MATEMATYKA - CYKL 5 GODZINNY. DATA : 8 czerwca 2009

Podobne dokumenty
MATEMATYKA CYKL 3 GODZINNY

FUNKCJA LINIOWA. A) B) C) D) Wskaż, dla którego funkcja liniowa określona wzorem jest stała. A) B) C) D)

11. Znajdż równanie prostej prostopadłej do prostej k i przechodzącej przez punkt A = (2;2).

Badanie funkcji. Zad. 1: 2 3 Funkcja f jest określona wzorem f( x) = +

Geometria analityczna

ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska. 2 3x. 2. Sformułuj odpowiedź.

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO

Matematyka. dla. Egzamin. Czas pracy będzie

Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11

Prosta i płaszczyzna w przestrzeni

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO

Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna

POWTÓRKA ROZDZIAŁU III FUNKCJA LINIOWA

Zestaw Obliczyć objętość równoległościanu zbudowanego na wektorach m, n, p jeśli wiadomo, że objętość równoległościanu zbudowanego na wektorach:

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA

Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze

GEOMETRIA ANALITYCZNA. Poziom podstawowy

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA

Geometria analityczna

Za rozwiązanie wszystkich zadań można otrzymać łącznie 45 punktów.

I Liceum Ogólnokształcące w Warszawie

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

1. Oblicz miarę kąta wpisanego i środkowego opartych na tym samym łuku równym 1/10 długości okręgu. 2. Wyznacz kąty x i y. Odpowiedź uzasadnij.

I. Funkcja kwadratowa

Zad. 8(3pkt) Na podstawie definicji wykaż, że funkcja y=

Tematy: zadania tematyczne

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

Geometria analityczna

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

ODLEGŁOŚĆ NA PŁASZCZYŹNIE - SPRAWDZIAN

UZUPEŁNIA ZDAJĄCY miejsce na naklejkę

Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

FUNKCJA LINIOWA. Zadanie 1. (1 pkt) Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu pewnej funkcji liniowej y = ax + b.

KLASA II TECHNIKUM POZIOM PODSTAWOWY PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

A. fałszywa dla każdej liczby x.b. prawdziwa dla C. prawdziwa dla D. prawdziwa dla

Czas pracy 170 minut

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY 5 MAJA Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

Równania prostych i krzywych; współrzędne punktu

I. Funkcja kwadratowa

Indukcja matematyczna

MATEMATYKA II. znaleźć f(g(x)) i g(f(x)).

KORESPONDENCYJNY KURS Z MATEMATYKI. PRACA KONTROLNA nr 1

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

Funkcja liniowa - podsumowanie

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 6.

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE

FUNKCJE I RÓWNANIA KWADRATOWE. Lekcja 78. Pojęcie i wykres funkcji kwadratowej str

Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ

Repetytorium z matematyki ćwiczenia

Skrypt 23. Geometria analityczna. Opracowanie L7

ZESTAW PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ Z MATEMATYKI ZAKRES ROZSZERZONY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

PRÓBNY ARKUSZ MATURALNY Z MATEMATYKI

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2018 poziom podstawowy M A T E M A T Y K A 14 MARCA Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut

1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 14 stron (zadania ). Ewentualny brak zgłoś przewodniczącemu zespołu nadzorującego egzamin.

9. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

PRZYKŁADY ZADAŃ MATURALNYCH Z MATEMATYKI NA POSZCZEGÓLNE STANDARDY DLA WYBRANYCH TREŚCI PROGRAMOWYCH Z POZIOMU PODSTAWOWEGO I ROZSZERZONEGO

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI

Nazwisko i imię.. PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI poziom rozszerzony

ARKUSZ DIAGNOSTYCZNY Z MATEMATYKI

WYMAGANIA Z WIEDZY I UMIEJĘTNOŚCI NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE DLA KLASY CZWARTEJ H. zakres rozszerzony. Wiadomości i umiejętności

Skrypt 10. Funkcja liniowa. Opracowanie L Równanie pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi.

