Publikcj współfisow ze środków Uii Europejskiej w rmch Europejskiego Fuduszu Społeczego SKRYPT DO ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW I ROKU AKADEMII MORSKIEJ W SZCZECINIE dr iż Ryszrd Krupiński PUBLIKACJA DYSTRYBUOWANA BEZPŁATNIE
Spis treści Wstęp Symbole mtemtycze Liczby rzeczywiste Liczby turle 6 Liczby cłkowite 6 Liczby wymiere 6 Liczby iewymiere 6 Przedziły liczbowe 7 Dziłi liczbch rzeczywistych 7 Ułmki 0 Wrtośd bezwzględ Zdi Fukcj Defiicj fukcji Włsości fukcji 6 Fukcj złożo 8 Fukcj odwrot 9 Zdi 0 Fukcj liiow Wzjeme położeie dwóch prostych, rodzj ukłdu rówo Zdi Fukcj kwdrtow Postd koicz 6 Miejsc zerowe 6 Postd iloczyow 7 Rówi i ierówości kwdrtowe 8 Rówi dwukwdrtowe 9 Zdi 9 Wielomiy Dzieleie wielomiów Twierdzeie Bezout Rówi Nierówości
Zdi Fukcj wymier 6 Rówi wymiere 6 Nierówości iewymiere 7 Zdi 8 Ciągi 8 Mootoiczośd ciągu 8 Zdi 0 Grice ciągów Liczb e Grice iewłściwe ciągów Zdi 6 Ciąg rytmetyczy 7 Zdi 9 Ciąg geometryczy 0 Zdi Szereg geometryczy Zdi Fukcj wykłdicz Defiicj Włsości fukcji wykłdiczej Rówi wykłdicze Nierówości wykłdicze 7 Zdi 8 Fukcj logrytmicz 60 Pojęcie logrytmu 60 Defiicj fukcji logrytmiczej 60 Włsości fukcji logrytmiczej 60 Rówi i ierówości logrytmicze 6 Zdi 6 Fukcje trygoometrycze 66 Fukcje trygoometrycze dowolego kąt 66 Fukcje trygoometrycze zmieej rzeczywistej 67 Wzory redukcyje 69
Zdi 70 Rówi i ierówości trygoometrycze 7 Zdi 79 Fukcje cyklometrycze (kołowe) 8 Fukcj odwrot 8 Zdi 8 Fukcje odwrote do fukcji trygoometryczych 8 Zdi 87 Geometri litycz 88 Wektory płszczyźie 88 Sum wektorów 88 Możeie wektor przez liczbę 89 Iloczy sklry wektorów 89 Cosius kąt między wektormi 90 Zdi 9 Prost płszczyźie 9 Kąt między dwiem prostymi 98 Zdi 0 Okrąg 0 Zdi 0
I Wstęp Niiejszy podręczik jest przezczoy dl studetów I roku Akdemii Morskiej w Szczeciie, uczesticzących w zjęcich wyrówwczych z mtemtyki, w rmch projektu Rozwój i promocj kieruków techiczych w Akdemii Morskiej w Szczeciie W skrypcie przedstwioo podstwowe zgdiei z mtemtyki z zkresu szkoły średiej, których zjomośd jest iezbęd do relizcji progrmu mtemtyki, fizyki i różych przedmiotów techiczych I i II roku studiów Licze przykłdy i kometrze do rozwiązych zdo, umożliwią studetom szybsze opowie prezetowych zgdieo W celu utrwlei pozego mteriłu, do kżdego rozdziłu dołączoo dużą liczbę zróżicowych zdo do smodzielego rozwiązi Wiele z ich to zdi brdzo proste, ilustrujące prezetowe pojęci Do większości z ich podo odpowiedzi II Symbole mtemtycze Mtemtyk posid swój specyficzy język, skłdjący się z obszerego zestwu zków, symboli i sformułowo Niektóre z ich będą często wykorzystywe w iiejszym skrypcie i zjęcich podczs studiów Dltego poiżej wyjśimy zczeie jczęściej używych symboli Symbol przyleżości: Zpis A ozcz, że jest elemetem zbioru A, wyrżeie A ozcz, że ie jest elemetem zbioru A Zpis A B ozcz, że zbiór A zwier się w zbiorze B Zpis A B ozcz sumę zbiorów A i B (złączeie) Zpis A B ozcz iloczy zbiorów A i B (częśd wspólą) Zpis A \ B ozcz różicę zbiorów A i B (te elemety, które są w A, le ie m ich w B) Symbol zywmy kwtyfiktorem ogólym, jest o rówowży wyrżeiu dl kżdego A leżącego do A Ntomist symbol ozczjący istieje tki leżący do A, zywmy A kwtyfiktorem szczególym Wyrżeie z tego wyik, że moż zstąpid symbolem ; Wyrżeie wtedy i tylko wtedy, gdy moż zstąpid symbolem ; Spójik i często w tekstch mtemtyczych m postd, spójik lub występuje jko III Liczby rzeczywiste Pierwszą rzeczą, któr kojrzy się z mtemtyką są liczby Dltego zcziemy od opisu i klsyfikcji liczb, z którymi spotyk się kżdy człowiek, czy to w życiu codzieym czy przy rozwiązywiu złożoych problemów techiczych W iiejszym skrypcie, tk jk w szkole średiej, będziemy poruszd się tylko w zkresie liczb rzeczywistych Nzw tych liczb ozcz, że spotykmy się z imi w szej
rzeczywistości czyli w domu, w sklepie, w bku, plży, w prku i td Liczby te w większości były ze i stosowe już w strożytości Jk mówimy o liczbch, to jedocześie trzeb wspomied o tym, co z tymi liczbmi moż zrobid czyli o dziłich Wyróżimy dw podstwowe dziłi: dodwie i możeie Często w szkole mówiło się o czterech podstwowych dziłich: dodwie, odejmowie, możeie i dzieleie, jedk w iiejszym skrypcie odejmowie będziemy trktowd jko dodwie liczby przeciwej, dzieleie jko możeie przez liczbę odwrotą Pojęcie liczby przeciwej i liczby odwrotej wyjśimy późiej Dodtkowo w tej części omówimy jeszcze potęgowie i pierwistkowie Liczby turle Tk zwy zwykły człowiek jczęściej stosuje liczby turle czyli liczby,,,, i tk dlej Są to liczby, które pojwiły się w historii ludzkości jko pierwsze Liczby turle ozczmy symbolem N Dodjąc lub możąc dwie liczby turle otrzymmy rówież liczbę turlą Ntomist odejmowie dwóch liczb turlych ie zwsze d liczbę turlą Pojwiją się w te sposób liczby ujeme Liczby cłkowite Uzupełijąc liczby turle o liczbę 0 i liczby przeciwe do liczb turlych (-, -, -, -, i td) otrzymujemy liczby cłkowite Liczby cłkowite ozczmy symbolem C Dodjąc, możąc lub odejmując dwie liczby cłkowite otrzymmy rówież liczbę cłkowitą Ntomist dzieleie dwóch liczb cłkowitych ie zwsze d liczbę cłkowitą Pojwiją się wtedy ułmki Liczby wymiere Liczby wymiere to wszystkie liczby postci p q, gdzie liczby p i q są liczbmi cłkowitymi i q ie może byd zerem Liczby wymiere ozczmy symbolem W Dodjąc, możąc, odejmując lub dzieląc dwie liczby wymiere otrzymmy rówież liczbę wymierą (z zstrzeżeiem, że ie wolo dzielid przez 0) Ntomist opercj pierwistkowi (w strożytości z w postci obliczi długości przekątej kwdrtu) wyko liczbie wymierej, ie zwsze dje liczbę wymierą Pojwiją się w te sposób liczby iewymiere Liczby iewymiere Liczby iewymiere to te liczby rzeczywiste, które ie są wymiere Do liczb iewymierych zliczmy wszystkie pierwistki z liczb wymierych, które ie są wymiere, p: 7,, i tp orz iektóre liczby specjle, jk przykłd liczb używ często w geometrii czy liczb e używ w lizie mtemtyczej Liczby iewymiere ozczmy symbolem NW Liczby wymiere i iewymiere dją w sumie liczby rzeczywiste Poiższy rysuek pokzuje zleżości między poszczególymi zbiormi liczb 6
