PROCES PRZEWIDYWANIA ZALEŻNOŚCI EKONOMICZNYCH Literatura: Formułowanie modeli ekonometrycznych na potrzeby zarządzania dr inż. Władysław Wornalkiewicz 1
Prognozowanie w działalności przedsiębiorstw Wprowadzenie prognozowanie jako dyscyplina nauki prognozowanie gospodarcze - określenie drogi rozwoju cel: określenie kierunku i dynamiki wielkości ekonomicznych statystyczna teoria prognoz: metody ilościowe rachunek prawdopodobieństwa modele ekonometryczne 2
kryteria podziału prognoz: horyzont czasowy prognozy: krótkoterminowa - zmiany ilościowe średnioterminowa - zmiany ilościowe, śladowe jakościowe długoterminowe strategiczne - dla podejmowania długofalowych decyzji gospodarczych - wielowariantowość operatywne - wykonanie planu, kształtowanie się zmiennych ekonomicznych 3
charakter i struktura prognozy: proste i złożone ilościowe - opisywane zmienną ilościowa (liczba) i jakościowe punktowe i przedziałowe jednorazowe i powtarzalne (periodyczna) 4
stopień szczegółowości prognozy: ogólne i szczegółowe zasięg terenowy prognozy: światowe, międzynarodowe, krajowe, regionalne metoda opracowania: modelowe, indukcyjne, dedukcyjne, średnie cel lub funkcja: ostrzegawcze, badawcze, aktywne, pasywne, 5
samorealizujące się - np. ogłoszenie wzrostu cen - wykup towarów - wzrost cen unicestwiające się - zapowiedz rekordowego napływu gości - zniechęcenie do wyjazdu Zmiany ilościowe - zgodnie z trendem lub funkcją regresji Zmiany jakościowe - zmiana postaci trendu, charakteru związków, zanik związków 6
predykcja: diagnozowanie przeszłości - estymacja i sformułowanie modelu określenie przyszłości - prognozowanie - reguła (metoda) Komleksowość predykcji - wnioskowanie o wektorze zmiennych reprezentujących współzależne zjawiska - wydatki konsumentów Sekwencyjność predykcji - budowa prognoz dla danej zmiennej w następujących po sobie okresach 7
Metody prognozowania metody analizy i prognozowania krótkookresowego szeregów czasowych (czas, przeszłe wartości zmiennej prognozowanej) - modele: średnie ruchome wygładzanie wykładnicze autoregresyjne inne 8
metody prognozowania przyczynowoskutkowego - modele: ekonometryczne jedno-, wielorównaniowe behawioralne - prawa zachowania się p-stw symptomatyczne - brak teorii do budowy modelu Zastosowanie: znane przyszłe wartości zmiennych objaśniających lub prognozowanie tych zmiennych eksperymentowanie - symulacje 9
metody analogowe - bazowanie na zmiennych podobnych - np. rozwój telefonii komórkowej w Polsce na podstawie krajów zachodnich metody heurystyczne np. burza mózgów na temat nowych odkryć naukowych - opinie wielu ekspertów - analiza - reguła największego prawdopodobieństwa 10
kombinacje metod: średnia prognoza z modeli z zastosowaniem wag - stopni zaufania ekspertów wybór metody: dostępność danych właściwości metod (ocena jakości modelu,...) 11
Miary błędu prognozy RMSE - pierwiastek średniego kwadratu błędu MAE - średni absolutny błąd MAPE - średni procentowy absolutny błąd współczynnik Theila Dekompozycja współczynników Theila: o o o współczynnik średniego błędu, współczynnik błędu wariancji, współczynnik błędu kowariancji. 12
U M > 0,2 - błąd systematyczny prognozy U S - wysoka wartość - zmienność zmiennej prognozowanej jest niedostateczna U C - miara błędu niesystematycznego (oprócz U M i U S ) U M + U S + U C = 1 13
Liniowy model regresji z jedna zmienna objaśniającą Przykład: DZGD = f(dgd) + DZGD - depozyty złotowe gospodarstw domowych w mln zł, DGD - dochody gospodarstw domowych w mln zł, - składnik losowy. 14
N i = Rok t = Kw. X = DGD Y = DZGD 1 1992 1 8,20 0,95 2 2 5,50 0,97 3 3 5,80 1,22 4 4 7,80 1,64 5 1993 1 10,50 1,04 6 2 8,00 1,30 7 3 6,80 0,90 8 4 9,30 2,00 9 1994 1 10,20 2,20 10 2 10,50 1,00 11 3 11,10 2,10 12 4 12,90 3,00 13 1995 1 13,50 3,58 14 2 14,00 2,50 15 3 14,80 2,30 16 4 17,20 4,50 17 1996 1 17,90 4,00 18 2 18,10 3,20 19 3 18,90 3,80 20 4 20,90 5,80 21 1997 1 22,00 5,00 22 2 23,10 5,20 23 3 23,80 4,50 24 4 25,00 6,50 25 1998 1 26,20 6,00 26 2016-02-11 20:42 2 D:\PREZENTACJE\P- 26,60 6,31 15
DZGD Diagram korelacyjny DZGD - DGD 7 6 y = 0,2629x - 0,7937 R² = 0,9039 5 4 3 2 1 0 5 10 15 20 25 30 DGD 16
1. Współczynnik korelacji: R DZGD,DGD = 0,95 0,950762 =WSP.KORELACJI(H3:H28;G3:G28) 0,95076^2 = 0,9039 2. Ocena istotności t obl = R (N - 2)/(1 - R 2 ) = 0,95 (26-2)/(1 0,9039) = 15,01 t 0,05 = 1,71 < I t obl I 17
Występuje silna dodatnia zależność liniowa: Y i = c +ax i DZGD = -0,79 + 0,26 DGD Współczynnik regresji - 0,26 3. Skorygowany współczynnik determinacji: R 2 = 1 - [(N - 1) (1 - R 2 )]/(N - k) N = 26, k = 2 R 2 = 0,8999 = 89,99 % 18
4. Obliczenie parametrów funkcja REGLINP 0,2629-0,7937 a c =REGLINP(F5:F30;H5:H30;PRAWDA;FAŁSZ) a b 0,262856829-0,7936986 parametry 0,01749009 0,28577149 standardowe wartosci błędów dla parametrów 0,903949232 0,58871877 współczynnik korelacji; standardowy błąd oceny Y 225,8678608 24 statystyka F; stopień swobody 78,28349498 8,31815502 regresyjna suma kwadratów; resztowa suma kwadratów wariancja resztowa 0,34658979 resztowa suma kwadratów/stopień swobody (N - m -1) 0,58871877 pierwiastek z wariancji resztowej 19
5. Odchylenie standardowe składnika resztowego ok. 0,59 mln 6. Ocena różnicy V DZGD,DGD = S (Zn )/DZGD = 0,59/3,14 = 0,18,8 = 18,8% > 10% Średnia dla Y, czyli DZGD równa się 3,14 20
7. Badanie statystycznej istotności parametrów: t obl = Ia i /D(a i )I < t 0,05 = 1,71 t b = -0,794/0,286 = -2,78 t a = 0,263/0,017 = 15,47 Oba parametry modelu są statystycznie istotne. 8. Badanie stabilności parametrów modelu - zastosowanie testu CUSUM - skumulowanych kwadratów reszt - nie występowanie zmian strukturalnych (parametrów) 21
Resztowa suma kwadratów = ok. 8,32 S n = r r /r r Pierwsza jest sumą skumulowaną (iloraz kwadratu reszt/ sumę reszt (8,32)). Druga = 8,32 22
