Uwagi do materiału mogącego stanowić pomoc dla nauczycieli w przygotowaniu uczniów do egzaminu maturalnego z matematyki z zakresu podstawowego. 1. Pragniemy pomóc państwu w przygotowaniu uczniów do egzaminu maturalnego poprzez: - podzielenie materiału powtórzeniowego na trzy etapy - opracowanie zestawów zadań powtórzeniowych - wskazówki metodyczne do wybranych zadań (trening twórczości) - podanie treści zadań sprawdzianów podsumowujących każdy etap, wraz z odpowiedziami - prezentację zadań z "najbliższego doświadczenia" (sprawdzian VI 2015, matura 2015) 2. W naszym rozumieniu propozycja ta może jedynie wzbogacać Państwa pracę i nie stanowi zamkniętej całości, jest pewnym spojrzeniem doświadczonych nauczycieli i podpowiedzią dla kolegów - nauczycieli jak można pracować z uczniami. 3. Zachęcamy do korzystania z konsultacji w powiatach z nauczycielami - liderami i tam pracą nad tworzeniem i doskonaleniem własnego warsztatu nauczyciela - opiekuna ucznia przygotowującego się do egzaminu maturalnego. W szczególności, właśnie na takich spotkaniach można nauczyć się elementów treningu twórczości i stosowania go w praktyce szkolnej. 4. Ważne jest, by każdy z Państwa opracował dla siebie i swoich uczniów pewną metodę efektywnego przygotowania ucznia do egzaminu maturalnego - pomocne tutaj mogą być: - liczne opracowania podręcznikowe, przykładowe arkusze, zbiory zadań powtórzeniowych, - podręczniki typu - vademecum różnych wydawnictw, - strony internetowe CKE, OKE czy np. zadania. info (z zestawami zadań w wersji 8-9 tygodniowej przed samą maturą) 5. Ważną, naszym zdaniem, jest metoda "przerabiania" zestawów zadań maturalnych z ostatnich lat - uczeń ma możliwość wyćwiczenia konkretnych umiejętności oraz opanowania materiału podstawowego oraz wyćwiczenia go (Dobrze jak wie, jakie zadania są najważniejsze! - wtedy chętniej skupia się na ich opanowaniu) - o tym będziemy chcieli napisać w kolejnych materiałach.
Materiał powtarzany w I etapie - Zestaw zadań oraz komentarzy metodycznych, niekiedy elementów treningu: 1. Uporządkuj rosnąco liczby: 2. Oblicz: I1. Liczby i wyrażenia a = 6( + 3) (1+2 ) b = c = (2 + ) 2 a) b) 3. Udowodnij, że: 4. Wyznacz wszystkie pary liczb naturalnych (a, b) spełniające równanie 5. Liczba 240 to przybliżenie z nadmiarem pewnej liczby, a błąd bezwzględny tego przybliżenia wynosi 8,76. Jaki jest błąd względny tego przybliżenia? 6. Dane są zbiory: A = oraz B =. Wyznacz zbiory: 7. Mając dane: 4,0 2, 4 A oraz 1,3 B wyznacz: 8. Oprocentowanie lokaty dwuletniej wynosi 4% w skali roku. Ile złotych trzeba wpłacić na tę lokatę, aby po dwóch latach odsetki wyniosły 408 zł? 9. Oblicz wartość wyrażenia ) dla x = - 10. Przekątna kwadratu jest o 4 cm dłuższa od boku tego kwadratu. Oblicz długość boku kwadratu. Wynik przedstaw w postaci a +b. 11. Wyznacz resztę z dzielenia przez 3 sumy kwadratów dwóch kolejnych liczb naturalnych, niepodzielnych przez 3. Odpowiedź uzasadnij. Uwaga: Oczekujemy zastosowania postaci liczb całkowitych, warto więc poświęcić więcej uwagi na ćwiczenie zadań z różnymi resztami; Tutaj jest miejsce na własne "odkrycia" uczniów: Co będzie gdy, np. dodamy do siebie kwadraty trzech kolejnych liczb nieparzystych? itp.