FUNKCJA LINIOWA, OKRĘGI

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY PRZYKŁADOWY ZESTAW ZADAŃ NR 2. Czas pracy 120 minut

postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany: y = 0,5x 2. Podaj określenie ciągu arytmetycznego. Dany jest ciąg a n

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:

Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2017 poziom podstawowy M A T E M A T Y K A 28 LUTEGO Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut

? 14. Dana jest funkcja. Naszkicuj jej wykres. Dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości dodatnie? 15. Dana jest funkcja f x 2 a x

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

M10. Własności funkcji liniowej

Matematyka licea ogólnokształcące, technika

Czas pracy 170 minut

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA

Zad. 1 Liczba jest równa A B C D. Zad. 2 Liczba log16 jest równa A 3log2 + log8 B log4 + 2log3 C 3log4 log4 D log20 log4

Transkrypt:

MATURA EUROPEJSKA 2009 MATEMATYKA - CYKL 5 GODZINNY DATA : 8 czerwca 2009 CZAS TRWANIA EGZAMINU: 4 godziny (240 minut) DOZWOLONE POMOCE : Europejski zestaw wzorów Kalkulator (bez grafiki, bez możliwości programowania) UWAGI : Należy rozwiązać 4 zadania obowiązkowe. Należy wskazać dwa zadania wybrane do rozwiązania spośród trzech zadań do wyboru, zaznaczając krzyżykiem właściwe miejsce na dołączonym formularzu. Rozwiązanie każdego zadania należy zapisać na osobnej kartce. Strona 1/8

ZADANIE OBOWIĄZKOWE 1. ANALIZA Dana jest funkcja f określona wzorem : x f( x) xe, x 0. Poniższy rysunek przedstawia wykres funkcji f i prostą przechodzącą przez punkty O i A, gdzie A jest punktem wykresu, w którym funkcja f osiąga maksimum. a) i. Oblicz współrzędne punktu A. ii. Pokaż, że prosta przechodząca przez punkty O i A ma równanie x y. e b) Oblicz pole powierzchni zacieniowanego obszaru. 6 punktów Strona 2/8

ZADANIE OBOWIĄZKOWE 2. ANALIZA Jeden z uczniów zajmuje się badaniem wzrostu populacji pewnych bakterii. Proponuje on przedstawić ten wzrost za pomocą następującego równania różniczkowego: dn dt 0, 25 Nt, gdzie t jest czasem w minutach, jaki upłynął od początku eksperymentu, a N jest liczbą bakterii w chwili t. Realizujemy teraz doświadczenie z początkową liczbą bakterii równą 5000. a) Wyznacz rozwiązanie tego równania różniczkowego przedstawiając N jako funkcję t. b) i. Oblicz liczbę bakterii obecną w doświadczeniu po 4 minutach. ii. Oblicz czas potrzebny do otrzymania liczby bakterii równej 50 000. 6 punktów Strona 3/8

ZADANIE OBOWIĄZKOWE 3. GEOMETRIA W przestrzeni trójwymiarowej, z prostokątnym układem współrzędnych, dana jest płaszczyzna : 4x 3y 12. a) i. Oblicz współrzędne punktów przecięcia płaszczyzny z osiami układu współrzędnych. ii. Przedstaw, w postaci układu równań parametrycznych, prostą będącą częścią wspólną płaszczyzny i płaszczyzny (Oxy). b) i. Oblicz współrzędne punktu P symetrycznego do początku układu O względem płaszczyzny. ii. Napisz równanie ogólne każdej z płaszczyzn równoległych do, których odległość od płaszczyzny jest równa 4. Strona 4/8

ZADANIE OBOWIĄZKOWE 4. PRAWDOPODOBIEŃSTWO W pewnej fabryce zainstalowano system alarmowy, który włącza się natychmiast w momencie wystąpienia awarii w cyklu produkcyjnym. Jeśli alarm się włączy cała produkcja zostaje zatrzymana na resztę dnia. Zdarza się też, że system alarmowy nie działa poprawnie. Wiadomo, że w przypadkowo wybranym dniu : prawdopodobieństwo, że alarm włączy się mimo, że awaria nie nastąpiła jest równe 0,02; prawdopodobieństwo, że alarm nie zadziała mimo, że awaria nastąpiła jest równe 0,2. Wiadomo też, że prawdopodobieństwo wystąpienia awarii w określonym dniu jest równe 0,01. a) i. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że w określonym dniu wystąpi awaria i włączy się alarm. ii. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że w określonym dniu włączy się alarm. b) i. Wiadomo, że alarm włączył się. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że rzeczywiście wystąpiła awaria? ii. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że alarm włączy się dokładnie w dwóch dniach spośród siedmiu? Strona 5/8