N i = Rok t = Kw. X = DGD Y Y^ Y-Y^ (Y-Y^)8,32 Sn 1 1992 1 8,20 0,95 1,34-0,39 0,02 0,02 2 2 5,50 0,97 0,64 0,33 0,01 0,03 3 3 5,80 1,22 0,72 0,50 0,03 0,06 4 4 7,80 1,64 1,24 0,40 0,02 0,08 5 1993 1 10,50 1,04 1,94-0,90 0,10 0,18 6 2 8,00 1,30 1,29 0,01 0,00 0,18 7 3 6,80 0,90 0,98-0,08 0,00 0,18 8 4 9,30 2,00 1,63 0,37 0,02 0,20 9 1994 1 10,20 2,20 1,86 0,34 0,01 0,21 10 2 10,50 1,00 1,94-0,94 0,11 0,32 11 3 11,10 2,10 2,10 0,00 0,00 0,32 12 4 12,90 3,00 2,56 0,44 0,02 0,34 13 1995 1 13,50 3,58 2,72 0,86 0,09 0,43 14 2 14,00 2,50 2,85-0,35 0,01 0,44 15 3 14,80 2,30 3,06-0,76 0,07 0,51 16 4 17,20 4,50 3,68 0,82 0,08 0,59 17 1996 1 17,90 4,00 3,86 0,14 0,00 0,60 18 2 18,10 3,20 3,92-0,72 0,06 0,66 19 3 18,90 3,80 4,12-0,32 0,01 0,67 20 4 20,90 5,80 4,64 1,16 0,16 0,83 21 1997 1 22,00 5,00 4,93 0,07 0,00 0,83 22 2 23,10 5,20 5,22-0,02 0,00 0,83 23 3 23,80 4,50 5,40-0,90 0,10 0,93 24 4 25,00 6,50 5,71 0,79 0,08 1,00 25 1998 1 26,20 6,00 6,02-0,02 0,00 1,00 26 2 26,60 6,31 6,126 0,18 0,00 1,01 23
Sn Obraz 5% dla testu krytycznego Sn 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0-0,2 0 5 10 15 20 25 30-0,4 kwartały 24
Wartości S n nie przekraczają 5% - parametry modelu są stabilne. 9. Test Jargue-Bera - normalność składnika resztowego JBT = (N - k)/6 (S 2 + 0,25 (K - 3) 2 ) S - wartość współczynnika skośności K - wartość współczynnika kurtozy Test oparty na rozkładzie 2 z dwiema stopniami swobody. k = 2 oraz T = N -k) = 26-2 = 24 25
10. Test Durbina - Watsona - sprawdzenie autokorelacji pierwszego rzędu reszt k = 1(bez stałej c), N = 26, = 0,05 wartości krytyczne: d d = d L = 1,302 d g = d U = 1,461 (z n - z n-1 ) 2 n = 2 do N d obl = --------------------------------------- (z n ) 2 n = 1 do N 26
Gdy w modelu nie występuje opóźniona zmienna endogeniczna np. Y n = c + a 1 X n + a 2 X n-1 d obl = 19,352/8,367 = 2,31 d obl > d g 27
Obliczenia pomocnicze do d obl n z n = Y-Y^ z n-1 z n - z n-1 (z n - z n-1 ) 2 2 z n 1-0,392 0,154 2 0,330-0,392 0,722 0,521 0,109 3 0,502 0,330 0,172 0,030 0,252 4 0,402 0,502-0,100 0,010 0,162 5-0,900 0,402-1,302 1,695 0,810 6 0,010-0,900 0,910 0,828 0,000 7-0,078 0,010-0,088 0,008 0,006 8 0,372-0,078 0,450 0,203 0,138 9 0,338 0,372-0,034 0,001 0,114 10-0,940 0,338-1,278 1,633 0,884 11 0,004-0,940 0,944 0,891 0,000 12 0,436 0,004 0,432 0,187 0,190 13 0,860 0,436 0,424 0,180 0,740 14-0,350 0,860-1,210 1,464 0,123 15-0,758-0,350-0,408 0,166 0,575 16 0,818-0,758 1,576 2,484 0,669 17 0,136 0,818-0,682 0,465 0,018 18-0,716 0,136-0,852 0,726 0,513 19-0,324-0,716 0,392 0,154 0,105 20 1,156-0,324 1,480 2,190 1,336 21 0,070 1,156-1,086 1,179 0,005 22-0,016 0,070-0,086 0,007 0,000 23-0,898-0,016-0,882 0,778 0,806 24 0,790-0,898 1,688 2,849 0,624 25-0,022 0,790-0,812 0,659 0,000 26 0,184-0,022 0,206 0,042 0,034 Suma: 19,352 8,367 28
Nieliniowe modele regresji z jedną zmienną objaśniającą potęgowy Y = X a [ln Y = a ln X] gdy: X zmieni się o 1% to Y o 0,25% wykładniczy Y = a X [ln Y = X ln a] gdy: X zmieni się o 1 to Y przeciętnie o a% 29
liniowo-logarytmiczny Y = a ln X gdy: a przeciętna zmiana Y wywołana 1% zmianą X Ocena dobroci dopasowania modeli - zastosowanie miar i testów jak dla liniowych. 30
Liniowe i nieliniowe modele regresji z wieloma zmiennymi objaśniającymi Y = f(x 1, X 2,..., X k, ) Y = c + a 1 X 1, a 2 X 2,..., a k X k + Inna interpretacja: skorygowanego współczynnika determinacji parametrów modelu DZGD = f(dgd, DR3) + DR3 - stopa oprocentowania 3-y miesięczna Oczekiwanie: DZGD - DR3 (dodatnia zależność korelacyjna) 31
Dane pomocnicze do określenia diagramu korelacyjnego DZGD - DR3 N i = Rok t = Kw. X = DGD DR3 = X 2 DZGD = Y 1 1992 1 8,20 0,60 0,95 2 2 5,50 0,50 0,97 3 3 5,80 0,50 1,22 4 4 7,80 0,90 1,64 5 1993 1 10,50 0,60 1,04 6 2 8,00 0,80 1,30 7 3 6,80 0,30 0,90 8 4 9,30 1,50 2,00 9 1994 1 10,20 1,20 2,20 10 2 10,50 0,70 1,00 11 3 11,10 1,60 2,10 12 4 12,90 2,00 3,00 13 1995 1 13,50 2,90 3,58 14 2 14,00 1,90 2,50 15 3 14,80 1,80 2,30 16 4 17,20 3,00 4,50 17 1996 1 17,90 3,00 4,00 18 2 18,10 2,50 3,20 19 3 18,90 2,90 3,80 20 4 20,90 3,00 5,80 21 1997 1 22,00 4,00 5,00 22 2 23,10 4,20 5,20 23 3 23,80 3,50 4,50 24 4 25,00 3,00 6,50 25 1998 1 26,20 5,10 6,00 26 2 26,60 5,00 6,31 WSP.KORELACJI(E3:E28;D3:D28) 0,94 tobl 13,50 =0,94*PIERWIASTEK(24/(1-0,94^2)) 32
DZGD 6 Diagram korelacyjny DZGD - DR3 5 y = 1,2172x + 0,4666 R 2 = 0,8786 4 3 2 1 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 DGD 33
Wg testu T-Studenta t obl > t 0,05 = 1,71 - zależność statystyczna. Parametry modelu oszacowane funkcją REGLIN a 2 a 1 c = b = a 0 0,473 0,168-0,409 parametry 0,236 0,050 0,331 standardowe wartości błędów dla parametrów Model: ZGD = - 0,409 + 0,168 DGD + 0,473 DR3 Testy istotności i stabilności parametrów, składnika resztowego, kryteriów Akaike'a i Schwarza- jak w 2-wu wymiarowych. Testy porównywania modeli AK = N ln (z n 2 ) + 2 k 34
lub SCHW = N ln (z n 2 ) + k ln (N) Przykład: szeregi z N = 16 danych kwartalnych 3 modele popytu na produkt: A - regresji wielowymiarowej z 3-ma zmiennymi objaśniającymi B - trendu C - Holta-Wintersa bez składowej sezonowej Model Suma kwadratów reszt 2 - z n Liczba parametrów - k A 13,9 4 B 17,2 2 C 22,6 2 k N SCHW A 13,9 4 16 53,2 =$P$50*LN(Q50)+4*LN($P$50) B 17,2 2 51,1 C 22,6 2 55,4 Min(53,2; 51,1; 55,4) to model trendu 35
Metoda najmniejszych kwadratów - wiele zmiennych 1. Typowa a = (X T X) -1 X T Y a = b 2. Z równania Y = b 0 +b 1 X 1 + b 2 X 2 +... + b k X k Przykład 1: Y^ = b 0 + b 1 X 1 + b 2 X 2 + b 3 X 3 Y^ = 3489-0,090 X 1 + 0,064 X 2 + 0,019 X 3 Y^ - popyt na mięso wołowe i cielęce X 1 - cena wołowiny X 2 - cena wieprzowiny X 3 - dochód wg wskaźnika funduszu płac 36
Przykład 2 Y^ = b 0 + b 1 X 1 + b 2 X 2 (y - y^) 2 min Równania normalne: a) Y = b 0 n + b 1 (X 1 ) + b 2 (X 2 ) b) X 1 Y = b 0 (X 1 ) + b 1 (X 1 2 ) + b 2 (X 1 X 2 ) c) X 2 Y = b 0 (X 2 ) + b 1 (X 1 X 2 ) + b 2 (X 2 2 ) 37