12.Wiadomo, że dla różnych od zera liczb a i b zachodzi związek:. Wyznacz wartość wyrażenia. Uwaga: Kolejne zadanie do poćwiczenia, np. Wiedząc, że, wyznacz wartość wyrażenia. A w dalszej perspektywie "maturalnego" powtarzania będziemy mieli podobne wyrażenia trygonometryczne typu:, wyznacz tgx (lub odwrotnie), czy bardziej skomplikowane zależności typu: =. 13.Zapisz wyrażenie w postaci potęgi liczby 3 3 3 9 27 2 4 1 81 7 3 1 14. Dane są przedziały,. a) dla wyznacz. b) wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których cześć wspólna tych przedziałów jest zbiorem jednoelementowym Uwaga: Zadanie warto poprzedzić prostszymi zadaniami przyjmując za przedziały odpowiednio np., ;,. A można też "utrudnić" modyfikując w kierunku, np.... dla których część wspólna jest przedziałem domkniętym o długości 1. 15. Dana jest liczba Wyznacz liczbę odwrotną do liczby x. Wynik przedstaw w postaci wyrażenia, gdzie a, b są liczbami wymiernymi. Uwaga: Zadanie warto poprzedzić zestawem prostszych zadań, np. x =,x = itd 16. Wyznacz liczbę, gdzie i.
1 3 2 3 9 2 17. Dany jest zbiór A = 1 ; ; 3 3 ;1,(4); ; 2; 1,(4). 11 5 8 16 a) Wypisz ze zbioru A liczby wymierne i przedstaw je w postaci ułamka niewłaściwego nieskracalnego. b) Uporządkuj wszystkie liczby ze zbioru A w kolejności od najmniejszej do największej. 18. Niech x + y =12 i x 2 + y 2 = 126. Oblicz wartość wyrażenia x y. Uwaga: Warto uczniom wspomnieć o tym, że dobrze jest pamiętać "wzór" x 2 + y 2 = (x + y) 2-2xy. Także przy tym zadaniu można "twórczo" ćwiczyć różne warianty - uczniowie mogą to robić! Np. "znając różnicę i sumę kwadratów obliczyć iloczyn liczb", "znając sumę i sumę trzecich potęg obliczyć iloczyn liczb"; lub odwracając "mając iloczyn i sumę kwadratów liczb obliczyć ich sumę/różnicę" 19. Jakim procentem liczby 1,8 jest wartość wyrażenia? 20. Suma kwadratu pewnej liczby i liczby od niej o 3 mniejszej jest równa 17. Znajdź te liczby. 21. W prostokącie o bokach x i y długość boku x zwiększono o 25%, a długość boku y zmniejszono o 20%. Jak zmieni się pole tego prostokąta? 22. Wykaż, że liczby: i są liczbami przeciwnymi. I2. Zadania tekstowe 1. Cena towaru zwiększyła się najpierw o 20% następnie zmniejszyła się o 15%, a po sezonie zmniejszyła się o 40%. Po tych zmianach cena wynosiła 183,60 zł. Oblicz początkową cenę towaru. 2. Na lokacie bankowej ulokowano 2000 zł na okres 2 lat z kapitalizacją odsetek co 3 miesiące. Roczna stopa procentowa jest równa 8%. Jaka będzie wartość lokaty na koniec okresu oszczędzania? 3. Babcia rozdzieliła między wnuków wszystkie cukierki, jakie miała w torebce. Pierwszemu wnukowi dała czwartą część wszystkich cukierków, drugiemu natomiast szóstą część pozostałych. Trzeci wnuk otrzymał 50% tego, co zostało, a czwarty dostał ostatnie 10 cukierków. Oblicz, ile cukierków miała babcia i po ile otrzymali pierwszy, drugi i trzeci wnuk.
