PODSTAWY FIZYKI DLA ELEKTRONIKÓW

WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA Antni Rgalski PODSTAWY FIZYKI DLA ELEKTRONIKÓW WARSZAWA 00

SPIS TREŚCI PRZEDMOWA 9 Rzdział. WPROWADZENIE 3.. Czym jest fizyka? 3.. Wstęp matematyczny 4... Pchdna funkcji 4... Rachunek całkwy 6..3. Liczby zesplne 8..4. Działania na wektach 0..5. Analiza wektwa 5..6. Pawdpdbieństwa. Watści śednie 8 Rzdział. PRAWA ZACHOWANIA 30.. Zachwanie pędu 30.. Zachwanie mmentu pędu 33.3. Zachwanie enegii 35 Rzdział 3. PODSTAWY MECHANIKI RELATYWISTYCZNEJ 39 3.. Niezmienniczść Galileusza 39 3.. Pstulaty teii względnści 4 3.3.Tansfmacje Lentza 44 3.4. Knsekwencje tansfmacji Lentza 46 3.4.. Ddawanie pędkści 46 3.4.. Skócenie długści 47 3.4.3. Wydłużenie pzedziałów czaswych 48 3.5. Mechanika elatywistyczna 49 3.5.. Masa i pęd 49 3.5.. Definicja siły 5 3.5.3. Relatywistyczna enegia kinetyczna 5 3.5.4. Enegia całkwita 54 3.6. Gawitacja a gólna teia względnści 56 Rzdział 4. ELEKTROSTATYKA 58 4.. Ładunek elektyczny 58 4.. Paw Culmba 59 4.3. Ple elektyczne 60 4.4. Stumień pla 6 4.5. Paw Gaussa 6 4.6. Niektóe zastswania twiedzenia Gaussa 63 4.6.. Równmienie naładwana kula 63 4.6.. Pwiezchniwy zkład ładunku 64 4.6.3. Liniwy zkład ładunku 66 4.6.4. Pwiezchnia pzewdnika 66 4.7. Ptencjał elektyczny 67 4.8. Pjemnść elektyczna 70 4.9. Gęstść enegii pla elektyczneg 7 4.0. Dielektyki 7 4.. Twiedzenie Gaussa w pzypadku becnści dielektyków. Wekt indukcji elektycznej 74 3

Rzdział 5. PRĄD ELEKTRYCZNY I SIŁA MAGNETYCZNA 78 5.. Pąd elektyczny 78 5.. Paw Ohma 79 5.3. Ciepł Jule a 8 5.4. Obwdy pądu stałeg 8 5.4.. Pawa Kichhffa 8 5.5. Siła magnetyczna 84 5.6. Indukcja magnetyczna 88 Rzdział 6. POLE MAGNETYCZNE 9 6.. Paw Ampee a 9 6.. Stumień magnetyczny 93 6.3. Paw Bita-Savata-Laplace a 94 6.4. Ple magnetyczne niektóych knfiguacji pądów 95 6.4.. Pstliniwy pzewdnik z pądem 95 6.4.. Slenid 96 6.4.3. Pąd kłwy 97 6.5. Oddziaływanie pzewdników z pądem 98 6.6. Efekt Halla 00 6.7. Magnetyzm 0 Rzdział 7. INDUKCJA ELEKTROMAGNETYCZNA 05 7.. Paw Faadaya 05 7.. Reguła Lenza 08 7.3. Indukcyjnść. Samindukcja 0 7.3.. Indukcyjnść wzajemna 7.4. Tansfmat 7.5. Enegia pla magnetyczneg 7.6. Równania Maxwella 4 7.6.. Pąd pzesunięcia 4 7.6.. Równania Maxwella w pstaci całkwej 6 7.6.3. Równania Maxwella w pstaci óżniczkwej 8 Rzdział 8. DRGANIA I FALE 9 8.. Dganie hamniczne 9 8... Mechaniczne dgania hamniczne 8... Elektyczne dgania hamniczne 3 8.. Składanie dgań hamnicznych ównległych jednakwej częstści. Dudnienie 5 8.3. Składanie dgań wzajemnie pstpadłych 7 8.4. Dgania swbdne tłumine 8 8.5. Dgania wymuszne 3 8.6. Amplituda i faza dgań wymusznych. Reznans 34 8.7. Pąd zmienny 35 8.7.. Obwód zawieający ezystancję 35 8.7.. Obwód zawieający indukcyjnść 36 8.7.3. Obwód zawieający pjemnść 37 8.7.4. Obwód RLC 38 8.7.5. Mc wydzielana w bwdzie pądu zmienneg 39 8.8. Pcesy falwe 40 8.9. Fale biegnące 4 8.0. Pzenszenie enegii pzez fale 44 4

8.. Paczka falwa. Pędkść gupwa 45 8.. Intefeencja fal 49 8.3. Fale stjące 5 8.4. Fale dźwiękwe 5 8.5. Zjawisk Dpplea 54 Rzdział 9. FALE ELEKTROMAGNETYCZNE 58 9.. Równanie óżniczkwe fali elektmagnetycznej 59 9.. Pmieniwanie płaskieg pądu 6 9.3. Oddziaływanie pmieniwania z mateią 65 9.3.. Enegia pmieniwania 65 9.3.. Pęd pmieniwania 67 9.3.3. Odbicie pmieniwania d pzewdnika 68 9.3.4. Oddziaływanie pmieniwania z dielektykiem 69 9.3.5. Współczynnik załamania. Dyspesja 7 9.3.6. Ple pmieniwania ładunków punktwych 74 9.4. Intefeencja fal elektmagnetycznych 75 9.4.. Intefeencja fal pmieniwanych pzez dwa źódła punktwe 75 9.4.. Intefeencja fal d większej liczby źódeł 77 9.4.3. Siatka dyfakcyjna 78 9.5. Dyfakcja światła 80 9.5.. Zasada Huygensa 80 9.5.. Dyfakcja na pjedynczej szczelinie 8 9.6. Kheentnść i niekheentnść 83 9.7. Playzacja światła 85 9.7.. Playzacja kłwa 85 9.7.. Playzaty 87 9.7.3. Playzacja pzez dbicie 89 9.8. Hlgafia 90 9.9. Optyka gemetyczna 9 9.9.. Paw dbicia 93 9.9.. Paw załamania 95 9.9.3. Sczewki 95 Rzdział 0. FALOWA NATURA MATERII 97 0.. Pmieniwanie temiczne 97 0.. Ftefekt 0 0.3. Efekt Cmptna 05 0.4. Dualizm kpuskulan-falwy 07 0.5. Funkcja falwa 08 0.6. Dyfakcja elektnów 0 Rzdział. MECHANIKA KWANTOWA 3.. Paczki falwe 3.. Zasada nieznacznści 5.3. Właściwści paczek falwych 7.4. Cząstka w studni ptencjału 9.5. Równanie Schödingea.6. Baiea ptencjału. Efekt tunelwy 3.7. Oscylat hamniczny 8 5

Rzdział. ATOM WODORU 3.. Pstulaty Bha 3.. Obitalny mment pędu 34.3. Równanie Schödingea dla atmu wdu 36.4. Obitalny mment magnetyczny 44.5. Spin elektnu 46.5.. Spinwy mment pędu i spinwy mment magnetyczny 46.5.. Całkwity mment pędu i całkwity mment magnetyczny 47.5.3. Oddziaływanie spin-bita 50 Rzdział 3. FIZYKA ATOMOWA 5 3.. Zakaz Paulieg 5 3.. Atmy wielelektnwe 53 3.3. Układ keswy piewiastków 55 3.4. Pmieniwanie atmów wzbudznych 58 3.4.. Widma ptyczne 58 3.4.. Pmieniwanie spntaniczne i wymuszne 59 3.4.3. Lase 63 3.5. Pmieniwanie entgenwskie 65 Rzdział 4. SIEĆ KRYSTALICZNA CIAŁ STAŁYCH 69 4.. Sieć kystaliczna i układy kystalgaficzne 70 4.. Oznaczenie węzłów, kieunków i płaszczyzn w kysztale 73 4.3. Pste stuktuy kystaliczne 74 4.4. Defekty sieci kystalicznej 75 4.5. Dgania sieci kystalicznej 78 4.6. Enegia wewnętzna i ciepł właściwe kyształu 84 4.7. Kncentacja fnnów 86 4.8. Wiązania atmów w kysztale 87 4.8.. Wiązania jnwe 89 4.8.. Wiązania kwalencyjne 9 4.8.3. Wiązania metaliczne 94 4.8.4. Wiązania mlekulane 94 Rzdział 5. ELEMENTY FIZYKI STATYSTYCZNEJ 96 5.. Temdynamiczny pis układu 96 5... Piewsza zasada temdynamiki 96 5... Duga zasada temdynamiki 97 5..3. Waunki ównwagi temdynamicznej 98 5..4. Ptencjał chemiczny 99 5.. Statystyczny pis układu 300 5.3. Układy niezwydniałe i zwydniałe 30 5.4. Statystyki: klasyczna i kwantwa 30 5.5. Gaz dsknały 305 5.6. Gaz elektnów swbdnych 307 5.6.. Pzestzeń fazwa. Funkcja gęstści stanów 307 5.6.. Gaz elektnwy w tempeatuze 0 K 309 5.6.3. Wpływ tempeatuy na gaz elektnwy 3 6