Zadanie: Badanie skuteczności leku odchudzającego Równanie Y = b 0 + b 1 X 1 + b 2 X 2 Prognoza: spadek wagi u osoby, dawka 2 cm 3 okres 18 m-cy Spadek wagi (funty) Dawka (cm 3 ) Okres (m-ce) Y X 1 X 2 9 1,5 3 24 2,5 3 13 1,5 30 94 2 11 45 2 5 30 2 14 30 2 3 20 2 2 15 2 4 16 2 1 10 2 1 39 2 3 38
15 1,5 2 19 2 6 56 3 6 45 2,5 12 37 3 36 59 5 12 26 2 24 7 1,5 2 37 3 7 34 2 18 39
(y - y^) 2 min Równania normalne: a) Y = b 0 n + b 1 (X 1 ) + b 2 (X 2 ) b) X 1 Y= b 0 (X 1 ) + b 1 (X 12 ) + b 2 (X 1 X 2 ) c) X 2 Y = b 0 (X 2 ) + b 1 (X 1 X 2 ) + b 2 (X 22 ) 40
n Y X 1 (X 1 ) 2 X 1 Y X 2 (X 2 ) 2 X 2 Y X 1 X 2 1... 22 Y X 1 (X 1 ) 2 X 1 Y X 2 (X 2 ) 2 X 2 Y X 1 X 2 41
Wzór Cramera - uład równań postaci: A X = B niewiadome X 1, X 2,..., X n X 1 = det A 1 /det A,..., X k = det A k /det A,..., X n = det A n /det A A k - macierz powstała z A po zastąpieniu jej k-tej kolumny przez kolumnę wyrazów wolnych 42
Przykład: X + 2Y - Z = 1 3X + Y + Z = 2 X - 5Z = 0 1 2-1 det A = 3 1 1 = 28 1 0-5 1 2-1 det A 1 = 2 1 1 = 15 0 0-5 43
1 1-1 det A 2 = 3 2 1 = 8 0 0-5 1 2 1 det A 3 = 3 1 2 = 3 1 0 0 44
X = 15/28, Y = 8/28, Z = 3/28 Rozwinięcie macierzy kwadratowej A stopnia n 2 względem i-tego wiersza det A = a i1 D i1 + a i2 D i2 +... + a in D in Dij - dopełnienie algebraiczne elementu aij tej macierzy, tj. wyznacznik macierzy powstałej przez skreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny tej macierzy, pomnożony przez (-1) i+j. Podobnie wzór na rozwinięcie Laplace'a względem j-tej kolumny. 45
Sposoby obliczenia parametrów "a" dla dwóch zmiennych Y i X 1. Y = a + bx = a o + a 1 X (Y - Y) 2 min a 1 = [(Y-Y - ) (X - X - )] / (X-X - ) 2 a 0 = Y- a 1 X - 2. Y = na + b (X) XY = a (X) + b (X 2 ) 46
Przykład: X Y X 2 XY 10 48 100 480 20 60 400 1200 30 63 900 1890 40 71 1600 2840 50 72 2500 3600 60 84 3600 5040 70 89 4900 6230 80 90 6400 7200 360 577 20400 28480 47
3. 577 = 8a + 360b b = a 1 = 0,60 28480= 360a + 20480b a = a 0 = 45,1 Y^ = 45,1 + 0,6 X 4. a = a 0 = [(Y) (X 2 ) - (X) (XY)] / [n(x 2 ) - (X) 2 ] a 0 = (577 20400-360 28480) / (8 20400-360 2 ) = 45,1 b = a 1 = [n(xy) - (X) (Y)] / [n(x 2 ) - (X) 2 ] = 0,6 48
5. Najpierw b = a 1 i podstawić do 577 = 8a 0 + 360a 1 a 0 = (577-0,60 * 360)/8 = 45,1 Prognoza: Ilość środka chemicznego - 100 cm 3 wody - X = t = 35 0 Y^ = 45,1 + 0,6 X = 45,1 + 0,6 35 = 66,1 grama 49
Ilość środka 6. Graficznie X Y 10 48 20 60 30 63 40 71 50 72 60 84 70 89 80 90 100 80 60 40 20 0 Rozpuszczalność środka y = 0,5988x + 45,179 R 2 = 0,9661 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 temperatura - t 50
Współczynnik Janusowy y t y^ (y t - y^) 2 1 280 288,10 65,54 2 320 310,19 96,30 3 340 332,28 59,63 4 360 354,37 31,71 5 370 376,46 41,73 6 390 398,55 73,11 7 415 420,64 31,82 8 440 442,73 7,47 9 460 464,82 23,26 10 500 486,91 171,24 /10 60,18 11 507 509 12 533 531,09 51
Y ˆ 266, 01 22, 09 * t J 2 T 3,82 60,18 1 T 2 ( y ) 1 2 t ytp *((507509) (533531,09) 2 n tn1 1210 n ^ 1 2 60,18 ( yt yt ) n t1 0,06 ) J 2 < 1 52
53
Przykład procedury: 0. 0,58 1 0,79 0,26 0,64 0,10 0,86 0,79 1 0,33 0,86 0,59 R 0 = 0,48 R = 0,26 0,33 1 0,17 0,51 0,87 0,64 0,86 0,17 1 0,62 0,83 0,10 0,59 0,51 0,62 1 1. n = 28; m = 5; = 0,01; n = 28 iss = n 2; t = 2,779 r* = 2,7792 2 / (2,779 2 + 28 2) = 0,48 54
55
Częstość Excel - Analiza danych - Histogram Przedział - do Częstość -0,9 1-0,5 4-0,1 3 0,3 8 0,7 6 Więcej 4 Suma: 26 Excel - Wykres - Kolumnowy Histogram reszt- składnika losowego 10 8 6 4 2 0-0,9-0,5-0,1 0,3 0,7 Więcej Przedziały - do Excel-Narzedzia-Analiza danych - Statystyka opisowa Y-Y^ Średnia 0,039 Błąd standardowy 0,113 Mediana 0,040 Odchylenie standardowe 0,577 Wariancja próbki 0,333 Kurtoza -0,607 Skośność -0,128 Zakres 2,096 56
Prognozowanie szeregów czasowych Modele prostych średnich ruchomych (SMA) Okres Sprzedaż SMA2 SMA4 M-c Y n F n Y n - F n F n Y n - F n 1 120 - - 2 124 - - 3 122 122 0 4 123 123 0 5 125 122,5 2,5 122,25 2,75 6 128 124 4 123,5 4,5 7 129 126,5 2,5 124,5 4,5 8 127 128,5-1,5 126,25 0,75 9 129 128 1 127,25 1,75 10 128 128 0 128,25-0,25 11 130 128,5 1,5 128,25 1,75 12 132 129 3 128,5 3,5 13-131 129,75 57
sprzedaż SMA2 i SMA4 134 132 130 128 126 124 122 120 118 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 miesiące Yn SMA2 SMA4 58
Test: MIN RMSE z modeli o różnych okresach Wybór: SMA2 Zastosowanie: krótkookresowe- bez trendu - wahań sezonowych Sprawdzenie trendu: Y = Y n - Y n-1 Y n Y n-1 Y n - Y n-1 120 - - 124 120 4 122 124-2 123 122 1 125 123 2 128 125 3 129 128 1 127 129-2 129 127 2 128 129-1 130 128 2 132 130 2 Średnia 1,09 odchylenie 1,88 59
X - t obl = -------------- S/N - d t obl = 1,09/(1,88/11) = 1,93 t obl < t a=0,025 = 2,179 wg testu t-studenta d = 1 zatem w szeregu występuje trend Większa ilość okresów = bardziej wygładzony szereg 60
Modele ważonych średnich ruchomych (WMA) Wagi (0,1; 0,2; 0,3; 0,4) F 05 = 0,1 Y 1 + 0,2 Y 2 + 0,3 Y 3 + 0,4 Y 4 F 05 = 0,1 120 + 0,2 124 + 0,3 122 + 0,4 123 = 122,6 Okres Sprzedaż SMA4 WMA4 M-c Y n F n Y n - F n F n Y n - F n 1 120 2 124 3 122 4 123 5 125 122,25 2,75 122,6 2,4 6 128 123,5 4,5 123,7 4,3 7 129 124,5 4,5 125,5 3,5 8 127 126,25 0,75 127,3-0,3 9 129 127,25 1,75 127,6 1,4 10 128 128,25-0,25 128,3-0,3 11 130 128,25 1,75 128,2 1,8 12 132 128,5 3,5 128,9 3,1 13-129,75 130,3-61
sprzedaż SMA4 i WMA4 134 132 130 128 126 124 122 120 118 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 miesiące Yn SMA4 WMA4 62
Model prostego wyrównywania wykładniczego (SES) F n = a Y n-1 + (1 - a) F n-1 Niech: F 1 = 900 a = 0,3 Y n-1 = 1000 F 2 = 0,3 * 1000 + (1-0,3) 900 = 930 Czyli ważona średnia ruchoma Y 2 = 980 F 3 = 0,3 * 980 + (1-0,3) 930 = 945 Problemy: F(0); a a = 0,1 - silne złagodzenie szeregu prognozy F 3 = 0,1 * 980 + (1-0,1) 930 = 935 Zamienność modeli: wykładniczego, prostej średnich ruchomych a = 0,3 w = (2/a -1) = 5,67 okresy Wybór modelu SES - MIN RMSE - różne 63