4. Na pewnym parkingu w Rzeszowie stoją tylko auta niebieskie i czerwone. Auta czerwone stanowią 45% wszystkich aut na parkingu. Gdy 8 aut niebieskich odjechało, na parkingu pozostało tyle samo aut niebieskich i czerwonych. Oblicz, ile na początku na parkingu było wszystkich aut, a ile niebieskich. 5. Średni wiek pracowników pewnej firmy był równy 36 lat. Teraz, kiedy odszedł jeden pracownik w wieku 45 lat, średnia wieku pozostałych wynosi 35 lat. Ile osób pracowało wcześniej w tej firmie? 6. Piotrek jest o 10 lat starszy od swojego brata Pawła. Pięć lat temu Paweł miał 4 razy mniej lat niż Piotrek ma teraz. Ile lat miał Piotrek kiedy urodził się Paweł.? Rozwiąż zadanie za pomocą układu równań. 7. Do magazynu dostarczono tyle jednakowych skrzynek jabłek, ile wynosiła waga każdej skrzynki wyrażona w kilogramach. Po sprzedaniu 10 skrzynek okazało się, że zostało jeszcze 600 kg jabłek. Oblicz, ile kilogramów jabłek dostarczono do magazynu. I3. Funkcje 1. Dana jest funkcja f(x) = a) Naszkicuj wykres funkcji f b) Oblicz miejsca zerowe tej funkcji c) Oblicz f(1 ) d) Z wykresu odczytaj zbiór rozwiązań nierówności f(x) e) Naszkicuj wykres funkcji g(x) = f(-x) 2. Wyznacz wzór funkcji liniowej, która spełnia podane warunki: f(2) = 3 i f(-1)=6 3. Miejscem zerowym funkcji f(x) = (k 3)x + 3 jest liczba. Oblicz k. Uwaga: Zadanie warto poprzedzić prostszym: f(x) = (k-3)x - 4, x= -2 4. Wyznacz m wiedząc, że punkt przecięcia wykresów funkcji liniowych f(x) = 2x 4 i g(x) = -3x + 2m+3 leży na osi OY. 5. Dane są funkcje f(x) = -5x + 3 oraz g(x) = -2x +6. Oblicz, dla jakich argumentów wartości funkcji f są mniejsze od wartości funkcji g. 6. Oblicz pole figury ograniczonej wykresami funkcji f(x) = -x + 3 i g(x) = 2x 1 oraz osią OY.
7. Wyznacz punkty, w których prosta przecina osie układu współrzędnych. Czy punkt należy do tej prostej? 8. Zapisz wzór funkcji liniowej której wykres przechodzi przez punkty: 0, 6, - 2, 4 Uwaga: Niekiedy w zadaniach stawiajmy uczniów w "podchwytliwej" 0, 6, - 2, - 6 0, 6, 0, 4 sytuacji podając np. albo 9. Dane są funkcje o wzorach f(x) = 2x + 1 oraz g(x) = 2x. Dla jakich argumentów wartości funkcji f są większe od wartości funkcji g? 10. Napisz równanie prostej a) równoległej b) prostopadłej do prostej o równaniu i przechodzącej przez punkt 11. Dana jest funkcja o wzorze f(x) = 3 x + 2 + b, xr. a) Wyznacz wszystkie takie b, dla których miejsce zerowe funkcji jest liczbą większą od 2 3. b) Napisz wzór funkcji liniowej g, której wykres jest prostopadły do wykresu funkcji f i przechodzi przez punkt A( 4 3, 3). Uwaga: Zadanie trzeba koniecznie poprzedzić prostszym 12. Sekretarka prezesa pewnej firmy otrzymuje stałą pensję miesięczną w wysokości 1800 zł, premię uznaniową wysokości 10% oraz dodatkowe wynagrodzenie za nadgodziny. W styczniu miała 20 nadgodzin i otrzymała wraz z premią 2220 zł. a) Oblicz stawkę za godzinę nadliczbową b) Napisz wzór funkcji wyrażającej wynagrodzenie sekretarki (z premią) w zależności od liczby przepracowanych godzin nadliczbowych. 13. Poniżej przedstawiono wykres funkcji f.