Rzdział 6. STRUKTURA PASMOWA CIAŁ STAŁYCH 36 6.. Funkcja Blcha 38 6.. Mdel Königa-Penneya 30 6.3. Pzykłady pasm enegetycznych w kyształach 36 6.4. Pzewdniki, półpzewdniki i izlaty 38 6.5. Masa efektywna elektnu 330 6.6. Pjęcie dziuy 33 Rzdział 7. PODSTAWY FIZYKI PÓŁPRZEWODNIKÓW 337 7.. Półpzewdniki samistne 338 7.. Półpzewdniki dmieszkwe 343 7.3. Kncentacja nśników w półpzewdniku dmieszkwym 345 7.4. Ruchliwść nśników w półpzewdnikach 35 7.5. Pzewdnictw elektyczne półpzewdników 356 7.5.. Półpzewdniki samistne 356 7.5.. Półpzewdniki dmieszkwe 357 Rzdział 8. ZJAWISKA NIERÓWNOWAGOWE W PÓŁPRZEWODNIKACH 360 8.. Relaksacja dielektyczna 360 8.. Pcesy geneacji i ekmbinacji 36 8... Rekmbinacja bezpśednia 363 8... Rekmbinacja pzez centa. Pułapkwanie 364 8..3. Rekmbinacja pwiezchniwa 365 8.3. Quasi-pzimy Femieg 366 8.4. Tanspt nśników w półpzewdnikach 367 8.4.. Pądy unszenia i dyfuzji 367 8.4.. Równanie ciągłści 37 8.5. Dyskusja ambiplaneg ównania tansptu 374 8.6. Dyfuzja nadmiawych nśników pądu 375 8.7. Półpzewdnik niejedndny 376 Rzdział 9. FIZYKA JĄDROWA 378 9.. Pjęcia wstępne 378 9.. Rzmia jąda 379 9.3. Enegia wiązania jąda. Defekt masy 380 9.4. Mdele stuktuy jąda atmweg 38 9.4.. Mdel kplwy 38 9.4.. Mdel pwłkwy 384 9.4.3. Mdel klektywny 385 9.5. Siły jądwe 385 9.6. Pzemiany jądwe 387 9.6.. Pmienitwóczść natualna 387 9.6.. Rzpad α 389 9.6.3. Rzpad β 39 9.6.4. Pmieniwanie γ 394 9.7. Reakcje jądwe 396 9.7.. Chaakteystyka eakcji jądwych 396 9.7.. Reakcje zszczepienia 398 9.7.3. Reakcje łańcuchwe. Reakt atmwy 400 9.7.4. Reakcje temnukleane 40 7

Rzdział 0. ASTROFIZYKA I KOSMOLOGIA 405 0.. Pjęcia wstępne 405 0.. Gwiazdy 406 0.. Czane dziuy 407 0.3. Ciśnienie kwantw-mechaniczne 408 0.4. Ewlucja gwiazd 409 0.5. Ksmlgia 44 0.5.. Paw Hubble a 44 0.5.. Pmieniwanie cieplne Wszechświata 46 0.5.3. Mdel Wszechświata 47 8

PRZEDMOWA Pdęczników z fizyki dla studentów piewszych lat studiów plitechnicznych wydan już w Plsce wiele. Szczególnie cenine są zwłaszcza tłumaczenia wieltmwych kusów Feynmanna, ppulaneg kusu bekeleywskieg, dwutmwa Fizyka Resnicka i Hallidaya, czy też książka Oeaa. Jest ównież sp książek i skyptów napisanych pzez autów plskich. Mała ilść gdzin pzeznaczna na fizykę w pgamach studiów zmusza d selekcji wykładanych zagadnień pzy kniecznści sfmułwania wykładu spójneg i bazująceg ważne zagadnienia fizyki. Wymgi te tudn jest spełnić w paciu jeden pdęcznik. Dają się też zauważyć tudnści spządzania ntatek z wykładów pzez studentów. Wynikają ne z dużeg zagęszczenia wykładanych teści w czasie i niewłaściweg pzygtwania studentów z fizyki na pzimie kusu śednieg. Wymienine pwdy są głównymi, dla któych pdjąłem póbę napisania niniejszeg skyptu, mająceg na celu ułatwienie studentm nauki fizyki. W żadnym jednak pzypadku skypt nie mże zastąpić pdęczników z fizyki, w któych mawia się wiele innych ważnych zagadnień. Należy zwócić uwagę, że w nauczaniu fizyki na studiach technicznych, pacwnie studenckie i ćwiczenia audytyjne są ównie ważną fmą nauczania teg pzedmitu. Pznaje się na nich ekspeymentalne i paktyczne zagadnienia fizyki, na któe na wykładach nie ma czasu. W pwstaniu piewszej wesji teg skyptu pmgli mi dwaj studenci Wydziału Elektniki Paweł Lewczyński i Jasław Góa, któzy w ku akademickim 99/99 studiwali na I ku Wydziału Elektniki. Wyżej wymienieni studenci w czewcu 99 ku zappnwali mi, że napiszą skypt na pdstawie mich dbze zedagwanych ntatek. W kótkim czasie panwali edyty tekstu i gafiki (Wd f Windws i Cel Daw) i p pół ku pacy pzepisali mje ntatki. Duga wesja teg skyptu zstała ppawina i uzupełnina pzeze mnie. Uzupełniłem ją dwa zdziały pświęcne fizyce jądwej i astfizyce z ksmlgią. W tym miejscu należałby sbie dpwiedzieć na pytanie: jaką lę pwinien spełniać kus fizyki gólnej (pdstaw fizyki) na uczelniach technicznych? Na pewn nie jest n w stanie nauczyć fizyki. Sądzę, iż pwinien dać jak gdyby pzedsmak pawdziwej fizyki i zawieać elementy myślenia fizyczneg, jakim psługują się naukwcy. Dzięki temu inżynie nabyłby pewnej kultuy fizycznej dnia dzisiejszeg, c pwinn być chyba głównym celem nauczania fizyki w plitechnikach. W skypcie unikałem dublwania kusu fizyki dla szkół śednich. Nie ekspnuję klasycznej mechaniki, któa jest stsunkw dbze znana pzez studentów z nauczania fizyki w szkle śedniej. Pnieważ jednak mechanika zawiea pdstawwy pakiet pjęć i paw używanych w innych gałęziach fizyki, więc w skypcie w spsób skótwy zwacam uwagę na ten aspekt mechaniki (zdział ). Staałem się nie dzielić fizyki na klasyczną i współczesną, ale aczej ująć ją w jedną całść. W tym zakesie niedścigninym wzem dla mnie jest książka Jay a 9