Ważona wykładniczo średnia ruchoma wszystkich wartości rzeczywistych szeregu F n-1 = Y n-2 + (1 - ) F n-2 F n-2 = Y n-3 + (1 - ) F n-3 F n-3 = Y n-4 + (1 - ) F n-4 po wstawieniu do F n F n = Y n-1 + (1 - ) [Y n-2 + (1 - ) F n-2 ] Podstawiając dalej otrzymamy: F n = Y n-1 + (1 - ) 1 Y n-2 + (1 - ) 2 a Y n-3 +... + (1 - ) N-1 F n-n ] czyli ważona średniej ruchomej wszystkich obserwacji i prognozy na pierwszy okres. Wagi mają rozkład wykładniczy: (,(1 - ) 1, (1 - ) 2, (1 - ) 3,...... (1 - ) N-1 ) Przykład: = 0,7 F 2 = Y 1 64
M-c Y n F n Y n - F n 1 120 2 124 120 4 3 122 122,8-0,8 4 123 122,24 0,76 5 125 122,72 2,23 6 128 124,33 3,67 7 129 126,9 2,10 8 127 128,37-1,37 9 129 127,41 1,59 10 128 128,52-0,52 11 130 128,16 1,84 12 132 129,45 2,55 13-131,23 F 3 = 0,7 * 124 + (1-0,7) * 120 = 122,8 F 4 = 0,7 * 122 + (1-0,7) * 122,8 = 122,24 65
Sprzedaż Y - F (SES) 134 132 130 128 126 124 122 120 118 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 miesiące Y F 66
Modele adaptacyjne wyrównywania wykładniczego (ARRES) - dostosowywane do każdego z okresów F n = F n-1 + (Y n-1 - F n-1 ) - (TST n ) SAD n TST n = --------- MAD n SAD n = (Y n - F n ) + (1 - ) SAD n-1 MAD n = IY n - F n I + (1 - ) MAD n-1 TST n - sygnał adaptacyjny w okresie n, który staje się parametrem w okresie n +1 (0;1) = 0,2 67
Przykład: M-c Y n = 0,2 TST n = F n Y n - F n SAD n MAD n 1 120 0 4 0,2 2 124 0,8 4 0,2 120 4 3 122 0,88 3,44 0,256 120,8 1,2 4 123 1,083 3,131 0,346 121,107 1,893 5 125 1,514 3,152 0,480 121,762 3,238 6 128 2,148 3,458 0,621 123,317 4,683 7 129 2,273 3,322 0,684 126,225 2,775 8 127 1,594 2,882 0,553 128,124-1,124 9 129 1,574 2,605 0,604 127,502 1,498 10 128 1,178 2,166 0,544 128,408-0,408 11 130 1,305 2,095 0,623 128,186 1,814 12 132 1,581 2,213 0,714 129,316 2,684 13-131,232 TST 1 = 0,2 F 2 = Y 1 SAD 1 =0 MAD1 = 4 wg 2-go okresu bo Y 2 - F 2 = 124-120 = 4 F n = F n-1 + TST n-1 (Y n-1 - F n-1 ) 68
SAD 2 = (Y 2 - F 2 ) + (1 - ) SAD 1 = 0,2 * 4 + 0,8 * 0 = 0,8 MAD 2 = IY 2 - F 2 I + (1 - ) MAD 1 = 0,2 * 4 + 0,8 * 4 = 4 TST 2 = I0,8/4I = 0,2 F 3 = F 2 + TST 2 (Y 2 - F 2 ) = 120 + 0,2 * 4 = 120,8 Y 3 - F 3 ) = 122-120,8 = 1,2 SAD 3 = (Y 3 - F 3 ) + (1 - ) SAD 2 = 0,2 * 1,2 + 0,8 * 0,8 = 0,88 MAD 3 = IY 3 - F 2 I + (1 - ) MAD 2 = 0,2 * 1,2 + 0,8 * 4 = 3,44 TST 3 = I0,88/3,44I = 0,256 69
sprzedaż F 13 = F 12 + TST 12 (Y 12 - F 12 ) = 129,319 + 0,714 * 2,684 = 131,232 134 132 130 128 126 124 122 120 Y - F (adaptacyjne) 118 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 miesiące Y F Przeciwskazanie: trend + wahania sezonowe 70
Porównanie metod adaptacyjnych (RMSE) SMA2 SMA4 WMA4 SES ARRES n Yn - Fn ^2 Yn - Fn ^2 Yn - Fn ^2 Yn - Fn ^2 Yn - Fn ^2 1 2 4,00 16,00 4,00 16,00 3 0,00-0,80 0,64 1,20 1,44 4 0,00 0,76 0,58 1,89 3,58 5 2,50 6,25 2,75 7,56 2,40 5,76 2,23 4,97 3,24 10,48 6 4,00 16,00 4,50 20,25 4,30 18,49 3,67 13,47 4,68 21,93 7 2,50 6,25 4,50 20,25 3,50 12,25 2,10 4,41 2,78 7,70 8-1,50 2,25 0,75 0,56-0,30 0,09-1,37 1,88-1,12 1,26 9 1,00 1,00 1,75 3,06 1,40 1,96 1,59 2,53 1,50 2,24 10 0,00 0,00-0,25 0,06-0,30 0,09-0,52 0,27-0,41 0,17 11 1,50 2,25 1,75 3,06 1,80 3,24 1,84 3,39 1,81 3,29 12 3,00 9,00 3,50 12,25 3,10 9,61 2,55 6,50 2,68 7,20 S 43,00 67,06 51,49 54,63 75,31 S/n 5,38 8,38 6,44 4,97 6,85 Pierw. 2,32 2,90 2,54 2,23 2,62 MIN RMSE - SES - proste wyrównywanie wykładnicze 71
Modele podwójnych średnich ruchomych - przykład z trendem Okres Y MA3 Y - (MA3) F n Y - F n Trend MA3 1 100 2 103 3 106 103 3 4 109 106 3 103 6 5 112 109 3 106 6 6 115 112 3 109 6 7 118 115 3 112 6 8 121 118 3 115 6 9 124 121 3 118 6 10 127 124 3 121 6 11 130 127 3 124 6 12 133 130 3 127 6 72
Błąd systematyczny - 6 - przesunięcie szeregu o wartość trendu - 3 Błąd = 2 * trend eliminacja: podwójne średnie ruchome MA(M x W) M- okres drugiej średniej ruchomej - 3 W - okres pierwszej średniej ruchomej - 3 1 2 3 4 5 6 7 8 Okres Y MA3 2-3 MA(3x3) 3-5 F n = 3 + Y - F n 6 + trend 1 100 2 103 3 106 103 3 4 109 106 3 5 112 109 3 106 3 6 115 112 3 109 3 115 0 7 118 115 3 112 3 118 0 8 121 118 3 115 3 121 0 9 124 121 3 118 3 124 0 10 127 124 3 121 3 127 0 11 130 127 3 124 3 130 0 12 133 130 3 127 3 133 0 73
F 10 = MA(3) 9 + [MA(3) 9 - MA(3x3) 9 ] + trend F 10 = 121 + [121-118] + 3 = 127 trend = 2/(W -1) (MA(W) n - MA(MxW) n ) trend = [2/(3-1)] * [(121) 9 - (118) 9 )] = 3 czyli różnica między pojedynczą a podwójną średnią ruchomą Algorytm: Oblicz: S' n = (Y n + Y n-1 +... + Y n- W+1)/W Oblicz: S'' n = (S' n + S' n-1 +... + S n- M+1)/M F n+m = a n + b n * m a n = S' n + (S' n - S'' n ) = 2 S' n - S'' n uśredniona wartość zmiennej b n = [2/(W-1)] (S' n - S'' n ) 74
uśredniona wartość trendu m - liczba okresów prognozy F 12+1 = F 13 = a 12 + b 12 * (1) a 12 = 130 + (130-127) = 2 * 130-127 =133 b 12 = [2/(3-1)] (130-127) = 3 F 13 = 133 + 3 * (1) = 136 F 14 = 133 + 3 * (2) = 139 F 15 = 133 + 3 * (3) = 142 Metoda podwójnych średnich ruchomych - trend; wahania przypadkowe- nie stosowana do wahań sezonowych Przykład rzeczywisty: szereg czasowy o dowolnych przyrostach oraz wyniki jego analiz 75
1 2 3 4 5 6 7 8 9 N Y SMA3 SMA(3x3) 2S' n - S" n S' n - S" n F n+1 = a n + b n Y - F n (Y - F n )^2 S' n S'' n m = 1 błąd a n 1 29 2 27 3 31 29 4 35 31 5 33 33 31 35 2 6 44 37,3 33,78 40,88 3,55 37 7 49,00 7 45 40,7 37 44,34 3,67 44,43 0,57 0,32 8 48 45,7 41,22 50,12 4,45 48,01-0 0,00 9 51 48 44,78 51,22 3,22 54,57-3,6 12,74 10 53 50,7 48,11 53,23 2,56 54,44-1,4 2,07 11 53 52,3 50,33 54,33 2 55,79-2,8 7,78 12 54 53,3 52,11 54,55 1,22 56,33-2,3 5,43 13 60 55,7 53,78 57,56 1,89 55,77 4,23 17,89 14 61 58,3 55,78 60,88 2,55 59,45 1,55 2,40 15 72 64,3 59,44 69,22 4,89 63,43 8,57 73,44 16 70 67,7 63,44 71,9 4,23 74,11-4,1 16,89 17 73 71,7 67,89 75,45 3,78 76,13-3,1 9,80 18 76 73 70,78 75,22 2,22 79,23-3,2 10,43 19 80 76,3 73,67 78,99 2,66 77,44 2,56 6,55 20 85 80,3 76,55 84,11 3,78 81,65 3,35 11,22 21 87 84 80,22 87,78 3,78 87,89-0,9 0,79 22 90 87,3 83,89 90,77 3,44 91,56-1,6 2,43 23 91 89,3 86,89 91,77 2,44 94,21-3,2 10,30 24 93 91,3 89,33 93,33 2 94,21-1,2 1,46 25 Prognoza 95,33 240,99 12,68 RMSE 3,56 76 b n
