ZŁOŻOOŚĆ PROBLEMÓW ALGORYTMICZYCH Dolne górne oszacowana złożonośc problemu Złożoność każdego poprawnego algorytmu znajdującego rozwązane danego problemu ustanawa górne oszacowane złożonośc dla tego problemu. Czy można skonstruować algorytm o nższej złożonośc? Jeśl sę uda, to górne oszacowane złożonośc problemu zostaje poprawone. Dolne oszacowane złożonośc problemu (otrzymane w wynku analzy samego problemu) określa zakres dalszej poprawy rzędu złożonośc algorytmów rozwązujących ten problem. Górne oszacowana dla złożonośc problemu P Algorytm najlepszy z możlwych ma złożoność równą złożonośc problemu Dolne oszacowana dla złożonośc problemu P ~ Algorytm dla problemu P o złożonośc O( ) Algorytm dla problemu P o złożonośc O( ) Złożoność czasowa właścwa problemow P (?) Dowód, że każdy algorytm będący rozwązanem problemu P ma złożoność co najmnej Θ( lg ) Dowód, że każdy algorytm będący rozwązanem problemu P ma złożoność co najmnej Θ() poprawa poprawa uścślene uścślene Jarosław Skorsk - BUDOWA AALIZA ALGORYTMÓW, WIT 00 r. Jarosław Skorsk - BUDOWA AALIZA ALGORYTMÓW, WIT 00 r. Problemy zamknęte luk algorytmczne Jeśl dysponujemy dla danego problemu algorytmem o złożonośc O(g()), to możemy powedzeć, że złożoność problemu wynos O(g()), bo na pewno ne jest wyższego rzędu nż g() algorytm daje górne oszacowane, a notacja O( ) ma dokładne tak sam sens oszacowana od góry. Jeśl górne dolne oszacowana złożonośc problemu algorytmcznego spotkają sę w klase złożonośc tego samego rzędu, to możemy stwerdzć, że złożoność problemu wynos dokładne Θ(g()) tak problem nazywamy zamknętym (z punktu wdzena określana jego złożonośc). Jeśl dla problemu algorytmcznego najlepsze znane górne dolne oszacowana różną sę rzędem złożonośc, to taką sytuację nazywamy luką algorytmczną. problem Wyszukwane z lsty neuporządkowanej Wyszukwane z lsty uporządkowanej Sortowane (bez ogranczana wartośc) Wyznaczane najkrótszej sec kolejowej dolne oszacowane Θ() Θ(lg) Θ( lg) Θ() górne oszacowane O() O(lg) O( lg) O(s() ) ) ) s() - bardzo wolno rosnąca funkcja, np. dla = 000 ma wartość Wyszukwane z lsty, sortowane problemy zamknęte Wyznaczane najkrótszej sec kolejowej luka algorytmczna Jarosław Skorsk - BUDOWA AALIZA ALGORYTMÓW, WIT 00 r. Jarosław Skorsk - BUDOWA AALIZA ALGORYTMÓW, WIT 00 r. Przykład problem weż Hano Problem jest zamknęty (dolne ogranczene złożonośc = złożoność algorytmu rekurencyjnego lub teracyjnego) ma złożoność Θ( ). Podobno mns tybetańscy rozwązują ten problem w pewnym klasztorze dla = kedy skończą, to także nasz śwat sę skończy! ruch na sekundę czas wykonana ok. 8 88 7 lat mln ruchów na sekundę czas wykonana ok. 8 7 lat = 8 7 07 709 Przykład problem ułożena płaskej układank Algorytm ma rozstrzygać, czy stneje take ułożene kwadratu M x M z = M kafelków, które zachowuje zgodność kolorów na przyległych bokach? Zakładamy, że kafelków ne można obracać Jest to przykład tzw. problemu decyzyjnego problemu algorytmcznego, który polega na znalezenu prawdłowej odpowedz tak lub ne na postawone pytane (często jest to pytane o stnene rozwązana problemu) Jarosław Skorsk - BUDOWA AALIZA ALGORYTMÓW, WIT 00 r. Jarosław Skorsk - BUDOWA AALIZA ALGORYTMÓW, WIT 00 r.