R W C N NW Rys Zbiór liczb rzeczywistych Zbiór liczb rzeczywistych moż przedstwid grficzie jko prostą zorietową, której zzczoy jest zwrot, kokret wrtośd orz jedostk Kżdy pukt tej prostej odpowid jkiejś liczbie rzeczywistej 0 R Przedziły liczbowe Rys Oś liczbow Z osią liczbową związe są bezpośredio przedziły liczbowe czyli zbiory liczb pomiędzy dwom liczbmi rzeczywistymi Zbiór liczb rzeczywistych zwrtych między liczbmi i b, włączie z tymi liczbmi zywmy przedziłem domkiętym i ozczmy symbolem b, Defiicję tego przedziłu moż rówież zpisd w skrócoej mtemtyczej wersji:, b R : b Ntomist przedziłem otwrtym zywmy zbiór:, b R : b Przedziłem jedostroie domkiętym zywmy zbiór:, b R : b lub, b R : b Przedziłem ieogriczoym zywmy zbiór:, R : lub, R : lub, R :, R : lub Dziłi liczbch rzeczywistych Dodwie Dodwie liczb rzeczywistych jest: przemiee czyli + b = b + ; 7
łącze czyli + b + c = ( + b) + c = + (b + c) Powyższe włsości przydją się szczególie wtedy, gdy trzeb szybko obliczyd sumę kilku lub kilkustu liczb, p: 8 9 8 9 60 0 0 0 Liczbą przeciwą do liczby jest tk liczb, któr po dodiu do liczby dje 0 Liczbę przeciwą do liczby ozczmy symbolem: (mius ) Zk mius w tym wypdku ie musi ozczd liczby ujemej N przykłd jeżeli =, to =, ozcz to, że liczbą przeciwą do liczby jest liczb Możeie Możeie liczb rzeczywistych jest: przemiee czyli b = b ; łącze czyli b c = ( b) c = (b c); rozdziele względem dodwi czyli (b c) = b c Ostti włsośd wykorzystyw w odwrotej kolejości czyli b c = (b c) osi zwę wyłączi wspólego czyik przed wis Jest to opercj, któr pozwl uzyskd postd iloczyową dego wyrżei ) y y ) ) y y y y y y PRZYKŁADY Liczbą odwrotą do liczby jest tk liczb, któr po pomożeiu przez liczbę dje Liczbę odwrotą do liczby ozczmy symbolem: lub ) ), bo, bo, bo ) Potęgowie i pierwistkowie PRZYKŁADY Potęgowie pojwiło się jko skróco wersj wielokrotego możei Zmist pisd przyjęło się zpisywd te iloczy jko Dltego iloczy czyików zywmy -tą potęgą liczby i ozczmy symbolem Liczbę zywmy podstwą potęgi, liczbę wykłdi- 8
kiem potęgi Z czsem pojęcie potęgi o wykłdiku turlym uogólioo jpierw potęgę o wykłdiku cłkowitym, stępie o wykłdiku wymierym Potęg o wykłdiku cłkowitym ujemym ozcz odwrotośd potęgi o wykłdiku turlym czyli ) 9 7 ) 7 ) PRZYKŁADY Dl dowolego turlego, potęg o wykłdiku ozcz pierwistek tego stopi z liczby A pierwistkiem -tego stopi z ieujemej liczby zywmy tką liczbę ieujemą b, że b = b b PRZYKŁADY ) 8 8, bo = 8 ) 6 6 8, bo 8 = 6 ) 6 6, bo = 6 Włsości dziłń potęgch i pierwistkch Dl dowolych dodtich liczb rzeczywistych i b prwdziwe są stępujące zleżości: 0 y y b b y y y y b b Bezpośredio z tych włsości wyik sposób obliczi potęg o wykłdikch wymierych: 9
) k k k k k lub k ) 6 ) 8 8 7 PRZYKŁADY Jko, że pierwistki to szczególe potęgi, odoszą się rówież do ich włsości dziło potęgch, które moż przedstwid w stępujący sposób: k k b b k k b b PRZYKŁADY ) ) 6 6 8 7 8 ) ) 6 8 8 ) 0 90 9 0 0 Ułmki Oddzielym problemem są dziłi ułmkch, z którymi iestety wet bsolweci szkół średich mją kłopoty Skrcie i rozszerzie Wrtośd ułmk ie zmiei się, gdy liczik i miowik pomożymy lub podzielimy przez tę smą liczbę N przykłd: ) ) 8 7 7 0
) ) 0 0: : c : c c bc bc : c b Skrciem ułmków zywmy opercję dzielei liczik i miowik przez tę smą liczbę Ntomist rozszerziem zywmy opercję możei liczik i miowik przez tę smą liczbę Dodwie Żeby dodd dw ułmki musimy mied wspóly miowik PRZYKŁADY ) Żeby dodd i, pierwszy ułmek rozszerzmy przez, drugi rozszerzmy przez czyli 6 0 6 6 ) Żeby dodd y i b, pierwszy ułmek rozszerzmy przez, drugi rozszerzmy przez y czyli b b y by by y y y y y y ) Żeby dodd b i c, pierwszy ułmek rozszerzmy przez d, drugi rozszerzmy przez b czyli d c d c b d cb b d b d d b bd Możeie Żeby pomożyd dw ułmki możymy licziki i miowiki poszczególych ułmków PRZYKŁADY ) 6 6 ) b b b y y y ) 7 9 7 9 6 Dzieleie Żeby podzielid dw ułmki możymy pierwszy przez odwrotośd drugiego
PRZYKŁADY ) : 6 6 6 0 0 ) : b y y b by ) 7 9 7 8 : : 9 7 7 Wrtośd bezwzględ Wrtością bezwzględą dowolej liczby rzeczywistej zywmy jej odległośd od liczby 0 Wrtością bezwzględą liczby ieujemej jest t sm liczb, dl liczby ujemej jest liczb do iej przeciw Symboliczie zpisujemy to stępująco: dl 0 dl 0 Dl dowolych liczb rzeczywistych i b prwdziwe są stępujące włsości: 0 b b b b b b b, dl b 0 b b Nierówości zwierjące wrtośd bezwzględą rozwiązujemy stosując jedą z poiższych rówowżości:, przy złożeiu, że > 0 ) PRZYKŁADY ) 7
), ),, ZADANIA Podj liczby przeciwe do stępujących liczb:, b, c, d 6 Podj liczby odwrote do stępujących liczb:, b, c, d Doprowdź do jprostszej postci stępujące wyrżei: ) 7 9 b) 7 y c) y y d) : Oblicz: ) b) 6 6 6 9 c) d) 7 6 e) 8 8 f) 6 g) 6 h) 6 8 Usuo iewymierośd z miowik ) ; b) 6 Wyłącz czyik przed pierwistek c) d) 7 e) ) 8 b) 0 c) 8 d) e) 7 Rozwiąż rówi i ierówości ) 7 b) 8
c) d) 8 e) Odpowiedzi ), b, c, d 6, b, c, d, b) 6 ) 6; b) ; c) ; d) 6 ) 9, c), d) y y 7y y ; e) 6; f) ; g) ; h) 8, b) 7, c), d) 7 6 ), b), c) 8, d) e) 6 e) 7 ) 9, b), c),, d),, e) IV Fukcj Defiicj fukcji Fukcją f określoą w zbiorze X o wrtościch ze zbioru Y zywmy przyporządkowie kżdemu elemetowi ze zbiory X dokłdie jedego elemetu ze zbioru Y Fukcję tką ozczmy symbolem f : X Y Zbiór X zywmy dziedzią fukcji (zbiór rgumetów) Zbiór Y zywmy zbiorem wrtości fukcji Wykresem fukcji y = f() zywmy zbiór W puktów płszczyzy Oy tki, że W = {P(, y): D, y = f()} PRZYKŁADY ) Niech fukcj f kżdej liczbie turlej miejszej od 0, przyporządkowuje jej kwdrt Dziedzią tej fukcji jest zbiór,,,,,6,7,8,9, tomist zbiorem wrtości jest,,9,6,,6,9,6,8 Wykresem tej fukcji jest 9 puktów płszczyźie Oy:
90 80 y 70 60 0 0 0 0 0 0 0 6 8 0 ) Niech fukcj f kżdej liczbie rzeczywistej z przedziłu od do 9, przyporządkowuje jej kwdrt Dziedzią tej fukcji jest przedził, 9, tomist zbiorem wrtości jest przedził, 8 Wykresem tej fukcji jest ieskooczeie wiele puktów płszczyźie Oy, tworzących lię krzywą pomiędzy puktmi (, ) i (9, 8): 90 80 70 60 0 0 0 0 y 0 0 0 6 8 0 ) Niech fukcj f kżdej liczbie rzeczywistej dodtiej przyporządkowuje jej odwrotośd Dziedzią tej fukcji jest zbiór R +, zbiorem wrtości jest te sm zbiór R + Wykresem tej fukcji jest ieskooczeie wiele puktów płszczyźie Oy, tworzących frgmet liii krzywej zwej hiperbolą:
,,, 0, 0 y 0 6 8 0 Włsości fukcji Poiżej przedstwioo iektóre włsości fukcji iezbęde do lizy wykresów, którą studeci muszą często wykoywd różych zjęcich Poiższe włsości są też potrzebe do zrozumiei owych pojęd, które pojwią się kursie mtemtyki podczs I i II roku studiów ) Fukcję f zywmy różowrtościową w zbiorze X wtedy i tylko wtedy, gdy dl dowolych dwóch różych rgumetów, ich wrtości są róże ) Fukcję f zywmy przystą w zbiorze D wtedy i tylko wtedy, gdy dl kżdego D, elemet przeciwy do iego leży rówież do D orz f( ) = f() (wykres fukcji przystej jest symetryczy względem osi Oy) ) Fukcję f zywmy ieprzystą w zbiorze D wtedy i tylko wtedy, gdy dl kżdego D, elemet przeciwy do iego leży rówież do D orz f( ) = f() (wykres fukcji ieprzystej jest symetryczy względem początku ukłdu współrzędych) ) Fukcję f zywmy okresową w zbiorze D wtedy i tylko wtedy, gdy istieje tk liczb T 0, że dl kżdego D, + T D orz f( +T) = f() ) Fukcję f zywmy rosącą w zbiorze A wtedy i tylko wtedy, gdy, A f f 6) Fukcję f zywmy mlejącą w zbiorze A wtedy i tylko wtedy, gdy, A f f 7) Fukcję f zywmy stłą w zbiorze A wtedy i tylko wtedy, gdy 6
A R f 8) Miejscem zerowym fukcji f zywmy tką liczbę 0, dl której f 0 0 ; 9) Wrtością jwiększą fukcji f zywmy tką liczbę y m, dl której istieje tki rgumet m, że y f f y m m m m 0) Wrtością jmiejszą fukcji f zywmy tką liczbę y mi, dl której istieje tki rgumet mi, że ) Fukcj y i mmy: y f f y mi mi mi mi PRZYKŁADY 8jest różowrtościow, poiewż dl dwóch dowolych różych rgumetów 8 8 f f ) Fukcj y jest przyst, poiewż dl dwóch dowolych przeciwych rgumetów i ich wrtości są rówe: f f f f f ) Fukcj y jest ieprzyst, poiewż dl dwóch dowolych przeciwych rgumetów i ich wrtości są przeciwe: f f f f ) Fukcj y jest rosąc w cłym zbiorze R, poiewż dl dwóch dowolych różych rgumetów i mmy: f f ) Wykres pewej fukcji y h przedstwioo poiżej h() 7
N podstwie tego wykresu możemy określid włsości tej fukcji: dziedzią jest przedził, ; zbiorem wrtości jest przedził, ; fukcj ie jest różowrtościow (bo p dl i przyjmuje tką smą wrtośd ); fukcj jest przyst, bo jej wykres jest symetryczy względem osi oy; miejscmi zerowymi tej fukcji są liczby orz ; fukcj jest rosąc dl,0 ; fukcj jest mlejąc dl 0, ; fukcj jest stł dl,, ; jwiększ wrtośd fukcji wyosi, dl = 0; jmiejszą wrtośd fukcj osiąg dl,, i wyosi o 6) Niektóre włsości pewej fukcji y g dziedzią jest przedził 0, 0 ; zbiorem wrtości jest przedził 0, 0 ; przedstwioo poiżej: fukcj ie jest różowrtościow; fukcj jest ieprzyst; miejscmi zerowymi tej fukcji są liczby 0, 0 orz 0 i ie m iych miejsc zerowych; fukcj jest rosąc tylko dl 0,0 ; fukcj jest mlejąc tylko dl 0, 0 0,0 N podstwie powyższych włsości wykres fukcji g() może wyglądd stępująco: g() 0 Nie jest to jedy wersj wykresu fukcji g() Może ich byd ieskooczeie wiele Fukcj złożo De są dwie fukcje f i g tkie, że f : X Y g : Y Z 8
Złożeiem (superpozycją) fukcji f i g zywmy fukcję h = g f: X Z określoą wzorem g f() = g[f()] Fukcję g zywmy fukcją zewętrzą, fukcję f wewętrzą PRZYKŁADY ) Dl fukcji y si y, fukcją zewętrzą jest y si, fukcją wewętrzą jest ) Dl fukcji y si y si si, fukcją zewętrzą jest y, fukcją wewętrzą jest Fukcj odwrot Jeżeli f : X Y jest fukcją różowrtościową, to istieje fukcj f :Y X zyw fukcją odwrotą względem fukcji f, określo wzorem = f (y) Wykresy fukcji f i f są symetrycze do siebie względem prostej y = Wyzczjąc fukcję odwrotą do fukcji y f, wyzczmy jpierw ze wzoru fukcji f, stępie zmieimy ozczei zmieych: y i y PRZYKŁADY )Dl fukcji y fukcją odwrot jest fukcj y, bo: y y i zmieijąc zmiee otrzymujemy y ) Dl fukcji y fukcją odwrot jest fukcj y, bo: y y y i zmieijąc zmiee otrzymujemy y ) Dl fukcji R\, bo: y, gdzie R\, fukcją odwrot jest fukcj y, gdzie y y y y y y y y y : y y i zmieijąc zmiee otrzymujemy y O brdziej skomplikowych fukcjch odwrotych będzie mow w dlszej części skryptu 9
ZADANIA N podstwie poiższego wykresu wyzcz włsości fukcji: y N podstwie poiższego wykresu wyzcz włsości fukcji: y 0 N podstwie poiższego wykresu wyzcz włsości fukcji: y N podstwie stępujących włsości szkicuj wykres fukcji: D 0,0 ; f tylko dl,, ; f ie istieje; f tylko dl 0,, 0; fukcj m jest przyst; y 0 tylko dl 0,0,0 N podstwie stępujących włsości szkicuj wykres fukcji: D 80,80 ; ZW 0,0 ; f tylko dl (0, 0 80 ; fukcj jest ieprzyst; m y 0 tylko dl 60,0,60 6 Sprwdź czy fukcj d wzorem: f 7 Sprwdź czy fukcj d wzorem: f mi, jest przyst, jest ieprzyst 0
8 Sprwdź czy fukcj d wzorem: f 9 Wyzcz fukcje odwrote do stępujących fukcji: ) y, b) y c) y 6 Odpowiedzi, jest różowrtościow,, 0 d) y D, ; ZW, ; f dl, ; f dl, ; f dl,, m f dl,, ; f dl, ; y 0 dl,,, ; fukcj przyst D 60, 0 ; ZW, ; f dl 0, 0 ; f dl 0, 0 ; f dl 60, 0 m f dl 0, 0 0, 0 ; f dl 0, 0 0, 0 ; y 0 dl 0, 0 D 7, 7 ; ZW, ; fm dl, ; fmi dl, ; f dl 7,, 7 f dl, ; f dl,, ; y 0 dl 7, 0, 7 ; fukcj ieprzyst mi mi ; ; y y 0 0 80 9 ) y b) y c) y, d) y, V Fukcj liiow Fukcją liiową zywmy fukcję f : R R określoą wzorem f () = +b Liczbę zywmy współczyikiem kierukowym, liczbę b wyrzem wolym Wykresem fukcji
y = + b, gdzie R, jest lii prost chylo do osi pod tkim kątem, że = tg i przecijąc oś Oy w pukcie, którego rzęd jest rów b y b Rys Wykres fukcji liiowej Współrzęde kżdego puktu leżącego do prostej o rówiu y = + b, spełiją to rówie Stąd mjąc dw pukty: A( A, y A ) i B( B, y B ) przez które przechodzi prost, możemy zleźd jej rówie, rozwiązując stępujący ukłd rówo: ya A b yb B b z iewidomymi i b PRZYKŁADY ) Wyzcz pukty leżące do prostej o rówiu: y Rozwiązie: Wstwijąc =0 do rówi prostej otrzymujemy y= czyli pukt P 0, ; dl = mmy y=7, stąd pukt P,7 ; dl =00 mmy pukt P 00,0 ) Wyzczyd rówie prostej przechodzącej przez pukty A(, ) i B(, ) Rozwiązie: b b b b 0, b b b b 0 b b, Czyli rówie tej prostej jest stępujące: y0,, Dwie proste są rówoległe wtedy i tylko wtedy, gdy współczyiki kierukowe ich rówo są jedkowe Ntomist dwie proste są prostopdłe, gdy współczyiki kierukowe ich rówo są odwrote i przeciwe
N przykłd proste: l : y 9 i l : y są rówoległe, proste: l : y 9 i l : y 0 są prostopdłe PRZYKŁADY ) Wyzcz rówie prostej rówoległej do prostej o rówiu: y, przechodzącej przez pukt P 7, Rozwiązie: Skoro m to byd prost rówoległ do prostej y, to jej współczyik kierukowy musi byd rówy, czyli jej rówie m postd: y b Niezy współczyik b zjdziemy wstwijąc do tego rówi współrzęde puktu P: 7 b b 0 y 0 ) Wyzcz rówie prostej prostopdłej do prostej o rówiu: pukt P, y, przechodzącej przez Rozwiązie: Skoro m to byd prost prostopdł do prostej y, to jej współczyik kierukowy musi byd rówy ( ), czyli jej rówie m postd: y b Niezy współczyik b zjdziemy wstwijąc do tego rówi współrzęde puktu P: b b y ) Wyzcz pukt wspóly prostych: l : y i l : y Rozwiązie: Skoro m to byd pukt leżący zrówo do jedej jk i drugiej prostej, to jego współrzęde muszą spełid tk rówie prostej l jk i rówie prostej l, czyli musz spełid ukłd rówo: y y Rozwiąziem tego ukłdu jest pr liczb (, ) czyli puktem przecięci się obu prostych jest pukt P, Wzjeme położeie dwóch prostych, rodzj ukłdu rówo Dwie proste mogą się przecid i wtedy ich częścią wspólą jest jede pukt, którego współrzęde zjdujemy rozwiązując ukłd rówo zwy ozczoym