a) Podaj zbiór wartości funkcji f. b) Podaj miejsce zerowe funkcji g określonej wzorem g(x) = f(x 2). 2x 5 dla x, 1 14. Dana jest funkcja f(x) =. x 2 dla x 1, ) a) Oblicz miejsca zerowe funkcji. b) Oblicz współrzędne punktu w którym wykres przecina oś OY. 15. Dana jest funkcja o wzorze f(x) = (2 3a )x + 1, xr. a) Wyznacz a tak, aby miejscem zerowym funkcji była liczba 4. b) Wyznacz wszystkie wartości a, dla których funkcja jest malejąca c) Dla a = 1 napisz wzór funkcji liniowej, której wykres jest prostopadły do wykresu danej funkcji i przechodzi przez punkt A( 5, 8). 16. Rozwiązaniem układu równań jest para liczb x = 3 i y = -1. Wyznacz a i b. 17. Podaj wzór funkcji liniowej, której wykres przecina oś OY w punkcie A(0, 3) i jej miejscem zerowym jest liczba 9. 18. Dane są wzory funkcji liniowych: f(x) = (2-k)x 4, h(x) = (2k 3k 2 ) x 7. Wyznacz k tak, aby wykresy funkcji f oraz h były równoległe.
I4. Funkcja kwadratowa 1. Do wykresu funkcji kwadratowej f(x) = ax 2 + bx + c należy punkt A(4, -5), a dla argumentu 6 funkcja przyjmuje największą wartość równą 3. Wyznacz wartości współczynników a, b i c. 2. Wyznacz zbór wszystkich argumentów, dla których funkcja liniowa f(x) = 2x 3 przyjmuje wartości większe niż funkcja kwadratowa g(x) = x 2 3x + 1. 3. Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej m funkcja f(x) = x 2 + mx + m 1 posiada miejsce zerowe. Uwaga: Warto dobierać uczniom zadania w których zachęcamy ich do "eksperymentów" typu: czy można wskazać jakieś (niezależne od m) miejsce zerowe - pamiętamy zadanie z wielomianem na maturze rozszerzonej "...wiedząc, że suma współczynników wielomianu wynosi 0...)!?! 4. Z drutu o długości 2 m budujemy model prostopadłościanu, którego podstawa jest kwadratem. Jakie wymiary powinien mieć ten prostopadłościan, aby jego pole powierzchni było największe? 5. Liczbę osób, które odwiedziły wystawę n - tego dnia od momentu jej otwarcia opisuje wzór W(n) = 6n 2 + 60n 50, gdzie n N + i 1 n 9. a) W którym dniu wystawę odwiedziło najwięcej osób, i ile ich było? b) Ile osób odwiedziło wystawę przez pierwsze trzy dni jej trwania? 6. Naszkicuj wykres funkcji. Na podstawie wykresu odczytaj: a) zbiór wartości funkcji f b) monotoniczność funkcji f c) dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości niedodatnie 7. Na jednym z osiedli mieszkaniowych znajduje się rabata kwiatowa w kształcie trójkąta prostokątnego, którego przyprostokątne różnią się o 7 m. Powierzchnia rabaty wynosi 30 m 2. Ile metrów płotka potrzeba na ogrodzenie tej rabaty? 8. Oblicz największą i najmniejszą wartość funkcji w przedziale.
