æ Inżynieria Finansowa Egzamin Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 28 stycznia 2003 roku Uwagi i zasady 1. Rozwiązania zadań rachunkowych muszą zawierać objaśnienia do wykonywanych obliczeń pokazujące i uzasadniające przyjęty sposób rozwiązywania. Za brak objaśnień będą odejmowane punkty, w skrajnych przypadkach wszystkie. 2. Każde zadanie proszę napisać na osobnej i podpisanej kartce. 3. Proszę pisać wyraźnie! 4. Nie wolno ściągać. Osoby przyłapane na ściąganiu zostaną usunięte z egzaminu z oceną niedostateczną. 5. Osoby, które chcą otrzymać informację o wyniku egzaminu pocztą elektroniczną, proszę o podanie adresu (czytelnie!). Zadanie 1. (a) Dane są następujące wielkości: sześcio-miesięczna stopa depozytowa wynosi 6%, kwotowania kontraktów FRA na przyszłą stopę procentową wynoszą FRA6x12-6.2%, FRA12x18-6.3%, stopa dwuletniego kontraktu IRS wynosi 6.5%, ceny obligacji zerokuponowych, które zapadają za dwa i pół roku oraz za trzy lata, wynoszą odpowiednio B(2 1 2Y ) = 85 oraz B(3Y ) = 82.5. Wyznacz wartości czynników dyskontowych dla okresów czasu będących wielokrotnościami sześcio-miesięcznych okresów do trzech lat włącznie. W obliczeniach, dla uproszczenia, n przyjmij, że długość n-miesięcznego okresu czasu (n = 6, 12, 18, 24, 30, 36) wynosi 12 lat. (b) Rozpatrzmy jednowalutowy kontrakt wymiany procentowej typu fixed/float ze zmiennym nominałem o czasie trwania 3 lata. W trakcie trwania kontraktu nominał kontraktu jest redukowany o 20% początkowej wartości (tj. wartości w chwili zawarcia) po każdym rocznym okresie odsetkowym. Odsetki po stronie stałej (fixed leg) są płacone co roku, a po stronie zmiennej (float leg) co pół roku. Przy danych rynkowych podanych w punkcie (a) wyceń ten kontrakt, tzn. oblicz stopę stałej strony kontraktu, przy której wartość tego kontraktu w chwili zawarcia wynosi zero. Zadanie 2. Rozpatrzmy opcję amerykańską put na kurs wymiany S [PLN/USD] o czasie trwania 9 miesięcy, cenie wykonania 4.50 PLN/USD, i o nominale 1 000 000 USD. Wyceń tę opcję na trzy-okresowym drzewie dwumianowym przy następujących danych: bieżący kurs wymiany wynosi 4.00 PLN/USD, zmienność kursu wymiany w rozpatrywanym okresie wynosi 25%, ceny amerykańskich bonów skarbowych wynoszą odpowiednio
B USD (3M) = 99.00, B USD (6M) = 96.03, oraz B USD (9M) = 91.23, ceny polskich bonów skarbowych wynoszą odpowiednio B PLN (3M) = 97.00, B PLN (6M) = 92.15, oraz B PLN (9M) = 84.78. W obliczeniach, dla uproszczenia, przyjmij, że 3M = 1 4 roku, 6M = 1 2 roku, oraz 9M = 3 4 roku. Zadanie 3. Załóżmy, że proces S(t), który opisuje ceny akcji niepłacącej dywidendy, spełnia w świecie wolnym od ryzyka równanie ds = rsdt + σsdw t. Zakładamy, że r - stopa wolna od ryzyka, oraz σ - zmienność akcji, są stałe. (a) Znajdź równanie, które w świecie wolnym od ryzyka spełnia proces S (α) (t) = (S(t)) α, gdzie α > 0. (b) Wyprowadź wzór na wycenę opcji europejskiej, której wypłata w chwili wygaśnięcia T wynosi max(s (α) (T ) K α, 0). Przy wyprowadzaniu wzoru możesz wykorzystać znane Ci formuły Blacka-Scholesa na wycenę opcji europejskich. Zadanie 4. Rozpatrzmy binarne opcje europejskie call: o funkcji wypłaty H(S(T ) K), put: o funkcji wypłaty H(K S(T )), gdzie K jest ceną wykonania, a H jest funkcją Heaviside a (H(x) = 1 gdy x 0, oraz H(x) = 0 gdy x < 0). (a) Wyprowadź tzw. parytet call-put dla opcji binarnych, czyli związek pomiędzy ceną opcji call oraz ceną opcji put. (b) Przy założeniach identycznych jak przy dowodzie formuł Blacka-Scholesa na cenę waniliowych (tzn. prostych, klasycznych) opcji, wyprowadź wzór na cenę binarnej opcji europejskiej call. Przyjmij następujące oznaczenia: T - czas trwania opcji, r - stopa wolna od ryzyka, σ - zmienność akcji. Wypisz dokładnie założenia przy których przeprowadzasz wyprowadzenie wzoru na cenę opcji. Wypisując wzór zastosuj notację analogiczną do przyjętej w standardowych formułach Blacka-Scholesa.
æ Inżynieria Finansowa Rozwiązania Zadań z Egzaminu 18 lutego 2003 roku Zadanie 1. (a) Dane są następujące wielkości: sześcio-miesięczna stopa depozytowa wynosi 6.00%, kwotowania kontraktów FRA na przyszłą stopę procentową wynoszą FRA6x12-6.20%, FRA12x18-6.30%, stopa dwuletniego kontraktu IRS wynosi 6.50%, ceny obligacji zerokuponowych, które zapadają za dwa i pół roku oraz za trzy lata, wynoszą odpowiednio B(2 1 2Y ) = 85.00 oraz B(3Y ) = 82.50. Wyznacz wartości czynników dyskontowych dla okresów czasu będących wielokrotnościami sześcio-miesięcznych okresów do trzech lat włącznie. W obliczeniach, dla uproszczenia, n przyjmij, że długość n-miesięcznego okresu czasu (n = 6, 12, 18, 24, 30, 36) wynosi 12 lat. (b) Rozpatrzmy jednowalutowy kontrakt wymiany procentowej typu fixed/float ze zmiennym nominałem o czasie trwania 3 lata. W trakcie trwania kontraktu nominał kontraktu jest redukowany o 20% początkowej wartości (tj. wartości w chwili zawarcia) po każdym rocznym okresie odsetkowym. Odsetki po stronie stałej (fixed leg) są płacone co roku, a po stronie zmiennej (float leg) co pół roku. Przy danych rynkowych podanych w punkcie (a) wyceń ten kontrakt, tzn. oblicz stopę stałej strony kontraktu, przy której wartość tego kontraktu w chwili zawarcia wynosi zero. Rozwiązanie (a) Czynniki dyskontowe ze stawki Depo: DF ( 1 2 Y ) = 1 1 + R depo ( 1 2 Y ) 1 2 = 1 1 + 0.06 1 2 = 0.970873786. z FRA: oraz DF (1Y ) = DF ( 1 2 Y ) 1 + R FRA6x12 1 2 DF (1 1 2 Y ) = DF (1Y ) 1 + R FRA12x18 1 2 = 0.970873786 1 + 0.062 1 2 = 0.941681655 1 + 0.063 1 2 = 0.941681655, = 0.912924532. z IRS (przy założeniu że IRS płaci roczne odsetki po nodze stałej): Korzystając z warunku NP V (noga zmienna) = NP V (noga stała), który przybiera w naszym przypadku postać 1 DF (2Y ) = R IRS DF (1Y ) 1 + R IRS DF (2Y ) 1,