Dwie proste mogą byd rówoległe i leżed obok siebie, wtedy ie mją części wspólej, ukłd rówo tych prostych zywmy sprzeczym Ntomist dwie proste rówoległe, leżące jed drugiej, mją ieskooczeie wiele puktów wspólych A ukłd rówo tych prostych zywmy ieozczoym Np y y y Ukłd jest ozczoy Ukłd jest sprzeczy A ukłd jest ieozczoy Te ostti typ ukłdu rówo przewżie ie występuje w tk otwrtej postci, drugie y y y rówie jest zwykle w iej formie, le po przeksztłceiu otrzymujemy dw tkie sme rówi ZADANIA Wyzcz pukty leżące do prostej o rówiu: y7 Sprwdź czy pukt P, 6 leży do prostej o rówiu: 7 y 9 9 Wyzczyd rówie prostej przechodzącej przez pukty A(, ) i B(, ) Wyzczyd rówie prostej przechodzącej przez pukty A(, ) i B(, ) Wyzcz rówie prostej rówoległej do prostej o rówiu: y, przechodzącej przez pukt P, 6 Wyzcz rówie prostej rówoległej do prostej o rówiu: pukt P, 7 Wyzcz rówie prostej prostopdłej do prostej o rówiu: pukt P, 8 Wyzcz rówie prostej prostopdłej do prostej o rówiu: przez pukt P, 9 Wyzcz pukt wspóly prostych: l : y 0 i l : y 0 Rozwiąż ukłdy rówo: y, przechodzącej przez y, przechodzącej przez y, przechodzącej y 0 y y y ) b) c) d) y y y6 y De są trzy wierzchołki rówoległoboku: A(, ), B(,) i C(, ) Wyzcz jego czwrty wierzchołek De są wierzchołki trójkąt: A(, ), B(,) i C(, ) Wyzcz spodek wysokości tego trójkąt wychodzącej z wierzchołk C
Odpowiedzi y ; y ; y ; 6 y ; 7 y ; 6 8 y 9 ; 9 P6, ; 0, y ; 0b ukłd sprzeczy; 0c ukłd ieozczoy; 0d 9, y 8 ;, D ; D, VI Fukcj kwdrtow Fukcję f : RR określoą wzorem f() = + b + c, gdzie 0, zywmy fukcją kwdrtową (trójmiem kwdrtowym) w postci ogólej Wykresem fukcji kwdrtowej jest lii krzyw zw prbolą Prbol może mied rmio skierowe w górę lub w dół Jeżeli współczyik w rówiu ogólym fukcji kwdrtowej jest dodti,to rmio prboli są skierowe w górę (rys ), jeżeli < 0, to rmio prboli są skierowe w dół (rys b) 6 0 y 0 - y 0 0 8-6 -6-8 0-0 0-0 - - - -6 ) b) Rys Wykres fukcji kwdrtowej Liczbę = b c (delt) zywmy wyróżikiem fukcji kwdrtowej Jest to liczb, któr zczie ułtwi wyzczi wierzchołk prboli i jej miejsc zerowych Współrzęde wierzchołk prboli jczęściej ozcz się litermi p i q: Np b p, q
Wierzchołkiem prboli f 6 jest pukt W, 6 p i q, poiewż 6, Postd koicz Fukcję f p q zywmy fukcją kwdrtową w postci koiczej Np Postcią koiczą trójmiu f 6 jest fukcj f f Miejsc zerowe Jeżeli > 0, to fukcj kwdrtow posid dw róże miejsc zerowe czyli b, b Jeżeli = 0, to fukcj kwdrtow m jede (dwukroty) pierwistek b 0 Jeżeli < 0, to fukcj kwdrtow ie m pierwistków rzeczywistych ) Fukcj kwdrtow 6): 6 0 ) Fukcj kwdrtow PRZYKŁADY f m dw miejsc zerowe, gdyż jest dodti (wyosi 6, f m jedo miejsce zerowe, gdyż = 0: 0 0 0 ) Fukcj kwdrtow f ie m miejsc zerowych, gdyż jest ujem(wyosi ( )) Wżą umiejętością jest szkicowie wykresu fukcji kwdrtowej czyli prboli W tym celu leży wyzczyd wierzchołek i miejsc zerowe prboli orz pukt przecięci się prboli z osią oy W przypdku brku miejsc zerowych lub pokrywi się wierzchołk z miejscem zerowym, pomociczo moż wyzczyd dw pukty rówoodległe od wierzchołk 6
) Wykresem fukcji PRZYKŁADY f jest stępując prbol: 6 y 0 8 6 0-7 -6 - - - - - 0 - Aby dobrze ją rysowd obliczmy jpierw, stępie p, q,, : ; p ; q ; ; Podto wiemy, że c =, czyli prbol przeci oś Oy w pukcie (0, ) Zzczmy powyższe pukty płszczyźie Oy i rysujemy prbolę Postd iloczyow W przypdku, gdy fukcj kwdrtow f b c m pierwistki, to moż ją zpisd w postci iloczyowej: f ( )( ) PRZYKŁADY ) Fukcj f m stępującą postd iloczyową: f ) Fukcj f m stępującą postd iloczyową: f ) Fukcj f m stępującą postd iloczyową: ) Ntomist fukcj f f ie posid postci iloczyowej, gdyż <0 7
Rówi i ierówości kwdrtowe Rozwiązie rówi f b c b c 0 jest tożsme z wyzczeiem miejsc zerowych fukcji Do rozwiązywi ierówości zstosujemy metodę grficzą Żeby rozwiązd ierówośd kwdrtową czyli jedą z ierówości: b c b c b c b c 0 lub 0 lub 0 lub 0 leży obliczyd jpierw pierwistki fukcji f b c, stępie szkicowd wykres fukcji f() zzczjąc tylko jej miejsc zerowe i w zleżości od typu ierówości podd przedził, w którym szkicow prbol jest d osią O lub pod osią O PRZYKŁADY ) Rozwiąziem rówi ) Rozwiąziem rówi 6 0 są dwie liczby: lub, poiewż,, 6 9 0 jest jed liczb:, poiewż 0, 0 ) Rozwiąziem ierówości 6 0 jest przedził (, ), poiewż,,, szkicu prboli widzimy, że wrtości miejsze od 0 fukcj przyjmuje dl, ) Rozwiąziem ierówości 0 jest przedził,, poiewż 9,,, szkicu prboli widzimy, że wrtości większe bądź rówe 0 fukcj przyjmuje dl, 8
- -, - -0, 0 0,,, ) Rozwiąziem ierówości 0 jest zbiór pusty, poiewż 0 i cł prbol zjduje się pod osią O, więc iem tkich rgumetów, dl których wrtości fukcji f są dodtie - - 0 Rówi dwukwdrtowe Rówie typu b c 0 zywmy rówiem dwukwdrtowym i poprzez wprowdzeie pomociczej zmieej t = uzyskujemy zwykłe rówie kwdrtowe Np W rówiu t 0 wstwimy zmist pomociczą zmieą t i otrzymujemy rówie t 0, którego rozwiąziem są dwie liczby: t = orz t = Wiedząc, że = t mmy dw rówi:, z których otrzymujemy cztery rozwiązi: ZADANIA Nrysuj wykresy fukcji: ) y b) y 6 c) y d) y 9
e) y Wyzcz wierzchołki prbol: ) y b) c) y 8 9 y 8 d) y 9 Rozwiąż ierówości: ) 6 0 b) 6 0 c) 0 0 d) 6 6 0 e) 0 f) 0 Rozwiąż rówi: ) 0 b) 0 c) 0 d) 0 Wiedząc, że do wykresu fukcji kwdrtowej y b leżą pukty: A(, ) i B(-, ), wyzcz i b 6 Wyzcz jmiejszą i jwiększą wrtośd fukcji y w przedzile od - do 7 Wiedząc, że wierzchołek wykresu fukcji kwdrtowej y b leży w pukcie W(, ), wyzcz i b 8 Rozwiąż ierówośd: ) 0 b) 0 Odpowiedzi 7 ) W, 8 ; b) W, ; c) W, ; d) 0, 9 ),, ; b), 0, d), ; e) ),,, ; b), 8, b W ; c) ; R\ ; f) ; c), 9 ; d) mi, m 7, b 6 f f f f 8 ),,, b),, 0
