Lista zadań 1. Podaj wszystkie czyste równowagi Nasha. Zaznacz pary strategii, które są Pareto optymalne. (a) U 2,3-2,7 D 6,-5 0,-1 (b) U 2,3-2,7 D 6,-5 3,5 2. Rozwiąż gry używając algorytmu eliminacji strategii zdominowanych. Czy rozwiązanie zależy od kolejności eliminacji strategii? Czy stosując algorytm można wyeliminować punkt równowagi? L M R U 1,2 2,3 0,3 C 2,2 2,1 3,2 D 2,1 0,0 1,0 3. Dylemat bezpieczeństwa. Gra opisuje sytuację pomiędzy US a ZSRR po II Wojnie Światowej. Każdy z graczy ma dwie strategie: P - produkować broń nuklearną, N - nie produkować broni nuklearnej. Podaj równowagi Nasha. Jak myślisz, która równowaga jest bardziej prawdopodobna w grze i jak było w rzeczywistości? N P P 3,1 2,2 N 4,4 1,3 4. Rozwiąż poniższą grę. Uzasadnij dlaczego równowaga nosi nazwę niebezpiecznej? Jak w rzeczywistości gracze się zachowają? Uzasadnij odpowiedź. U 2,1 2,-20 C 3,0-10,1 D -100,2 3,3 5. Znajdź grę, która ma przynajmniej jeden punkt równowagi, ale algorytm eliminacji strategii zdominowanych daje grę bez punktu równowagi. 6. Gracz I wybiera wiersz, gracz II wybiera kolumnę, natomiast gracz III wskazuje macierz. Znajdź wszystkie równowagi w grze: α U 0,0,5 0,0,0 D 2,0,0 0,0,0 β U 1,2,3 0,0,0 D 0,0,0 1,2,3 γ U 0,0,0 0,0,0 D 0,5,0 0,0,4 1
7. Pewien ojciec ma dwóch synów. Umierając zostawia im 1000 zł w spadku. Testament jest następujący: każdy z synów musi podać sumę s i jaką chciałby otrzymać. Jeśli s 1 + s 2 1000, to każdy otrzymuje to o co prosił, a reszta przechodzi na cele charytatywne. Jeśli s 1 + s 2 > 1000, to żaden z synów nic nie otrzymuje i cała kwota przekazana jest na cele charytatywne. Załóżmy, że każdy z synów troszczy się tylko o swoją cześć spadku i kwota jaką może podać musi być w wyrażona w pełnych zł. Podaj wszystkie czyste równowagi Nasha w tej grze. 8. Rozważmy następujący problem aukcji. Dwóch graczy chce nabyć wartościowy przedmiot. Każdy gracz składa swoją ofertę w zaklejonej kopercie. Kwoty jakie gracze mogą podać to: 100, 200, 300, 400 i 500 zł. Przedmiot jest warty 400 zł dla gracza 1 i 300 zł dla gracza 2. Gracz, który składa najwyższą ofertę dostaje ten przedmiot. Zwycięzca płaci cenę p. Zatem, jeśli wartość przedmiotu dla zwycięzcy wynosi x, to jego wypłata jest x-p. Dla drugiego gracza wypłata wynosi 0. Jeśli obaj podają cenę p, to zwycięzca jest losowany (z prawdopodobieństwem 1/2). Przypadek (I): First Price uction: Cena p jest równa ofercie jaką złożył zwycięzca. Przypadek (II): Second Price uction: Cena p jest równa ofercie jaką złożył drugi gracz. Podaj macierz wypłat dla obu graczy. Zastosuj algorytm eliminacji strategii zdominowanych. Znajdź równowagę stosując algorytm eliminacji strategii zdominowanych. 9. Second Price uction. Sprzedawca posiada wartościowy obraz i chce go sprzedać na aukcji. Do aukcji przystępuje n potencjalnych nabywców. Każdy nabywca k posiada swoją własną ocenę v k > 0. Potencjalni nabywcy składają swoją ofertę w zaklejonej kopercie. Niech nabywca k składa ofertę b k (0, ). Ten kto podał najwyższą ofertę kupuje przedmiot za drugą co do wielkości ofertę. Jeśli jest więcej nabywców niż jeden z najwyższą ofertą, to kupiec jest losowany według równomiernego rozkładu i płaci za przedmiot najwyższą cenę. Reszta otrzymuje wypłatę zero. Pokaż, że profil strategii (v 1, v 2,..., v n ) jest równowagą Nasha w tej grze n-osobowej. 10. Podaj wszystkie równowagi Nasha w podanych grach. Narysuj graf najlepszych odpowiedzi dla pierwszej gry. (a) U 6,0 5,3 D 6,1 0,0 (b) L M R U 5,0-1,1 2,0 D 5,3-2,3 2,3 11. Podaj wszystkie równowagi Nasha w grze: (a) B C D E 1-4,5 3,-3 2,-5-1,4 1,1 2 3,-3-6,7 6,4 0,0 3,-2 (b) B C 1-0,2 3,1 2,0 2 1,0 2,1 0,2 2