otrzymujemy DF (2Y ) = 1 R IRSDF (1Y ) 1 1 + R IRS 1 = 1 0.941681655 0.065 1 1 + 0.065 1 = 0.881493608. Gdyby przyjąć, że IRS płaci stałe odsetki co pół roku, zasada obliczania DF (2Y ) jest analogiczna tyle że mamy więcej rachunków. z obligacji zerokuponowych DF (2 1 2 Y ) = B(21 Y )/100 = 0.85 oraz DF (3Y ) = B(3Y )/100 = 0.825. 2 (b) Będą nam potrzebne 6M stopy forward F ( k 2 2 Y ) gdzie k = 1, 2,..., 5, bo nasz 3Y IRS (ze zmiennym nominałem) po stronie zmiennej płaci odsetki co pół roku. Dla pierwszego 6M okresu stopa odsetek jest już ustalona i jest to dana 6M stopa depozytowa. Dla dwóch następnych okresów są to podane stopy kontraktów FRA: Y, k+1 F ( 1 2 Y, 1Y ) = R FRA6x12 oraz F (1Y, 1 1 2 Y ) = R FRA12x18. Dla pozostałych trzech 6M okresów od k 2 wyznaczamy z wzoru ( F ( k 2 Y, k + 1 DF ( k 2 Y ) = Y ) ) 2 DF ( k+1 2 Y ) 1 /( 1 2 ). k+1 Y do 2 Y, gdzie k = 3, 4, 5, stopy forward Po obliczeniach F ( 3 2 Y, 2Y ) = 0.071312881, F (2Y, 5 2 Y ) = 0.074102607, oraz F ( 5 2Y, 3Y ) = 0.060606061. Nominał kontraktu zmienia się w czasie trwania kontraktu: w pierwszym roku wynosi 1, w drugim 0.80, a w trzecim 0.60. Niech R oznacza szukaną stopę kontraktu IRS. Płatności nogi stałej wynoszą wtedy CF (1Y ) = R 1 1, CF (2Y ) = R 0.8 1, CF (3Y ) = R 0.6 1. Natomiast płatności nogi zmiennej wynoszą: w pierwszym roku CF ( 1 2 Y ) = R depo 1 1 2 = 0, 03 CF (1Y ) = R FRA6x12 1 1 2 = 0, 031, w drugim roku CF (1 1 2 Y ) = R FRA12x18 0.8 1 2 = 0, 0252, CF (2Y ) = F ( 3 2 Y, 2Y ) 0.8 1 = 0, 028525152 2
oraz w trzecim roku CF (2 1 2 Y ) = F (2Y, 5 2 Y ) 0.6 1 2 CF (3Y ) = F ( 5 2 Y, 3Y ) 0.6 1 2 = 0, 022230782, = 0, 018181818. NPV nogi zmiennej wynosi NP V (noga zmienna) = 6 CF ( k 2 Y ) DF (k 2 Y ) = 0.140364947. k=1 Warunek na stopę R to równość NPV nogi stałej i NPV nogi zmiennej. Stąd R = NP V (noga zmienna) DF (1Y ) + DF (2Y ) 0.8 + DF (3Y ) 0.6 = 0.140364947 2.141876541 = 0.065533631. Zadanie 2. Rozpatrzmy opcję amerykańską put na kurs wymiany S [PLN/USD] o czasie trwania 9 miesięcy, cenie wykonania 4.50 PLN/USD, i o nominale 1 000 000 USD. Wyceń tę opcję na trzy-okresowym drzewie dwumianowym przy następujących danych: bieżący kurs wymiany wynosi 4.00 PLN/USD, zmienność kursu wymiany w rozpatrywanym okresie wynosi 25%, ceny amerykańskich bonów skarbowych wynoszą odpowiednio B USD (3M) = 99.00, B USD (6M) = 96.03, oraz B USD (9M) = 91.23, ceny polskich bonów skarbowych wynoszą odpowiednio B PLN (3M) = 97.00, B PLN (6M) = 92.15, oraz B PLN (9M) = 84.78. W obliczeniach, dla uproszczenia, przyjmij, że 3M = 1 4 roku, 6M = 1 2 roku, oraz 9M = 3 4 roku. Rozwiązanie Jest to prawie standardowe zadanie na wycenę na drzewie dwumianowym. Prawie, bo jedynym odstępstwem od standardu jest to, że stopy procentowe nie są stałe w czasie trwania instrumentu pochodnego (sprawdzić to!). Wybieramy wariant, w którym, mimo że w każdym 3M okresie stopy procentowe są różne, drzewo będzie się rekombinować. W naszym przypadku, drzewo będzie się rekombinować jeśli współczynniki U i D określimy w następujący sposób U = exp(+σ t) oraz D = exp( σ t), bowiem wtedy U D = 1. W powyższym wzorze t = 1 4 obliczeniach otrzymujemy jest długością 3M okresu. Po U = exp(+0.25 0.25) = 1.133148453 oraz D = 1/U = 0.882496903.
Niestety, ponieważ stopy procentowe są różne w poszczególnych 3M okresach, prawdopodobieństwa martyngałowe dla tych okresów będą różne. I tak, w pierwszym 3M okresie prawdopodobieństwo matrygnałowe wynosi p 1 = e(r PLN r USD ) t D U D = B USD (3M) B PLN (3M) D U D = 0.551050468. w drugim 3M okresie prawdopodobieństwo matrygnałowe wynosi ( ) p 2 = e f PLN (3M,6M) f USD (3M,6M) t DF USD (3M,6M) D DF = PLN (3M,6M) D, U D U D gdzie f PLN (3M, 6M) oraz f USD (3M, 6M) są stopami forward na drugi okres, tzn. od 3M do 6M. Tych stóp nie będziemy wyliczać. Jak widać z powyższego wzoru wystarczy obliczyć czynniki, które dyskontują z chwili 6M do chwili 3M (czynnik dla PLN i tak będzie nam potrzebny przy wycenie opcji!) Wówczas, po obliczeniach, otrzymamy DF USD (3M, 6M) = B USD(6M) B USD (3M) = 96.03 99.00 = 0.97, DF PLN (3M, 6M) = B PLN(6M) B PLN (3M) = 92.15 97.00 = 0.95. p 2 = 0.552782254. w trzecim 3M okresie prawdopodobieństwo matrygnałowe wynosi ( ) p 3 = e f PLN (6M,9M) f USD (6M,9M) t DF USD (6M,9M) D DF = PLN (6M,9M) D, U D U D gdzie f PLN (6M, 6M) oraz f USD (3M, 6M) są stopami forward na trzeci okres, tzn. od 6M do 9M. Czynniki, które dyskontują z chwili 9M do chwili 6M, wynoszą DF USD (6M, 9M) = B USD(9M) B USD (6M) = 91.23 96.03 = 0.95001562, DF PLN (6M, 9M) = B PLN(9M) B PLN (6M) = 84.78 92.15 = 0.920021704. Wówczas, po obliczeniach, otrzymamy p 3 = 0.598856903. Mamy już wszelkie dane by utworzyć proces cen na drzewie i wycenić na nim opcję. Najpierw wyznaczamy kursy wymiany na drzewie posuwając się od chwili t = 0 to t = 9M,
po czym opcję wyceniany od końca, tzn. cofając się od chwili t = 9M do t = 0. Opiszemy dokładnie tylko wycenę opcji zakładając że proces kursów już wyznaczyliśmy, tzn. będziemy się tylko cofać. w t = 9M kursy wymiany wynoszą (w zależności od stanu ) S(9M, 3) = S U 3 = 5.819965658, S(9M, 2) = S U 2 D = 4.532593812, S(9M, 1) = S UD 2 = 3.52998761, S(9M, 0) = S D 3 = 2.749157115. Wówczas wypłaty z opcji wynoszą (= max(k S, 0), gdzie K = 4.5 PLN/USD) V (9M, 3) = 0, V (9M, 2) = 0, V (9M, 1) = 0.97001239, V (9M, 0) = 1.750842885. w t = 6M kursy wymiany wynoszą a wypłaty z opcji wynoszą S(6M, 2) = S U 2 = 5.136101667, S(6M, 1) = S UD = 4, S(6M, 0) = S D 2 = 3.115203132, V (6M, 2) = 0, V (6M, 1) = 0.5, V (6M, 0) = 1.384796868. Z drugiej strony zdyskontowane do t = 6M wartości oczekiwane wypłat opcji w t = 9M wynoszą, odpowiednio P (6M, 2) = DF PLN (6M, 9M) ( p 3 V (9M, 3) + (1 p 3 ) V (9M, 2) ) = 0, P (6M, 1) = DF PLN (6M, 9M) ( p 3 V (9M, 2) + (1 p 3 ) V (9M, 1) ) = 0.357993117, P (6M, 0) = DF PLN (6M, 9M) ( p 3 V (9M, 1) + (1 p 3 ) V (9M, 0) ) = 1.180606031. Opcja jest amerykańska, więc sprawdzamy czy optymalne jest jej wykonanie. Oznacza to, że porównujemy wartość z wypłaty V (6M, ) z P (6M, ) Zatem wartości tej opcji, równe max ( V (6M, ), P (6M, ) ), w t = 6M wynoszą P (6M, 2) = 0, P (6M, 1) = 0.5, P (6M, 0) = 1.384796868. w t = 3M kursy wymiany wynoszą S(3M, 1) = S U = 4.532593812, S(3M, 0) = S D = 3.52998761, a wypłaty z opcji wynoszą V (3M, 1) = 0, V (3M, 0) = 0.97001239.