Oeaa Fizyka. Pdział na fizykę klasyczną i współczesną wpwadzny na pczątku XX w. ma już znaczenie histyczne i becnie nie ma głębszeg uzasadnienia. Większść zagadnień pzedstawin w spsób tadycyjny, gdyż sama fmuła skyptu z jeg ganiczną bjętścią nie pzwala na ekspeymentwanie w tym zakesie. Pnadt badz tudn jest zappnwać yginalny i pzystępny d samdzielneg studiwania układ teści biąc pd uwagę óżndnść znakmitych pdęczników fizyki dstępnych na plskim ynku wydawniczym. Szeeg ysunków i spsbów ujęcia pezentwanych teści zaczepnąłem z tych pdęczników, a w szczególnści z Fizyki J. Oeaa (WNT, Waszawa) i z Fizyki Kwantwej, Atmwej i Ciała Stałeg Z. Kleszczewskieg (Wydawnictw Plitechniki Śląskiej, Gliwice). Skypt ten adeswany jest dla studentów wydziałów plitechnicznych specjalnści elektnicznej i elektycznej, dlateg też najwięcej uwagi pświęcam ddziaływaniu elektmagnetycznemu i niektóym zagadnienim fizyki ciała stałeg, a w szczególnści fizyki półpzewdników. Nie spsób pzedstawić fizyczne pdstawy teii elektmagnetyzmu bez znajmści szczególnej teii względnści, dlateg też mechanikę elatywistyczną pzedstawiłem w zdziale 3 pzed elektmagnetyzmem (zdziały 4 7, częściw 8 i zdział 9). Pnieważ pawdziwe zzumienie stuktuy mateii i wiele innych zjawisk fizycznych piea się na mechanice kwantwej, więc jej pdstawy pisałem w zdziałach 0 i. Dualizm kpuskulan-falwy cząstek i teię kwantów mżna głębiej zzumieć w następnych zdziałach dzięki ich zastswaniu w fizyce atmwej (zdział i 3) i fizyce ciała stałeg (zdział 4). Teia gazu elektnów swbdnych pzedstawina jest w zdziale 5. W klejnych dwóch zdziałach zwóciłem szczególną uwagę na zzumienie fizycznych pdstaw teii stuktuy pasmwej (zdział 6) i zjawisk elektnwych i ptycznych w półpzewdnikach (zdział 7). Rzdział 8 wychdzi pza amy kusu fizyki i pświęcny jest niektóym elementanym zagadnienim fizyki półpzewdników, któych znajmść jest niezbędna d zzumienia działania pzyządów półpzewdnikwych. Tak pmyślany skypt stanwić mże pmc d zzumienia pdstaw fizycznych elektmagnetyzmu i zjawisk tansptu elektnweg w pzyządach półpzewdnikwych, któe t zagadnienia są pdstawą dalszych studiów plitechnicznych na specjalnściach elektycznych i elektnicznych. Skypt kńczą zdziały pświęcne fizyce jądwej i astfizyce z ksmlgią. Kniecznść uzupełnienia skyptu te dwa zdziały wynika z zaptzebwania spłeczneg współczesnej cywilizacji, dla któej walka chnę śdwiska natualneg stała się piytetwym zadaniem. Inteesujący statni zdział pządkuje wiedzę Wszechświecie, któeg baz częst defmwany jest fabułą filmów science fictin. Studiwanie skyptu wymaga pewnych wiadmści z matematyki wyższej. Dla ułatwienia infmacje te zawate są we Wstępie matematycznym, któy zaleca się pzestudiwać na samym pczątku lektuy skyptu. Zdaję sbie spawę, że skypt nie jest dsknały, że zawiea w wielu miejscach niepecyzyjne sfmułwania. Jednakże mając na uwadze wyżej wymienine uwaunkwania 0

sądzę, że skypt w becnej pstaci będzie pzydatny szczególnie dla studentów Wydziału Elektniki. Chciałbym pdziękwać d Jlancie Raczyńskiej za cenne uwagi dtyczące edakcji skyptu. Będę wdzięczny czytelnikm za uwagi, któe mgłyby pzyczynić się d ulepszenia skyptu. Antni Rgalski

ROZDZIAŁ WPROWADZENIE.. Czym jest fizyka? Fizyka jest nauką pzydniczą najbadziej pdstawwą i wszechganiającą, wpływ zaś jej na zwój nauk pzydniczych był i jest gmny. Właściwie fizyka dgywa dziś lę teg, c dawniej nazywan filzfią pzydy i z czeg zdziły się współczesne nauki pzydnicze. Mżna pwiedzieć, że fizyka stanwi system pdstawwych idei ugólniających dane ekspeymentalne i dzwieciedlających biektywne pawa pzydy. Zajmuje się badaniem najpstszych a zaazem najbadziej gólnych fm uchu mateii. Mateię uważamy za ealnść biektywną, istniejącą niezależnie d świadmści ludzkiej i uzmysłwiną sbie pzez człwieka. Cała histia fizyki i innych nauk pzydniczych niezbicie dwdzi mateialnści świata, biektywnści i pznawalnści paw jeg zwju. Świat fizyczny jest gmny i złżny, jest widwnią zjawisk i wydazeń zdumiewających óżndnścią. T stwiedzenie pate jest na cenie zędu wielkści pewnych inteesujących nas liczb. Z bsewacji astnmicznych wynika, że zmia Wszechświata keślny jeg pmieniem wynsi 0 6 m, czyli 0 0 lat świetlnych. Watść tę znamy z dkładnścią d czynnika kł 3. Dla pównania pdajmy, że dległść Ziemi d Słńca wynsi,5 0 m, a pmień Ziemi jest ówny 6,4 0 6 m. Liczba atmów we Wszechświecie jest badz duża. Pzyjmuje się, że całkwita liczba ptnów i neutnów we Wszechświecie jest zędu 0 80, pzy czym liczbę tę znamy z dkładnścią d czynnika 00. Na Słńcu jest 0 57 atmów, a na Ziemi 4 0 5. Najbadziej złżnym zjawiskiem we Wszechświecie jest życie. Człwiek, jedna z najbadziej złżnych fm życia, składa się z kł 0 6 kmóek. Kmóka jest elementaną jednstką fizjlgiczną zawieającą kł 0 0 4 atmów. W XX w. utwalił się pdział fizyki na fizykę klasyczną zajmującą się pisem makświata, i fizykę współczesną zajmującą się pisem mikświata (pisem budwy atmu, jąda atmweg, itp.). Obecnie badziej celwe jest stswanie nazw: fizyka makświta i fizyka mikświata. Każdy pis fizyczny jest pzybliżnym pisem taczająceg nas świata i paw nim ządzących, pzy czym fizyka makświata daje nam jeg piewsze pzybliżenie. Słupami ganicznymi w tym pdziale na fizykę makświata i mikświata są teia względnści i mechanika kwantwa. 3

Pmim gmnej óżndnści zjawisk fizycznych we Wszechświecie, d chwili becnej dkyt zaledwie cztey typy ddziaływań. Ich pównanie zamieszczne jest w pniższej tabeli. Z tych ddziaływań wynikają wszystkie siły bsewwane we Wszechświecie. Tabela.. Oddziaływania fundamentalne Oddziaływanie Źódł Intensywnść względna Pmień działania Gawitacyjne Masa 0 39 Dalekzasięgwe Słabe Wszystkie cząstki elementane 5 Kótkzasięgwe 0 (0 5 m) Elektmagnetyczne Ładunki elektyczne 0 Dalekzasięgwe Jądwe (silne) Hadny (ptny, neutny, mezny) Kótkzasięgwe (0 5 m) Studiwanie skyptu wymaga pewnych wiadmści z matematyki wyższej. Pnieważ zaówn wykłady z matematyki jak i z fizyki zpczynają się na piewszym semestze studiów, stąd też nie mżna zealizwać zgdnści pgamwej bu pzedmitów. Z teg pwdu, dla ułatwienia, infmacje te zawate są we Wstępie matematycznym, któy zaleca się pzestudiwać na samym pczątku lektuy skyptu... Wstęp matematyczny Mateiał pzedstawiny w tym skypcie wymaga znajmści jedynie dść elementanej matematyki: óżniczkwania i całkwania, działań na liczbach zesplnych, działań na wektach, czy elementów achunku pawdpdbieństwa. Są t zagadnienia dbze znane z kusów matematyki, niemniej jednak celwym jest pzypmnieć je w specjalnym wstępie wiążąc je d zaaz z fizyką, tym badziej, że pgam matematyki pdejmuje te zagadnienia w późniejszych semestach.... Pchdna funkcji Ze względu na ganiczną dkładnść wszelkich pzyządów pmiawych, senswne wydaje się psługiwanie tylk skńcznymi pzystami wielkści fizycznych znacznych tadycyjnie symblami, np. x, t, V, itd. Częst zdaza się, że jedna wielkść fizyczna wyaża się pzez stsunek pzystów dwóch innych wielkści, jak np. pędkść i pzyśpieszenie. Jednakże zapis typu y/ x byłby niedpwiedni, gdyż występujące w nim 4

pzysty są niejednznacznie keślne; watść teg stsunku zależy na gół d watści ganicznej pzy x dążącym d zea, ile tylk x jest dstatecznie małe. Watść ganiczna t pchdna funkcji y(x) względem x dy y y' = = lim. (.) dx x 0 x Wyażenie dy = y'dx nazywa się óżniczką funkcji y(x), zaś dx óżniczką agumentu x. Obliczanie pchdnej nazywamy óżniczkwaniem. Pchdna funkcji ma pstą intepetację gemetyczną (ys..). Punkty A i B teg wykesu mają współzędne x 0, y 0 az x, y. Gdy punkt B zbliża się d punktu A (tzn. gdy x 0 i w ganicznym pzypadku pkywa się z punktem A), psta AB pzechdzi w styczną d kzywej w punkcie A, a kąt β jest ówny kątwi α jaki twzy ta styczna z sią x. Zatem lim x 0 y = x dy dx = tgα. (.) Mżemy więc pwiedzieć, że pchdna funkcji w danym punkcie jest ówna tangenswi kąta nachylenia stycznej d wykesu funkcji w tym punkcie d si x. Na ys.. pkazan ównież pzyst agumentu x i pzyst funkcji y. Nie ma isttnej óżnicy między intepetacją gemetyczną pzystu agumentu x, a jeg óżniczką dx, jest natmiast zasadnicza óżnica między pzystem funkcji y a jej óżniczką dy = y'dx. y A(x,y ) y B(x,y ) dy=y dx x=dx α O β x x x Pchdna sumy dwóch funkcji Rys... Intepetacja gemetyczna pchdnej funkcji y(x). Jeżeli y = u + v, pzy czym u i v są funkcjami teg sameg agumentu x, wówczas Jeżeli y = uv, wówczas dy dx d( u + v ) du dv = = +. (.3) dx dx dx dy d( uv ) du dv = = v + u. (.4) dx dx dx dx 5