wartość Y - F (podwójne średnie ruchome) 100 90 80 70 60 50 40 30 20 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 okresy Y F 77
Podwójne wyrównywanie wykładnicze - model Browna - dla dwóch procedur wyrównywania różnice między pojedynczo S' n i podwójnie S'' n wygładzonymi wartościami zmiennej w celu estymacji trendu model Browna w postaci równań: S' n = Y n + (1 - )S' n-1 S" n = S' n + (1 - )S" n-1 a n = S' n + (S' n - S" n ) = 2 S' n - S" n b n = [/(1 - )] (S' n - S' n ) F n+m = a n + b n * m wartości początkowe S' 1 = S" 1 = Y 1 a 1 = Y 1 b 1 = [Y 2 - Y 1 ) + (Y 4 - Y 3 )]/2 S' 1 = S" 1 = Y 1 = 29 a 1 = Y 1 = 29 b 1 = [27-29) + (35-31)]/2 = 1 problem - wybór - metoda prób i błędów - min RMSE = 0,1 78
Przykładowe obliczenie - okres 2: S' 2 = Y 2 + (1 - )S' 1 = 0,1 * 27 + (1-0,1) * 29 = 28,8 S" 2 = S' 2 + (1 - )S" 1 = 0,1 * 28,8 + (1-0,1) * 29 = 28,98 a 2 = S' 2 + (S' 2 - S" 2 ) = 2 S' 2 - S" 2 = 2 * 28,8-28,98 = 28,62 b 2 = [/(1 - )] (S' n - S' n ) = 0,1/0,9 * (28,8-28,98) = -0,02 F 2 = a 1 + b 1 * 1 = 29 + 1 = 30 Mając dane dla okresu 24 można określić prognozy dla okresów np. 25 oraz 26 F 24 +1 = a 24 + b 24 * 1 = 88,75 + 2,05 = 90,8 F 24+2 = a 24 + b 24 * 2 = 88,75 + 2 * 2,05 = 92,85 Tabele obliczeń opracowano z zastosowaniem funkcji elementarnych Excel-a. 79
a = 0,1 $C$154 Okres Y n S' n S'' n a n b n F n+m = a n + b n * m m = 1 Y - F n błąd (Y - F n )^2 1 29 29,00 29,00 29,00 1,00 2 27 28,80 28,98 28,62-0,02 30,00-3,00 9,00 3 31 29,02 28,98 29,06 0,00 28,60 2,40 5,76 4 35 29,62 29,05 30,19 0,06 29,06 5,94 35,28 5 33 29,96 29,14 30,77 0,09 30,25 2,75 7,55 6 44 31,36 29,36 33,36 0,22 30,87 13,14 172,53 7 45 32,72 29,70 35,75 0,34 33,58 11,42 130,35 8 48 34,25 30,15 38,35 0,46 36,09 11,91 141,88 9 51 35,93 30,73 41,12 0,58 38,81 12,19 148,66 10 53 37,63 31,42 43,85 0,69 41,70 11,30 127,66 11 53 39,17 32,20 46,15 0,78 44,54 8,46 71,60 12 54 40,65 33,04 48,27 0,85 46,92 7,08 50,11 13 60 42,59 34,00 51,18 0,95 49,11 10,89 118,55 14 61 44,43 35,04 53,82 1,04 52,14 8,86 78,58 15 72 47,19 36,25 58,12 1,21 54,86 17,14 293,67 16 70 49,47 37,58 61,36 1,32 59,33 10,67 113,77 17 73 51,82 39,00 64,64 1,42 62,68 10,32 106,47 18 76 54,24 40,52 67,95 1,52 66,07 9,93 98,67 19 80 56,82 42,15 71,48 1,63 69,48 10,52 110,71 20 85 59,63 43,90 75,37 1,75 73,11 11,89 141,46 21 87 62,37 45,75 78,99 1,85 77,11 9,89 97,73 22 90 65,13 47,69 82,58 1,94 80,84 9,16 83,92 23 91 67,72 49,69 85,75 2,00 84,52 6,48 42,01 24 93 70,25 51,75 88,75 2,06 87,75 5,25 27,53 25 Prognoza 90,81 2213,45 26 Prognoza 92,86 96,24 Zastosowane formuły: RMSE 9,81 28,80 =$C$154*C157+(1-$C$154)*D156 28,98 =$C$154*D157+(1-$C$154)*E156 28,62 =D157+(D157-ED157) -0,02 =($C$154/(1-$C$154))*(D157-E157) 30,00 =D156+G156 80
Wartość Y - F (a = 0,1) 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 0 5 10 15 20 25 30 Okresy Y F RMSE - wysokie - należy dobrać - symulacja tabeli w Excelu (0,45 3,4328; 0,47 3,4500) 81
Wartość Symulacja parametru a a 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 RMSE 9,81 4,68 3,65 3,44 3,48 a 0,41 0,42 0,43 0,44 0,45 0,46 0,47 0,48 0,49 RMSE 3,4333 3,4312 3,4311 3,4328 ##### 3,4412 ##### 3,4600 3,4700 Y - F (a = 0,43) 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 Okresy Y 82 F
Model Holta-Wintersa (bez sezonowości) Drugi parametr wygładzania - b - dla trendu - wygładzona jest wartość trendu z poprzedniego okresu w celu usunięcia błędów przypadkowych Model: S n = ay n + (1 - a)(s n-1 + b n-1 ) b n = b(s n - S n-1 ) + (1 - b) * b n-1 F n+m = S n + b n * m S 1 = Y 1 b 1 = [(Y 2 - Y 1 ) + (Y 4 - Y 3 )]/2 symulacja: a, b MIN RMSE 83
a = 0,3 b = 0,1 Okres Y n S n b n F n+m = a n + b n * m m Y - F n (Y - F n )^2 = 1 błąd 1 29 29,00 1,00 2 27 29,10 0,91 30,00-3,00 9,00 3 31 30,31 0,94 30,01 0,99 0,98 4 35 32,37 1,05 31,25 3,75 14,09 5 33 33,30 1,04 33,42-0,42 0,18 6 44 37,24 1,33 34,34 9,66 93,37 7 45 40,50 1,52 38,57 6,43 41,40 8 48 43,81 1,70 42,02 5,98 35,78 9 51 47,16 1,87 45,51 5,49 30,09 10 53 50,22 1,99 49,03 3,97 15,79 11 53 52,44 2,01 52,20 0,80 0,63 12 54 54,32 2,00 54,45-0,45 0,20 13 60 57,42 2,11 56,31 3,69 13,60 14 61 59,97 2,15 59,53 1,47 2,17 15 72 65,08 2,45 62,12 9,88 97,64 16 70 68,27 2,52 67,53 2,47 6,10 17 73 71,45 2,59 70,79 2,21 4,87 18 76 74,63 2,65 74,04 1,96 3,83 19 80 78,09 2,73 77,28 2,72 7,42 20 85 82,07 2,85 80,82 4,18 17,46 21 87 85,55 2,92 84,93 2,07 4,29 22 90 88,93 2,96 88,47 1,53 2,36 23 91 91,62 2,93 91,89-0,89 0,79 24 93 94,09 2,89 94,56-1,56 2,42 25 96,98 404,47 26 99,87 17,59 RMSE 4,19 84
Wartość Przykładowo dla okresu 2.: S 2 = Y 2 + (1 - )(S 1 + b 1 ) = 0,3 * 27 + (1-0,3) * (29 +1) = 29,10 b 2 = (S 2 - S 1 ) + (1 - ) * b 1 = 0,1 * (29,1-29) + (1-0,1) * 1 = 0,91 F 2+1 = S 2 + b 2 * 1 = 29,10 + 0,91 = 30,01 Mając dane z okresu 24. F 24+1 = S 24 + b 24 * 1 = 94,09 + 2,89 = 96,98 110 Y - F (a = 0,3; b = 0,1) 100 90 80 70 60 50 40 30 20 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 Okres Y F 85
Należy kolejno przeprowadzić symulację - dla optymalnego doboru parametrów i Model ma zastosowanie - prognozowanie szeregów zawierających trend i wahania przypadkowe. 86
Modele Holta-Wintersa z sezonowością Model dla sezonowości multiplikatywnej Y n+1 = (S n + b n ) * I n-l+1 + z n+1 I n-l+1 wyrównana wartość indeksu sezonowości na okres n + 1 z n+1 błąd w okresie n + 1 L długość cyklu sezonowości (12 dla danych miesięcznych, 4 dla kwartalnych) S n = (Y n /I n-l ) + (1 - )S n-1 + b n-1 ) b n = (S n - S n-1 ) +(1 - ) * b n-1 I n = * (Y n /S n ) + (1 - ) I n-l F n+m = (S n + b n * m) * I n-l+1 - parametr wyrównywania (gamma) m - horyzont prognozy 87