Z drugiej strony zdyskontowane do t = 3M wartości oczekiwane wartości opcji w t = 6M wynoszą, odpowiednio P (3M, 1) = DF PLN (3M, 6M) ( p 2 P (6M, 2) + (1 p 2 ) P (6M, 1) ) = 0.212428429, P (3M, 0) = DF PLN (3M, 6M) ( p 2 P (6M, 1) + (1 p 2 ) P (6M, 0) ) = 0.850912018. Zatem wartości tej opcji, równe max ( V (3M, ), P (3M, ) ), w t = 3M wynoszą W końcu jesteśmy w t = 0. Wypłata z opcji wynosi P (3M, 1) = 0.212428429, P (3M, 0) = 0.97001239. V (0, 0) = 0.5. Z drugiej strony zdyskontowana do t = 0 wartość oczekiwana wartości opcji w t = 3M wynosi P (0, 0) = DF PLN (3M) ( p 1 P (3M, 1) + (1 p 1 ) P (3M, 0) ) = 0.535969032 Zatem wartość tej opcji, równa max ( V (0, 0), P (0, 0) ), w t = 0 wynosi P (0, 0) = 0.535969032. Obliczyliśmy cenę opcji za 1 USD (w jednostkach PLN/USD). Opcja ma nominał 1 000 000 USD. Zatem cena opcji o takim nominale wynosi P = 1 000 000 USD 0.535969032 PLN/USD = 535 969.03 PLN. Zadanie 3. Załóżmy, że proces S(t), który opisuje ceny akcji niepłacącej dywidendy, spełnia równanie ds = µsdt + σsdw t. Zakładamy, że r - stopa wolna od ryzyka, µ - współczynnik dryfu akcji, oraz σ - zmienność akcji, są stałe. (a) Znajdź równanie, które spełnia proces S (n) (t) = (S(t)) n, gdzie n 1. (b) Wyprowadź wzór na wycenę opcji europejskiej, której wypłata w chwili wygaśnięcia T wynosi max(s (n) (T ) K n, 0). Przy wyprowadzaniu wzoru możesz wykorzystać znane Ci formuły Blacka-Scholesa na wycenę opcji europejskich.
Rozwiązanie (a) Skorzystamy z wzoru Ito df = ( f t który w przypadku f(s) = S n, daje nam d(s n ) = f + µs S + 1 ) 2 σ2 S 2 2 f S 2 dt + σs f S dw t, ( 0 + µs ns n 1 + 1 2 σ2 S 2 n(n 1)S n 2) dt + σs ns n 1 dw t. Po uporządkowaniu i podstawieniu S (n) = S n, otrzymujemy następujące równanie d(s (n) ) = (nµ + 1 2 n(n 1)σ2 )S (n) dt + nσs (n) dw t. (b) Rachunek z punktu (a) możemy przeprowadzić w świecie wolnym od ryzyka. Wówczas, w powyższych równaniach zamiast stopy µ kładziemy stopę wolną od ryzyka r. W szczególności otrzymamy d(s (n) ) = (nr + 1 2 n(n 1)σ2 )S (n) dt + nσs (n) d W t, gdzie W t jest odpowiednio dobranym procesem Winera. Rozwiązanie tego równania w chwili czasu T ma postać ( (nr S (n) (T ) = S (n) 1 (0) exp + 2 n(n 1)σ2 1 ) 2 (nσ) 2 )T + nσ Wt. Podstawiając oraz ( ((n G 0 = S (n) 1 ) (0) exp 1)r + 2 n(n 1)σ2) T ˆσ = nσ, możemy zapisać to nasze rozwiązanie w postaci S (n) (T ) = G 0 exp ((r 1 2 ˆσ2 )T + ˆσ W ) t. Możemy więc potraktować naszą opcję jako opcję na proces G(t), który (w świecie wolnym od ryzyka) spełnia równanie dg = rgdt + ˆσGd W t, z warunkiem początkowym G(0) = G 0. Cena opcji call o cenie wykonania K n, której instrumentem podstawowym jest G(t), wynosi C = G(0)Φ(d 1 ) exp( rt )K n Φ(d 2 ),
gdzie oraz d 1 = ln (G(0)/Kn ) + (r + 1 2 ˆσ2 )T ˆσ T d 2 = d 1 ˆσ T. Teraz wystarczy wrócić do pierwotnych oznaczeń i zmiennych. Po wykonaniu podstawień i stosownych uproszczeń, otrzymamy następujący wzór na cenę potęgowej opcji call C = exp ( (n 1)(r + 1 2 nσ2 )T ) S n (0)Φ(d 1 ) exp( rt )K n Φ(d 2 ), gdzie wyrażenia na d 1 i d 2 mają następującą postać, oraz d 1 = ln (S(0)/K) + (r + (n 1 2 )σ2 )T σ T d 2 = d 1 nσ T = ln (S(0)/K) + (r 1 2 σ2 )T σ T,. Zadanie 4. Niech S(t) oznacza cenę akcji, która nie płaci dywidendy. Rozpatrzmy binarne opcje europejskie call: o funkcji wypłaty H(S(T ) K), put: o funkcji wypłaty H(K S(T )), gdzie K jest ceną wykonania, T jest czasem trwania opcji, a H oznacza funkcję Heaviside a (H(x) = 1 gdy x 0, oraz H(x) = 0 gdy x < 0). (a) Wyprowadź tzw. parytet call-put dla opcji binarnych, czyli związek pomiędzy ceną opcji call oraz ceną opcji put. (b) Przy założeniach identycznych jak przy dowodzie formuł Blacka-Scholesa na cenę waniliowych (tzn. prostych, klasycznych) opcji, wyprowadź wzór na cenę binarnej opcji europejskiej call. Przyjmij następujące oznaczenia: r - stopa wolna od ryzyka, σ - zmienność akcji. Wypisz dokładnie założenia przy których przeprowadzasz wyprowadzenie wzoru na cenę opcji. Wypisując wzór zastosuj notację analogiczną do przyjętej w standardowych formułach Blacka-Scholesa. Rozwiązanie (a) Rozpatrzmy portfel złożony z binarnej opcji call i binarnej opcji put. Z definicji tych opcji wynika, że wypłata z tego portfela w chwili T, niezależnie od wartości S(T ), wyniesie 1. Zatem dzisiejsza wartość tego portfela wynosi exp( rt ). Z drugiej strony dzisiejsza wartość tego portfela jest sumą dzisiejszych wartości obu opcji. Mamy zatem związek (parytet binarnych opcji call-put) C binary + P binary = exp( rt ).
(b) Zakładamy, że cena akcji S(t) spełnia (w świecie wolnym od ryzyka) równanie ds = rsdt + σsdw t. Zatem S(T ) = S(0) exp ((r 1 ) 2 σ2 )T + σw t. Zgodnie z zasadą wyceny innstrumentów pochodnych w świecie wolnym od ryzyka C binary = exp( rt )E(H(S(T ) K)) = exp( rt )E(1 S(T ) > K). Ale warunek S(T ) > K jest równoważny następującej nierówności W T > ln(k/s(0)) (r 1 2 σ2 )T σ gdzie jak pamiętamy W T N(0, T ). Proces W T możemy zapisać jako W T = T Z T, gdzie Z T N(0, 1). Tak więc, warunek wykonania opcji call zapiszemy jako, Z T > ln(k/s(0)) (r 1 2 σ2 )T σ T = d 2, gdzie standardowo Stąd d 2 = ln(s(0)/k) + (r 1 2 σ2 )T σ T C binary = exp( rt )E(1 Z T > d 2 ) = exp( rt )P(Z T > d 2 ) = exp( rt )P(Z T < d 2 ) = exp( rt )Φ(d 2 ), gdzie skorzystaliśmy z symetrii rozkładu N(0, 1), a Φ jest dystrybuantą rozkładu N(0, 1)..
