i mniejsza niż 400. 8.Komputer dodaje 1200 liczb rzeczywistych przedtem każdą zaokrąglając do najbliższej liczby całkowitej.zakładamy, że błędy zaokrągleń są niezależne i mają rozkład jednostajny na przedziale [-0.5; 0.5]. Jakie jest prawdopodobieństwo, że błąd w obliczaniu sumy będzie większy niż 5 i mniejszy niż 10? 9.Czas pracy diody (w godz.) jest wykładniczy z α = 0.001.Jakie jest prawdopodobieństwo,że zapas 100 diod wystarczy na co najmniej 80000 godzin pracy? 10.Korzystając ze zdjęć satelitarnych mierzono odległości między 2 obiektami. Niech X 1, X 2,..., X n będą niezależnymi zmiennymi losowymi opisującymi wyniki kolejnych pomiarów.założono,że EX k = d, varx k = 1, k=1.2,...,n. Za oszacowanie odległości d przyjęto Y n = 1 n X k n k=1. Ile pomiarów należy wykonać, aby P ( Y n d 0.1) 0.99. Odpowiedzi zad.1 co najwyżej 767 dni, zad.2 Φ( 100 ) 0.95,, σ 61, zad.3 0.1711, σ { t+1, gdy 1 < t < 5 zad.4 f Z (t) = 18, 0, poza EZ=3, zad.5 N(0,1); zad.7 a)większe niż 391; b)równe 1 400 zad.9 Φ(2)=0.9772. 10

LISTA 7 Wskazówka. W rozwiązaniu zadań 1-4 wykorzystać centralne twierdzenie graniczne. 1.Prawdopodobieństwo, że aparat zepsuje się w czasie jego konserwacji wynosi 0.02. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w trakcie konserwacji 100 aparatów zepsuje się: a) nie mniej niż 5 aparatów; b) więcej niż 5 i mniej niż 10 aparatów? 2.Jeśli gracz wyrzuci kostką sześcienną 6 oczek to wygrywa 4 zł, w przypadku innej liczby oczek przegrywa 1 zł. Jakie jest prawdopodobieństwo, że przy 500 rzutach przegra więcej niż 200 zł? 3.Prawdopodobieństwo,że wyprodukowany detal okaże się dobry wynosi 0.9. Ile elementów należy wyprodukować,aby prawdopodobieństwo, że będzie wśród nich co najmniej 50 dobrych było większe niż 95%. 4.Zmienne losowe X 1, X 2,..., X 100 są niezależne i mają rozkład wykładniczy z α = 0.25 Jakie jest prawdopodobieństwo, że 1 100 Σ100 k=1x k przyjmie wartości mniejsze niż 4 i większe niż 3.5. Dla jakiego n, 1 n Σn k=1x k odchyla się od swojej wartości oczekiwanej o mniej niż 1,z prawdopodobieństwem większym niż 0.9? 5.Na pewnym obszarze dokonano 40 pomiarów grubości warstwy piasku otrzymując w m.: 54, 58, 64, 69, 61, 56, 41, 48, 56, 61, 70, 55, 46, 57, 70, 55, 47, 62, 55, 60, 54,57,65,60,53,54, 49,58,62,59,55,50,58, 63, 64, 59, 52, 65, 58, 60. Dla przedstawionej próby zbudować szereg rozdzielczy oraz naszkicować histogram i dystrybuantę empiryczną. Wyznaczyć średnią, medianę, modalną, kwantyl dolny i górny, wariancję, współczynnik zmienności. 6.W pewnym punkcie sieci elektrycznej mierzono co godzinę istniejące napięcie (w V) otrzymując 21 danych: 234, 220, 230, 218, 220, 219, 224, 223, 220, 218, 221, 229, 225, 220, 221, 216, 220, 219,232,227,221. Dla przedstawionej próby wyznaczyć wielkości jak w zad.6. Odpowiedzi zad.1 a) 1-Φ( 15 7 ) = 0.016 b)φ( 40 7 ) Φ( 15 7 ) = 0.016 zad.2 Φ( 2.8) = 0.0026; zad.3 n 70. zad.4 n 44 zad.6 wziąć 5 klas, x = 222.7, mediana = 221, modalna = 220, varx=17.99, wsp.zmienności=0.019 (1.9% ) 11