12. Rozważmy grę Skała-Nożyczki-Papier, w której 2 dzieci jednocześnie pokazuje za pomocą dłoni element tej gry. Skała (S) bije Nożyczki (N), Nożyczki biją Papier (P), and Papier bije Skałę. Jeśli dzieci grają ten sam element (obydwoje S, obydwoje N lub obydwoje P) to jest remis. Skonstruuj macierz wypłat dla tej gry, jeśli +1 to wygrana, -1 przegrana i 0 to remis. Rozwiąż tą grę. 13. Firma (w Krakowie) i jej główny rywal firma B (w Katowicach) mają po 10 ciężarówek i każdego dnia samochody te muszą dojechać do Warszawy. O wczesnych godzinach ciężarówki te są jedynymi pojazdami na drodze. Czas dojazdu zaznaczony jest na rysunku, gdzie x oznacza liczbę samochodów na drodze. Ministerstwo Transportu wybudowało nową drogę łączącą siedziby firm i B, na której czas podróży wynosi 0.2. 20 + 2 x FIRM W-wa 0.2 20 + 2 x FIRM B (a) Zanim wybudowano nową drogę, jaki był czas dojazdu każdej ciężarówki z siedziby do W-wy? (b) Opisz sytuację po wybudowaniu nowej drogi jako grę dwuosobową w formie strategicznej, w której gracze to menadżerowie firm, którzy muszą zdecydować ile ciężarówek puścić bezpośrednio do W-wy, a ile nową drogą przez siedzibę rywala. Celem jest minimalizacja całkowitego czasu dojazdu do W-wy wszystkich ciężarówek danej firmy. Na przykład, jeśli firma wysyła swoje ciężarówki bezpośrednio do W-wy, a firma B wysyła 7 ciężarówek bezpośrednio a 3 przez siedzibę firmy to całkowity czas dojazdu ciężarówek firmy B wynosi: 7 (20 + 2 7) + 3 (0.2 + 20 + 2 13). (c) Czy strategia taka, że menadżerowie ignorują nową drogę jest równowagą Nasha? (d) Pokaż, że równowagą Nasha jest następująca strategia: 6 ciężarówek bezpośrednio do W-wy i 4 ciężarówki przez siedzibę rywalizującej firmy.jaki jest całkowity czas dojazdu ciężarówek gdy grana jest para strategii tworzących równowagę? (e) 1 Skonstruuj macierz gry. Czy istnieją inne równowagi Nasha? 1 To zadanie najlepiej policzyć na komputerze i oddać mi na kartkach. 3
14. Z miasta do B można dojechać albo przez miasto C bądź przez miasto D. Czas przejazdu (podany w minutach) zależy od ilości x samochodów jadących daną drogą. Przyjmijmy, że liczba samochodów jadących z miasta do B wynosi 60. 1+x C 51+0.1*x B 51+0.1*x 1+x D (a) Podaj postać strategiczną gry, w której każdy kierowca jedzie wybraną przez siebie drogą. (b) Podaj wszystkie równowagi Nasha w tej grze. Jaki jest wówczas czas przejazdu z do B? (c) Starostwo postanowiło wybudować dodatkową drogę (jednokierunkową) łączącą miasta C oraz D. Znajdź równowagi Nasha w tej grze. Czy budowa nowej drogi polepsza czas przejazdu z do B? 1+x C 51+0.1*x 10+0.1*x B 51+0.1*x 1+x D (d) Spróbuj wytłumaczyć ten paradoks. 4