Wartość Przykład: Dane kwartalne popytu na lody 2000:1 56 122 255 107 2001:1 73 219 439 156 2002:1 110 329 564 195 2003:1 153 407 757 271 Y - popyt; linia trendu - sezonowość multiplikatywna 800 03:3 700 y = 23,19x + 66,2 600 02:3 500 400 01:3 03:2 300 02:2 00:3 03:4 200 01:2 02:4 100 01:4 03:1 00:2 00:4 02:1 00:1 01:1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 kwartały kolejnych lat Y - popyt Liniowy (Y - popyt) 88
wartości początkowe 7 obserwacji - ustalenie średniej wartości trendu Y 5 - Y 1 Y 6 - Y 2 Y 7 - Y 3 2001:1 73 219 439 156 2000:1 56 122 255 107 17 97 184 298 298/16 = 18,625 S 1 = S 2 = S 3 = S 4 =(56 + 122 + 255 + 107)/4 = 135 scentrowana na kwartale 2,5 korekta wartości trendu mnożnikiem przykładowo dla kolejnych kwartałów: Kwartał Trend (b n ) 1-1,5 * 18,625 = -27,937 2-0,5 * 18,625 = - 9,312 3 0,5 * 18,625 = 9,312 4 1,5 * 18,625 = 27,937 89
S n + b n dla 4-ch pierwszych kwartałów: Kwartał S n + b n 1 135-27,937 = 107,063 2 135-9,312 = 125,688 3 135 + 9,312 = 144,312 4 135 + 27,937 = 162,937 indeksy sezonowości [Y n /(S n + b n )] Kwartał Y n S n + b n I n 1 56 107,063 0,523 2 122 125,688 0,971 3 255 144,312 1,767 4 107 162,937 0,657 ustalenie S 4 i b 4 S 4 = Y 4 /I 4 = 107/0,657 = 162,861 b n = 18,625 przyjęcie np. = 0,2; = 0,2; = 0,1 90
Wartość A1 a = 0,2 b = 0,2 g = 0,1 L = 4 N Kw. Y n S n b n S n + b n I n F n Y n - F n (Y n - F n )^2 1 1 56 ###### 0,523 2 2 122 ###### 0,971 3 3 255 ###### 1,767 4 4 107 162,861 18,625 ###### 0,657 A7 5 1 73 173,105 16,949 ###### 0,513 94,917-21,917 480,363 6 2 219 197,151 18,368 ###### 0,985 184,542 34,458 1187,364 7 3 439 222,104 19,685 ###### 1,788 380,822 58,178 3384,654 8 4 156 240,920 19,511 ###### 0,656 158,856-2,856 8,154 9 1 110 251,241 17,673 ###### 0,505 133,568-23,568 555,435 10 2 329 281,934 20,277 ###### 1,003 264,876 64,124 4111,932 11 3 564 304,858 20,807 ###### 1,794 540,341 23,659 559,739 12 4 195 319,978 19,669 ###### 0,651 213,653-18,653 347,937 13 1 153 332,268 18,193 ###### 0,501 171,647-18,647 347,698 14 2 407 361,512 20,403 ###### 1,015 351,576 55,424 3071,868 15 3 757 389,917 22,004 ###### 1,809 685,218 71,782 5152,662 16 4 271 412,743 22,168 ###### 0,652 268,320 2,680 7,182 17 Suma: 19214,986 18 1601,249 RMSE 40,02 Algorytmy Excel-a: 173,105 =$C$1*(D7/H3)+(1-$C$1)*(E6+F6) 16,949 =$E$1*(E7-E6)+(1-$E$1)*F6 190,053 =E7+F7 0,513 =$G$1*(D7/E7)+(1-$G$1)*H3 184,542 =(E7+F7)*H4 Dalej można przeprowadzić symulacje dla optymalnego doboru parametrów a, b, g 800 Y - F (model Holta-Wintersa z sezonowością) 700 600 500 400 300 200 100 0 91
Obliczenia dla okresu 5.: S 5 = (Y 5 /I 5-L ) + (1 - )(S 5-1 + b 5-1 ) = 0,2 * 73/0,523 + 0,8 * 181,486 = 173,105 b 5 = (S 5 - S 5-1 ) +(1 - ) * b 5-1 = 0,2 * (173,105-162,861) + 0,8 * 18,625 = 16,949 I 5 = * (Y 5 /S 5 ) + (1 - ) I 5-L = 0,1 * (73/173,105) + 0,9 * 0,523 = 0,513 F 5+1 = (S 5 + b 5 ) * I 5-L+1 = (173,105 + 16,949) *0,971 = 184,542 Prognoza na kolejny rok bazując na okresie 16 (S 16, b 16, I 13, I 14, I 15, I 16 ) a = 0,2 b = 0,2 g = 0,1 L = 4 N Kw. Y n S n b n S n + b n I n 13 1 0,501 14 2 1,015 15 3 1,809 16 4 271 412,743 22,168 434,912 0,652 92
Kwartał I F 16+1 = F 17 =(S 16 + b 16 ) * I 13 = (412,743 + 22,170) * 0,501 = 217,89 Kwartał II F 18 = (S 18 + b 18 ) * I 14 = (412,743 + 22,170) * 1,015 = 441,44 Kwartał III F 19 = (S 5 + b 5 ) * I 5-L+1 = (412,743 + 22,170) * 1,809 = 470,10 Kwartał IV F 20 = (S 5 + b 5 ) * I 5-L+1 = (412,743 + 22,170) * 0,652 = 427,20 Model Holta-Wintersa z sezonowością addytywną S n = (Y n - I n-l ) + (1 - )S n-1 + b n-1 ) b n = (S n - S n-1 ) + (1 - ) * b n-1 I n = * (Y n - S n ) + (1 - ) I n-l F n+m = (S n + b n * m) * I n-l+1 Budowa modelu, obliczenia oraz wykres analogicznie do modelu multiplikatywnego. 93
Wybór parametrów w modelach adaptacyjnych Zastosowanie pakietu WinQSB do zadań manualnych w celu automatycznego wykonywania: procesu obliczeń, wartości początkowych - średni poziom zmiennej, parametrów wygładzania wykładniczego - min. RMSE SES - proste wyrównywanie wykładnicze Procedura: WinQSB Forecasting File New ProblemTime Series Specification Problem Title (SES- proste wyr. wykl.) Time Unit (miesiąc) Number of Time Units (Periods) (12) OK. Historical Date... File Save Problem AS (SES.lpp) Solve an Analyze Perform Forecasting Single exponential smoothing (SES) Metod Parameters Search the best Search Criterion (MSE), Number of periods to forecast (1) Smoothing constat alpha Initial value F() if known MSE = Enter Search Domain Alpha Start (0) End (1 ) Steps (0.01) 94
Forecast Result for SES - proste wyr. wykl. 02-23-200 Actual Forecast by ForecasCFE MAD MSE MAPETracking R-sqaure Miesiac Data SES Error Signal 1 120 2 124 120,000 4,000 4,000 4,000 16,000 #### 1,000 1,000 3 122 123,640-1,640 2,360 2,820 9,345 #### 0,837 1,000 4 123 122,148 0,852 3,212 2,164 6,472 #### 1,484 1,000 5 125 122,923 2,077 5,289 2,142 5,932 #### 2,469 1,000 6 128 124,813 3,187 8,476 2,351 6,777 #### 3,605 1,000 7 129 127,713 1,287 9,763 2,174 5,924 #### 4,491 1,000 8 127 128,884-1,884 7,879 2,132 5,585 #### 3,695 1,000 9 129 127,170 1,830 9,709 2,095 5,305 #### 4,635 1,000 10 128 128,835-0,835 8,874 1,955 4,793 #### 4,540 1,000 11 130 128,075 1,925 10,799 1,952 4,684 #### 5,533 1,000 12 132 129,827 2,173 12,972 1,972 4,688 #### 6,578 1,000 13 131,804 CFE 12,972 MAD 1,972 MSE 4,688 MAPE 1,554 Trk.Signal 6,578 R-sqaure 1,000 The best Alpha=0,91 F(0)=120 RMSE 2,165 2,23 dla a = 0,7 95