æ Inżynieria Finansowa Egzamin Poprawkowy Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 4 marca 2003 roku Zasady i uwagi 1. Rozwiąż dowolnie wybrane zadania, takie by suma maksymalnej liczby punktów za te zadania wynosiła 30. Do oceny oddaj tylko te zadania! 2. Rozwiązania zadań rachunkowych muszą zawierać objaśnienia do wykonywanych obliczeń pokazujące i uzasadniające przyjęty sposób rozwiązywania. Za brak objaśnień będą odejmowane punkty, w skrajnych przypadkach wszystkie. 3. Każde zadanie proszę napisać na osobnej i podpisanej kartce. Proszę pisać wyraźnie! 4. Nie wolno ściągać. Osoby przyłapane na ściąganiu zostaną usunięte z egzaminu z oceną niedostateczną. 5. Osoby, które chcą otrzymać informację o wyniku egzaminu pocztą elektroniczną, proszę o podanie adresu (czytelnie!). 6. W obliczeniach, dla uproszczenia, przyjmij, że długość n-miesięcznego okresu czasu wynosi n 12 lat. Zadanie 1. (10 punktów) Rozpatrzmy dwa typy obligacji o zmiennym oprocentowaniu. Obligacja A - wypłaca co pół roku kupon, obliczany według referencyjnej 6M stopy rynkowej (wartość której jest ustalana przez rynek przed rozpoczęciem kolejnego okresu odsetkowego), oraz w terminie wykupu zwraca nominał. Obligacja B - półroczne kupony obliczane według referencyjnej 6M stopy rynkowej są kapitalizowane na końcu każdego okresu odsetkowego a skapitalizowana kwota odsetek jest wypłacana wraz z nominałem w terminie wykupu. Załóżmy, że 6M stopa rynkowa wynosiła 8 miesięcy temu: 10%, 5 miesięcy temu: 9%, 2 miesiące temu: 8%, oraz że aktualna cena (brudna) obligacji A, której bieżący okres odsetkowy zaczął się 5 miesięcy temu, wynosi 103.50, aktualna cena (brudna) obligacji B, której pierwszy okres odsetkowy zaczął się 8 miesięcy temu, wynosi 106.00. Oblicz aktualną stopę kontraktu FRA1x4 przy założeniu, że obie obligacje są sprawiedliwie wyceniane przez rynek. W s k a z ó w k a : Zastanów się jak teoretycznie (tj. z modelu) wyceniałbyś te obligacje. Brak informacji o terminie zapadalności tych obligacji nie jest przypadkowy. Zadanie 2. (10 punktów) Dane są następujące kwotowania kurs wymiany PLN/USD: 4.0000, punkty swapowe PLN/USD wynoszą dla 3M: 0.0250, oraz dla 6M: 0.0500,
PLN 3M Depo: 4.00%, PLN FRA3x6: 5.00%, USD FRA3x6: 2.00%. (a) Oblicz stopę 3M depozytu dolarowego przy założeniu, że w okresie 3M na rynku nie ma możliwości do arbitrażu. (b) Czy przy powyższych danych istnieją na rynku w okresie do 6M możliwości do arbitrażu? Jeśli tak, opisz strategię arbitrażową i oblicz dzisiejszą wartość wolnego od ryzyka zysku. Zadanie 3. (15 punktów) Wypłata opcji azjatyckiej call w chwili t T (T jest czasem wygaśnięcia opcji) wynosi gdzie K jest ceną wykonania a max(a(t) K, 0), A(t) = 1 n n S(t i ) jest dyskretną średnią arytmetyczną naliczoną do chwili t na podstawie wartości cen akcji w chwilach t 1 < t 2 <... < t n t. Jeśli t < t 1, to A(t) = 0. Ostatnia chwila czasu t N z której wartość ceny akcji jest uwzględniana do obliczenia średniej pokrywa się z czasem wygaśnięcia opcji T. Rozpatrzmy 9-cio miesięczną amerykańską opcję azjatycką call na akcję (niepłacącą dywidendy). Cena wykonania tej opcji wynosi K = 105 PLN. Dyskretna średnia arytmetyczna jest obliczana w chwilach t i = (3i)M, gdzie i = 0, 1, 2, 3. Wyceń tę opcję na trzy-okresowym drzewie dwumianowym przy następujących danych: bieżąca cena akcji wynosi 100 PLN, zmienność akcji wynosi 27.953%, 3M stopa procentowa wynosi 11.6%, stopa FRA3x6: 9.41%, stopa FRA6x9: 8.32%. Zadanie 4. (5 punktów) Rozpatrzmy opcje europejskie o czasie trwania T, które są w chwili bieżącej at-the-money forward, to znaczy takie których cena wykonania K i bieżąca cena akcji S spełniają warunek S = K exp( (r δ)t ), gdzie r jest stopą wolną od ryzyka, a δ stopą (ciągłej) dywidendy. Pokaż, że w tym przypadku ceny opcji call i put są takie same i wynoszą V = e δt S i=1 ( Φ ( 1 2 σ T ) Φ ( 1 ) 2 σ T ). Ponadto, pokaż, że dla małych wartości σ T, zachodzi przybliżony wzór V 0.4 e δt S σ T. W powyższych wzorach σ oznacza zmienność akcji, a Φ dystrybuantę rozkładu N(0, 1).
Zadanie 5. (5 punktów) Europejska opcja pay-later call jest opcją, której wypłata w chwili wygaśnięcia opcji T wynosi max(s(t ) K, 0), a jej posiadacz płaci wystawcy premię Q w chwili wygaśnięcia opcji tylko wtedy gdy S(T ) K. Wyznacz wartość premii Q.
4 marca 2003 Inżynieria Finansowa 1 æ Rozwiązania Zadań z Egzaminu Poprawkowego Zadanie 1. (10 punktów) Rozpatrzmy dwa typy obligacji o zmiennym oprocentowaniu. Obligacja A - wypłaca co pół roku kupon, obliczany według referencyjnej 6M stopy rynkowej (wartość której jest ustalana przez rynek przed rozpoczęciem kolejnego okresu odsetkowego), oraz w terminie wykupu zwraca nominał. Obligacja B - półroczne kupony obliczane według referencyjnej 6M stopy rynkowej są kapitalizowane (dopisywane do nominału) na końcu każdego okresu odsetkowego a skapitalizowana kwota odsetek jest wypłacana wraz z nominałem w terminie wykupu. (a) Wyprowadź wzory na teoretyczną cenę tych obligacji w chwili czasu leżącej wewnątrz okresów odsetkowych. Wzory doprowadź do postaci, które nie będą zawierały explicite stóp forward. (b) Załóżmy, że 6M stopa rynkowa wynosiła 8 miesięcy temu: 10%, 5 miesięcy temu: 9%, 2 miesiące temu: 8%, oraz że aktualna cena (brudna) obligacji A, której bieżący okres odsetkowy zaczął się 5 miesięcy temu, wynosi 103.50, aktualna cena (brudna) obligacji B, której pierwszy okres odsetkowy zaczął się 8 miesięcy temu, wynosi 106.00. Oblicz aktualną stopę kontraktu FRA1x4 przy założeniu, że obie obligacje są sprawiedliwie wyceniane przez rynek. W s k a z ó w k a : Brak informacji o terminie zapadalności tych obligacji nie jest przypadkowy. Rozwiązanie (a) Wycena teoretyczna obligacji Obligacja A Kupony zapłacone przez obligację nie mają wpływu na bieżącą cenę obligacji. Rozpatrzmy zatem tylko przyszłe płatności generowane przez obligację. Niech t 1 < t 2 <... < t M oznaczają terminy płatności; t 1 jest najbliższym terminem płatności, a t M terminem zapadalności w którym następuje wypłata kuponu i zwrot nominału. Przepływy pieniężne generowane przez taką obligację wyglądają następująco C(t 1 ) = R 1 1 N w chwili t 1, C(t 2 ) = F 2 2 N w chwili t 2,.. C(t M ) = F M M N + N w chwili t M, gdzie R 1 jest rynkową stopą procentową wartość, której została ustalona przez rynek tuż przed (zwykle dwa dni robocze) rozpoczęciem bieżącego okresu odsetkowego, a F i dla
4 marca 2003 Inżynieria Finansowa 2 i = 2,..., M są stopami, których wartości będą w przyszłości ustalone przez rynek. i oznaczają długości okresów odsetkowych. Wyceniając taką obligację za stopy F i bierze się bieżące stopy forward na kolejne okresy odsetkowe od t i 1 do t i. Stopy te spełniają warunek 1 DF (t i 1 ) (1 + F i i ) = 1 DF (t i ), gdzie DF (t) oznacza czynnik dyskontujący z chwili t do chwili bieżącej. Bieżąca cena takiej obligacji jest równa wartości bieżącej przepływów pieniężnych generowanych przez tą obligację M P A = C(t i )DF (t i ) i=1 = R 1 1 NDF (t 1 ) + N M F i i DF (t i ) + NDF (t M ). i=2 Ponieważ, jak łatwo wynika z warunku na stopy F i, F i i DF (t i ) = DF (t i 1 ) DF (t i ), wzór na cenę obligacji można znacznie uprościć. Mianowicie P A = R 1 1 NDF (t 1 ) + N M (DF (t i 1 ) DF (t i )) + NDF (t M ) i=2 = R 1 1 NDF (t 1 ) + NDF (t 1 ) = (1 + R 1 1 )NDF (t 1 ). Tak więc, wartość bieżąca strumienia przepływów generowanych przez tą obligację pokrywa się z wartością bieżącą pojedyńczego przepływu pieniężnego w wysokości który następuje w chwili t 1, to znaczy N + R 1 1 N, P A = (1 + R 1 1 )NDF (t 1 ). Inne, być może bardziej objaśniające, wyprowadzenie powyższego wzoru na wycenę takiej obligacji jest następujące. Obliczamy kolejno zdyskontowane do chwil t i, gdzie i = M 1,..., 1, wartości (przyszłych w stosunku do t i ) przepływów pieniężnych tej obligacji. Przepływ pieniężny tej obligacji następujący w chwili t M wynosi (1 + F M M )N. Zdyskontowana do t M 1 wartość tego przepływu wynosi N, bowiem czynnik dyskontowy za okres od t M 1 do t M jest równy 1/(1 + F M M ). Podobnie, dyskontowana do t M 2 wartość przepływów:
4 marca 2003 Inżynieria Finansowa 3 F M 1 M 1 N następującego w t M 1, oraz (1 + F M M )N następującego w t M, również wynosi N, bowiem 1 ( F M 1 M 1 N + 1 + F M 1 M 1 1 (F M 1 M 1 + 1) N = N. 1 + F M 1 M 1 ) 1 (1 + F M M ) N = 1 + F M M Postępując dalej w analogiczny sposób pokazujemy, że zdyskontowana do chwili t 1 wartość przyszłych w stosunku do t 1 przepływów pieniężnych tej obligacji wynosi N. Ta wartość w połączeniu z kuponem R 1 1 N płatnym w t 1 daje nam przepływ, którego wartość bieżąca jest ceną obligacji. Uwaga: Z powyższych rozważań wynika również, że wartość obligacji o zmiennym kuponie na początku każdego okresu odsetkowego jest równa jej nominałowi, tzn. cena za 100 wynosi 100 (obligacja jest wyceniana at par). Wynika to również z wzoru na cenę P A, bowiem na początku okresu odsetkowego (1 + R 1 1 )DF (t 1 ) = 1. Komentarz: Zwracam uwagę, że bardzo podobne rozumowanie było przedstawione na wykładzie przy omawianiu wyceny kontraktów wymiany procentowej IRS. Obligacja B Ta obligacja w czasie jej trwania nie wypłaca kuponów. Kupony są kapitalizowane co okres odsetkowy i ich wypłata następuje wraz z nominałem w terminie wykupu tej obligacji. Niech t 1 < t 2 <... < t M oznaczają terminy kapitalizacji kuponów; t 1 jest pierwszym terminem kapitalizacji (który zaczął się w chwili t 0 ), a t M terminem zapadalności w którym następuje wypłata skapitalizowanych odsetek i zwrot nominału. Niech 1 k M oznacza numer bieżącego okresu odsetkowego. Zatem, wartości R 1, R 2,..., R k stopy rynkowej na pierwsze k okresów odsetkowych zostały już (w przeszłości), tj. w chwilach t 0 < t 1 <... < t k 1 (dokładniej tuż przed), ustalone przez rynek. Natomiast, wartości stopy rynkowej na przyszłe okresy odsetkowe [t i 1, t i ), gdzie i = k + 1,... M będą dopiero ustalone. Tak jak w przypadku poprzedniej obligacji, do bieżącej wyceny tej obligacji jako wartości tych przyszłych stóp bierzemy stopy forward F i na odpowiednie okresy odsetkowe. Wówczas, dzisiejsza projekcja kwoty skapitalizowanych kuponów wraz z nominałem płatnych w terminie wykupu obligacji wynosi C(t M ) = (1 + R 1 1 )... (1 + R k k ) (1 + F k+1 k+1 )... (1 + F M M )N. Ceną tej obligacji jest wartość bieżąca tego przepływu pieniężnego, a więc P B = C(t M )DF (t M ). Ponieważ, jak wynika z definicji stopy forward, (1 + F i i )DF (t i ) = DF (t i 1 ),
4 marca 2003 Inżynieria Finansowa 4 wzór na wycenę tej obligacji możemy, postępując rekurencyjnie od końca, zwinąć do następującej postaci P B = (1 + R 1 1 )... (1 + R k k )NDF (t k ). Zatem wycena takiej obligacji jest taka sama jak wycena pojedyńczego przepływu finansowego w wysokości (1 + R 1 1 )... (1 + R k k )N następującego w chwili t k, tj. w najbliższym momencie kapitalizacji odsetek. Uwaga: Z wzorów na wycenę tych obligacji wynika ważny fakt. Otóż, te obligacje są niewrażliwe na stopy procentowe o terminach dłuższych niż termin najbliższej płatnosci kuponu w przypadku obligacji typu A lub termin najbliższej kapitalizacji odsetek w przypadku obligacji typu B. Uzbrojeni w wiedzę z punktu (a) możemy rozwiązać zagadnienie postawione w punkcie (b). (b) Obliczenie stopy kontraktu FRA1x4 Stopa kontraktu FRA1x4 jest 3M stopą forward na okres czasu zaczynający się za 1M (jeden miesiąc) i kończący się za 4M (cztery miesiące). Obliczamy ją z wzoru R FRA1x4 = F (1M, 4M) = ( ) DF (1M) DF (4M) 1 / (1M,4M), gdzie (1M,4M) = 1 4 jest długością okresu czasu od 1M do 4M. Tak więc musimy wyznaczyć czynniki dyskontowe DF (1M) oraz DF (4M). Wyznaczymy je korzystając z ceny obligacji A i ceny obligacji B. Czynnik dyskontowy DF (1M) Aktualna cena (brudna) obligacji A, której bieżący okres odsetkowy zaczął się 5 miesięcy temu, wynosi 103.50. Rynkowa 6M stopa procentowa, ustalona 5 miesięcy temu, a więc stopa według której obliczony został kupon tej obligacji płatny w chwili 1M (od dziś), wynosiła 9%. Zatem, 103.50 jest bieżącą wartością przepływu pieniężnego o wysokości ( 1 + 0.09 1 ) 100 = 104.50, 2 który nastąpi za 1M od dziś. Zatem, zakładając, że ta obligacja jest sprawiedliwie wycenia przez rynek, musi zachodzić równość 103.50 = 104.50 DF (1M). Stąd, obliczamy DF (1M) = 103.50 104.50 = 0.990430622.
4 marca 2003 Inżynieria Finansowa 5 Czynnik dyskontowy DF (4M) Aktualna cena (brudna) obligacji B, której pierwszy okres odsetkowy zaczął się 8 miesięcy temu, wynosi 106.00. Rynkowa 6M stopa procentowa, ustalona 8 miesięcy temu, a wiec stopa według której obliczony został pierwszy kupon tej obligacji, wynosiła 10%. Stopa rynkowa dla drugiego (aktualnie trwającego) okresu odsetkowego, została ustalona 2 miesiące temu i wynosiła 8%. Zatem, 106.00 jest bieżącą wartością przepływu pieniężnego o wysokości ( 1 + 0.10 1 ) ( 1 + 0.8 1 ) 100 = 109.20, 2 2 który nastąpi za 4M od dziś. Zatem, zakładając, że ta obligacja jest sprawiedliwie wycenia przez rynek, musi zachodzić równość 106.00 = 109.20 DF (4M). Stąd, obliczamy DF (4M) = 106.00 109.20 = 0.970695971. Teraz możemy już obliczyć stopę FRA1x4 R FRA1x4 = ( ) 0.990430622 0.970695971 1 / 1 4 = 0.081321657 8.13%. Zadanie 2. (10 punktów) Dane są następujące kwotowania kurs wymiany PLN/USD: 4.0000, punkty swapowe PLN/USD wynoszą dla 3M: 0.0250, oraz dla 6M: 0.0500, PLN 3M Depo: 4.00%, PLN FRA3x6: 5.00%, USD FRA3x6: 2.00%. (a) Oblicz stopę 3M depozytu dolarowego przy założeniu, że w okresie 3M na rynku nie ma możliwości do arbitrażu. (b) Czy przy powyższych danych istnieją na rynku w okresie do 6M możliwości do arbitrażu? Jeśli tak, opisz strategię arbitrażową i oblicz dzisiejszą wartość wolnego od ryzyka zysku (od nominału transakcji arbitrażowej 100 PLN). Rozwiązanie (a) Stopa depozytowa 3M dla USD Niech S = 4.0000 PLN/USD oznacza kurs spotowy wymiany USD na PLN. 3M terminowy kurs wymiany PLN/USD wynosi F 3M = S + 3M punkty swapowe = 4.0000 + 0.0250 = 4.0250 PLN/USD.
4 marca 2003 Inżynieria Finansowa 6 Między terminowym kursem wymiany F 3M a kursem bieżącym (kursem spotowym) S, przy braku arbitrażu, zachodzi następujący związek (tzw. parytet stóp procentowych) F 3M = S 1 + rpln 3M 1 + r USD 3M 3M, 3M gdzie r3m PLN, rusd 3M oznaczają 3M stopy depozytowe dla PLN i USD, odpowiednio, a 3M jest długością okresu 3M depozytu. Korzystając z tego wzoru możemy wyznaczyć szukaną stopę r3m USD. Mianowicie ( ) S r3m USD ( ) = 1 + r PLN 3M 3M 1 / 3M. F 3M Po wstawieniu danych do powyższego wzoru otrzymujemy ( ( 4.0000 r3m USD = 1 + 0.04 1 ) ) 1 / 1 4.0250 4 4 = 0, 014906832 1.49%. (a) Możliwość arbitrażu na rynku do 6M Niech F 6M oznacza 6M terminowy kurs wymiany. Przy braku możliwości do arbitrażu w segmencie rynku terminowego od 3M do 6M, kurs ten oraz kurs F 3M muszą spełniać warunek (parytet stóp forward) F 6M = F 3M 1 + f 3M,6M PLN (3M,6M) 1 + f3m,6m USD, (3M,6M) gdzie f3m,6m PLN, f 3M,6M USD są stopami forward 3M depozytów dla PLN i USD na okres od 3M do 6M, odpowiednio, a (3M,6M) jest długością tego okresu. Stopy forward na ten okres mamy dane jako kwotowania stóp kontraktów FRA f PLN 3M,6M = R PLN FRA6x9 oraz f USD 3M,6M = R USD FRA6x9. Sprawdzamy czy powyższy warunek zachodzi. Z jednej strony mamy kwotowanie F 6M = S + 6M punkty swapowe = 4.0000 + 0.0500 = 4.0500 PLN/USD. Z drugiej strony, z parytetu stóp forward, 6M kurs wymiany wynosiłby 4.0250 1 + 0.05 1 4 1 + 0.02 1 4 = 4.055037313. Tak więc, ceny na rynku depozytowym implikują wyższy kurs terminowy niż kurs z terminowego rynku walutowego. Zatem jest okazja do arbitrażu. Dolar w terminie 6M jest na rynku walutowym tańszy niż cena dolara jaką możemy uzyskać z 3M lokat terminowych.