15. Rozważamy ciągłą grę o sumie zerowej na kwadracie jednostkowym z funkcją wypłaty r(x, y) = 16(x y) 2. Pokaż, że optymalna strategia dla gracza opisana jest za pomocą rozkładu { 1 F 0 (x) = 2, 0 x < 1, 1, x = 1, a gracza B Znajdź wartość gry. G 0 (y) = { 0, 0 y < 1 2, 1 1, 2 y 1. 16. Gracze i B grają w grę o sumie zerowej na kwadracie jednostkowym. Gracz wybiera liczbę x [0, 1], a gracz B, nie znając wyboru gracza wybiera y [0, 1]. Wypłata gracza wynosi (a) Rozwiąż tą grę. P (x, y) = 1 2 y2 2x 2 2xy + 7 2 x + 5 4 y. (b) Po jakimś czasie gracz jest znudzony ciągłym wygrywaniem i decyduje się zbić z tropu gracza B grając zrandomizowaną strategię używając gęstości 3ξ 2, tzn. że prawdopodobieństwo że gracz wybierze x [ξ, ξ + dξ] wynosi 3ξ 2 dξ. Dlaczego nie jest to głupia strategia dla gracza? Jak dużo gracz może stracić grając tą strategię? 17. Gracze i B grają grę różniczkową. Gracz wybiera y = y(t, x), gdzie y jest ciągłą, różniczkowalną funkcją taką, że 0 y 1 dla wszystkich wartości t i x. Gracz B wybiera z = z(t, x), gdzie znowu z jest funkcją o tych samych własnościach co y. Dane jest równanie: dx dt = (y z)2, x(0) = x 0. Gra kończy się o czasie t = T. Gracz maksymalizuje T 0 xdt, a gracz B minimalizuje tą całkę. Sprawdź, że max y T min z 0 xdt = x 0 T oraz min z T max xdt = x 0 T + 1 y 0 8 T 2. Zatem gra różniczkowa nie posiada czystych strategii optymalnych (L.D. Berkovitz). 18. Znajdź wartość gry oraz optymalne strategie w następującej grze macierzowej (gracz 1- max, gracz 2-min): -4 4 B 1-3 C 2-7 D -2 2 5
19. ntek i Bartek grają w następującą grę: ntek ma prawdziwy samolot i fałszywy samolot. Bartek ma urządzenie do strącania samolotu i chce nim trafić w prawdziwy samolot. ntek kładzie na stole prawdziwy lub fałszywy samolot i zakrywa go ręką. Bartek decyduje czy użyć swojego urządzenia. Na sygnał ntek odkrywa samolot, a Bartek decyduje co zrobić. Jeśli Bartek zestrzeli samolot, to wygrywa 1, jeśli samolot był prawdziwy i przegrywa 1, jeśli jest fałszywy. Jeśli Bartek nie użyje urządzenia, a samolot był prawdziwy, to gra się kończy i nie ma wypłat.jeśli Bartek nie użyje urządzenia, a samolot był fałszywy to gra się powtarza - tym razem stawka jest podwójna. W przypadku, gdy Bartek nie użyje urządzenia, a samolot był fałszywy to gra się kończy i Bartek wygrywa 2. Narysuj drzewo gry, podaj czyste strategie graczy i macierz wypłat. Znajdź optymalne strategie i wartość gry. 20. Sasza i Masz kupili zestaw, który zawiera pistolet Colt 45-six shooter, jeden nabój, karton papierosów i zasady gry w rosyjską ruletkę. Każdy z graczy kładzie na stole po paczce papierosów. Sasza gra pierwszy: może dodać dwie paczki papierosów i przekazać pistolet Maszy albo dodać jedną paczkę, naładować rewolwer i strzelić sobie w głowę. Jeśli ma szczęście, to przekaże rewolwer Maszy. Masza ma te same opcje co Sasza. Gra się kończy. Każdy bierze po połowie papierosów, jeśli obaj żyją, albo ten co przeżył zabiera wszystkie paczki ze stołu. Narysuj drzewo gry, podaj czyste strategie graczy i macierz wypłat. Znajdź optymalne strategie i wartość gry. 21. Do gry użyto trzech kart: Króla, 10 i 2. ntek wybiera jedną kartę nie pokazując Piotrowi. Piotr mówi: High lub Low. Jeśli ma rację (Król=High, 2 =Low), wygrywa 3zł od ntka. Jeśli nie ma racji traci 2zł. Jeśli kartą jest 10, to Piotr