W probleme ułożena płaskej układank występuje luka algorytmczna, a górne oszacowane jego złożonośc jest rzędu O(!), bo ne wymyślono lepszego algorytmu, jak tylko przeglądane wszystkch możlwych ułożeń, których jest właśne! Dla układank x oznacza to: mln układów na sekundę czas sprawdzena wynos ok. 9 89 990 lat! = 0 0 0 98 98 000 000 Wartośc wybranych funkcj złożonośc lg! 0 0 lg 8 8 99 00 00 0 000 90 000 000 000 000 0, mln (7 cyfr) 0 mld ( cyfr) 0 0 000 cyfrowa cyfrowa 8 cyfrowa 00 00 000 000 cyfrowa cyfrowa 0 cyfrowa 00 8 00 7 mln (8 cyfr) 9 cyfrowa cyfrowa 7 cyfrowa mld (0 cyfr) 0 cyfrowa 000 9 000 Jarosław Skorsk - BUDOWA AALIZA ALGORYTMÓW, WIT 00 r. 7 Jarosław Skorsk - BUDOWA AALIZA ALGORYTMÓW, WIT 00 r. 8 Dla porównana: lczba protonów w wdocznym wszechśwece ma cyfr, lczba mkrosekund od welkego wybuchu ma cyfry. Tempo wzrostu wybranych funkcj złożonośc Zapotrzebowane na czas (jeśl wykonane jednej operacj trwa mkrosekundę) 0 /0 000 /000,8 godzny 0 /00, blona lat 0 /00,7 lat 70 cyfrowa 00 /00 00 blonów stulec 8 cyfrowa 00 9/00 7 cyfrowa 78 cyfrowa (skala logarytmczna) Jarosław Skorsk - BUDOWA AALIZA ALGORYTMÓW, WIT 00 r. 9 Jarosław Skorsk - BUDOWA AALIZA ALGORYTMÓW, WIT 00 r. 0 f () jest (asymptotyczne) ogranczona z góry przez funkcję g(), jeśl 0 C 0 : f() C g() Jeśl f () p g(), to f () jest ogranczona z góry przez g() Funkcje złożonośc dzelmy generalne na: welomanowe, dla których stneje take k <, że są one ogranczone z góry przez funkcję k, ponadwelomanowe, dla których take k ne stneje (np. ). p lglgp lgp p p lgp p p lg p p! p p welomanowe ponadwelom. Dwe z klas problemów algorytmcznych:? PROBLEMY TRUDO ROZWIĄZYWALE PROBLEMY ŁATWO ROZWIĄZYWALE Sortowane e ma dla nch algorytmów welomanowych, są tylko ponadwelomanowe Znane są dla nch algorytmy welomanowe Algorytm welomanowy, to algorytm o złożonośc O( k ) dla k < Jarosław Skorsk - BUDOWA AALIZA ALGORYTMÓW, WIT 00 r. Jarosław Skorsk - BUDOWA AALIZA ALGORYTMÓW, WIT 00 r.
Jak sobe poradzć z problemem płaskej układank?. Może po prostu poczekać na zbudowane dostateczne szybkego komputera?. Może brak algorytmu welomanowego dla tego problemu wynka z braku wedzy nwencj u nformatyków?. Może udało by sę wykazać, że dolne oszacowane złożonośc dla tego problemu jest wykładncze stwerdzć, że problem jest za trudny?. Może jest on tak szczególnym przypadkem, że można go pomnąć, bo wszystke ważne problemy są łatwo rozwązywalne? Rozważmy. propozycję: złożonośc Maksymalny rozmar zadana, które dla którego można znaleźć rozwązane w godznę ajszybszy współczesny komputer Komputer 00 razy szybszy Komputer 000 razy szybszy K 0 K, K L L + L + 0 Jarosław Skorsk - BUDOWA AALIZA ALGORYTMÓW, WIT 00 r. Jarosław Skorsk - BUDOWA AALIZA ALGORYTMÓW, WIT 00 r. Rozważmy. propozycję: Układane płaskej układank należy do klasy problemów PC (P-zupełnych), która obejmuje ponad 000 problemów algorytmcznych o jednakowych cechach: dla wszystkch tych problemów stneją ponadwelomanowe algorytmy dla żadnego jak dotąd ne znalezono algorytmu welomanowego, czyl górne oszacowane złożonośc jest ponadwelomanowe (wykładncze) dla żadnego ne udowodnono, że ne może stneć dla nego algorytm welomanowy najlepsze wyznaczone dolne oszacowana złożonośc są lnowe, tzn. Θ() Zatem dla problemu płaskej układank pozostałych 000 problemów PC ne wadomo nawet czy są to problemy trudno, czy łatwo rozwązywalne! W welu dzedznach zastosowań nformatyk wcąż formułowane są nowe problemy, które okazują sę problemam PC. Przykłady problemów algorytmcznych z klasy PC (P-zupełnych) Inne płaske układank Jarosław Skorsk - BUDOWA AALIZA ALGORYTMÓW, WIT 00 r. Jarosław Skorsk - BUDOWA AALIZA ALGORYTMÓW, WIT 00 r. Problem komwojażera Problem polega na znajdowanu w sec połączeń pomędzy mastam najkrótszej