4 marca 2003 Inżynieria Finansowa 7 Opłaca się kupić tanio w terminie 6M dolara i jednocześnie go przez transakcje depozytowe sprzedać po wyższej cenie. Teraz widzimy co musimy zrobić: (a) tanie kupno dolara w 6M: zawieramy transakcję FX forward na termin 6M kupna dolara po cenie 4.0500 PLN/USD, (b) wygenerować drogą sprzedaż dolara w 6M - robimy to tak: 1) kupujemy transakcję USD FRA3x6 ze stopą 2.00% - to zapewnia nam możliwość finansowania się w USD (pożyczenia dolarów) po tej stopie na okres od 3M do 6M; 2) zawieramy transakcję FX forward na termin 3M sprzedaży dolara po cenie 4.0250 PLN/USD - sprzedaż pożyczonych w 3M dolarów; 3) sprzedajamy transakcję PLN FRA3x6 ze stopą 5.00% - to zapewnia nam możliwość ulokowania PLN otrzymanych ze sprzedaży pożyczonych w 3M USD po tej stopie na okres od 3M do 6M. Niezależnie od tego jak się będą kształtować kursy i stopy procentowe w przyszłości, nasz bilans w 6M będzie wyglądał następująco (licząc od 1 USD pożyczonego w 3M): + otrzymamy zwrot z lokaty w PLN w kwocie 4.0250 (1 + 0.05 1 4 ) = 4.0753125 PLN, musimy zwrócić pożyczone USD na kwotę 1 (1+0.02 1 4 ) = 1.005 USD, które kupujemy po 4.0500 PLN/USD (mamy zagwaratnowane przez zawartą transakcję FX forward) - musimy na to wydać 1.005 4.0500 = 4.07025 PLN. Zatem zostaje nam w 6M z tej operacji 4.0753125 4.07025 = 0.0050625 PLN na 1 USD pożyczone w terminie 3M. Uwaga: Dlaczego strategię opisaną (b) określamy jako sprzedaż dolarów w terminie 6M? Otóż, w 6M otrzymamy PLN z tytułu wygaśnięcia lokaty złotowej, oraz jednocześnie musimy zwrócić (oddać z odsetkami) pożyczone dolary - można powiedzieć że sprzedajemy USD (to oddawanie dolarów) za PLN (bo złote otrzymamy), a więc wymiana walutowa. Możemy, wyliczyć kurs po jakim ta wymiana się odbędzie w tej części strategii. Powinien on wynieść 4.055037313 PLN/USD (dlaczego?). Tak jest w istocie, bo jak widać z rachunków opisujących bilans naszej tranaskacji arbitrażowej, w 6M mamy wymianę 1.005 USD za 4.0753125 PLN, czyli kurs tej wymiany wynosi 4.0753125 PLN/1.005 USD = 4.055037313 PLN/USD. Wartość bieżąca zysku od nominału transakcji 100 PLN w 3M. W 3M ten nominał jest wart 100/4.0250 = 24.8447205 USD. Zatem nasz zysk od takiego dolarowego nominału będzie wynosił 24.8447205 0.0050625 = 0.125776398 PLN. Bieżąca wartość tej kwoty wynosi 0.125776398 1 1 + 0.04 1 4 1 1 + 0.05 1 4 przy założeniu, że stopy dla PLN są w rynku. = 0.122993666 0.123 PLN, Uwaga: Czy to dużo czy mało zależy od nominału transkacji. Duzi gracze zawierają takie transakcje na nominał rzędu 10 000 000 PLN. Zysk na takiej transakcji (wolnej od ryzyka) zrealizowany w 6M od dzisiaj wyniesie 12 577.64 PLN.
4 marca 2003 Inżynieria Finansowa 8 Zadanie 3. (15 punktów) Wypłata opcji azjatyckiej call w chwili t T (T jest czasem wygaśnięcia opcji) wynosi gdzie K jest ceną wykonania a max(a(t) K, 0), A(t) = 1 n n S(t i ) jest dyskretną średnią arytmetyczną naliczoną do chwili t na podstawie wartości cen akcji w chwilach t 1 < t 2 <... < t n t. Jeśli t < t 1, to A(t) = 0. Ostatnia chwila czasu t N z której wartość ceny akcji jest uwzględniana do obliczenia średniej pokrywa się z czasem wygaśnięcia opcji T. Rozpatrzmy 9-cio miesięczną amerykańską opcję azjatycką call na akcję (niepłacącą dywidendy). Cena wykonania tej opcji wynosi K = 105 PLN. Dyskretna średnia arytmetyczna jest obliczana w chwilach t i = (3i)M, gdzie i = 0, 1, 2, 3. Wyceń tę opcję na trzy-okresowym drzewie dwumianowym przy następujących danych: bieżąca cena akcji wynosi 100 PLN, zmienność akcji wynosi 27.953%, 3M stopa procentowa wynosi 11.77%, stopa FRA3x6: 9.53%, stopa FRA6x9: 8.41%. Rozwiązanie i=1 Współczynniki U i D określamy w następujący sposób U = exp(+σ t) oraz D = exp( σ t), wtedy U D = 1. W powyższym wzorze t = 1 4 otrzymujemy jest długością 3M okresu. Po obliczeniach U = exp(+0.27953 0.25) = 1.150003516 oraz D = 1/U = 0.869562559. Ponieważ stopy procentowe są różne w poszczególnych 3M okresach, prawdopodobieństwa martyngałowe dla tych okresów będą różne. I tak, w pierwszym 3M okresie prawdopodobieństwo matrygnałowe wynosi p 1 = (1 + r PLN(3M) t) D U D = (1 + 0.1177 0.25) 0.869562559 1.150003516 0.869562559 = 0.570039565. w drugim 3M okresie prawdopodobieństwo matrygnałowe wynosi p 2 = (1 + f PLN(3M, 6M) t) D U D = 0.550071012, gdzie za stopę forward f PLN (3M, 6M) na drugi okres, tzn. od 3M do 6M należy wziąźć stopę kontraktu FRA3x6.