Model Holta-Wintersa z sezonowością multiplikatywną Dobór optymalnych wartości parametrów a, b, g ze skokiem co 0.01 bez podawania wartości początkowych Forecast Result for Holt-Winters-multi 02-23-2007 Actual Forecast by Forecast CFE MAD MSE MAPE (%) Tracking R-sqaure Miesiac Data HWM Error Signal 1 56 2 122 3 255 4 107 5 73 50,245 22,756 22,756 22,756 517,814 31,172 1,000 1,000 6 219 180,558 38,443 61,198 30,599 997,820 24,363 2,000 0,972 7 439 426,490 12,510 73,708 24,570 717,383 17,192 3,000 1,000 8 156 180,611-24,611 49,097 24,580 689,467 16,838 1,997 1,000 9 110 125,352-15,352 33,745 22,734 598,712 16,262 1,484 0,957 10 329 313,088 15,912 49,657 21,597 541,127 14,358 2,299 0,945 11 564 574,940-10,940 38,717 20,075 480,922 12,584 1,929 1,000 12 195 195,285-0,285 38,432 17,601 420,817 11,029 2,184 1,000 13 153 137,359 15,641 54,073 17,383 401,241 10,939 3,111 1,000 14 407 428,573-21,573 32,499 17,802 407,658 10,375 1,826 1,000 15 757 728,578 28,422 60,921 18,768 444,035 9,774 3,246 0,987 16 271 259,212 11,788 72,710 18,186 418,613 9,322 3,998 0,989 17 203,221 RMSE 20,460 40,020 a = 0,2 b = 0,2 g = 0,1 L = 4 S - n = 135 CFE 72,710 MAD 18,186 MSE 418,613 MAPE 9,322 Trk.Signal 3,998 R-sqaure 0,989 c=4 Alpha=0,34 Beta=1 Gamma=0,91 F(0)=135 T(0)=0 S(1)=0,3722 S(2)=1,0225 S(3)=1,9131 S(4)=0,6921 96
HWA w module FC programu WinQSB Forecast Result for Model addytywny 12-07-2007 Actual Forecast by Forecast MSE MAPE (%) Kwartal Data HW A Error 1 133 2 238 3 262 4 159 5 137 113,60 23,40 547,56 17,08 6 257 268,20-11,20 336,54 10,72 7 267 285,13-18,13 333,95 9,41 8 170 160,04 9,96 275,24 8,52 9 134 119,64 14,36 261,43 8,96 10 258 264,90-6,90 225,80 7,91 11 273 286,09-13,09 218,02 7,47 12 177 166,30 10,70 205,07 7,29 13 150 126,95 23,05 241,34 8,19 14 302 281,73 20,27 258,30 8,04 15 333 332,54 0,46 234,84 7,32 16 224 229,57-5,57 217,85 6,92 17 188 176,24 11,76 211,74 6,87 18 336 321,34 14,66 211,96 6,69 19 393 367,82 25,18 240,09 6,67 20 265 292,33-27,33 271,78 6,90 21 218,69 MSE 271,78 MAPE 6,90 c=4 Alpha=1 Beta=0,06 Gamma=0 F(0)=198 T(0)=0 S(1)=-84,4 S(2)=45,4 S(3)=72,8 S(4)=-33,8 97
Klasyczny model autoregresji Modele autoregresji stosujemy, gdy występują trudności z zebraniem danych dotyczących zmiennych objaśniających. Służą do budowy prognoz krótkoterminowych. Zmiennymi objaśniającymi są opóźnione zmienne objaśniane. Stanowią alternatywę dla złożonych modeli o równaniach współzależnych. Postać klasycznego modelu autoregresji: Y t = f(y t-1, Y t-2, Y t-3,..., Y t-n, e t ) W modelu tym zmienną endogeniczną jest funkcja poprzednich wartości tej zmiennej oraz składnika losowego. Przykład: Wydatki na ochronę zdrowia w bln $. Zbudowanie modelu autoregresji dla zmiennej ZDROWIE. Dane z lat 1970 do 1989 podano poniżej. Dana za rok 1990 stanowi prognozę. 98
Dla potrzeb programu WinQSB dane podano z kropką dziesiętną. Rok t ZDROWIE ZDROWIE(-1) ZDROWIE(-2) ZDROWIE(-3) 1970 1 74.4 1971 2 82.3 74.4 1972 3 92.3 82.3 74.4 1973 4 102.5 92.3 82.3 74.4 1974 5 116.1 102.5 92.3 82.3 1975 6 132.9 116.1 102.5 92.3 1976 7 152.2 132.9 116.1 102.5 1977 8 172.0 152.2 132.9 116.1 1978 9 193.7 172.0 152.2 132.9 1979 10 217.2 193.7 172.0 152.2 1980 11 250.1 217.2 193.7 172.0 1981 12 290.2 250.1 217.2 193.7 1982 13 326.1 290.2 250.1 217.2 1983 14 358.6 326.1 290.2 250.1 1984 15 389.6 358.6 326.1 290.2 1985 16 422.6 389.6 358.6 326.1 1986 17 454.8 422.6 389.6 358.6 1987 18 494.1 454.8 422.6 389.6 1988 19 546.0 494.1 454.8 422.6 1989 20 602.8 546.0 494.1 454.8 1990 21 99
Dane od obserwacji 4-20 wprowadzono do WinQSB jako 1-17. Obliczone współczynniki korelacji przez ten program: Zmienna Zmienna Korelacja ZDROWIE ZDROWIE(-1) 0,9994 ZDROWIE ZDROWIE(-2) 0,9978 ZDROWIE ZDROWIE(-3) 0,9959 ZDROWIE(-1) ZDROWIE(-2) 0,9993 ZDROWIE(-1) ZDROWIE(-3) 0,9975 ZDROWIE(-2) ZDROWIE(-3) 0,9992 Parametry liniowego modelu autoregresji (wg WinQSB) Zmienna Średnia Odch. st. Parametr a i Błąd D(a i ) t a i /D(a i ) ZDROWIE 307,1471 158,0874 a 0 4,2496 2,4242 1,7530 ZDROWIE(-1) 277,1176 146,4762 2,1612 0,2233 9,6770 ZDROWIE(-2) 249,8412 136,0819-1,7735 0,4249-4,1733 ZDROWIE(-3) 225,1530 126,7497 0,6534 0,2427 2,6921 S e = 3,6561 R 2 = 0,9996 R -2 = 0,9995 S e - odch. stand. reszt Wartość średnia = S(Y-Y^)/17 = - 0,0624 100
Analiza reszt (Y - Y^) dla modelu: ZDROWIE^ = 4,2496 + 2,1617 ZDROWIE(-1) - 1,7735 ZDROWIE(-2) + 0,6534 ZDROWIE(-3) n Y Y^ Y - Y^ [(Y - Y^)/Y^] * 100 ZDROWIE ZDROWIE^ % 1 102,5 106,3927-3,8927-3,6588 2 116,1 115,865 0,235 0,2029 3 132,9 133,703-0,803-0,6006 4 152,2 152,5579-0,3579-0,2346 5 172 173,3626-1,3626-0,786 6 193,7 192,9053 0,7947 0,412 7 217,2 217,3012-0,1012-0,0466 8 250,1 242,5445 7,5555 3,1151 9 290,2 286,1528 4,0472 1,4143 10 326,1 329,8277-3,7277-1,1302 11 358,6 357,7988 0,8012 0,2239 12 389,6 390,5752-0,9752-0,2497 13 422,6 423,395-0,795-0,1878 14 454,8 460,9756-6,1757-1,3397 15 494,1 492,3002 1,7998 0,3656 16 546 541,6954 4,3046 0,7947 17 602,8 605,2076-2,4076-0,3978 101
Symulacja jako element pośredni między realizmem a idealizmem Model: zbiór obiektów abstrakcyjnych relacji pomiędzy obiektami homeomorfizm - analogiczne zachowania Badania symulacyjne wymagają odpowiednich metod budowy, weryfikacji, walidacji (ustalenia stopnia trafności) modelu. Sumulacja symulacja komputerowa Eksperymentowanie symulacja modele matematyczne Nowo zaprojektowany samochód jeżdżący po różnych nawierzchniach układy równań różniczkowych zachowania się zawieszenia Etapy budowy: grupowe budowanie modelu konceptualnego przygotowanie danych źródłowych wyodrębnienie elementarnych podsystemów budowa prostych modeli (z reguły nieliniowych) formułowanie "modelu całościowego" dla rozwiązania analitycznego, w którym wprowadza się uproszczenia. 102
Zalety: symulacja umożliwia przyspieszenie, spowolnienie czasu dla lepszego poznania zjawiska stosowanie wielu kryteriów jednocześnie, nawet w warunkach ekstremalnych budowa skomplikowanych modeli bez dużej wiedzy matematycznej - pakiet sam formułuje model matematyczny koszt budowy modelu symulacyjnego < koszt budowy obiektu Wady: wyniki badań zasadne do określonych warunków wielokrotność badań dla sformułowania wniosku; długi czas badań ograniczenia w znalezieniu rozwiązań optymalnych łatwość nadużywania (ocena modelu tylko po interfejsie) symulacja systemów społeczno-gospodarczych - metoda niejednorodna - stosowanie różnych technik matematycznych i informatycznych modelowania Przykłady zastosowania symulacji w podejściu branżowym: modelowanie symulacyjne w usprawnieniu obsługi klienta w banku: zdefiniowanie problemu 103