Pchdna ilazu dwóch funkcji Jeżeli y = u/v, mamy du dv v u dy = dx dx. (.5) dx v Pchdna funkcji złżnej Niech z będzie funkcją zmiennej y, zaś y funkcją zmiennej x; np. z = csy, y = 3x, czyli z = cs3x. Wówczas dz dz dy =. (.6) dx dy dx Jeżeli funkcja f zależy d kilku zmiennych niezależnych, np. f(x,y,z,t), wówczas pchdne p każdej z nich nazywa się pchdnymi cząstkwymi i znacza niec innym symblem, np. f x, f y, itd. Pchdne te blicza się identycznie, jak zwykłe pchdne, taktując zmienne p któych nie wyknuje się óżniczkwania, jak stałe.... Rachunek całkwy Opeacją dwtną d óżniczkwania jest całkwanie (nieznaczne). Całką nieznaczną lub funkcją piewtną funkcji y = f(x) nazywamy taką funkcję F(x), któej pchdna jest ówna danej funkcji f(x), czyli df(x)/dx = f(x). Całkę nieznaczną zapisujemy symblicznie F ( x ) = f ( x )dx = df( x ). (.7) Całką funkcji f(x) jest każda funkcja będąca sumą funkcji F(x) i dwlnej stałej C, pnieważ zawsze d[f(x) ± C]/dx = df(x)/dx = f(x). Całka nieznaczna funkcji f(x) F ( x ) = f ( x )dx + C. (.8) Całkwanie pzez zmianę zmiennej (metda pdstawienia) Jeżeli w funkcji f(x) za zmienną x pdstawimy funkcję x = ϕ(t), t f ( [ ϕ( t )] ϕ' ( t ) dt x )dx = f. (.9) 6

Całkwanie pzez części Jeżeli u az v są funkcjami tej samej zmiennej x, t v dx = uv u u vdx. (.0) Całka znaczna funkcji f(x) w ganicach d a d b jest definiwana jak b b f ( x )dx = F( x ) = F( b ) F( a ). (.) a a Z całką znaczną mamy d czynienia pzy zpatywaniu wielkści glbalnych, zależnych d watści innej wielkści w pewnym skńcznym pzedziale agumentu. Klasycznym pzykładem jest paca wzdłuż pewnej dgi. Jest na ówna sumie pac na dstatecznie małych dcinkach dgi, na jakie dzieli się ją w pzypadku siły zależnej d płżenia (ys..). Pzy dstatecznie dbnym pdziale mżna pzyjąć, że siła na każdym z dcinków jest stała. Suma fi( x i ) xi ówna jest plu figuy ganicznej kzywą schdkwą. Watść tej sumy nie jest jednznacznie keślna, gdyż zależy d spsbu pdziału dgi (a,b). W analizie matematycznej dwdzi się, że suma ta niewiele się óżni d swej watści ganicznej pzy wszystkich x i dążących d zea. Ta ganica t właśnie całka znaczna. Mżemy więc zapisać y b n f n a i= ( x) dx = lim f ( x ) i x i. (.) y=f(x) O a x x x 3 x 4 b x x x x 3 x 4 Rys... Intepetacja gemetyczna całki znacznej 7

W fizyce mamy częst d czynienia z całkami p kzywych, pwiezchniach (stumienie), bądź też bszaach tójwymiawych. Wszystkie takie całki zumiemy w pdbnym sensie, jak t pisywaliśmy pwyżej. Obsza całkwania dzielimy myślw na małe fagmenty; na każdym z nich funkcję całkwaną uważamy za stałą, a następnie twzymy sumę ilczynów tych watści i mia dpwiadających im fagmentów. W pzypadku całkwania p kzywej, lę x i dgywa długść s i i-teg łuku kzywej; pzy całkwaniu p pwiezchni x i należy zastąpić pzez ple S i i-teg wycinka pwiezchni; zaś w całkach bjętściwych używamy elementów bjętści V i. Ganiczne watści tak utwznych sum nazywają się dpwiedni całkami: kzywliniwymi, pwiezchniwymi i bjętściwymi. Mżemy zatem zapisać całka kzywliniwa całka pwiezchniwa całka bjętściwa n f n C i= ( x, y,z) ds = lim f ( xi, yi,zi ) si n f n S i= ( x, y,z) ds = lim f ( xi, yi,zi ) Si n f n V i= ( x, y,z) dv = lim f ( xi, yi,zi ) Vi, (.3), (.4). (.5) Jeżeli kzywa C lub pwiezchnia S, na któe zciąga się całkwanie, jest zamknięta, t na symblu całki zwykł się dpisywać kółk: lub. C S..3. Liczby zesplne Liczbą zesplną z nazywamy liczbę z = a + ib, (.6) gdzie a i b są dwlnymi liczbami zeczywistymi, zaś i jednstką ujną spełniającą związek i =. Liczbę a nazywamy częścią zeczywistą liczby zesplnej z, a liczbę b częścią ujną liczby z, c zapisujemy a = Rez, b = Imz. Zapis (.6) nazywamy pstacią algebaiczną liczby zesplnej. Dwie liczby zesplne z = a + ib az z = a + ib są ówne, gdy ówne są ich części zeczywiste i ujne, tzn. a = a, b = b. Nie istnieje natmiast pjęcie większej lub mniejszej liczby zesplnej. 8

y b 0 ϕ z = a + ib Rys..3. Intepetacja gemetyczna liczby zesplnej. a x Liczbę zesplną mżna pzedstawić jak punkt na płaszczyźnie zesplnej (ys..3). Na siach układu współzędnych płaszczyzny zesplnej dkładamy współzędne punktu będąceg bazem gemetycznym liczby z; na si zeczywistej x liczbę a, zaś na si ujnej y liczbę b. Kzystając z pwyższej intepetacji gemetycznej, liczbę zesplną mżna pzedstawić w pstaci tygnmetycznej iϕ ( csϕ + i sinϕ ) e z = a + ib = csϕ + i sinϕ = =. (.7) Kąt ϕ nazywa się agumentem liczby zesplnej. Długść wekta wdząceg nazywamy mdułem lub watścią bezwzględną liczby zesplnej Liczbę zesplną z = = a + b. (.8) z iϕ ( csϕ i sinϕ ) = e = a ib =, (.9) nazywamy liczbą zesplną spzężną z liczbą z = a + ib. Zauważmy, że mduły liczb zesplnych spzężnych są ówne az, że Łatw spawdzić, że z z = e z z iϕ e iϕ = e z = a + b = z, (.0) zz = a + b =. (.) ( ϕ+ ϕ ) = [ cs( ϕ + ϕ ) + i sin( ϕ + )] i ϕ iϕ e i = = e iϕ e, (.) z z = z z, (.3) ( ϕ ϕ ) = [ cs( ϕ ϕ ) + i sin( ϕ ϕ )], (.4) z z z =. (.5) z 9

iϕ z e iϕ = = e iϕ z e, (.6) z n iϕ n n inϕ n ( e ) = e = cs( nϕ ) + i sin( nϕ ) [ ] =. (.7)..4. Działania na wektach Większść pdstawwych wielkści fizycznych ma chaakte kieunkwy, w związku z czym epezentwane są pzez wekty. Pczątek wekta mżna w zasadzie umieszczać w dwlnym miejscu, chciaż w niektóych pzypadkach jest n nazucny z góy (np. pzy wektze płżenia lub siły). Każdy wekt ma keślną watść ówną długści dcinka łącząceg pczątek i kniec wekta. Długść wekta a znaczamy zwykle symblem a lub p pstu a. W ezultacie mnżenia wekta a pzez liczbę zeczywistą λ tzymuje się nwy wekt znaczny jak λ a, tym samym (λ > 0) lub pzeciwnym (λ < 0) zwcie c wekt a. Długść wekta λ a wynsi λ a = λ a. Ddawanie wektów Dwa wekty teg sameg dzaju ddaje się metdą ównległbku, pzy czym mżliwe są dwa spsby ddawania: alb pzez spwadzenie ich d wspólneg pczątku, alb pzez umieszczenie pczątku dugieg wekta w kńcu piewszeg (ys..4). W piewszym spsbie wypadkwa wektów jest pzekątną ównległbku zbudwaneg na wektach a i b ; w dugim wekt wypadkwy t dcinek pczątku pkywającym się z pczątkiem piewszej składwej i kńcu Rys..4. Ddawanie dwóch wektów pkywającym się z kńcem dugiej składwej. Wekt wypadkwy c = a + b, a jeg długść mżna wyznaczyć z twiedzenia csinusów b c c b α a a c = a + b ab csα, (.8) gdzie α jest kątem między wektami a i b. Sumę większej liczby wektów najlepiej jest twzyć spsbem dugim, jak pkazan na ys..5. Wynik ddawania nie zależy d klejnści pszczególnych składników. Łącząc pczątek wekta piewszeg z kńcem wekta statnieg tzymujemy wekt wypadkwy s = a + b + c + d. 0