4 marca 2003 Inżynieria Finansowa 9 w trzecim 3M okresie prawdopodobieństwo matrygnałowe wynosi p 3 = (1 + f PLN(6M, 9M) t) D U D = 0.540086736, gdzie f PLN (6M, 9M) = R FRA6x9. Będą nam również potrzebne czynniki, które dyskontują z końców kolejnych 3M okresów na ich początki. I tak, czynnik, który dyskontuje z chwili 3M do chwili 0 obliczamy z wzoru DF (3M) = 1 1 + r PLN (3M) t = 1 1 + 0.1177 0.25 = 0.971416082. czynnik, który dyskontuje z chwili 6M do chwili 3M obliczamy z wzoru DF (3M, 6M) = 1 1 + f PLN (3M, 6M) t = 1 1 + 0.0953 0.25 = 0.976729422. czynnik, który dyskontuje z chwili 9M do chwili 6M obliczamy z wzoru DF (6M, 9M) = 1 1 + f PLN (6M, 9M) t = 1 1 + 0.0841 0.25 = 0.979407948. Zaczynamy od wyznaczenia procesu cen S na drzewie. Będziemy od razu wyznaczać średnie cen A oraz wartość wypłaty V z tytułu realizacji opcji w danym węźle. w t = 0 S(0) = 100 A(0) = 100 V (0) = max(100 105, 0) = 0 w t = 3M S(3M, U) = 115.0003516 A(3M, U) = 1 2 (S(0) + S(3M, U)) = 107.5001758 V (3M, U) = max(107.5001758 105, 0) = 2.5001758 S(3M, D) = 86.95625586 A(3M, D) = 1 2 (S(0) + S(3M, D)) = 93.47812793 V (3M, D) = max(93.47812793 105, 0) = 0 w t = 6M S(6M, UU) = 132.2508087 A(6M, UU) = 1 3 (S(0) + S(3M, U) + S(6M, UU)) = 115.7503868 V (6M, UU) = max(115.7503868 105, 0) = 10.75038679 S(6M, UD) = 100 A(6M, UD) = 1 3 (S(0) + S(3M, U) + S(6M, UD)) = 105.0001172 V (6M, UD) = max(105.0001172 105, 0) = 0.0001172
4 marca 2003 Inżynieria Finansowa 10 S(6M, DU) = 100 A(6M, DU) = 1 3 (S(0) + S(3M, D) + S(6M, DU)) = 95.65208529 V (6M, DU) = max(95.65208529 105, 0) = 0 S(6M, DD) = 75.61390433 A(6M, DD) = 1 3 (S(0) + S(3M, D) + S(6M, DD)) = 87.52338673 V (6M, DD) = max(87.52338673 105, 0) = 0 w t = 9M S(9M, UUU) = 152.0888951 A(9M, UUU) = 1 4 (S(0) + S(3M, U) + S(6M, UU) + S(9M, UUU)) = 124.8350139 V (9M, UUU) = max(124.8350139 105, 0) = 19.83501386 S(9M, UUD) = 115.0003516 A(9M, UUD) = 1 4 (S(0) + S(3M, U) + S(6M, UU) + S(9M, UUD)) = 115.562878 V (9M, UUD) = max(115.562878 105, 0) = 10.562878 S(9M, UDU) = 115.0003516 A(9M, UDU) = 1 4 (S(0) + S(3M, U) + S(6M, UD) + S(9M, UDU)) = 107.5001758 V (9M, UDU) = max(107.5001758 105, 0) = 2.500175814 S(9M, UDD) = 86.95625586 A(9M, UDD) = 1 4 (S(0) + S(3M, U) + S(6M, UD) + S(9M, UDD)) = 100.4891519 V (9M, UDD) = max(100.4891519 105, 0) = 0 S(9M, DUU) = 115.0003516 A(9M, DUU) = 1 4 (S(0) + S(3M, D) + S(6M, DU) + S(9M, DUU)) = 100.4891519 V (9M, DUU) = max(100.4891519 105, 0) = 0 S(9M, DUD) = 86.95625586 A(9M, DUD) = 1 4 (S(0) + S(3M, D) + S(6M, DU) + S(9M, DUD)) = 93.47812793 V (9M, DUD) = max(93.47812793 105, 0) = 0 S(9M, DDU) = 86.95625586 A(9M, DDU) = 1 4 (S(0) + S(3M, D) + S(6M, DD) + S(9M, DDU)) = 87.38160401 V (9M, DDU) = max(87.38160401 105, 0) = 0 S(9M, DDD) = 65.75102011 A(9M, DDD) = 1 4 (S(0) + S(3M, D) + S(6M, DD) + S(9M, DDU)) = 82.08029508 V (9M, DDD) = max(82.08029508 105, 0) = 0 Zauważmy, że choć drzewo z procesem cen rekombinuje się, to drzewo z procesem średnich jest rozdzielone i niestety to po tym rozdzielonym drzewie będziemy musieli poruszać się dokonując wyceny opcji. Oczywiście wycenę przeprowadzamy zaczynając od końca, tzn. cofając się od chwili t = 9M do t = 0. W każdym węźle obliczamy zdyskontowaną wartość oczekiwaną wartości opcji widzianych z tego węzła w stanie Up i Down w następnym okresie i porównujemy ją wypłatą jaką byśmy otrzymali w przypadku realizacji opcji - wartość opcji w tym węźle jest liczbą większą z nich. w t = 6M E(6M, UU) = DF (6M, 9M) (p 3 V (9M, UUU)+(1 p 3 ) V (9M, UUD)) = 15.2500042 P (6M, UU) = max(e(6m, UU), V (6M, UU)) = 15.2500042
4 marca 2003 Inżynieria Finansowa 11 E(6M, UD) = DF (6M, 9M) (p 3 V (9M, UDU)+(1 p 3 ) V (9M, UDD)) = 1.32250610 P (6M, UD) = max(e(6m, UD), V (6M, UD)) = 1.32250610 E(6M, DU) = DF (6M, 9M) (p 3 V (9M, DUU) + (1 p 3 ) V (9M, DUD)) = 0 P (6M, DU) = max(e(6m, DU), V (6M, DU)) = 0 E(6M, DD) = DF (6M, 9M) (p 3 V (9M, DDU) + (1 p 3 ) V (9M, DDD)) = 0 P (6M, DD) = max(e(6m, DD), V (6M, DD)) = 0 w t = 3M E(3M, U) = DF (3M, 6M) (p 2 P (6M, UU) + (1 p 2 ) P (6M, UD)) = 8.774565092 P (3M, U) = max(e(3m, U), V (3M, U)) = 8.774565092 E(3M, D) = DF (3M, 6M) (p 2 P (6M, DU) + (1 p 2 ) P (6M, DD)) = 0 P (3M, D) = max(e(3m, D), V (3M, D)) = 0 W końcu jesteśmy w t = 0. E(0) = DF (3M) (p 1 P (3M, U) + (1 p 1 ) P (3M, D)) = 4.858876814 P (0) = max(e(0), V (0)) = 4.858876814. Uff! Cena opcji wynosi 4.858876814 PLN. Zadanie 4. (5 punktów) Rozpatrzmy (waniliowe) opcje europejskie o czasie trwania T, które są w chwili bieżącej at-the-money forward, to znaczy takie których cena wykonania K i bieżąca cena akcji S spełniają warunek K = S exp((r δ)t ), gdzie r jest stopą wolną od ryzyka, a δ jest stopą (ciągłej) dywidendy. Pokaż, że w tym przypadku ceny opcji call i put są takie same i wynoszą ( 1 ) ( V = e δt S Φ( 2 σ T Φ 1 ) ) 2 σ T. Ponadto, pokaż, że dla małych wartości σ T, zachodzi przybliżony wzór V 0.4 e δt S σ T. W powyższych wzorach σ oznacza zmienność akcji, a Φ dystrybuantę rozkładu N(0, 1). Rozwiązanie Parytet call-put dla waniliowych opcji europejskich oznacza, że C(S, r, δ, σ, T, K) P (S, r, δ, σ, T, K) = e δt S e rt K. Dla opcji które są w chwili bieżącej (t = 0) at-the-money forward, prawa strona powyższej tożsamości wynosi zero. Stąd C(S, r, δ, σ, T, K) = P (S, r, δ, σ, T, K),
4 marca 2003 Inżynieria Finansowa 12 które dla uproszczenia notacji oznaczymy przez V. Z wzorów Blacka-Scholesa, wypisanego dla opcji call, mamy V = e δt S Φ(d 1 ) e rt KΦ(d 2 ), gdzie oraz Ponieważ S/K = e (r δ)t, to d 1 = ln (S/K) + (r δ + 1 2 σ2 )T σ T d 2 = d 1 σ T., d 1 = (r δ)t + (r δ + 1 2 σ2 )T σ T = 1 2 σ T, i wówczas d 2 = d 1 σ T = 1 2 σ T. Stąd, oraz jeszcze raz korzystając z równości e δt S = e rt K, otrzymujemy ( 1 ) ( V = e δt S Φ(d 1 ) exp( rt )KΦ(d 2 ) = e δt S Φ( 2 σ T Φ 1 ) ) 2 σ T. Ponieważ 1 ) ( Φ( 2 σ T Φ 1 ) 2 σ T = 1 + 1 2π 2 σ T 1 2 σ T e 1 2 x2 dx, to dla małych wartości σ T, możemy posłużyć się następującym przybliżeniem gdyż 1 2π 0.4. V e δt S 1 + 1 2 σ T 2π 1 2 σ T 1 dx = e δt S 1 2π σ T 0.4 e δt S σ T, Zadanie 5. (5 punktów) Europejska opcja pay-later call jest opcją, której wypłata w chwili wygaśnięcia opcji T wynosi max(s(t ) K, 0), a jej posiadacz płaci wystawcy premię Q w chwili wygaśnięcia opcji tylko wtedy gdy S(T ) K. Wyznacz wartość premii Q. Rozwiązanie Długa pozycja w europejskiej opcji pay-later call jest identyczna z portfelem złożonym z (a) kupionej waniliowej opcji europejskiej call, oraz (b) sprzedanej binarnej opcji europejskiej call o nominale Q,
4 marca 2003 Inżynieria Finansowa 13 mających tą samą cenę wykonania K i ten sam termin wygaśnięcia T. Zatem cena P opcji pay-later call w chwili zawarcia transakcji jest sumą wartości początkowych długiej pozycji w opcji waniliowej i krótkiej pozycji w opcji binarnej P = P vanilla call Q P binary call. Początkowy koszt europejskiej opcji pay-later call wynosi zero. Stąd Ponieważ, dla akcji niepłacącej dywidendy Q = P vanilla call P binary call. P vanilla call = S(0) Φ(d 1 ) e rt KΦ(d 2 ), oraz, jak już wyjaśniliśmy przy okazji poprzedniego egzaminu (patrz Zadanie 4 z tego egzaminu), P binary call = e rt Φ(d 2 ), po prostych przekształceniach otrzymamy Q = e rt S(0) Φ(d 1) Φ(d 2 ) K, gdzie d 1 oraz d 2 mają standardowe znaczenia, takie jak we wzorach Blacka-Scholesa.