VII Wielomiy Wielomiem stopi jedej zmieej rzeczywistej zywmy fukcję: f ( ) 0, gdzie N R,,,, R, 0, 0 Liczby 0,,, zywmy współczyikmi wielomiu Fukcj stł W() = c, gdzie c 0, jest wielomiem stopi zerowego Liczbę zywmy pierwistkiem wielomiu W(), jeżeli W()=0 Np ) Pierwistkiem wielomiu ) Pierwistkmi wielomiu W 8 9 jest liczb ( ), bo W( ) = 0 W 7 8 są liczby:,, i Wielomi jedej zmieej stopi m co jwyżej pierwistków Dzieleie wielomiów Wielomi W() stopi moż podzielid przez wielomi G() stopi m Wyikiem tkiego dzielei jest wielomi stopi ( m), z resztą będącą wielomiem stopi m Dzieleie wykouje się podobie jk piseme dzieleie liczb Np Żeby podzielid wielomi W przez wielomi G, leży jpierw podzielid wyrz z jwyższą potęgą wielomiu W() przez wyrz z jwyższą potęgą wielomiu G(), czyli dzielimy przez, otrzymujemy wtedy, co zpisujemy w stępujący sposób: : Nstępie możymy wielomi G() przez i odejmujemy od wielomiu W(): : 6 Nstępie dzielimy wyrz z jwyższą potęgą otrzymego wielomiu przez wyrz z jwyższą potęgą wielomiu G(), czyli dzielimy przez, otrzymujemy wtedy, co zpisujemy w stępujący sposób:
: 6 8 I tym kooczymy dzieleie, gdyż ostti otrzymy wielomi jest stopi miejszego iż wielomi G() Wielomi 8 zywmy resztą z dzielei wielomiu W() przez G() Twierdzeie Bezout Liczb p jest pierwistkiem wielomiu W() wtedy i tylko wtedy, gdy wielomi W() jest podziely przez dwumi p Bezpośredio z powyższego twierdzei wyik wiosek, że jeżeli wielomi W( ) m wszystkie współczyiki cłkowite i =, to liczb cłkowit q jest 0 pierwistkiem tego wielomiu wtedy i tylko wtedy, gdy q jest dzielikiem wyrzu 0 Liczbę p zywmy m krotym pierwistkiem wielomiu W () wtedy i tylko wtedy, gdy wielomi W () jest podziely przez ( p) m, le ie jest już podziely przez ( p) m + Liczbę m zywmy krotością pierwistk p Rówi Wiele zgdieo techiczych moż sprowdzid do rówo lub ierówości wielomiowych, dltego wżą umiejętością jest rozwiązywie rówo i stopi Przedstwimy dwie metody zjdowi pierwistków wielomiu poprzez jego rozkłd wielomiy pierwszego i drugiego stopi Metod grupowi Pierwsz metod oprt jest wyłącziu wspólego czyik przed wis, jest to metod grupowi ) Dl wielomiu PRZYKŁADY W z pierwszych dwóch elemetów (pierwsz grup) wyciągmy przed wis, z osttich dwóch elemetów (drug grup) wyciągmy przed wis ( ) i mmy: W Nstępie wyłączmy przed wis wspóly czyik, którym jest ( +) i otrzymujemy wielomi W() w postci iloczyu wielomiu pierwszego stopi ( +) i wielomiu drugiego stopi ( ) czyli W Żeby wyzczyd pierwistki wielomiu W() zjdujemy pierwistki obu wielomiów czyli rozwiązujemy dw rówi: 0 0
Uzyske rozwiązi są pierwistkmi wielomiu ) Dl wielomiu W W 9 9 8 rozkłdmy jpierw trzeci skłdik ( ) różicę ( 8 ) Dl otrzymej w te sposób postci W 9 9 8 8 z pierwszych trzech elemetów (pierwsz grup) wyciągmy przed wis 9, z osttich trzech elemetów (drug grup) wyciągmy przed wis ( ) i mmy: 9 W Nstępie wyłączmy przed wis wspóly czyik, którym jest ( + ) i otrzymujemy wielomi W() w postci iloczyu wielomiów drugiego stopi ( + ) i (9 ) czyli 9 W Żeby wyzczyd pierwistki wielomiu W() zjdujemy pierwistki obu wielomiów czyli rozwiązujemy dw rówi: 0 9 0 Uzyske rozwiązi są pierwistkmi wielomiu Metod oprt twierdzeiu Bezout W 9 9 8 Metodę tę stosuje się jczęściej wtedy, gdy współczyik przy jwyższej potędze jest rówy Wtedy sprwdzmy, który z dzielików wyrzu 0 jest pierwistkiem wielomiu i dl iego stosujemy twierdzeie Bezout W te sposób otrzymmy wielomi W() w postci iloczyu wielomiu stopi pierwszego ( q) i wielomiu G(), którego stopieo jest o jede miejszego od stopi W() Jeżeli wielomi G() jest stopi drugiego to obliczmy jego pierwistki i mmy zdie rozwiąze Jeżeli tomist wielomi G() jest stopi większego iż, to powtrzmy dl iego cłą opercję: sprwdzmy, który z dzielików wyrzu wolego jest jego pierwistkiem, stosujemy twierdzeie Bezout, rozkłdmy iloczy wielomiu stopi pierwszego i wielomiu H(), którego stopieo jest o jede miejszego od stopi G() itd ) Wyrz woly wielomiu PRZYKŁADY W 6 wyosi 6 Jego cłkowitymi dzielikmi są liczby:,,, 6,,,, 6 Sprwdzmy po kolei, któr z tych liczb jest pierwistkiem tego wielomiu: W() =, czyli ie jest pierwistkiem; W() = 0, czyli jest pierwistkiem tego wielomiu Stosujemy twierdzeie Bezout czyli dzielimy wielomi W() przez dwumi ( ):
6 : 6 6 Dzięki temu wielomi W() możemy przedstwid w postci iloczyu: W Żeby wyzczyd pierwistki wielomiu W() zjdujemy pierwistki obu wielomiów czyli rozwiązujemy dw rówi: 0 0 Uzyske rozwiązi są pierwistkmi wielomiu Nierówości W 6 Do rozwiązywi ierówości wielomiowych zstosujemy metodę grficzą Żeby rozwiązd jedą z ierówości W 0 lub W 0 lub W 0 lub W 0 zjdujemy jpierw pierwistki wielomiu W(), zzczmy je osi O i szkicujemy wykres fukcji y = W() W zleżości od typu ierówości podjemy przedziły, w których szkicow krzyw jest d osią O lub pod osią O Rysowie wykresów wielomiów jest oddzielym problemem, którego tutj ie będziemy poruszd Ntomist, żeby szkicowd wykres, iezbędy do rozwiązi ierówości,wystrczy rysowd liię krzywą tzw flę, której puktmi wspólymi z osią O są pierwistki wielomiu Njlepiej zcząd rysowie tej liii od stroy prwej: od góry, gdy współczyik przy jwyższej potędze jest dodti lub od dołu, gdy współczyik przy jwyższej potędze jest ujemy Krzyw t przebij oś O w puktch wspólych wtedy, gdy krotośd pierwistk jest ieprzyst, odbij się od osi O w puktch wspólych wtedy, gdy krotośd pierwistk jest przyst ) Dl ierówości PRZYKŁADY 6 0 szukmy jpierw miejsc zerowych wielomiu W 6 Są imi liczby Wszystkie pierwistki są jedokrote, więc wykres wielomiu W() przebij oś O w puktch o współrzędych Współczyik przy jwyższej potędze jest dodti (przy jest ) czyli zczymy rysowd krzywą od stroy prwej, od góry Stąd szkic wykresu wielomiu W 6 jest stępujący:
- - 0 N podstwie powyższego szkicu stwierdzmy, że rozwiąziem ierówości liczby:,, 6 0 są ) Dl ierówości 0 szukmy jpierw miejsc zerowych wielomiu W Są imi liczby 0, przy czym = 0 jest pierwistkiem dwukrotym Wykres wielomiu W() przebij oś O w puktch o współrzędych, tomist w pukcie (0, 0) wykres odbij się od osi O Współczyik przy jwyższej potędze jest ujemy czyli zczymy rysowd krzywą od stroy prwej, od dołu Stąd szkic wykresu wielomiu W jest stępujący: - 0 N podstwie powyższego szkicu stwierdzmy, że rozwiąziem ierówości liczby: 0, 0 są ZADANIA W przez wielomi Wyzcz resztę z dzielei wielomiu V Wyzcz resztę z dzielei wielomiu W V 6 Rozwiąż rówi: ) 0, b) 0 8 0, c) Rozwiąż ierówośd: przez wielomi 9 0
