. yfuzja molekularna Uwaga: dyfuzja molekularna odgrywa nestotną rolę w proesah transportu w środowsku lez stanow podstawę do rozumena nnyh typów dyfuzj... Prawo Fk a analoga eplna Prawo Fourer a (8) transportu epła strumeń epła ~ - T k (.) gdze: przew gradentowy zawsze od wększej do mnejszej wartoś T (temperatura) k współzynnk przewodzena epła Analoga Fka (855) dla strumena masy: gdze: q (.) q - strumeń masy na jednostkę powerzhn zasu - stała dyfuzj Jednostk: kg m ; m s s q sprawdź podst. do równ. (.) ; kg 3 m 4
ogólna postać równana dyfuzj: gradent strumeń ~ transportowanej (.3) welkoś tzn. jest to zależność gradent/strumeń dla proesów dyfuzj dla masy (), pędu (ν ) lub epła (k) stała fzyzna zależna od własnoś płynu zanezyszzena. Przykład: dla wody: 0 ν 0 k 0 9 6 5 m s m s m s dla powetrza: ν k 5 m 0 s Uwaga: analza wymarowa dyfuzj masy pędu daje: zba Shmdta ν S (.4) dla wody: 3 S 0 dla powetrza: S. 5
.. Prosty model relaj gradent/strumeń Przykład: zakładamy, że w rurze występuje gradent konentraj w kerunku, w rurze wydzelono dwa przedzały tzn. lewy () prawy () zawerająe N 0 N 0 ząstek w dowolnej hwl pozątkowej t 0: obszar jednostkowy obszar jednostkowy Ν Ν ys... Konentraja molekuł w pozątkowej (a) kolejnej hwl (b) dla proesu dyfuzj. Jeżel dla każdej ząstezk prawdopodobeństwo przejśa z jednego przedzału do drugego wynos p równe (przykładowo) p 5, wówzas po zase ( t + t ): poneważ N to w hwl (t + t): 0 ; N 5 0 5 ' ' N 0 + 4 ; N 0 4 + 8 6
po każdym kroku zasowym: otrzymujemy: N > N ; N < ' proes ten trwa tak długo jak: Wnosek: ' N ' ' ( N N ) < ( N N ) N < ' N różna konentraj zmnejsza sę z zasem, tzn. proes zmerza w stronę JENOONEJ konentraj. ' Ops analtyzny relaj gradent/strumeń Jeżel każda ząstka ma masę m: M N m ; M N m strumeń masy w zase t w kerunku dodatnego (tzn. z lewej na prawo): strumeń masy w zase t m p N m p N p ( M M ) (.5) ujemny strumeń masy konentraja w każdym przedzale (patrz równ..): C M M ; C p (.6) jednostkowy przekrój poprzezny 7
strumeń masy na jednostkę powerzhn zasu (podst..6. do.5): q p t ( ) p + +... t szereg Taylora (.7) U w a g a: p - prawdopodobeństwo, że w jednoste zasu t ząstezka przejdze z jednego obszaru do drugego transport masy ne zależy od rozmaru obszaru, tzn.: p t o t o mus onst lub: lm 0 t 0 p t ( dffusvty) podst. do (.7) pomjają wyrazy wyższyh rzędow: q (.5a) tzn. otrzymalśmy prosty model prawa Fka. Wnosk: rozmar przedzału mus spełnać następująe warunk: - przedzały muszą być na tyle duże, aby można było zastosować rahunek prawdopodobeństwa, tzn. N ; N >> 8
poneważ tylko wówzas będzemy mogl zapsać: { flu} ~ p N p N - przedzały muszą być na tyle małe, aby można było zastosować przyblżene perwszego rzędu w szeregu Taylora, tzn.: << (por. równ..5a.7) - obydwa powyższe warunk są zawsze spełnone w warunkah normalnyh dla dyfuzj molekularnej, poneważ masa pojedynzej ząstk jest bardzo mała a lzba ząstek jest bardzo duża nawet w małyh objętośah. Przykład: dla powetrza: g 3 0 0 ~ 0 [ g] masa pojedynzej ząstk - powyższe warunk ne muszą być jednoześne spełnone dla dyfuzj turbulentnej, kedy ząstk są zastąpone elementam płynu. 9
0 ównane transportu konentraj zanezyszzena Podst. prawo Fka (równ..) do równana zahowana masy (równ..9): + U t (.8) lub dt d (.8a) jeżel płyn jest neruhomy (tzn. U 0 ): t (.9) po przekształenu, równ. (.8) dla poruszająego sę płynu daje: U t + (.8b) podzas gdy równane (.9) dla płynu neruhomego może być zapsane: t (.9a)