Uwaga: W niektórych zadaniach można (!) uczyć schematu: policz f(-2), f(0), q i wybierz największą/najmniejszą z nich. W zakresie rozszerzonym przydaje się taki schematyzm do zadań optymalizacyjnych: "dziedzina, warunek łączący niewiadome, funkcja jednaj zmiennej, pochodna, warunek konieczny, wystarczający, odpowiedź" 9. Rozwiąż nierówność: 10. Liczby - 4 i 7 są miejscami zerowymi trójmianu i do wykresu trójmianu należy punkt. Wyznacz parametry a, b, c. 11. Trójmian kwadratowy osiąga wartość największą równą -5 dla argumentu 2 i do wykresu trójmianu należy punkt. Wyznacz parametry a, b, c. Uwaga: Dla ucznia jest to niekiedy trudna sytuacja w jednej informacji są ukryte dwie - trzeba podkreślić, że to nie jest "zwykły" punkt. W zakresie rozszerzonym będzie to potrzebne przy zagadnieniach związanych ze styczną i wykresem funkcji (czy ekstremum) 12. Dana jest funkcja. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których ta funkcja jest malejąca. 13. Obraz o wymiarach 3 m x 8 m chcemy oprawić w ramę o jednakowej szerokości. Oblicz, jaką szerokość ramy należy dobrać, aby po oprawieniu pole obrazu wraz z ramą wynosiło 50 m 2? 14. Liczbę zachorowań na pewną chorobę w n tym dniu trwania epidemii określa wzór L(n) = -2n 2 + 28n -1. a) Ile osób zachorowało pierwszego i piątego dnia? b) W którym dniu zachorowało najwięcej osób i ile ich było? 15. Wykres funkcji f danej wzorem przesunięto wzdłuż osi OX o 3 jednostki w prawo i wzdłuż osi OY o 8 jednostek w górę, powstał wykres funkcji g. a) rozwiąż nierówność b) podaj zbiór wartości funkcji g. 16. Rozwiąż nierówność: 1 ( x 7)( x 7) 2 1 x ( x 1). 2 2 Uwaga: Warto w tym miejscu zwracać uwagę na potrzebę "dodawania" nawiasu przed wyrażeniem poprzedzonym znakiem minus.
17. Rozwiąż równanie: 18. Funkcja kwadratowa określona jest wzorem f(x) = x 2 3x + c. Oblicz f(1), jeśli wiadomo, że f(-2) = 7. 19. Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej a i dla każdej liczby rzeczywistej b prawdziwa jest nierówność: Uwaga: Podpowiadamy uczniom, żeby skupić swoją uwagę na jakimś składniku, np. 4a 2 = (2a) 2 i dalej (2a-b) 2 i brakuje 2b 2, a to całkiem dobrze! W zakresie rozszerzonym mieliśmy na maturze zadanie: Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność x 4 - x 2-2x+3>0 Oczywiście jest ono zdecydowanie trudniejsze, ale warto zadać sobie pytanie: jaki zestaw zadań skutecznie nauczy moich uczniów rozwiązywać takie zadania? 20. Rozwiąż nierówność: 21. Na polu golfowym dwóch zawodników wybiło piłki, które zakreśliły w powietrzu tory (łuki parabol) o równaniach. Która z piłek golfowych wzniesie się wyżej? Uwaga: Tutaj ciekawostka - warto postawić pytanie: dlaczego tutaj h 1 (0)=h 2 (0) = 0?! Czytajmy: "Na polu golfowym..."! To już jest "koniec" zestawu? Niedokładnie - teraz jest czas i miejsce dla Ciebie kolego nauczycielu - twórz własny zestaw zadań, zachęcaj do tego swoich uczniów a ciekawymi pomysłami - dziel się z Nami!!!