wygrywa 2zł, gdy wołał Low, ale ntek musi wybrać pomiędzy Królem a 2, gdy Piotr wołał High. Tym razem po wybraniu karty, Piotr znów woła High lub Low i wygrywa 1zł, gdy ma rację oraz traci 3zł, gdy nie ma racji. Narysuj drzewo gry, podaj czyste strategie graczy i macierz wypłat. Znajdź optymalne strategie i wartość gry. 22. ntek i Bartek grają w grę z dwoma kartami oznaczonymi literami H=High i L= Low. Każdy z graczy kładzie na stół po 1zł. ntek losuje kartę, patrzy i zakłada się o 2zł lub 4zł. Bartek może zrezygnować lub popatrzyć. Jeśli zrezygnuje, to ntek zabiera wygraną ze stołu. Jeśli zdecyduje się popatrzyć, to musi dopasować się do ntka zakładu. W tym przypadku ntek wygra, jeśli ma kartę High, w przeciwnym wypadku wygra Bartek. Narysuj drzewo gry, podaj czyste strategie graczy i macierz wypłat. Znajdź optymalne strategie i wartość gry. 6
23. Udowodnij fakt, że p σ jest równowagą skorelowaną, jeśli σ jest równowagą Nasha. 24. Znajdź równowagę skorelowaną, która daje wypłatę ( 40 9, 36 9 ) w poniższej grze U 6,6 2,7 D 7,2 0,0 25. Dla poniższych gier podaj wszystkie równowagi Nasha i znajdź równowagę, która nie jest w otoczce wypukłej wypłat równowag Nasha: (a) U 8,8 4,9 D 9,4 1,1 (b) L M R U 0,0 2,4 4,2 C 4,2 0,0 2,4 D 2,4 4,2 0,0 26. W poniższej grze o sumie zerowej znajdź optymalne strategie oraz wartość gry. Następnie podaj równowagi skorelowane: L M R U 0,0 0,0 1,-1 C 1,-1 1,-1 0,0 D 1,-1 1,-1 0,0 27. Pokaż, że istnieje jedyna skorelowana równowaga skorelowana w poniższej grze, gdzie a, b, c, d ( 1 4, 1 4 ). Znajdź tą równowagę skorelowaną. Jaka jest granica tej równowagi, gdy a, b, c, d 0? U 1,0 c,1+d D 0,1 1+a,b 28. Dana jest gra G oraz gra Ĝ, która powstaje z G poprzez wyeliminowanie strategii ściśle zdominowanych. Co możesz powiedzieć o równowagach skorelowanych dla obu gier? 29. Model Cournota. Dwie firmy 1 oraz 2 produkują na rynku pewne dobro, które jest nieskończenie podzielne. Każda z nich musi zdecydować o ilości produkcji q i [0, + ) dla i = 1, 2. Niech cena towaru na rynku kształtuje się w następujący sposób: { P0 (1 Q P (Q) = Q 0 ), Q < Q 0, 0, Q Q 0, gdzie Q = q 1 + q 2 oraz P 0, Q 0 to pewne dodatnie stałe. Koszt produkcji dobra firmy i wynosi C(q i ) = cq i, c > 0, i = 1, 2. Zatem wypłata firmy i jest dana wzorem r i (q 1, q 2 ) = q i P (Q) C(q i ). (a) Znajdź czystą równowagę (symetryczną) Nasha w tym modelu oraz wypłaty. Zauważ, że żadnej z firm nie opłaca się produkować więcej niż Q 0. 7
(b) Jak sytuacja będzie wyglądać w przypadku monopolu (tzn. podaj wartość produkcji q m i zysk tej firmy r(q m ))). (c) Załóżmy, że firmy 1 oraz 2 tworzą kartel umawiając się, że będą używać strategii q k 1 = qk 2 = 1 2 q m. Ile wynosi wówczas zysk dla każdej z firm. Czy jest to rozwiązanie stabilne? W tym celu oblicz najlepszą odpowiedź firmy 2 na strategię 1 2 q m firmy 1. 30. Rozważmy asymetryczny model duopolu gry Cournota. Koszt produkcji dla Firmy 1 wynosi c 1, a dla Firmy 2 c 2. Jeśli 0 < c i < P 0 /2 dla i = 1, 2, to jaka jest równowaga Nasha? Jeśli c 1 < c 2 < P 0, ale 2c 2 > P 0 + c 1, to jaka jest równowaga Nasha? 