ZADANIE DO WYBORU I. ANALIZA Dana jest funkcja f określona wzorem : 3x ln x gdy 0 x 1 f( x) 1 3x ln x gdy x 1 Niech krzywa F będzie wykresem funkcji f w prostokątnym układzie współrzędnych. a) Uzasadnij, że funkcja f jest ciągła i różniczkowalna w punkcie x 1. b) Zbadaj funkcję f wyznaczając jej miejsce zerowe, obliczając współrzędne punktów, w których funkcja osiąga ekstremum i precyzując rodzaj tych ekstremów oraz obliczając granice f ( x ) dla x i dla x 0. 6 punktów c) Naszkicuj krzywą F. d) Napisz równanie stycznej do F w punkcie przecięcia wykresu z osią Ox. e) i. Wyznacz pole A k obszaru ograniczonego przez F, oś Ox i proste o równaniach x k 0 k 1 oraz x 1. ii. Oblicz A lim A( k). k 0 f) i. Wyznacz pole B( p ) obszaru ograniczonego przez F, oś Ox i proste o równaniach x 1 oraz x p ( p 1). ii. Wyznacz wartość p tak, aby B( p) A. Strona 6/8

ZADANIE DO WYBORU II. PRAWDOPODOBIEŃSTWO Pewien zakład produkuje zabawki. Część zabawek może posiadać wady produkcyjne. Jedna wada dotyczy koloru zabawki, a druga kształtu. Obie wady występują niezależnie jedna od drugiej. W doświadczeniu polegającym wylosowaniu jednej zabawki określamy następujące zdarzenia : A: zabawka ma wadę koloru, B: zabawka ma wadę kształtu, C: zabawka ma przynajmniej jedną z tych dwóch wad. P A 0, i P B 0, 041. Wiadomo, że 052 a) Oblicz PA ( B). b) Oblicz PC ( ). Dla poniższych zadań c) i d) przyjmujemy, iż prawdopodobieństwo, że losowo wybrana zabawka ma przynajmniej jedną z wymienionych wad jest równe 0,09. Zabawki są wybierane losowo i pakowane do pudełek. c) Pewien sklep zakupuje pudełka, z których każde zawiera po 60 zabawek. Niech X będzie zmienną losową, która opisuje liczbę tych zabawek z jednego pudełka, które mają przynajmniej jedną z wymienionych wad. i. Określ typ rozkładu zmiennej losowej X podając wartości parametrów tego rozkładu. 1 punkt ii. Oblicz PX ( 5). iii. Dokonujemy przybliżenia rozkładu zmiennej losowej X według rozkładu Poissona. Oblicz parametr tego rozkładu. iv. Wykorzystując to przybliżenie Poissona oblicz prawdopodobieństwo, że przypadkowo wybrane pudełko zawiera mniej niż 3 zabawki mające przynajmniej jedną z dwóch wymienionych wcześniej wad. 1 punkt d) Inny sklep zakupuje pudła, z których każde zawiera po 500 zabawek. Niech Y będzie zmienną losową, która opisuje liczbę tych zabawek z jednego pudła, które mają przynajmniej jedną z wymienionych wad. i. Uzasadnij użycie rozkładu normalnego jako przybliżenia dla rozkładu zmiennej losowej Y i podaj wartości parametrów tego rozkładu. ii. Oblicz PY ( 50). iii. Oblicz P(20 Y 30). Strona 7/8

ZADANIE DO WYBORU III. GEOMETRIA W przestrzeni trójwymiarowej, z prostokątnym układem współrzędnych, dane są: punkty : P(0, 1,1) i Q(3,0, 3), prosta d : x 2t y t z 2 2t, t R, sfera S : 2 2 2 x y z 2x 2y 2z 6 0 i płaszczyzna : 2x y 4 0. a) Punkt P leży w płaszczyźnie, która zawiera też prostą d. Pokaż, że równanie x 2y 2z 4 0 jest równaniem płaszczyzny. b) Wyznacz współrzędne środka C i promień R sfery S. c) Napisz równanie każdej z dwóch sfer o promieniu r 3 stycznej do płaszczyzny w punkcie P. Sprawdź, że jedną z tych sfer jest S. 6 punktów d) Sprawdź, że płaszczyzny i są wzajemnie do siebie prostopadłe. e) Płaszczyzna przecina sferę S wzdłuż okręgu K. Oblicz współrzędne środka okręgu K i jego promień. f) i. Uzasadnij, że punkt Q należy do sfery S. ii. Prosta m jest styczna do sfery S w punkcie Q i przecina prostą d. Przedstaw prostą m w postaci układu równań parametrycznych. 5 punktów 1 punkt 5 punktów Strona 8/8