d c d c b s b a a Rys..5. Ddawanie gemetyczne dwlnej liczby wektów. Ilczyn skalany dwóch wektów Częst w fizyce dwie wielkści wektwe występują łącznie dając w ezultacie wielkść skalaną. Zazwyczaj jest t ilczyn długści jedneg wekta pzez zut dugieg na piewszy. Ilczyn taki nazywamy ilczynem skalanym dwóch wektów a i b, i znaczamy symblem a b a b = ab csα, (.9) gdzie α jest kątem między wektami a i b (ys..6). Ilczyn skalany dwóch wektów jest więc skalaem. Z definicji ilczynu skalaneg widać, że jeg watść nie zależy d klejnści czynników, tzn. a b = b a. (a) (b) b α a bcsα acsα Rys..6. Intepetacja gemetyczna ilczynu skalaneg wektów. α b a Ilczyn skalany dwóch wektów pstpadłych jest ówny zeu, gdyż cs90 = 0. Klasyczny pzykład ilczynu skalaneg t paca siły F na dcinku s ówna ilczynwi skalanemu tych wektów F s. Ilczyn wektwy dwóch wektów Sp wielkści fizycznych chaakteze wektwym wyaża się ppzez inne wielkści wektwe pzy pmcy tzw. ilczynu wektweg. Ilczyn wektwy a i c kieunku pstpadłym d bu wektów i zwcie zgdnym z kieunkiem uchu śuby pawskętnej wkęcanej tak, by piewszy wekt a nałżyć na dugi b p mniejszym kącie b jest wektem

(ys..7). Watść ilczynu wektweg ówna jest - na mcy definicji - plu ównległbku utwzneg pzez wekty a i b, czyli v c = a b = ab sinα. (.30) x z c = a α b a Rys..7. Knstukcja gemetyczna ilczynu wektweg b y Jest t więc ilczyn długści jedneg z tych wektów (bjętnie któeg) pzez składwą dugieg wekta pstpadłą d nieg. Pzy pmcy pjęcia ilczynu wektweg definiuje się óżne wielkści fizyczne, jak np. mment pędu, mment siły, a pnadt zapisuje się szeeg paw z mechaniki i elektdynamiki. Różniczkwanie wektów Jeżeli wielkść wektwa jest funkcją pewnej zmiennej (np. czasu t), wówczas częst zachdzi ptzeba bliczenia jej pchdnej p t. Pchdna wekta jest ównież wektem, któy tzymuje się pzez pzejście d ganicy z pzystami skńcznymi: da a = lim ; a = a( t + t) a( t). (.3) dt t 0 t Pchdna wekta ma na gół inny kieunek niż wekt óżniczkwany (ys..8). Zgdnść a t mają ten sam kieunek. Jeżeli kieunków ma miejsce tylk wtedy, gdy wszystkie wekty ( ) natmiast wszystkie wekty ( t) a mają tę samą długść, t da / dt jest pstpadły d a. Pchdna ta jest óżna d zea, gdyż zmienia się kieunek wekta a. a(t + t) a da dt O a(t) Rys..8. Intepetacja óżniczkwania wekta p czasie.

Współzędne wekta Wekty pisuje się pzez pdanie tzech liczb zwanych współzędnymi wekta. W najpstszym pzypadku są t tzy zuty na tzy wzajemnie pstpadłe sie, mające wspólny pczątek umieszczny w pczątku wekta (ys..9). Osie te nazywa się najczęściej siami Ox, Oy, Oz. Zespół tych tzech współzędnych wekta częst utżsamia się z samym wektem pisząc np. a = ( a,a,a ) chć ppawny jest tylk taki zapis, w któym wekt a pzedstawia x y z się w pstaci sumy tzech jeg składwych w kieunkach si układu współzędnych: a = a i + a j + a k, (.3) x y gdzie wekty i, j i k są wektami z jednstkwymi w kieunkach tzech si współzędnych. Długść wekta wyaża się pzez jeg a z współzędne w następujący spsób a k j a = ax + a y + az. (.33) i a y y Pdstawwe peacje na wektach, zapisane a x x pzy użyciu współzędnych, mają pstać Rys..9. Składwe wekta w układzie a b = axbx + a yby + azbz, (.34) pstkątnym. i j k a b = a a a = a b a b i + a b a b j + a b a b k b x x b y y b z z z ( ) ( ) ( ) = y z ( a b a b, a b a b, a b a b ) y z z y z x x z z y x y z x =, (.35) da da = dt dt x da, dt y da, dt z y x x z, (.36) Łatw spawdzić, że definicje te są zgdne z definicjami pdanymi ppzedni bez stswania współzędnych. Okeślne pwyżej współzędne wekta nazywane są jeg współzędnymi katezjańskimi i są najbadziej natualnymi współzędnymi wektwymi. Opócz nich stsuje się ównież inne tójki liczb d schaakteyzwania wekta. Najczęściej stswanymi współzędnymi są: współzędne biegunwe na płaszczyźnie, współzędne walcwe w pzestzeni tójwymiawej az współzędne sfeyczne (także pzestzenne). Współzędnymi biegunwymi są: długść wekta a i kąt ϕ jaki n twzy z ddatnim kieunkiem si Ox (ys..0). Związek między współzędnymi katezjańskimi ( ax,a y ) i biegunwymi (a, ϕ) jest następujący: x y y x 3

a x = a csϕ ; a y = a sinϕ. (.37) Współzędnymi tymi psługujemy się częst pzy pisie uchu dbywająceg się w jednej płaszczyźnie. Współzędne walcwe (cylindyczne) t: długść zutu wekta a na płaszczyznę Oxy, kąt azymutalny ϕ w płaszczyźnie Oxy az współzędna katezjańska a z (ys..) y a y ax = ax + a y csϕ = a' csϕ, a y = ax + a y sinϕ = a' sinϕ, (.38) a z = a z. Współzędne te są stswane w zagadnieniach wykazujących symetię btwą wkół si Oz. z a z O ϕ a a x Rys..0. Współzędne biegunwe w płaszczyźnie Oxy. z a z x a x a O a ϕ a y x Rys... Współzędne walcwe. y a x a υ O ϕ a y x Rys... Współzędne sfeyczne. y Współzędnymi sfeycznymi są: długść wekta a, kąt biegunwy ϑ jaki twzy wekt a z ddatnią półsią Oz az kąt azymutalny ϕ (ys..). Związek ze współzędnymi katezjańskimi jest następujący: a x = a sinϑ csϕ, a y = a sinϑ sinϕ, (.39) a z = a csϑ. Współzędne te są wygdne w związywaniu zagadnień symetii sfeycznej. Wszystkie wymienine wyżej współzędne mgą być funkcjami czasu, a ich pchdne czaswe służą jak definicje dpwiednich pędkści. 4

..5. Analiza wektwa Jeżeli funkcja V(x,y,z) jest keślna w każdym punkcie pzestzeni t mówimy, że funkcja V(x,y,z) keśla pewne ple skalane. Funkcja V(x,y,z), któa pzypządkwuje każdemu punktwi pla pewną wielkść skalaną, nazywa się funkcją pla. Typwym pzykładem takiej funkcji jest ptencjał pla elektstatyczneg V(x,y,z). W pdbny spsób mżna zdefiniwać tempeatuę jak funkcję współzędnych T(x,y,z). Jeżeli w każdym punkcie pzestzeni są keślne tzy funkcje A (x,y,z), A (x,y,z) i A 3 (x,y,z), t mżna je taktwać jak współzędne wekta: A x, y,z, A x, y,z, A [ ( ) ( ) ( x, y,z) ] A 3 Mżna zatem uważać, że każdemu punktwi pzestzeni zstał pzypządkwany pewien A = A x,y,z. Pzestzeń, gdzie w każdym punkcie zstał zdefiniwany wekt według wekt ( ) keślneg pawa, nazywamy plem wektwym. Tak więc każdemu punktwi pla elektstatyczneg mżna pzypządkwać wekt natężenia pla E, a każdemu punktwi pla magnetyczneg wekt indukcji magnetycznej B.. Gadient pla skalaneg Niech funkcja V(x,y,z) keśla pewne ple skalane. Punkty dla któych funkcja ta ma stałą watść [V(x,y,z) = cnst] leżą na pewnej pwiezchni. Zmieniając watść cnst tzymujemy dzinę pwiezchni, któe nazywamy pwiezchniami ekwiptencjalnymi. Obliczmy óżniczkę dv funkcji V(x,y,z) pzy pzejściu d punktu (x,y,z) keślneg wektem wdzącym = xi + yj + zk, d punktu (x+dx,y+dy,z+dz) leżąceg na bliskiej, sąsiedniej pwiezchni ekwiptencjalnej i keślneg wektem wdzącym ' = x + dx i + y + dy j + z + dz. Różniczka ta jest ówna ( ) ( ) ( )k dv V V V = dx + dy + dz. x y z Różniczkę dv mżna pzedstawić w pstaci ilczynu skalaneg wekta V V V gadv = i + j + k, (.40) x y z nazwaneg gadientem funkcji skalanej V(x,y,z) i wekta d = i dx + jdy + kdz gdyż ( i dx + jdy + kdz) = gadv d V V V dv = i + j + k. (.4) x y z 5