LISTA 8 1.W oparciu o 2n elementową próbę prostą z populacji o średniej m i wariancji σ 2 oszacowano wartość oczekiwaną używając dwóch estymatorów: Y 1 = 1 2n 2n k=1 X k, oraz Y 2 = 1 nk=1 X n k. Który z nich jest lepszy i dlaczego? 2.Metodą największej wiarogodności wyznaczyć estymatory parametrów: a) λ w rozkładzie Poissona ; b) p w rozkładzie geometrycznym ; c) α w rozkładzie wykładniczym. 3.Prawdopodobieństwo natrafienia na złoże ropy dla każdej z 5 ruchomych wież wiertniczych jest takie samo i wynosi p. Pierwsza wieża natrafiła po raz pierwszy na złoże; za trzecim razem, druga za czwartym, trzecia za trzecim, czwarta za czwartym, piąta za siódmym. Oszacować wartość parametru p. 4.W celu oszacowania wartości przeciętnej czasu bezawaryjnej pracy maszyny pewnego typu - z partii tych maszyn wybrano losowo 7 maszyn i obserwowano czasy pracy do momentu awarii. Uszkodzenia nastąpiły w: 51, 115, 150, 190, 217, 228, 350 godzinie. Wiedząc, że czas bezawaryjnej pracy maszyny ma rozkład wykładniczy oszacować : wartość przeciętną bezawaryjnej pracy maszyny oraz parametr α tego rozkładu. 5*.Wykazać, że jeżeli niezależne zmienne losowe X k, k = 1,..., n mają taki 1 sam rozkład wykładniczy to nk=1 X 2 2n k jest nieobciążonym estymatorem dla wariancji tego rozkładu. 6*.Zmienne losowe X k mają rozkład jednostajny na przedziale [a; a+1]; parametr a jest nieznany. Sprawdzić, że dla n niezależnych obserwacji estymator: T n = 1 2 + 1 n X k n k=1 jest nieobciążonym i zgodnym estymatorem parametru a. Oszacować P ( T n a 0.1) gdy: n = 12 oraz n = 100. 7*.Wykazać, że n+1max n 1 k nx k jest lepszym nieobciążonym estymatorem dla parametru a,w rozkładzie jednostajnym na przedziale [0 ; a] niż 2 n Σn k=1x k. 12

Odpowiedzi zad.1 Y 1, Y 2 są niobciążone dla m, lepszy Y 1,bo ma mniejszą wariancję. zad.2 λ = 1 nk=1 X n k, α 1 = 1 n Σn k=1x k p 1 = 1 nk=1 X n k zad.3 0.238 zad.4 185.8; 0.0054. LISTA 9 1. Dokonano 8 pomiarów pewnej odległości i otrzymano (w m): 201, 195, 207, 203, 191, 208, 198, 210. Wiadomo,że rozkład błędu pomiaru jest normalny o średniej 0 i wariancji 9. Wyznaczyć przedział ufności dla mierzonej odległości na poziomie ufności 0.95. Ponadto, wykonano 5 dodatkowych pomiarów i otrzymano:201, 196, 200, 195, 208. Korzystając ze wszystkich pomiarów wyznaczyć jeszcze raz przedział ufności dla mierzonej odległości oraz porównać długości przedziałów. 2.Na podstawie 100 prób oszacowano średni czas pracy potrzebny do wyprodukowania elementu i uzyskano (w s): x = 5.5 oraz s = 1.7.Wyznaczyć przedział ufności dla wartości oczekiwanej czasu produkcji na poziomie: a) 0.90 oraz b) 0.80. Który jest dłuższy? 3.Dla 10 obserwacji cechy o rozkładzie normalnym otrzymano: 7; 7.5; 8.5; 8; 6; 7.5; 6.5; 5.5; 7.5; 6. Wyznacz i porównaj przedział ufności dla parametru m na tym samym poziomie ufności gdy : a) σ = 0.5, b) σ nieznane. 