drog zamknętej (cyklu), która pozwala odwedzć każde z mast powrócć do masta wyjścowego. Seć z podanym długoścam połączeń 7 9 8 0 7 Mnmalny cykl o długośc 8 W wersj decyzyjnej problem komwojażera polega na stwerdzanu czy stneje cykl o długośc ne wększej nż podana wartość L. Algorytmy rozwązywana problemu komwojażera mają duże znaczene np. przy: projektowanu sec telekomunkacyjnych, projektowanu układów scalonych, planowanu ln montażowych, programowanu robotów przemysłowych. Jarosław Skorsk - BUDOWA AALIZA ALGORYTMÓW, WIT 00 r. 7 Jarosław Skorsk - BUDOWA AALIZA ALGORYTMÓW, WIT 00 r. 8
Problem wyznaczana drog Hamltona Problem polega na sprawdzanu, czy w grafe stneje droga, która przez każdy werzchołek przechodz dokładne raz. W tym grafe ne stneje, ale po uzupełnenu grafu jedną krawędzą można ją wyznaczyć Problemy przydzału układana harmonogramu a przykład: ależy przydzelć prace do wykonana pracownkom z uwzględnenem różnych ogranczeń ależy wypełnć kontenery pojemnkam o różnych rozmarach ależy ułożyć plan zajęć dopasowujący nauczycel, klasy godzny lekcyjne w tak sposób, aby dwe klasy ne mały jednocześne zajęć z tym samym nauczycelem, nauczycel ne prowadzł w tym samym czase lekcj w dwóch różnych klasach, dwaj nauczycele ne prowadzl jednocześne lekcj w tej samej klase td. Jarosław Skorsk - BUDOWA AALIZA ALGORYTMÓW, WIT 00 r. 9 Jarosław Skorsk - BUDOWA AALIZA ALGORYTMÓW, WIT 00 r. 0 Problem spełnalnośc zdana logcznego Problem polega na algorytmcznym rozstrzyganu, czy stneje zestaw takch prostych zdań logcznych o określonych wartoścach prawda lub fałsz, które wstawone do podanego złożonego zdana logcznego, spowodują, że całe to zdane stane sę prawdzwe. p. zdane ( E F) ( F ( D E)) będze prawdzwe po wstawenu zdań o następujących wartoścach A zdane E PRAWDA, F FAŁSZ, D FAŁSZ (( D E) F ) ( F ( D E)) zatem jest spełnalne. ne jest spełnalne. Kolorowane mapy płaskej koloram lub szukane tzw. lczby chromatycznej grafu Problem polega na algorytmcznym rozstrzyganu, czy podana mapa może być pokolorowana koloram tak, aby sąsedne obszary ne mały tego samego koloru. dla kolorów problem jest łatwo rozwązywalny - wystarczy sprawdzć, czy mapa ne zawera punktów, w których styka sę neparzysta lczba obszarów, np. dla kolorów problem jest banalny, bo udowodnono twerdzene o czterech kolorach. Jarosław Skorsk - BUDOWA AALIZA ALGORYTMÓW, WIT 00 r. Jarosław Skorsk - BUDOWA AALIZA ALGORYTMÓW, WIT 00 r. Problem polega na algorytmcznym znajdowanu najmnejszej lczby kolorów, którym można pokolorować werzchołk podanego grafu tak, aby każde dwa werzchołk bezpośredno połączone krawędzą mały różne kolory. Łatwo można skonstruować graf wymagający dowolne dużej lczby kolorów: Klka - zbór werzchołków w grafe połączonych krawędzam każdy z każdym Problem załadunku plecaka Problem polega na algorytmcznym wyznaczanu takego upakowana podanych przedmotów do plecaka, aby łączna ch wartość była maksymalna, ale ne została przekroczona pojemnośc plecaka. Dane wejścowe: dla ponumerowanych przedmotów,,..., są podane ch wartośc c, c,..., c objętośc a, a,..., a oraz podana jest objętość plecaka b zachodz b < a =,..., ależy wyznaczyć wartość zmennych decyzyjnych x, x,..., x, dla kórych x = oznacza zapakowane przedmotu o numerze, a x = 0 pomnęce tego przedmotu, tak aby były spełnone warunk: max c x a x b =,..., =,..., Jarosław Skorsk - BUDOWA AALIZA ALGORYTMÓW, WIT 00 r. Jarosław Skorsk - BUDOWA AALIZA ALGORYTMÓW, WIT 00 r.
W wersj decyzyjnej problem polega na rozstrzyganu, czy dla podanej wartośc T stneje take upakowane plecaka, w którym: c x T a x b =,..., =,..., zł Plecak zapakowany optymalne: 9 zł 7 zł plecak b 7 zł a c Rozwązane optymalne: x = 0, x =, x =, x = zł Jarosław Skorsk - BUDOWA AALIZA ALGORYTMÓW, WIT 00 r.