6 gad V d x y z V V+dV O Rys..3. Gadient pla skalaneg. GadV jest wektem pstpadłym d pwiezchni ekwiptencjalnej i jest skiewany d pwiezchni ptencjale niższym d pwiezchni ptencjale wyższym (ys..3). Długść wekta gadv wynsi: d dv z V y V x V V gad = + + =. Opeat nabla. Dywegencja i tacja pla wektweg Opeatem nazywamy symbl keślający pzepis działania matematyczneg na jakiejś wielkści. Np. symbl d/dx jest peatem óżniczkwania p zmiennej x. Oznaczny symblem peat k z j y i x + + =, (.4) nazywany jest peatem nabla lub peatem Hamiltna. Sam peat nie znacza żadnej wielkści, lecz działając na jakąś wielkść (skala lub wekt) nabiea sensu wielkści. Opeat nabla ma chaakte wekta, działa więc na inne wielkści tak, jak gdyby był wektem.. Ilczyn peata nabla i skalaa. gadλ k z λ j y λ i x λ λ k j y i x λ = + + = + + = z. (.43). Ilczyn skalany peata nabla i wekta. ( ) z a y a x a k a j a i a k z j y i x a z y x z y x + + = + + + + =. Sumę pchdnych cząstkwych klejnych współzędnych wekta a, względem klejnych zmiennych x, y, z, nazywamy dywegencją wekta a i znaczamy symblem a div. Zatem z a y a x a diva z y x + + =, (.44) az diva a =. (.45)

7 3. Ilczyn wektwy peata nabla i wekta. k y a x a j x a z a i z a y a a x y z x y z + + =. Wekt występujący p pawej stnie tej ównści nazywa się tacją wekta a. k y a x a j x a z a i z a y a ta x y z x y z + + =. (.46) Mnżąc wektw peat pzez wekt tzymujemy jeg tację ta a =. (.47) 4. Ilczyn skalany dwóch peatów nabla. z y x k z j y i x + + = + + = =. Otzymujemy w ten spsób nwy peat, zwany peatem Laplace'a lub laplasjanem i znaczamy symblem z y x + + =. (.48) Laplasjan ma chaakte skalaa, a nie wekta jak peat nabla. Twiedzenie Stkesa i twiedzenie Gaussa-Ostgadzkieg Pdstawwe twiedzenia analizy wektwej, twiedzenie Stkesa mówi, że dla pla wektweg ) x,y,z ( a całka kzywliniwa wekta a p bwdzie zamkniętym C jest ówna całce wekta a t p pwiezchni ganicznej pzez ten bwód (ys..4). ds ta ds a S C =. (.49) Wekt s d długści ównej długści elementu ds jest wektem stycznym d bwdu i wskazuje kieunek całkwania p bwdzie. Wekt S d jest pstpadły d pwiezchni ganicznej bwdem i ma długść ówną plu elementu ds. Zwt wekta S d wskazuje pzesuw śuby pawskętnej bacającej się zgdnie ze zwtem wekta s d.

z ta ds ds a ds O y x Rys..4. Ilustacja d twiedzenia Stkesa. Twiedzenie Gaussa-Ostgadzkieg a x,y,z mówi, że dla pla wektweg ( ) całka wekta a p pwiezchni zamkniętej S jest ówna całce ganicznej pwiezchnią S. a ds = diva S diva p bjętści V V dv. (.50) Wekt ds jest pstpadły d pwiezchni i skiewany na zewnątz pwiezchni, element bjętści dv = dxdydz...6. Pawdpdbieństwa. Watści śednie Rachunek pawdpdbieństwa i pata na nim statystyka matematyczna należą d pdstawwych nazędzi współczesnej fizyki. Pawie wszystkie pawa pisujące zachwanie się mikcząstek fmułwane są w kategiach pawdpdbieństwa, a nie pewnści - jak w fizyce klasycznej. Rachunkiem tym psługujemy się także w badaniu właściwści układów złżnych z badz dużej liczby cząstek. Jest n także pdstawą achunku błędów pzy pacwywaniu danych pmiawych. W fizyce wystacza elementana definicja pawdpdbieństwa P(x) jak ganiczna watść stsunku liczby zdazeń (sytuacji) dpwiadających danej watści x, d gólnej liczby zdazeń (sytuacji), mżliwych d zaistnienia w keślnych waunkach. Zmienna lswa x mże być dysketna lub ciągła; dpwiedni d teg mamy dwa dzaje funkcji P(x). Ddajmy, że funkcję keślającą zkład pawdpdbieństw nazywa się zwykle funkcją zkładu (pawdpdbieństwa) lub kótk zkładem. P(x) x σ Rys..5. Pzykład funkcji zkładu dla zmiennej lswej ciągłej. x Jawna pstać funkcji zkładu zależy czywiście d knketnej sytuacji i jej keślenie jest częst głównym celem związań pblemów fizycznych. Typwa funkcja zkładu ma kształt dzwnu (ys..5), z wyaźnie zaznacznym maksimum dla pewnej watści x 0 zmiennej x. Badz ważną chaakteystyką takiej kzywej jest szekść σ teg maksimum. Większej szekści dpwiada większy zzut watści zmiennej x. 8

Jeżeli wielkść x mże pzyjmwać óżne watści z pawdpdbieństwem P(x), t należy ją uśednić. Spsób uśedniania zależy d chaakteu tej wielkści. Pzy dysketnych watściach tej zmiennej, ównych x, x, x 3, i.t.d., watść śednia x zmiennej x blicza się według eguły: j j ( x ) x = x P. (.5) Nietudn zauważyć, że jest t zwykła śednia aytmetyczna. Dla ciągłej zmiennej lswej mamy analgicznie pzy czym całkwanie zciąga się na cały pzedział zmiennści x. j x = xp( x ) dx, (.5) Wat zwócić uwagę na pewną subtelną óżnicę między zkładami P(x) występującymi w dwóch pwyższych definicjach. W pzypadku dysketnej zmiennej lswej pawdpdbieństwa P(x j ) są liczbami bezwymiawymi, natmiast we wzze (.5) wielkścią bezwymiawą jest ilczyn P(x)dx. Ilczyn ten ma znaczenie pawdpdbieństwa wystąpienia watści zmiennej lswej na dcinku dx wkół bieżącej watści x. Sam P(x) ma więc znaczenie gęstści pawdpdbieństwa, czyli pawdpdbieństwa dniesineg d jednstkweg pzedziału wkół x. Śednia watść x jest zwykle zbliżna d x, chć na gół óżna d niej. Szczególnie ważną śednią jest tzw. dchylenie kwadatwe zdefiniwane jak ( ) σ = x x. (.53) Liczba ta keśla szekść zkładu (zmycie centalneg maksimum); w ten spsób definiuje się właśnie wpwadzną wcześniej liczbę σ. W achunku błędów σ nazywa się błędem śednim kwadatwym; liczby x j t wyniki klejnych pmiaów. 9