æ Inżynieria Finansowa Egzamin Poprawkowy II Zasady i uwagi Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 16 kwietnia 2003 roku 1. Rozwiązania zadań rachunkowych muszą zawierać objaśnienia do wykonywanych obliczeń pokazujące i uzasadniające przyjęty sposób rozwiązywania. Za brak objaśnień będą odejmowane punkty, w skrajnych przypadkach wszystkie. 2. Każde zadanie proszę napisać na osobnej i podpisanej kartce. Proszę pisać wyraźnie! 3. Nie wolno ściągać. Osoby przyłapane na ściąganiu zostaną usunięte z egzaminu z oceną niedostateczną. 4. Osoby, które chcą otrzymać informację o wyniku egzaminu pocztą elektroniczną, proszę o podanie adresu (czytelnie!). 5. W obliczeniach, dla uproszczenia, przyjmij, że długość n-miesięcznego okresu czasu wynosi n 12 lat. Zadanie 1. (5 punktów) Rozpatrzmy opcję na 1000 akcji firmy ABC. Bieżąca cena akcji wynosi S = 100 PLN, a ich zmienność σ = 20%. Cena tej opcji wynosi V = 2599 PLN. Delta opcji wynosi = 551.68, a gamma Γ = 68.52. Oblicz (przybliżoną) cenę tej opcji po upływie 3 dni, przy założeniu, że wszystkie pozostałe wielkości, od których zależy cena opcji, nie uległy zmianie w tym czasie. Przyjmij, że stopa procentowa wolna od ryzyka, kapitalizowana w sposób ciągły, wynosi 7.00%, oraz załóż, że akcja nie płaci dywidendy w czasie trwania opcji. Zadanie 2. (10 punktów) Dane są następujące kwotowania: cena 3M opcji ATM (at-the-money) kupna 1 miliona USD za PLN (to jest opcji call na kurs wymiany PLN/USD o nominale 1 milion USD) wynosi: 106 061.57 PLN, bieżący kurs PLN/USD wynosi: 4.0000 (PLN za 1 USD), 3M punkty swapowe PLN/USD wynoszą: 0.0503, 3M stopa (kapitalizowana w sposób ciągły) dla PLN wynosi: 7.00%. Przy założeniu, że na rynku nie ma możliwości do arbitrażu, (a) oblicz cenę 3M opcji ATM (at-the-money) kupna 1 000 000 PLN za USD, (b) 3M depozytową stopę (wolną od ryzyka) dla USD. Przypomnienie: Mówimy, że opcja jest ATM (at-the-money) jeśli bieżąca cena instrumentu podstawowego opcji jest równa cenie wykonania opcji.
Zadanie 3. (10 punktów) Terminowa opcja call na akcje to kontrakt, w którym posiadacz tego kontraktu w ustalonej chwili w przyszłości T 1 otrzymuje europejską opcję call na te akcje z ceną wykonania opcji równą S(T 1 ) (cenie akcji w chwili T 1 ) o czasie trwania T 2. Wyznacz cenę dzisiejszą (to jest w t = 0) tej opcji terminowej. W tym celu: (a) Pokaż, że cena opcji ATM (at-the-money) call jest wprost proporcjonalna do bieżącej ceny akcji. (b) Korzystając z (a) wyznacz wartość opcji terminowej w chwili T 1. (c) Korzystając z ogólnej metody wyceny instrumentów pochodnych oblicz dzisiejszą cenę opcji terminowej. Załóż, że stopa wolna od ryzyka, dywidenda, oraz zmienność akcji są stałe w okresie czasu do T 1 + T 2, oraz, że cena akcji spełnia standardowy model stosowany przy wypowadzeniu wzorów Blacka-Scholesa. Zadanie 4. (15 punktów) Wypłata opcji azjatyckiej call ze średnią ceną wykonania (ang. average strike option) w chwili t T (T jest czasem wygaśnięcia opcji) wynosi gdzie max(s(t) A(t), 0), A(t) = 1 n n S(t i ) jest dyskretną średnią arytmetyczną naliczoną do chwili t na podstawie wartości cen akcji w chwilach t 1 < t 2 <... < t n t. Jeśli t < t 1, to A(t) = 0. Ostatnia chwila czasu t N z której wartość ceny akcji jest uwzględniana do obliczenia średniej pokrywa się z czasem wygaśnięcia opcji T. Rozpatrzmy europejską opcję azjatycką call ze średnią ceną wykonania na akcję (niepłacącą dywidendy), której kontraktowy czas trwania wynosi 15 miesięcy. Dyskretna średnia arytmetyczna jest obliczana w chwilach t i = (3(i 1))M, gdzie i = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Oś czasu jest wyskalowana w następujący sposób: zawarcie kontraktu nastąpiło w chwili t = 0, bieżącą chwilą czasu jest t = 6M, to jest, 6 miesięcy od daty zawarcia kontraktu. Wyceń tę opcję w chwili t = 6M na trzy-okresowym drzewie dwumianowym przy następujących danych: w chwili zawarcia kontraktu cena akcji wynosiła S(0) = 80 PLN, po 3M od momentu zawarcia kontraktu cena akcji wynosiła S(3M) = 90 PLN, i=1 bieżąca cena akcji wynosi S(6M) = 100 PLN, zmienność akcji wynosi 27.953%, bieżąca 3M stopa procentowa wynosi 11.77%, stopa FRA3x6: 9.53%, cena obligacji zerokuponowej zapadającej w 9M (od chwili bieżącej) wynosi 92.93.
Inżynieria Finansowa - Egzamin - 28 stycznia 2004 1 æ Uwagi i zasady 1. Rozwiązania zadań rachunkowych muszą zawierać objaśnienia do wykonywanych obliczeń pokazujące i uzasadniające przyjęty sposób rozwiązywania. Za brak objaśnień będą odejmowane punkty, w skrajnych przypadkach wszystkie. 2. Rozwiązanie każdego zadania proszę napisać na osobnej i podpisanej kartce (kartkach). 3. Proszę pisać wyraźnie. 4. Nie wolno ściągać. Osoby przyłapane na ściąganiu kończą egzamin z oceną niedostateczną. Dane rynkowe, przy których należy rozwiązywać zadania: sześcio-miesięczna stopa depozytowa wynosi 6.00%, stopa rocznego kontraktu IRS, który płaci odsetki na nodze stałej co pół roku, wynosi 6.20%, stopa dwuletniego kontraktu IRS, który płaci odsetki na nodze stałej co rok, wynosi 6.40%, stopa kontraktu FRA12x18 wynosi 6.50%. Dla uproszczenia przyjmij, że długość n-miesięcznego okresu czasu (n = 6, 12, 18, 24) wynosi n 12 lat. Zadanie 1. Punktacja: (a) - 8, (b) - 2. (a) Wyznacz wartości czynników dyskontowych dla okresów czasu będących wielokrotnościami sześcio-miesięcznych okresów do dwóch lat włącznie. (b) Oblicz (prostą) stopę forward dla sześcio-miesięcznego okresu, który zaczyna się za sześć miesięcy. Uwaga: Wyniki tego zadania będą potrzebne do wykonania obliczeń w pozostałych zadaniach. Zadanie 2. Punktacja: (a) - 7, (b) - 3. Aby podratować słabnącą kondycję finansową, spółka wuwu.com emituje dwuletnią obligację o półrocznym kuponie i z wbudowaną opcją, która daje posiadaczowi tej obligacji prawo do kupna w terminie wykupu obligacji N 0 sztuk akcji spółki (na 100 nominału obligacji) po ustalonej cenie wykonania K. Oprocentownie obligacji maleje po każdym okresie odsetkowym o q% wartości stopy obowiązującej w pierwszym okresie odsetkowym. W chwili emisji obligacji dwuletnie opcje sprzedaży akcji wuwu.com z ceną wykonania K kosztowały P 0 (za jedną akcję), a ceny opcji kupna nie były kwotowane na rynku. W prospekcie emisyjnym obligacji spółka przewiduje, że za sześć miesięcy zostanie wypłacona dywidenda w wysokości D na akcję. (a) Wyznacz wzór na początkową stopę oprocentowania tej obligacji, przy której cena tej obligacji będzie równa cenie właśnie wyemitowanej dwuletniej obligacji rządowej o stałej stopie procentowej C (pa) płacącej kupon co pół roku. (b) Wykonaj obliczenia dla następujących danych liczbowych: C = 6% (pa), q = 20, D = 0.5, P 0 = 5.34 (na 1 akcję) przy cenie akcji S 0 = 10 i dla K = 15, N 0 = 1.