4.Klasa przyrządu jest związana z odchyleniem standardowym wykonywanych nim pomiarów. W celu zbadania klasy przyrządu służącego do pomiaru masy wykonano nim 12 pomiarów masy tego samego ciała (w mg): 101, 105, 98, 96, 100, 106, 100, 95, 95, 101, 94, 98. Przy założeniu, że wyniki pomiaru mają rozkład normalny wyznaczyć 95% przedział ufności dla odchylenia standardowego. 5.Przy sporządzaniu skali magnetometru dokonano 10 niezależnych pomiarów natężenia tego samego pola magnetycznego i otrzymano (w Oe): 8, 10, 15, 12, 18, 9, 10, 12, 14, 12. Przyjmując poziom ufności 0.95 wyznaczyć przedział ufności dla wartości oczekiwanej oraz dyspersji (odchylenia standardowego) wyników pomiaru tym magnetometrem. 6.Błąd pomiaru wysokości wieży ma rozkład normalny o wariancji 400m 2. Ile pomiarów należy wykonać, aby na poziomie ufności 0.9 oszacować wysokość wieży w przedziale ufności długości 15m? 13

7.Aby oszacować ile procent wyborców (p%) jest zdecydowanych poprzeć danego kandydata w najbliższych wyborach przeprowadzono ankietę wśród n losowo wybranych osób (n 100). Na pytanie: czy będziesz głosować na danego kandydata; ankieta przewidywała 2 odpowiedzi: TAK albo NIE. Wyznacz przedział ufności dla p na poziomie ufności 1 α. Przy jakim n długość przedziału ufności będzie mniejsza niż 0.05 (5%). Wykonaj obliczenia dla: n = 200, 180 odpowiedzi TAK, α = 0.05. 8.W celu zbadania szczelności pojemników pewnej firmy, wylosowano niezależnie do próby i sprawdzono szczelność 100 pojemników, wykrywając 16 nieszczelnych. Przyjmując poziom ufności 0.99 oszacować procent nieszczelnych pojemników. 9*.Niech (X 1, X 2,..., X n ) oraz (Y 1, Y 2,..., Y m ) będą niezależnymi próbami prostymi, że X k ma rozkład N(m 1, σ), Y k ma rozkład N(m 2, σ). Sprawdzić, że statystyka X Y m 1 + m 2 nm(n + m 2) nk=1 (X k X) 2 + m k=1 (Y k Y ) 2 n + m. ma rozkład t-studenta z (n + m 2) stopniami swobody. Odpowiedzi: zad.1 dla n=8 mamy 199.52 m 203.7, dla n=13 mamy 199.37 m 202.63 zad.2 a) 5.22 m 5.78; b) 5.28 m 5.72. zad.4 2.8 σ 6.7 zad.5 9.84 m 14.16 oraz 4.31 σ 2 30.37. zad.6 n 20. zad.8 6% < p < 25.4% LISTA 10 1. Hipotezę,że wadliwość produktu wynosi 0.1 sprawdzano następująco: z dużej partii towaru wybierano losowo 100 produktów. Jeśli wśród nich jest mniej niż 17 wadliwych to całą partię towaru uznajemy za wystarczająco dobrą, w przeciwnym przypadku partię uznajemy za złą. Obliczyć błąd I rodzaju oraz wartości funkcji mocy dla p = 0.2; p = 0.3. Wskazówka: rozkład Bernoulliego przybliżyć rozkładem normalnym. 14

2.Aby zweryfikować hipotezę o symetryczności monety H: p = 0.5 przeciwko K: p 0.5 wykonano nią n = 100 rzutów. Wyznaczyć obszar krytyczny na poziomie istotności: a) α = 0.1, b) α = 0.05. Obliczyć moc testu dla p=0.9, p=0.4. Zweryfikować hipotezę H gdy w 100 rzutach monetą było 59 orłów dla a) oraz b). 3.Niech (X 1, X 2,..., X n ) będzie próbą prostą, że X k ma rozkład N(m,1). Na poziomie istotności α = 0.05 zweryfikować hipotezę H: m=4, przeciwko K: m 4, gdy n=25 oraz zaobserwowano x = 4.3. Wyznaczyć i naszkicować funkcję mocy testu. Podać wartość p-value. 