ROZDZIAŁ PRAWA ZACHOWANIA Pczątek XX w. zpczął eę niesptykaneg pstępu w zwju fizyki. Chciaż mechanika klasyczna zwijała się pawie 400 lat, t jednak jej znajmść ma zasadnicze znaczenie d jasneg zzumienia pdstawwych paw współczesnej fizyki np. teii względnści i mechaniki kwantwej. Kinematyka, czyli badanie uchu, zstała zwinięta głównie pzez Galileusza w XVII w., znakmiteg włskieg astnma i matematyka. W najbadziej pdstawwym znaczeniu kinematyka jest właściwie badaniem gemetii z ddatkiem nweg paametu czasu. Badania pzyczyn uchu (dynamiki) zwinął Newtn w XVIII w., wielki angielski astnm, fizyk i matematyk. Mechanika klasyczna z pwdzeniem związała szeki zakes pblemów inżynieii, astnmii i fizyki. Rzwój fizyki pkazał jednak, że mechanika klasyczna nie mże być stswana uniwesalnie. Pzejście d badań mikskpweg świata atmów, elektnów, ptnów, itp. pmgł w zwju nwych gałęzi fizyki, zwłaszcza teii względnści i mechaniki kwantwej. Teia w fizyce nie jest taktwana jak pawda stateczna, lecz jedynie jak mdel stswany d związywania zagadnień i pwadzący d związań ściśle zgdnych z danymi ekspeymentalnymi... Zachwanie pędu Wśód paw i mdeli fizycznych najbadziej fundamentalnymi są pawa zachwania. Dzielą się ne na dwie gupy: zewnętzne, elementane pawa, d któych należy paw zachwania pędu, paw zachwania mmentu pędu, paw zachwania enegii; az wewnętzne pawa zachwania, np. całkwitej liczby nuklenów w eakcji jądwej, zachwanie liczby leptnwej, czy też bainwej. Obecnie zpatzymy elementane pawa zachwania w celu ustalenia pdstaw d zagadnień mawianych w dalszych zdziałach. Zagadnienia mechaniki klasycznej mżna pisać taktując jak jej pdstawę pawa Newtna, alb wychdząc z zasady zachwania pędu. Zastsujmy dugie pdejście, gdyż zasada zachwania pędu jest pstsza a jej zastswania są badziej gólne. Jak układ dniesienia pzyjmiemy układ Ox,y,z wzajemnie pstpadłych współzędnych liniwych. Układ ten nazwiemy inecjalnym układem dniesienia; zumiemy pzez t, że 30

bwiązuje w nim mechanika klasyczna. Jeżeli mżemy keślić taki inecjalny układ dniesienia, t wszystkie inne układy dniesienia, któe puszają się względem nieg uchem jednstajnym pstliniwym, są ównież układami inecjalnymi. Istnienie pdstawweg układu dniesienia, jak takieg układu w któym spełnine są pawa Newtna, jest pstulatem mechaniki newtnwskiej i teii gawitacji, zwanym zasadą Macha. Pjęciem niezłącznie związanym z pjęciem siły jest pjęcie masy bezwładnej (inecjalnej). Masa bezwładna jest miaą pu jaki stawia pzyśpieszane ciał. Wiemy, że dla danej siły, im większa jest masa ciała na któe ta siła działa, tym mniejszeg pzyśpieszenia dznaje ciał. Klasycznie masę bezwładną taktujemy jak stałą uniwesalną, niezależną d wszelkich wpływów zewnętznych, takich jak tempeatua, ciśnienie lub pędkść. Pęd cząstki masie bezwładnej m puszającej się z pędkścią v jest wektem zdefiniwanym wzem: p = mv. (.) Jeżeli i, j, k znaczać będą wekty jednstkwe ównległe dpwiedni d si Ox, Oy, Oz układu współzędnych az v x, v y, v z znaczać będą dpwiednie składwe wekta pędkści v w tym układzie, t ównanie (.) mżna będzie zapisać w następujący spsób: p = i mv + jmv + kmv. z x y z v A m A A B m B O v B y x Rys... Zasada zachwania pędu dla dwóch izlwanych cząstek m A v A + mbvb = cnst. Zasada zachwania pędu bzmi: całkwity pęd izlwaneg układu cząstek pzstaje stały. Pzez układ izlwany zumiemy układ wlny d jakiegklwiek wpływu zewnętzneg. Dla układu izlwaneg pzedstawineg na ys.. m v + m v cnst. (.) A A B B = Dla układu złżneg z wielu cząstek mamy: 3

daje ma v A + mbvb + L + mn vn = mivi = Z zasady zachwania pędu wypwadzimy teaz tzy pawa uchu Newtna. N i= cnst. (.3) W pzypadku dwóch izlwanych cząstek zóżniczkwanie ównania (.) względem czasu Pnieważ a = dv / dt, mamy m A m dv A dt a A A dvb = mb. dt = m a. (.4) Pzyśpieszenia są zatem dwtnie ppcjnalne d mas bezwładnych, t.j. a = F(/m), gdzie F jest stałą ppcjnalnści. Dchdzimy w ten spsób d definicji siły F = ma. (.5) Jest t dugie paw Newtna: siła działająca na ciał jest ówna ilczynwi pzyspieszenia i masy teg ciała. W pzypadku dwóch izlwanych cząstek ddziaływujących jedynie ze sbą (np. siłą elektyczną lub gawitacyjną), F A jest siłą jaką cząstka B wywiea na cząstkę A, a F B jest siłą jaką cząstka A wywiea na cząstkę B, czyli F A = F B. Jest t zasada akcji i eakcji zwana tzecim pawem Newtna. Pnieważ dla pjedynczej swbdnej cząstki zaówn F = 0, jak i a = 0 az wiadm że a = dv / dt, mżemy więc wyciągnąć wnisek, że B v = cnst. Jest t sfmułwanie pawa bezwładnści, czyli piewszeg pawa Newtna: ciał nie pddane ddziaływaniu żadnych innych ciał pzstaje w spczynku, alb pusza się uchem jednstajnym pstliniwym. Dugie paw Newtna mżna zapisać w pstaci: stąd tzymujemy F = d d Fdt = d t B, ( m v ) ( m v ) Jeżeli siła działa w ciągu skńczneg czasu t, t mamy. (.6) t Fdt = mv mv. (.7) 0 3

Całka ta zwana jest ppędem siły F. Widzimy, że jest na ówna zmianie pędu wywłanej działaniem siły w ciągu czasu t... Zachwanie mmentu pędu Mment pędu (zwany też kętem) cząstki pędzie p i znajdującej się względem pczątku układu dniesienia O w punkcie keślnym wektem wdzącym (zwanym ównież wektem płżenia) jest wektem zdefiniwanym wzem: L = m v = p, (.8) Definicję wekta mmentu pędu wyjaśnimy za pmcą ys..a. Należy zauważyć, że mment pędu zależy d wybu płżenia punktu dniesienia. Wekt mmentu pędu mżemy wyazić za pmcą wektów jednstkwych i składwych pędu, jak i j k L = x y z = i yp zp + j zp xp p x p y p z ( ) ( ) + k ( xp yp ) z y x z y x. (.8a) (a) (b) z p m z F m k i j y O y T L x x Rys... (a) Cząstka masie m i pędzie p w kieunku y będzie miała mment pędu L = p. (b) Cząstka masie m, na któą działa siła F (w płaszczyźnie yz) ma mment btwy względem pczątku układu ówny T = F. Pzypmnijmy, że siła jest pzyczyną uchu pstępweg. W pdbny spsób mment siły (inaczej mment btwy), zwykle znaczany symblem T, mże być uważany za pzyczynę uchu btweg. Na ys..b, z siłą F działającą na cząstkę, znajdującą się w płżeniu keślnym względem pczątku układu za pmcą wekta wdząceg, związany jest mment siły T = F. (.9) 33

Aby tzymać związek pmiędzy mmentem pędu i mmentem siły, óżniczkujemy wyażenie (.8) względem czasu dl d d = mv + (mv). dt dt dt mv = F = d dt m v, więc pwyższe wyażenie mżna Pnieważ d dt = v, ( d dt) 0 az ( )( ) spwadzić d pstaci dl = F = T, (.0) dt c znacza, że pchdna mmentu pędu względem czasu t jest ówna mmentwi siły T działającemu na tę cząstkę. Rzważając uch planet stwiedzamy, że ciał stałe pdlega działaniu siły pzyciągania gawitacyjneg. Jest t siła skiewana zawsze wzdłuż pmienia tu ciała pd waunkiem, że pczątek układu współzędnych znajduje się w śdku ciała pzyciągająceg. Pnieważ wekt wdzący i siła F są wtedy zgdnie skiewane, więc T = F = 0 i z wyażenia (.0) tzymujemy, że mment pędu L takieg układu musi być wielkścią stałą. Dla układu wielu ciał i sił, wypadkwy mment siły jest ówny T = n i= T i n d = L dt i= i. (.) Rzważmy układ na któy nie działają zewnętzne mmenty sił. Nasza ppzednia analiza pkazała, że zgdnie z tzecim pawem Newtna mmenty sił pchdzące d sił wewnętznych działających pmiędzy dwlną paą cząstek, znszą się wzajemnie. A więc wypadkwy mment siły jest zewy: d dt L = 0 i dlateg L = cnst. (.) Jest t paw zachwania mmentu pędu. Mówi n, że jeżeli wypadkwy mment sił zewnętznych działających na układ jest ówny zeu, t całkwity mment pędu teg układu jest stały. Rzważmy ciał stałe bacające się z pędkścią kątwą ω wkół pzytwiedznej si pzechdzącej pzez śdek masy ciała. Jeżeli element masy m j płżny jest w dległści j d si btu, t jeg pędkść v j = j ω, a mment pędu ciała jest sumą ( ω ) = ( m )ω L = m v = m. j j j j j j j j 34