31. Rozważmy model oligopolu gry Cournota: n identycznych firm (tzn. z identycznymi kosztami) produkuje ilości q 1, q 2,..., q n pewnego dobra. Cena na rynku opisana jest funkcją P (Q) = P 0 (1 Q/Q 0 ), gdzie Q = n i=1 q i. Znajdź symetryczną równowagę Nasha. Do czego dąży zysk każdej firmy gdy n? 32. Rozwiązanie Stackelberga. Na rynku leaderem w produkcji pewnego dobra jest Firma 1, która pierwsza decyduje o wielkości produkcji q L. Ta strategia obserwowana jest przez inną firmę (tzw. follower), która decyduje też o wielkości produkcji q F tego samego dobra. Rozwiąż tą grę przez algorytm indukcji wstecznej otrzymując w ten sposób SPNE (Subgame Perfect Nash Equilibrium). Równowaga ta jest nazywana także równowagą Stackelberga. Dane o kosztach produkcji oraz zyskach firm są opisane tymi samymi funkcjami co w zadaniu 23. Podaj zyski firm dla tej równowagi. Czy to jedyna równowaga w tym modelu? 33. (Bayessowska równowaga) Rozważmy model duopolu gry Cournota. Niech zysk Firmy i będzie dany funkcją: r i (q 1, q 2 ) = q i (2 q i q 2 ) q i θ i, } {{ } }{{} cena dobra koszt produkcji gdzie q i jest wielkością produkcji Firmy i. Wiadomo, że Firma 1 może być tylko jednego typu θ 1 = 1. Firma 1 wierzy, że θ 2 = 5 4 z prawdopodobieństwem 1 2 i θ 2 = 3 4 z prawdopodobieństwem 1 2. Zatem Firma 2 może być dwóch typów: high-cost type (θ 2 = 5 4 ) oraz low-cost type (θ 2 = 3 4 ). Znajdź czystą bayesowską równowagę Nasha w tej grze. Oblicz oczekiwane wypłaty dla graczy, gdy grają równowagę. 8
Rozważamy grę kooperacyjną G = (N, P (N), v). Ozn. C - rdzeń gry. 34. Niech N = {1, 2, 3} oraz v(s) = 0, gdy S =, 1, gdy S = {1}, {2}, 2, gdy S = {3}, 4, gdy S = 2, 5, gdy S = {1, 2, 3}. Czy v jest superaddytywna? Znajdź wszystkie imputacje w tej grze. 35. Niech (a 1,..., a n ) R n +. Definiujemy: v(s) = { 0, gdy S k, i S a i, gdy S > k. Znajdź C oraz wartość Shapleya dla każdego k = 0,..., n. 36. Rozważmy grę dualną G do gry G. Funkcja charakterystyczna w G określona jest w następujący sposób v (S) = v(n) v(n \ S), S P (N). Sprawdź, że G jest dualna do G. Czy prawdą jest stwierdzenie: Rdzeń w grze G jest niepusty wtedy i tylko wtedy gdy rdzeń w grze G jest niepusty? Jeśli nie, to podaj kontrprzykład. Pokaż, że wartości Shapleya dla graczy w grach G oraz G są takie same. 37. Gracz i nazywany jest zerowym, jeśli v(s {i}) = v(s) dla każdej koalicji S P (N). Pokaż, że jeśli C, to x i = 0 dla każdej imputacji x w C oraz każdego gracza zerowego i. 38. Oblicz wartość Shapleya dla gry, w której v(s) = i S v({i}). 39. Niech (a 1,..., a n ) R n. Oblicz wartość Shapleya dla gry, w której v(s) = ( i S a i) 2 dla każdej koalicji S P (N) i S. 40. Rozważamy grę ważonego głosowania [5; 1, 2, 3, 4]. Podaj funkcję charakterystyczną dla tej gry. Oblicz wartość Shapleya, Banzhafa oraz podaj C. 41. Oblicz wartość Banzhafa dla gry rozważanej na wykładzie (RB ONZ). W poniższych zadaniach zakładamy, że n dzieli się przez 6. 42. Rozważamy grę (n+1)-osobową ważonego głosowania [n/2; n/3, 1,..., 1]. Ile wynosi wartość Shapleya dla gracza 1, gdy n? 43. Rozważamy grę (n+2)-osobową ważonego głosowania [5n/6; n/3, n/3, 1,..., 1]. Ile wynosi wartość Shapleya dla graczy 1 oraz 2, gdy n? 44. Rozważamy grę (n+2)-osobową ważonego głosowania [n; n/3, n/3, 1,..., 1]. Ile wynosi wartość Shapleya dla graczy 1 oraz 2, gdy n? 9