) 0, b) 9 7 0, c) 0 0 Wiedząc, że do wykresu fukcji y b leżą pukty: A(, ) i B(-, ), wyzcz i b 6 Dl jkich wrtości i b liczb jest pierwistkiem podwójym wielomiu W b? 7 Widomo, że liczb jest pierwistkiem rówi m 0 Wyzcz jmiejszy pierwistek tego rówi 8 Wiedząc, że iloczy wielomiów W b i V ie zwier potęg i wyzcz i b Odpowiedzi R 9 R 9 ),,, b) ),, b),,, b 8 6 VIII Fukcj wymier c),, c),,, b 7 8 8, b Jeżeli W() i G() są wielomimi i G() jest wielomiem iezerowym, to fukcję zywmy fukcją wymierą Dziedzią tej fukcji jest zbiór D R : G 0 F W G Np ) Dziedzią fukcji y ) Dziedzią fukcji y jest zbiór R \, jest zbiór R \, 0, Przy rozwiązywiu jkichkolwiek zdo dotyczących fukcji wymierej leży jpierw określid jej dziedzię Rówi wymiere Miejscmi zerowymi fukcji wymierej są miejsc zerowe liczik, o ile leżą do dziedziy fukcji Rozwiązd rówie wymiere W F G W G 0 ozcz to smo, co zleźd miejsc zerowe fukcji 6
) Rozwiązując rówie w pierwszej kolejości wyzczmy jego dziedzię, czyli rozwiązujemy tką różośd: 9 0 PRZYKŁADY D R 9 0 \, Nstępie zjdujemy miejsc zerowe wielomiu występującego w licziku, czyli rozwiązujemy stępujące rówie: 0 0 0 Wszystkie pierwistki liczik leżą do dziedziy tego rówi, więc są jego rozwiązimi 8 ) Rówie 0 zerowym liczik jest liczb, któr ie mieści się w dziedziie ie m rozwiązo, gdyż dziedzią tego rówi jest R \,, miejscem 6 ) Rówie 0 m jedo rozwiązie: =, poiewż drugi pierwistek liczik, liczb, ie leży do dziedziy tego rówi, którą jest zbiór R \, Nierówości wymiere Przy rozwiązywiu ierówości wymierych pozbywmy się miowik poprzez pomożeie obu stro ierówości przez kwdrt miowik Otrzymujemy wtedy ierówośd wielomiową, przy rozwiązywiu której trzeb uwzględid dziedzię ierówości wymierej PRZYKŁADY ) Dziedzią ierówości jest zbiór R \, Nstępie możymy obie stroy ierówości przez ( -9) : 9 0 0 9 9 0 0 9 Otrzym ierówośd wielomiow m stępujące rozwiązie:, 0,, uwzględijąc dziedzię ierówości wymierej, jej rozwiąziem są liczby:, 0,, ) Dziedzią ierówości 0 ierówości przez ( ) : jest zbiór R \, 0, Nstępie możymy obie stroy 0 0 0 7
Otrzym ierówośd wielomiow m stępujące rozwiązie:, 0,,, które jest jedocześie rozwiąziem ierówości wymierej, gdyż cłe rozwiązie ierówości wielomiowej zwier się w dziedziie ierówości wymierej Rozwiąż rówi 0, b) 9 Rozwiąż ierówości ) Odpowiedzi 0, c) 8 0, b) 0, c) ZADANIA 0, d) 0, d) 6 0 9 9 9 0 ) 0, b) c) 0, d),, ) 0,, b), 0, c), 6, d),, VIII Ciągi Ciąg jest to fukcj przyporządkowując liczbie turlej elemet pewego zbioru A Elemety zbioru A zywmy wyrzmi ciągu Przykłdy ciągów: ),,,,, ),, 6, 8, 0, ),,, 8, 6, W pierwszym przypdku mmy:,,,, itd W drugim przypdku mmy:,, 6, 8, itd W trzecim przypdku mmy:,,,, itd 8 Wszystkie wyżej wymieioe przykłdy to ieskooczoe ciągi liczbowe Skooczoym ciągiem liczbowym jest p:,,,, ciąg liczb turlych od do Mootoiczośd ciągu Ciąg rosący to tki ciąg ( ), dl którego dl kżdej liczby turlej prwdziw jest ierówośd Ciąg iemlejący to tki ciąg ( ), dl którego dl kżdej liczby turlej prwdziw jest ierówośd 8
Ciąg mlejący to tki ciąg ( ), dl którego dl kżdej liczby turlej prwdziw jest ierówośd Ciąg ierosący to tki ciąg ( ), dl którego dl kżdej liczby turlej prwdziw jest ierówośd Ciąg stły to tki ciąg ( ), którego wszystkie wyrzy są rówe Kżdy ciąg spełijący którykolwiek z powyższych wruków to ciąg mootoiczy Przykłdy ciągów: Ciąg () jest ciągiem rosącym, bo dl kżdego N prwdziw jest ierówośd ( ), czyli kżdy stępy wyrz tego ciągu jest większy od poprzediego Ciąg ( ) jest ciągiem mlejącym, bo dl kżdego N prwdziw jest ierówośd (+)<, czyli kżdy stępy wyrz tego ciągu jest miejszy od poprzediego Ciąg ( ) ie jest ciągiem mootoiczym, bo wyrzy tego ciągu są przemi ujeme i dodtie dl przystych wyrzy tego ciągu są dodtie, dl ieprzystych są ujeme PRZYKŁADY ) Oblicz cztery koleje wyrzy ciągu określoego wzorem Rozwiązie: Aby obliczyd cztery koleje wyrzy tego ciągu leży z podstwid do wzoru koleje liczby turle od do : 7,,, 6 9 8 8 ) Wskż wszystkie wyrzy ciągu rówe zero: ), b), c) Rozwiązie: )Njpierw ustlmy dziedzię: D N Aby wskzd wszystkie wyrzy tego ciągu rówe zero, leży ogóly wzór tego ciągu przyrówd do zer i rozwiązd rówie ( w tym wypdku rówie kwdrtowe): 0 Liczymy deltę: 6 6, 6 Obliczmy dw rozwiązi:, Ob rozwiązi leżą do dziedziy, więc osttecz odpowiedź brzmi: Pierwszy i trzeci wyrz podego ciągu są rówe zero b)ustlmy dziedzię: miowik musi byd róży od zero, więc D N {} Ułmek jest rówy zero liczik jest rówy zero 8 8 0 8 8 Poiewż = leży do dziedziy, osttecz odpowiedź brzmi: pierwszy wyrz podego ciągu jest rówy zero c)ustlmy dziedzię: ie m pierwistków kwdrtowych z liczb ujemych, więc 0 i N 9
D N Ogóly wzór przyrówujemy do zer: 0 Rozwiązujemy to rówie metodą podstwii: iech t, t R Mmy, więc rówie kwdrtowe postci: t t 0 Po rozwiąziu mmy: t, t lub i N lub 9 Poiewż ob rozwiązi leżą do dziedziy, osttecz odpowiedź brzmi: Pierwszy i dziewiąty wyrz podego ciągu są rówe zero ) Zbdj mootoiczośd ciągu: ), b), c) Rozwiązie: Zbdd mootoiczośd ciągu tz ustlid czy dy ciąg jest rosący, mlejący, ierosący, iemlejący, czy stły lub może w ogóle ie jest mootoiczy W tym celu leży obliczyd różicę dwóch kolejych wyrzów dego ciągu: Jeżeli t różic jest dl kżdego N : -dodti, to ciąg jest rosący - dodti lub rów zero, to ciąg jest iemlejący - ujem, to ciąg jest mlejący - ujem lub rów zero, to ciąg jest ierosący )Obliczmy różicę: [( ) ] [ ] Jest o dodti dl kżdego N ciąg jest rosący [( ) ( ) ] [ ] b)obliczmy różicę: Jest o dodti dl kżdego N ciąg jest rosący c)obliczmy różicę: ( ) ( )( ) ( )( ) 8 8 7 ( )( ) ( )( ) ( )( ) Jest o ujem dl kżdego N ciąg jest mlejący ZADANIA Oblicz cztery początkowe wyrzy ciągu: ), b), c) 6, d), e), g), h) Wskż wszystkie wyrzy ciągu rówe zero: ( ), f) 0
) 6, b), c), d), e), 6 8 8 6 f) 0, g), h), i), j) Wykż, że dy ciąg jest rosący: 6 ), b), c), d), e), f) Wykż, że dy ciąg jest mlejący: ), b), c), d), e) 9 7, f) Zbdj mootoiczośd ciągu: ), b) 7, c), d) 6, e), f) Odpowiedzi ),, 7, ; b),,, ; c), 0, 6, ; d), 7,, ; 9 6 e),, 0, 9 ; f),, 8, ; g),,, ; h) 6, 8, 0, 8 6 7 9 ) ; d) ; e) ; i) ; b) c) f) g) h) j) brk ) c) e) f) ciągi mlejące; b) d) ciągi rosące Grice ciągów Liczbę g zywmy gricą ciągu ierówośd liczby g, jeżeli dl dowolej liczby 0 istieje tk liczb m 0, że g zchodzi dl wszystkich m Mówimy wtedy, że ciąg ( ) jest zbieży do A brdziej potoczie: Jeżeli przy dążącym do ieskooczoości (zwiększjącym się w ieskooczoośd) wyrzy ciągu ( ) wciąż się zmiejszją (lub zwiększją) i corz brdziej zbliżją się do jkiejś liczby g, le jej i ie osiągją, i ie przekrczją, to mówimy, że t liczb g jest gricą tego ciągu Twierdzei o gricch ciągów zbieżych Jeżeli ciągi ( ) i (b ) są zbieże, to prwdziwe są stępujące rówości