4.Producent twierdzi,że długość życia produkowanych przez niego baterii ma rozkład normalny o średniej 48h. Długość życia dla zbadanych 7 baterii wyniosła: 44, 46, 49, 42, 51, 40, 45. Czy obserwacje te przeczą hipotezie producenta o średniej długości życia baterii? Zweryfikować hipotezę dla α = 0.02. 5.Przyjmując, że waga odczynnika w pewnego typu opakowaniach jest zmienną losową o rozkładzie N(m, σ) zweryfikować na poziomie istotności α = 0.1 hipotezę H: m=100 przeciwko K: m 100 dla następujących obserwacji: 95, 103, 104, 97, 100. 6.Zużycie energii elektrycznej (w kwh) przez pewną firmę w 10 losowo wybranych dniach było następujące: 104, 100, 105, 110, 106, 105, 102, 105, 107, 106. Zakładając,że zużycie energii ma rozkład normalny, na poziomie istotności α = 0.025 zweryfikować hipotezę H: σ 2 = 10 przeciwko K: σ 2 > 10. 7.Producent twierdzi, że produkowany przez niego przyrząd nie popełnia błędu systematycznego oraz odchylenie standardowe wyników pomiaru wynosi σ = 0.01. W celu sprawdzenia przyrządu wykonano nim 10 niezależnych pomiarów wzorca m=10.00 i uzyskano: 9.97, 9.97, 10.00, 10.01, 9.99, 10.01, 10.00, 10.02, 10.00, 10.03. Zakładając, że wyniki pomiaru mają rozkład normalny zweryfikować na poziomie istotności α = 0.01: a) hipotezę producenta o błędzie systematycznym oraz b) hipotezę σ = 0.01 przeciwko hipotezie, że rzeczywiste odchylenie jest większe. 15

8.Pewien eksperymentator twierdzi, że opracował nową (lepszą) metodę odsiarczania gazów przemysłowych. Dokonano pomiarów zawartości siarki i otrzymano dla metody: starej: 17, 11, 22, 18, 15, 13, 14, 16 nowej: 15, 12, 10, 18, 14, 15, 13. Przyjmując, że zawartość siarki ma rozkład normalny zweryfikować odpowiednią hipotezę na poziomie istotności α = 0.05. 9.Błędy pomiarów dla 2 przyrządów mają rozkład normalny o takiej samej wariancji, równej 3. Badając zgodność pomiarów wykonano po 6 pomiarów każdym przyrządem i otrzymano: x 1 = 66.7, x 2 = 67.3; a)zweryfikować odpowiednią hipotezę na poziomie istotności α = 0.05; b) wyznaczyć błąd II rodzaju. gdy różnica między średnimi wynosi 2.44. 10.W wyniku pomiarów temperatury w 20 takich samych zbiornikach wykorzystywanych w procesie produkcji otrzymano w stopniach Celsjusza x = 4.8. Zakładając, że temperatura utrzymywana w zbiornikach jest zmienną losową o rozkładzie normalnym N(m,0.1) na poziomie istotności α = 0.1 zweryfikować hipotezę H: m = 5 przeciwko alternatywie: a) K: m < 5 oraz b) K: m 5 11.Pomiary napięcia prądu mają rozkład normalny. Dokonano 15 niezależnych pomiarów napięcia i otrzymano S 2 = 1.4. Na poziomie istotności α = 0.05 zweryfikować hipotezę, że wariancja pomiarów wynosi 1.2. Odpowiedzi zad.1 α = 0.0038, niech M(p) oznacza moc testu dla parametru p; M(0.2)=0.7734, M(0.3)=0.9977, M(0.5)=1 zad.2 a) Q = {0, 1,..., 41} {59, 60,..., 100}, odrzucamy H gdy zaobserwowano 59 orłów b)q = {1, 2,..., 40} {60, 