L Wielkść w nawiasie nazywamy mmentem bezwładnści I = j m j. v j W pzypadku ciągłeg zkładu masy Rys..3. Obacający się dysk. m j Zatem: I = dm. (.3) L = Iω. (.4) Pnieważ mment siły keślamy zależnścią T = dl/dt, mżemy więc napisać: gdzie α znacza pzyśpieszenie kątwe. W układzie śdka masy enegia kinetyczna K = dω T = I = Iα, dt ( ) ( ) m jv = jω = m j j ω. j m j Tak więc czyli K = Iω K =, (.5) ( Iω) I = L I.3. Zachwanie enegii Na ys..4 pzedstawin cząstkę puszającą się wzdłuż tu kzywliniweg AB pdlegającą działaniu siły F, pd wpływem któej pzemieszcza się dcinek. Różniczkwa paca siły F jest zdefiniwana jak: dw = F d. (.6) Jeżeli siła F działa wzdłuż tu AB, t całkwita wyknana paca wynsi W AB = B F d = A B A Fcsαd. (.7) 35

a) b) C z A v A d α F B v B z A d α F c B O y O y x x D Rys..4 (a) Paca wyknana pzez siłę F pzy pzesunięciu cząstki na dległść d jest ówna dw = F d. (b) W pzypadku siły zachwawczej F B c paca WAB = Fc d jest niezależna d tu A łącząceg punkty A i B. Załóżmy, że F jest wypadkwą wszystkich sił działających na cząstkę. W tym wypadku pnieważ W AB = B F d = d / dt = v. P scałkwaniu tzymujemy A B A dv m d = dt B A mvdv, W AB = v B v mvdv = A mv B mv A = K B K A. (.8) K = mv nazywamy enegią kinetyczną. Zasada ównważnści pacy i enegii Wielkść ( ) mówi, że wypadkwa paca wyknana pzez wszystkie siły działające na cząstkę ówna jest dpwiedniej zmianie enegii kinetycznej cząstki. O sile F c na ys..4b mówimy że jest siłą zachwawczą, jeżeli WAB = Fc d = Fc d = ACB ADB cnst. Pwyższy wynik mżna wyazić w następujący spsób: jeżeli paca wyknana pzez siłę pzemieszczająca cząstkę z punktu A d B jest niezależna d tu łącząceg punkty A i B, t siła F c jest siłą zachwawczą. Dla pzykładu, zpatzymy pacę wyknaną pzez siłę gawitacyjną. Na ys..5 pzedstawin cząstkę masie m puszającą się d punktu A d B pd wpływem siły gawitacyjnej F g. Pnieważ F g = jmg, więc paca wyknana pzez tę siłę jest ówna F c 36

W h h h ( jmg) ( i dx + jdy) = mgdy = mg( h h ) = mgh AB = Pnieważ paca wyknana pzez siłę gawitacyjną jest niezależna d teg p jakim tze pusza się cząstka między punktami A i B, więc jest t siła zachwawcza. h. y A m F g = mg h h -h j O i B h x Rys..5. Paca wyknana pzez zachwawczą siłę gawitacyjną jest niezależna d dgi między punktami A i B. Enegię ptencjalną definiujemy jak pacę wyknaną pzez siłę zachwawczą U AB = B A F c d =U A U B. (.9) Skalana funkcja płżenia U(x,y,z) jest funkcją enegii ptencjalnej związaną z siłą zachwawczą F c. Wielkści U A i U B są watściami funkcji U(x,y,z) wyznacznymi w punktach kńcwych tu. Enegia ptencjalna w każdym punkcie jest zdefiniwana za pmcą wyażenia (.9) w któym płżenie B mże być dwlnie wybane. Zwykle B wybiea się w nieskńcznści i pzyjmuje, że U B = 0. Wtedy enegia ptencjalna w dwlnym punkcie A wynsi U A = U AB = B A F c d = A B F c d = A F c d. Enegia ptencjalna w dwlnym punkcie jest więc zdefiniwana jak paca wyknana pzez ówną, lecz pzeciwnie skiewaną siłę, ptzebną d pzemieszczenia cząstki z nieskńcznści d daneg punktu płżenia. 37

Wócimy d zasady ównważnści pacy i enegii wyażnej wzem (.8): W = K K. Mżna ją teaz zapisać w taki spsób, aby włączyć zaówn siły AB B A zachwawcze jak i niezachwawcze. W AB ( zachwawcze) +WAB ( niezachwawcze) K B K A Pnieważ z ppzednich zważań wiemy, że W pzegupwując wyazy we wzze (.9), tzymamy: W AB (niezachwawcze)= AB =. (.0) ( zachwawcze ) = U U, więc ( K K ) ( U U ) B, A A B A B lub AB ( K +U ) ( K + U ) W (niezachwawcze)=. (.) B B A A Jeżeli wszystkie siły są zachwawcze, czyli ( niezachwawcze ) = 0, t tzymujemy W AB K A +U A = K B +U B = cnst. (.) Jest t paw zachwania enegii mechanicznej. Mżna je wyazić w następujący spsób: jeżeli wszystkie siły działające na cząstkę są zachwawcze, t całkwita enegia cząstki w każdym jej płżeniu jest wielkścią stałą zwaną całkwitą enegią mechaniczną. Jeżeli uwzględnimy wszystkie siły, zaówn zachwawcze jak i niezachwawcze, t paca wyknana pzez siły niezachwawcze w wyażeniu (.) pjawi się zawsze w pstaci jakiejś fmy enegii. Jeżeli np. siła niezachwawcza jest siłą tacia, t enegia pwstająca w wyniku jej działania ma pstać enegii wewnętznej. Zasada zachwania enegii w ujęciu ugólninym, wynikającym z dświadczenia, bzmi: enegia układu izlwaneg mże pzekształcać się z jednej pstaci w inną, jednak enegia całkwita w jej óżndnych fmach nie mże być ani stwzna z niczeg, ani też unicestwina. 38

ROZDZIAŁ 3 PODSTAWY MECHANIKI RELATYWISTYCZNEJ W zdziale tym mówimy pdstawwe pawa szczególnej teii względnści Einsteina, któe spwdwały ewlucyjny pzewót w pglądach na pzestzeń i czas. Teia ta ma pdstawwe znaczenie dla fizyki. Mechanika Newtna (zwana ównież mechaniką klasyczną) jest słuszna gdy pędkść ciała v jest znacznie mniejsza d pędkści światła c. W życiu cdziennym sptykamy się z pędkściami znacznie mniejszymi d pędkści światła. Jednakże w wielu pzypadkach v c. I tak teia światła wynika z teii elektmagnetyzmu, a elektmagnetyzm t teia elatywistyczna. W fizyce jądwej i w fizyce cząstek elementanych sptykamy się z cząstkami, któe puszają się z pędkścią światła (np. ftn, neutn). We wszechświecie galaktyki ddalają się z pędkściami bliskimi pędkści światła a natua gwiazd neutnwych, pulsaów i czanych dziu związana jest z efektami elatywistycznymi. Również dla zzumienia mechaniki kwantwej należy znać związki elatywistyczne pmiędzy masą, enegią i pędem. 3.. Niezmienniczść Galileusza Różne zjawiska fizyczne pisujemy względem keślnych układów dniesienia. Układy dniesienia mżemy pdzielić na dwie klasy inecjalne i nieinecjalne. Układ inecjalny musi spełniać następujący waunek: ciała lub układ ciał, na któe nie działają żadne siły, musi być w spczynku lub puszać się uchem jednstajnym pstliniwym. Mżemy mieć badz duż układów inecjalnych, któe będą się puszać względem siebie uchem jednstajnym pstliniwym. Wszystkie inne układy puszające się z pzyśpieszeniem są układami nieinecjalnymi. Piewsza zasada dynamiki Newtna nie jest pawem pzydy, lecz pstulatem układu inecjalneg w pzydzie. Fundamentalną tudnść plegającą na tym, że d sfmułwania paw mechaniki klasycznej kniecznym był pstulwanie układu dniesienia, któeg nie spsób zealizwać w paktyce, pzezwyciężyła dpie gólna teia względnści Einsteina. Dla wielu zjawisk, układ związany na stałe z Ziemią jest wystaczającym pzybliżeniem układu inecjalneg. Pzyśpieszenie takieg układu dniesienia jest związane pzede wszystkim z uchem btwym Ziemi, jest t badz małe pzyśpieszenie. 39