Matura 2015 (maj i czerwiec) (niektóre zadania są zmodyfikowane dla potrzeb opracowania) 1. Rozwiąż nierówność: - 4 x - 1 4 2. Określ liczbę rozwiązań równania: = x-1 3. Określ zbiór wartości funkcji, której wykres przedstawiono poniżej: 4. Na wykresie funkcji liniowej określonej wzorem f(x) = (m-1)x +3 leży punkt S=(5,-2). Wyznacz wartość m. 5. Funkcja liniowa f określona wzorem f(x)= 2x + b ma takie samo miejsce zerowe, jakie ma funkcja liniowa g(x) = -3x + 4. Wyznacz wartość b. 6. Funkcja kwadratowa określona jest wzorem f(x) = x 2 +x+c. Oblicz wartość f(1), wiedząc że f(3) = 4 7. Ile liczb całkowitych x spełnia nierówność: < <? 8. Dla jakiej wartości m prosta o równaniu y = m 2 x +3 jest równoległa do prostej o równaniu y = (4m-4)x - 3? 9. Dla jakiej wartości m prosta o równaniu y = 2mx -m 2-1 jest prostopadła do prostej o równaniu y = 4m 2 x +m 2 +1? 10. Średnia arytmetyczna zestawu danych: 2,4,7,8,9 jest taka sama, jak średnia arytmetyczna zestawu danych: 2,4,7,8,9,x. Ile wynosi wartość x? 11. Rozwiąż nierówność: 2x 2-4x > (x+3)(x-2) 12. Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji kwadratowej f(x) = x 2-6x+3 w przedziale <0;4> 13. Jeśli do licznika i do mianownika nieskracalnego dodatniego ułamka dodamy połowę jego licznika, to otrzymamy 4/7, a jeżeli do licznika i do mianownika dodamy 1, to otrzymamy 1/2. wyznacz ten ułamek. 14. Którą potęgą liczb 2 jest liczba 2 -? 15. Oblicz wartość wyrażenia: 16. Przy 23-procentowej stawce podatku VAT cena brutto samochodu jest równa 45 018 zł. Jaka jest cena netto tego samochodu? 17. Wyrażenie 3a 2-12ab+12b 2 przekształcono do postaci 3x 2. Ile wynosi x? 18. Określ liczbę rozwiązań równania 2x 2 + 11x + 3 = 0 19. Na rysunku podany jest wykres funkcji f. Podaj przedział w którym funkcja f jest rosnąca.
Na rysunku przedstawiono wykres funkcji. 20. Liczba 0,3 jest jednym z przybliżeń liczby. Ile wynosi błąd względny tego przybliżenia, wyrażony w procentach? 21. Średnia arytmetyczna zestawu danych: 2, 4, 7, 8, jest równa, natomiast średnia arytmetyczna zestawu danych: 2, 4, 7, 8,, jest równa. Ile wynosi x? 22. Rozwiąż nierówność: 3x 2-9x x - 3 23. Rozwiąż równanie: x (x 2-2x +3) = 0 24. Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y prawdziwa jest nierówność 3x 2 + 5y 2-4xy 0 25. Funkcja kwadratowa f dla x = -3 przyjmuje wartość największą równą 4. Do wykresu funkcji f należy punkt A=(-1,3). Zapisz wzór funkcji kwadratowej f. Zadanie 23
Sprawdzian PCEN po drugiej klasie 1. Oblicz najmniejszą wartość funkcji kwadratowej f(x) = 2(x+3)(x-5) w przedziale <-6;4>. 2. Cenę aparatu, który początkowo kosztował 2000 zł dwukrotnie podniesiono o 10%, a następnie dwukrotnie obniżono o 10%. cenę zaokrąglono do całych złotych. Jaka jest cena aparatu po tych zmianach. 3. Wyznacz liczbę odwrotną do liczby 2 +. 4. Funkcja liniowa f(x) = -3x+2b przyjmuje wartości ujemne wtedy i tylko wtedy gdy x >3. Wyznacz wartość parametru b. 5. Dla jakich wartości parametru m funkcja f(x) = (m 2-4)x +2 jest malejąca? 6. Wyznacz zbiór dzielników liczby 2 32 +2 30 7. Oblicz wartość wyrażenia (x - y) 2 wiedząc, że x + y = 7 oraz x 2 + y 2 = 29 8. Wyznacz k we wzorze funkcji liniowej y = k x, wiedząc, że na jej wykresie leży wierzchołek paraboli y = x 2 +4x 9. Rozwiąż równanie: 10. Funkcja f określona na zbiorze liczb całkowitych każdemu argumentowi przyporządkowuje liczbę o 4 mniejszą od jego podwojonego kwadratu. Oblicz wartość f(-4). 11. Dla jakiej naturalnej wartości m cześć wspólna przedziałów A = i B = <m+12; ) jest zbiorem jednoelementowym? We współpracy z koleżankami - nauczycielkami LO Sióstr Prezentek w Rzeszowie: mgr Małgorzatą Kawałek, mgr Magdaleną Walicką i mgr Agnieszką Wąsowską opracował dr Mariusz Kraus Rzeszów 17 X 2015