.3. ozwązane podobeństwa własnoś równana dyfuzj Załóżmy dyfuzję w neruhomym płyne, tzn.: t jednorodna konentraja wzdłuż os y oraz z: 0 y z tzn. konentraja może zmenać sę tylko wzdłuż kerunku : y (.9) (.0) obszar A d z ys... ałkowta masa zanezyszzena: tzn. będze mało postać: obszary (plastry) o jednorodnej konentraj (ale ne dentyzne) Układ współrzędnyh dla problemu dyfuzj. M dv A d (.) V M M (.) A dlugo A
załóżmy: - długość odnesena (skala) T - zas odnesena (skala). z analzy wymarowej wynka: t podst. do równ. (.9): ~ T T ; ~ ~ ~ T (.3) Uwaga: skale zasu T długoś są wzajemne zależne. Przykład: rozważmy dyfuzję po pozątkowej emsj (wstrzyknęu) zanezyszzena: skalą zasu jest zas od hwl emsj, tzn.: T po podst. do równ. (.3) (.): ~ ~ M A t t tzn. konentraję można otrzymać z rozwązana podobeństwa: M A t f (,t) jedyną możlwośą aby funkja f była bezwymarowa jest (zob. równ..3) sprawdź wymar argumentu funkj f ):
m f f (.4) / t m s s zmenna bezwymarowa o daje ostatezne: M (,t) f ( ); η A t t η (.5) 3
.4. ozwązane analtyzne równana dyfuzj dla pozątkowego (mpulsowego) wstrzyknęa zanezyszzena wprow. równ. (.5) do prawej strony równ. (.9): f' df dη ; f" d f dη M A ( t) 3 / f" lewa strona równ. (.9): t M A po podst. do równ. (.9): ostatezne: Uwaga: η t 3 f ( f + f' ) f" ( f )' f t η t f' η (.6) uproszzena wprowadzone dzęk rozwązanu podobeństwa pozwolły przekształć równane różnzkowe ząstkowe (.9) w równane różnzkowe zwyzajne (.6). po sałkowanu równ. (.6): η f f' +onst (.7) określene wartoś stałej: 4
( patrz równ.5) η neparzyste η ~. spodzewana ewoluja konentraj: (,t) (,t) ys..3. konentraja pozątkowa dla t 0 dla t > 0 Konentraja zanezyszzena w hwl pozątkowej (a) po upływe zasu t (b). η f ~ dla symetr równ.(.7): z równ. (.7): o daje rozwązane: parzyste ( patrz rys..3) ( patrz równ..5) f parzyste f ' ( parzyste) ' neparzyste ( neparzyste) ( parzyste) neparzyste f onst 0 η f' f (.8) f η a ep 4 po podstawenu równana (.9) do (.7): (.9) 5
M a ep (.0) A t 4t Uwaga: a jest jedyną newadomą z równana zahowana masy zanezyszzena (równ.(.4) dla neruhomego płynu) po podst. równ.(.0): A a ep z tabl ałek oznazonyh d M 4t η ep dη d t π (.) (.) porówn. równ. (.) (.): a (.3) 4π podst. równana (.3) do równ.(.0) otrzymujemy równane Uwaga: ewoluj konentraj dla dyfuzj molekularnej M ep A 4πt 4t (.4) - pozątkowa konentraja δ (delta raa, tzn. neskońzene enka warstwa zanezyszzena dla 0) - z upływem zasu t konentraja zmerza do rozkładu Gaussa. 6
.5. Statystyzne mary rozkładu konentraj powstałego w wynku proesu dyfuzj. moment perwszego rzędu wartość ozekwana {E}: { E } d neparzyste; parzyste; { } ( ) neparzyste, E d 0 (.5) Uwaga: {E} jest środkem ężkoś rozkładu konentraj, poneważ emsja w 0, wę: { E } 0 moment drugego rzędu waranja σ rozkładu konentraj: σ A d M podst. równ. (.4) przehodzą do zmennej η (patrz równ..5): σ π Uwaga: ałkowane przez zęś: η / ( t) η e dη (.6) η e η / dη η / [ η e ] + η / η / η e dη / e dη 0 π 7
ostatezne z równ. (.6) waranja rozkładu przyjmuje postać: podst. do równ. (.4) można zapsać: σ t (.7) M ep A σ π σ (.8.a) Uwaga: σ - jest marą rozprzestrzenana zanezyszzeń od h położena pozątkowego, tzn. jest marą rozmaru hmury zanezyszzeń σ - może być uważana za skalę długoś proesu dyfuzj (patrz równ..3.7). Udzał ałkowtej masy zanezyszzena w przedzale ; + σ σ / σ 3 + / σ / σ e / σ π 0.68 0.954 0.997 d σ 8
.6. Nektóre własnoś gaussowskego rozkładu konentraj szybke rozprzestrzenane hmury zanezyszzeń, z równ.(.7): d σ dσ dt dt σ (.9) szybkość rozprzestrzenana hmury zależność podobeństwa szybkość rozprzestrzenana ~ ~ σ gradent lub strumeń zanezyszzena, z równ.(.8): σ M ep A σ π t σ σ σ położene maksmum strumena: tzn. σ ma + 0 4 σ M A σ π σ e σ ( 0,t) σ e zależność podobeństwa (patrz równ.(.7)): ma ~ σ ~ t 9