61,...100}, nie ma podstaw do odrzucenia H gdy zaobserwowano 59 orłów. M(0.4)=0.5793, M(0.9)=1 zad.3 Q = (1.64; ); u=1.5, nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy p-value =0.0768 M(m)=Φ( 1.64 + 5(m 4)) zad.4 t=-1.877,6 stopni swobody Q = (, 0.906), odrzucamy hipotezę zad.5 t=-0.17, 4 st.swobody, Q = (, 2.132) (2.132, ), nie ma podstaw do odrzucenia H zad.6 χ 2 = 6.1, 9 st.swobody, Q = (19.02, ), nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zad.7 a) H: m=0 (błąd systematyczny wynosi 0 ) 16

K: m 0 t=0, 9 st.swobody, Q = (, 3.25) (3.35, ), nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H b) H: σ 2 = 0.0001 przeciwko K: σ 2 > 0.0001 χ 2 = 34, 9 st.swobody, Q = (21.67, ), odrzucamy H na podanym poziomie istotności zad.8 H: m s = m n przeciwko K: m s > m n t=1.48, 13 st.swobody Q = (1.771, ), nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H zad.9 a) H: m 1 = m 2 przeciwko K: m 1 m 2 u=-0.6, Q = (, 1.96) (1.96, ), nie ma podstaw do odrzucenia H b) β = 0.3156 zad.11 χ 2 = 17.5, 14 st.swobody Q = (23.68, ), nie ma podstaw do odrzucenia H LISTA 11 1.W celu sprawdzenia symetryczności kostki do gry wykonano nią 120 rzutów i otrzymano: liczba oczek 1 2 3 4 5 6 liczba rzutów 11 30 14 10 33 22 Na poziomie istotności α = 0.05 zweryfikować hipotezę,że kostka jest symetryczna. 2.Zmienna losowa X oznacza liczbę kolizji komunikacji miejskiej w ciągu jednej doby.na podstawie obserwacji próby prostej: 3,2,2,1,4,0,4,2,3 zweryfikować hipotezę,że X ma rozkład Poissona z λ = 2. Przyjąć α = 0.025. 3.Prześwietlono 100 niezależnych próbek tego samego materiału i uzyskano następujące liczby skaz: liczba skaz 0 1 2 3 4 5 liczba próbek 10 27 29 19 8 7 Na poziomie istotności α = 0.01 zweryfikować hipotezę, że rozkład liczby skaz w próbkach ma rozkład Poissona. 4.W pewnym doświadczeniu mierzy się czas występowania określonego efektu świetlnego. Dla 1000 niezależnych doświadczeń uzyskano: czas efektu 0-2 2-4 4-6 6-8 8-10 liczba dośw. 90 140 320 300 150 Zweryfikować na poziomie istotności α = 0.05 hipotezę,że czas występowania efektu świetlnego ma rozkład normalny. 17

5.Zbadano zależność między ilością pewnej substancji dodawanej do produkcji wyrobu a jego wagą i otrzymując: ilość substancji: 1, 2, 4, 6, 7 waga wyrobu: 52, 53, 48, 50, 52 a) czy istnieje zależność między ilością dodawanej substancji a wagą wyrobu? b) wyznaczyć równanie prostej regresji c) obliczyć spodziewaną wagę wyrobu, gdy do produkcji dodamy 8 jednostek substancji d) obliczyć współczynnik korelacji rang Spearmana. Odpowiedzi zad.1 χ 2 = 24.50, Q = (11.07, ), odrzucamy hipotezę zad.2 χ 2 = 2.8434,4 st.swobody Q = (11.141, ), nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zad.3 χ 2 = 4.4107, 5 st.swobody Q = (13.277, ), nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zad.4 χ 2 = 52, 43, r=5, 2 st.swobody Q = (5.991, ), odrzucamy hipotezę zad.5 a) r=-0.27, b) y = 0.23x + 51.92 c) 50.08, d) r s = 0.275 18