) lim k k lim ) lim b lim lim b ) lim b lim lim b lim ) lim, b 0 lim b 0 b lim b ) b c lim lim c g lim b g T ostti rówośd osi zwę twierdzei o trzech ciągch )Oblicz gricę ciągu: ) PRZYKŁADY, b) b, c) c, d) d Rozwiązie: ) W tym przykłdzie łtwo policzyd gricę, poiewż dąży do ieskooczoości, więc pomożoe przez też dąży do ieskooczoości: lim lim b) Kiedy w ułmku miowik zwiększ się w ieskooczoośd, to cły ułmek zmiejsz się do liczby 0: lim b lim 0 Aby policzyd gricę ciągu z podpuktu c i d leży liczik i miowik podzielid przez jwyższą potęgę występującą w miowiku: c) W tym przykłdzie jwyższą potęgą w miowiku jest, czyli po prostu, więc dzielimy liczik i miowik przez : lim c lim lim lim Poiewż gric sumy to sum gric, gric różicy to różic gric, gric iloczyu to iloczy gric, gric ilorzu to ilorz gric, możemy pisd: lim lim lim c lim lim Korzystjąc z podpuktu b (gric ciągu w postci ułmk, gdzie liczik jest stłą liczbą, miowik dąży do ieskooczoości, jest rów 0) i uwzględijąc, że gric ciągu stłego, R jest po prostu rów możemy pisd:
lim lim 0 lim lim 0 0 lim c 0 d) W tym przykłdzie jwyższą potęgą w miowiku jest przez : lim d lim lim lim 7 7 7 Tk jk w poprzedim podpukcie możemy zpisd: Mmy: )Oblicz gricę ciągu: lim d lim d lim lim lim 7 lim lim lim lim lim 0 lim 0 lim lim 0 7 lim 0 0 0 0 0, więc dzielimy liczik i miowik Rozwiązie: W tym zdiu leży skorzystd z twierdzei o trzech ciągch (podego jko osttie w twierdzeich o gricch ciągów zbieżych początku tego temtu) W tym celu jpierw możymy i dzie-
limy sz ciąg przez wyrżeie z przeciwym zkiem, czyli w tym przypdku: i otrzymujemy: 0 Wiemy, że: lim 0 0 lim 0 lim 0 lim 0 Liczb e Ciąg jest zbieży Jego gricą jest liczb e W przybliżeiu jest o rów: e,788 jest rosącym cią- Gricą ciągu giem liczb turlych Ciąg rówież jest liczb e przy złożeiu, że ciąg jest zbieży Jego gricą jest liczb e Dl przykłdu, podjemy poiżej kilk pierwszych wyrzów ciągu 9 6 7 6 6 6 7776,, 70,06,88 :
itd 0 0 0 0 9760 0000000000 0,9760 PRZYKŁADY, b) b )Oblicz gricę ciągu: ) Rozwiązie: Aby móc skorzystd z liczby e leży doprowdzid pody wzór ogóly wyrz ciągu do postci ) tk, by w miowiku ułmk i w potędze występowło to smo wyrżeie Poiewż lim b) b Poiewż lim lim b lim lim e, więc ostteczie mmy: lim lim e, więc ostteczie mmy: lim lim e e lim Tk smo postępujemy, gdy w zdiu korzystmy z wruku: lim Wtedy sprow- e dzmy ogóly wzór ciągu do postci:, by móc skorzystd z gricy e Grice iewłściwe ciągów e e e e e Ciąg jest rozbieży do wtedy i tylko wtedy, gdy dl dowolej liczby A istieje tk liczb m, że dl kżdego m zchodzi ierówośd A
Ciąg jest rozbieży do wtedy i tylko wtedy, gdy dl dowolej liczby A istieje tk liczb m, że dl kżdego m zchodzi ierówośd A A brdziej potoczie: Ciąg jest rozbieży do, kiedy przy zwiększjącym się w ieskooczoośd wyrzy ciągu są corz większe i rówież zwiększją się w ieskooczoośd Ciąg jest rozbieży do, kiedy przy zwiększjącym się w ieskooczoośd wyrzy ciągu są corz miejsze i zmiejszją się w mius ieskooczoośd PRZYKŁADY )Zbdj zbieżośd ciągu: ), b) b Rozwiązie: ) lim lim lim ( ) lim lim Odp Ciąg b) lim b jest rozbieży do lim lim lim lim lim Odp Ciąg b jest rozbieży do ZADANIA ) Oblicz gricę: 7 ) lim, b) lim, c) lim, d) lim 7 ) Oblicz gricę ciągu: ), b) b 0, c), d) c d ) Oblicz gricę ciągu: ), b) b, c) c, d) d ) Oblicz gricę ciągu:, b) b ) ) Oblicz gricę ciągu: ), b) b 6, c) c, d) d, c) c, d) d Odpowiedzi ) ; b) ; c) 0; d) /7 ) ; b) ; c) ; d) ) 0; b) 0; c) ½; d) 0 6
) e ; b) e ; c) Ciąg rytmetyczy 8 e ; d) e ) e ; b) e ; c) 8 e ; d) e Ciąg rytmetyczy to ciąg liczbowy ( ), w którym różic dwóch kolejych wyrzów: r = k+ k (gdzie k - jest liczbą turlą) jest stł r zywmy różicą ciągu rytmetyczego Wyrz -ty moż obliczyd ze wzoru: r lub ze wzoru: Sumę początkowych wyrzów ciągu rytmetyczego moż obliczyd według wzoru: S A podstwijąc wzór -ty wyrz ciągu rytmetyczego do wzoru sumę jego początkowych wyrzów otrzymujemy wzór: r S [ r ( ) ] ( ) S r PRZYKŁADY )Oblicz pięd kolejych początkowych wyrzów ciągu rytmetyczego mjąc pody jego pierwszy wyrz i różicę: ), r, b), r Rozwiązie: Nleży podstwid de z zdi i pięd kolejych liczb turlych od do do wzoru -ty wyrz ciągu rytmetyczego: ) ( ) ( ) 6 8 ( ) 9 ( ) b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 7
( ) ( ) 8 7 )Wyzcz różicę ciągu rytmetyczego mjąc pode jego pierwszy wyrz i któryś z kolei: ), 0, b), 0, Rozwiązie: Korzystmy ze wzoru -ty wyrz ciągu rytmetyczego: ( ) r Podstwimy de z zdi i obliczmy r: ) ( ) r 0 r r 8 r b) 0 (0 ) r, 9 r 9r, r 0, ) Wyzcz pierwszy wyrz ciągu rytmetyczego mjąc podą jego różicę i jede z jego wyrzów: ) r, 9, b) r, 0 6 Rozwiązie: Rówież korzystmy ze wzoru -ty wyrz ciągu rytmetyczego: ( ) r Podstwimy de z zdi i obliczmy : ) ( ) r 9 0 b) 6 (6 ) r 0 ( ) )Podj wzór -ty wyrz ciągu rytmetyczego wiedząc, że:, r, ( ) r Podstwijąc d- Rozwiązie: Ogóly wzór -ty wyrz ciągu rytmetyczego m postd: e z zdi otrzymujemy wzór: ( ), )Oblicz sumę kolejych początkowych wyrzów ciągu rytmetyczego wiedząc, że: ), r,, b), r, 0 Rozwiązie: Po prostu podstwimy de z zdi do wzoru sumę kolejych początkowych wyrzów ciągu ( ) rytmetyczego: S r ( ) ) S S S 0(0 ) b) S 0 0 ( ) S 0 0 9( ) S 0 0 6)Wyzcz różicę ciągu rytmetyczego wiedząc, że:, S 6 6 Rozwiązie: 8
Korzystmy ze wzoru sumę początkowych wyrzów ciągu rytmetyczego: ( ) 6(6 ) 6(6 ) S r S 6 6 r 6 6 r 6 8 r r r 7)Sprwdź czy pody ciąg jest rytmetyczy: ), b) Rozwiązie: Aby sprwdzid czy pody ciąg jest rytmetyczy, leży obliczyd różicę dwóch kolejych wyrzów tego ciągu Jeżeli różic jest stł dl kżdego N to ciąg jest ciągiem rytmetyczym, w przeciwym wypdku im ie jest ), ( ) [( ) ] [ ] Różic jest stł dl kżdego N, więc ciąg jest rytmetyczy b), ( ) Różic ie jest stł, dl kżdego N przyjmuje ią wrtośd, więc ciąg ie jest rytmetyczy ZADANIA Oblicz pięd kolejych początkowych wyrzów ciągu rytmetyczego mjąc pody jego pierwszy wyrz i różicę: ), r, b),, r,, c), r, d), r, e), r, f), r,, g) 0,, r 0,, h) 6, r 0 Wyzcz różicę ciągu rytmetyczego mjąc pode jego pierwszy wyrz i któryś z kolei: ), 6 6, b),, 0, c), 9, d),,,, e),, f), Wyzcz pierwszy wyrz ciągu rytmetyczego mjąc podą jego różicę i jede z jego wyrzów: ) r,, b) r,,, c) r,, 7 6, d) r 0,, 6, 6, e) r 0, 6,, f) r, 8 6 Podj wzór -ty wyrz ciągu rytmetyczego wiedząc, że: ), r, b), r, c), r, d) 6, r 0,, e) 0, r, f), r Oblicz sumę kolejych początkowych wyrzów ciągu rytmetyczego wiedząc, że: ) 6, r, 6, b),, r 0,, 0, c) 0, r,,, d), r,, e) 7, r, 7, f), r, 6 6 Wyzcz różicę ciągu rytmetyczego wiedząc, że: ) 0, S, b), S, c), S 0, d), S, e) 9, S 7, f), S 6 0 9
7 Sprwdź czy pody ciąg jest rytmetyczy: ), b), c) 6, d), e), f) 8 Oblicz sumę wszystkich liczb turlych dwucyfrowych, które przy dzieleiu przez dją resztę Odpowiedzi ),, 9,, 7 ; b), 6, 8,, ; c),, 8,, 8 ; d), 7, 9,, ; e), 0,, 8, ; f),,,, ; g), 0,,, ; h) 6, 6, 6, 6, 6 ) r ; b) r, ; c) r ; d) r 0, ; e) r ; f) r ) ; b) 6, ; c) 9 ; d) 6, ; e),8 ; f) ) ; b) ; c) ; d) 0,,9 ; e) ; f) ) S6 66 ; b) S0 7, ; c) S 7, ; d) S 77 ; e) S ; f) S6 00 6 ) r ; b) r ; c) r ; d) r ; e) r ; f) r 9 7 ) tk, r ; b) ie; c) ie; d) ie; e) tk, r ; f) ie 8 r 0 S0 0,, 0, 97 60 Ciąg geometryczy Ciąg geometryczy (postęp geometryczy) to ciąg liczbowy ( ), w którym ilorz dwóch kolejych k wyrzów: q (gdzie k - jest liczbą turlą) jest stły q zywmy ilorzem ciągu geome- tryczego k -ty wyrz ciągu geometryczego o ilorzie q moż obliczyd ze wzoru: q lub ze wzoru: q Sum początkowych wyrzów ciągu geometryczego jest rów: 0
S q q przy złożeiu, że q (dl q =, S = ) PRZYKŁADY ) Oblicz cztery koleje wyrzy ciągu geometryczego wiedząc, że:, q Rozwiązie: Nleży podstwid de z zdi orz liczby turle od do do wzoru -ty wyrz ciągu geo- metryczego: q q 8 q 6 q 6 8 ) Oblicz sumę kolejych początkowych wyrzów ciągu geometryczego wiedząc, że:, q, Rozwiązie: Nleży skorzystd ze wzoru sumę początkowych wyrzów ciągu geometryczego: S q q Podstwijąc de z zdi do powyższego wzoru otrzymujemy: q S 9 q )Sprwdź, czy pody ciąg jest geometryczy: ), b) Rozwiązie: Aby sprwdzid czy pody ciąg jest ciągiem geometryczym leży obliczyd ilorz jego dwóch kolejych wyrzów Jeżeli ilorz jest stły dl kżdego N to ciąg jest ciągiem geometryczym, w przeciwym wypdku im ie jest ) Ilorz jest stły dl kżdego b) N ( ) Ilorz ie jest stły, dl kżdego, więc pody ciąg jest geometryczy N przyjmuje ią wrtośd, więc ciąg ie jest geometryczy
ZADANIA ) Oblicz cztery koleje wyrzy ciągu geometryczego wiedząc, że: ), q, b) 0, q, c), q, d) 0,, q, e) 0,, q 0,, f), q ) Oblicz sumę kolejych początkowych wyrzów ciągu geometryczego wiedząc, że: ), q, 6, b) 0,, q,, c) 0, 7, q, 0, d),, q 0, 9, e), q,, f), q 0, ) Sprwdź, czy pody ciąg jest geometryczy: ), b) ( ), c), d), e), f) ) Zjdź trzy liczby tworzące ciąg geometryczy wiedząc, że sum tych liczb jest rów 8, iloczy 78 Odpowiedzi ),, 8, 6 ; b) 0, 0, 0, 0 ; c),,, ; d),,, ; 9 7 8 6 e) 0,; 0,0; 0,00; 0,000 ; f), 9 7,, ; 6 069 ) S6 6 ; b) S 7 ; c) S0 ; d) S9, ; e) S ; f) S 08 7 ) b) c) f) tk; d) e) ie Te liczby to: 8, i 8 Szereg geometryczy Jeżeli ( ) jest ieskooczoym ciągiem geometryczym, w którym q, to istieje sum szeregu geometryczego: S q PRZYKŁADY )Oblicz sumę szeregu geometryczego: Rozwiązie:
Aby obliczyd sumę szeregu geometryczego leży jpierw ustlid jego pierwszy wyrz i jego ilorz w tym przypdku, geometryczego: q S q Terz podstwimy do wzoru sumę wyrzów szeregu ZADANIA Oblicz sumę szeregu geometryczego: ) 6 b) c) 9 d) Oblicz sumę szeregu geometryczego, mjąc pode i q : ), q, b), q 0,, c), q, d), q Odpowiedzi ) 6 S ; b) S ; c) ) S 8 ; b) 0 S ; c) 7 S ; d) S S ; d) S IX Fukcj wykłdicz Defiicj Fukcję f określoą dl dego 0 wzorem f ( ) dl wszystkich liczb rzeczywistych, zywmy fukcją wykłdiczą Wykres fukcji wykłdiczej zywmy krzywą wykłdiczą Rozróżimy trzy przypdki fukcji wykłdiczej, w zleżości od podstwy ; wówczs dl dowolych, R, jeżeli to, więc fukcj wykłdicz jest rosąc (rys ) ; wówczs dl kżdego rówoległ do osi 0 (rys b) R y m wrtośd Wykresem jest lii prost
0 ; istieje liczb b, tk, że, b b b jest fukcją rosącą, więc jest fukcją mlejącą (rys c) ; z puktu wyik, że Włsości fukcji wykłdiczej Fukcj wykłdicz przyjmuje tylko wrtości dodtie, tz R 0 0 b Dl fukcj wykłdicz jest fukcją różowrtościową 0,, R c Fukcj, jest rosąc dl, mlejąc dl 0 ; stł dl d Podstwową włsośd fukcji wykłdiczej wyrż związek, tz f ) f ( ) f ( ) ( Rówi wykłdicze Rys Wykresy fukcji wykłdiczej Rówiem wykłdiczym zywmy rówie, w którym iewidom występuje w wykłdiku potęgi Przypomimy sposoby rozwiązywi rówo wykłdiczych, które moż sprowdzid do postci f ( ) q( ) gdzie f () i g () ozczją wykłdiki potęg W rozwiąziu tego rówi opiermy się włsości b) fukcji wykłdiczej (różowrtościowośd), z której wyik, że
) ( ) ( ) ( ) ( g f g f czyli możemy opuścid podstwy potęg PRZYKŁADY ) Rozwiązd rówie 0, 0, 8 Rozwiązie Ide rozwiązi tego rówi poleg uzyskiu po obu stroch rówości tej smej podstwy Łtwo zuwżymy, że wspólą podstwą jest Zstępując ułmki dziesięte ułmkmi zwykłymi orz pierwistek kwdrtowy wykłdikiem potęgi otrzymujemy 8) ( 8 czyli 8) ( stępie 6 orz 9 9 stąd 8 )Rozwiązd rówie 0 Rozwiązie 0 0 Wprowdzmy ową iewidomą t i otrzymujemy rówie kwdrtowe 0 0 t t
6 które m dw pierwistki 0 t i t Otrzymujemy więc dw elemetre rówi wykłdicze 0 i Rówie pierwsze jest sprzecze, rozwiąziem drugiego rówi jest )Rozwiązd rówie Rozwiązie Rówie przeksztłcmy do postci Aby otrzymd jedą wspólą podstwę dzielimy obie stroy rówi przez Otrzymujemy stępie stąd orz, czyli )Rozwiązd rówie 6 Rozwiązie Rówie ie jest typowym rówiem wykłdiczym, gdyż iewidom występuje ie tylko w wykłdiku potęgi, rówież w podstwie Jeżeli złożymy, że 0, wówczs rówie m rozwiązie dl wykłdik potęgi rówego zeru, tz, 0 6 0 6 Okzuje się, że liczby i ie są jedyymi rozwiązimi rówi Poiewż liczb podiesio do dowolej (skooczoej) potęgi rów się, więc kolejym rozwiąziem jest Podto
wiemy, że rówież liczb podiesio do potęgi przystej rów się, więc sprwdzmy, że czwrtym pierwistkiem rówi jest Nierówości wykłdicze Nierówością wykłdiczą zywmy ierówośd, w której iewidom występuje w wykłdiku potęgi Rozptrzymy tylko tkie ierówości wykłdicze, które z pomocą ieskomplikowych przeksztłceo moż doprowdzid do postci f ( ) g( ) f ( ) g( ) lub, gdzie 0 i, fukcje f() i g() ozczją wykłdiki potęg Zk < (>) moż zstąpid zkiem () Przy rozwiązywiu ierówości wykłdiczych musimy pmiętd, że fukcj wykłdicz jest rosąc dl i mlejąc dl 0 (włsośd b) f ( ) g( ) f ( ) g( ),, f ( ) g( ) f ( ) g( ) 0 PRZYKŁADY )Rozwiązd ierówośd Rozwiązie Dziedzią ierówości jest zbiór liczb rzeczywistych 0 Aby otrzymd rówe podstwy po obu stroch ierówości, zstępujemy po prwej stroie przez 0 0 Poiewż miowik w osttiej ierówości jest dodti ( 0), więc możemy pomożyd przez iego obie stroy ierówości Otrzymujemy 0 0 0 0 Rozwiąziem ierówości jest sum przedziłów, 00, 0 )Rozwiązd ierówośd Rozwiązie Po podstwieiu t możemy dą ierówośd zpisd w postci 7