poszczególne etapy budowy modelu propozycja zmiany systemu obsługi klienta analiza zyskowności produktów ubezpieczeń majątkowych i osobowych analiza symulacyjna efektywności inwestycji długookresowej Przykłady podejścia hybrydowego (krzyżówkowego) do analizy symulacyjnej: zastosowanie symulacji i optymalizacji dla doboru struktury modelu planowanie eksperymentu w układzie symulacja - wspomaganie decyzji (poszukiwanie optymalnych wartości zmiennych decyzyjnych w modelu przedsiębiorstwa) Trudność w algorytmizacji systemów gospodarczych - odwzorowanie "czynnika ludzkiego" - możliwości poznawczych i emocji decydentów - zastosowanie gier symulacyjnych - obserwacja zachowań. Gra symulacyjna ze zwycięzcą: prowadzący (ilościowa i jakościowa analiza) uczestnicy 104
reguły zakodowane w grze Bankructwo wirtualnej firmy nie pozbawia pracy i majątku, ale wyzwala prawdziwe emocje: gniew, wstyd, radość, dumę, współczucie dla przegranych. konkluzja (uczestnik - może być nim student zarządzania) odczuwa potrzebę pogłębienia wiedzy np. z planowania produkcji oraz narzędzi które ten proces ułatwiają tworzy mini system społeczny (długotrwałe przebywanie w rzeczywistości alternatywnej - (wirtualny rynek, wirtualny zarząd) ma wpływ na funkcjonowanie uczestników w ich firmach. Przegląd modeli symulacyjnych przykładowo z zarządzania produkcją Gry symulacyjne kreują cechy menedżerskie - dają poczucie władzy, uczą odpowiedzialności W trakcie gry podejmuje się właściwe zdaniem użytkownika decyzje i ponosi konsekwencje tych decyzji. Ekonomiczne gry symulacyjne pozwalają eksperymentować na modelach wielu zmiennych decyzyjnych. Symulacja pomaga w rozpoznaniu i wykorzystaniu własnych zdolności i predyspozycji. Gry dotyczą głównie poziomu strategicznego, unika się eksperymentowania na żywych organizmach" firm. 105
Autor(zy) Churchil (1970) Nazwa modelu/gry Joblot Opis Działanie wydziału produkcyjnego dla zadanego rynku, konkurencji, procesu technologicznego Mize i in. (1971) PROSIM Gra niekonkurencyjna - koncentracja na minimalizacji kosztu. Przedmiotem produkcja wyrobów opisanych wg BOM, proces zakupu surowców, planowania i sprzedaży wyrobów. Wyniki w formie raportów z całego procesu produkcyjnego oraz rozliczeniowego kosztów. Goldratt i Cox (1984) OPT System produkcyjny. Jakość zarządzania produkcja oceniana na podstawie zysku. 106
Southern (1986) CAMP Praca fabryki - harmonogramowanie procesu produkcyjnego Biggs (1987) DECIDE-P/OM Niekonkurencyjna gra kierownicza. Wyniki mają postać rachunku wyników produkcji i rozliczeń finansowych Smith (1990) SIMAN-CINEMA Animacja przemieszczania się części i formowania kolejek w strukturze technologicznej i przedmiotowej produkcji. Henshaw i Jackson (1990) The Executive Game Gra dla menedżerów. Zmienne to wielkość produkcji, zakup materiałów, wydatki na badania Wiendahl i in. (1995) TRAIN-F Gra - dobór parametrów planowania i sterowania produkcją Garetti i Taisch (1995) FMS Design Game Gra do nauczenia projektowania elastycznych systemów produkcyjnych ESP Skrzypek i Szubra (1996) TEES-2 Symulacyjna gra decyzyjna zarządzania produkcją Basnet (1999) MRP-SIM Gra oparta na arkuszu kalkulacyjnym dla zrozumienia planowania i sterowania produkcją 107
TEES-2 Symulacja TEES-2 jest narzędziem do doskonalenia umiejętności w zakresie zarządzania firmą. Uczestnicy przygotowują: biznes plan realizację w warunkach zmieniającego się rynku i ostrej konkurencji. TESS-2 posiada moduł w zakresie zarządzania finansami i kontroli wyników na podstawie wskaźników finansowych. Gra opiera się na kompleksowej symulacji decyzyjnej w obszarze zarządzania przedsiębiorstwem. Każda z grup prowadzi fikcyjną firmę - oferującą jeden produkt i działającą na jednym rynku. Symulacja obejmuje od 12 do 20 kwartalnych okresów rozliczeniowych. Konkurencja jest bezpośrednia i ostra - wynik jednego zespołu wpływa bezpośrednio na wynik pozostałych. Po zakończeniu gry ranking poszczególnych zespołów - a wyniki gry ocenia się na podstawie parametrów finansowych - takich jak np. zysk, udział w rynku, wartość likwidacyjna firmy, wysokość wypłaconych dywidend. 108
Zarządzanie kapitałem - model uniwersalnego banku komercyjnego Uczestnicy gry działają w zespołach tworzących mini-zarządy banków komercyjnych. Zespoły konkurują ze sobą na rynkach finansowych przeprowadzające operacje finansowe: depozytowo-kredytowe, giełdowe, walutowe i inne. Zadaniem każdego zespołu jest najefektywniejsze prowadzenie instytucji finansowej w okresie 3-4 lat. Gra jest: - przewodnikiem po rynkach finansowych (rynek depozytowy, rynek kredytowy, rynek papierów wartościowych, rynek walutowy, rynek międzybankowy, rynek finansowy ochrony środowiska) i ich mechanizmach; - kształceniem umiejętności oceny zdolności kredytowej firmy i osoby fizycznej oraz oceny ryzyka - instrumentem rozwijania umiejętności współdziałania w grupie i zespołowego podejmowania decyzji. 109
Pytania na zaliczenie wykładów 1.Wymień metody, a w ramach nich modele stosowane w prognozowaniu. 2. Nazwij i objaśnij następujące miary błędów wygasłych prognoz: 110
111 *100 ˆ 1 1 ˆ 1 1 ˆ 1 1 2 h s s n n n n h s s n n n h s s n n n Y Y Y h MAPE Y Y h MAE Y Y h RMSE
3. Podaj procedurę obliczania poniższego współczynnika Janusowego i jakie kryterium powinien spełniać, aby mógł być nadal stosowany do prognozowania: J 2 T 1 n T tn1 y t y tp 2 1 n y yˆ t t 2 112
4. Napisz wzór modelu regresji liniowej jednowymiarowej i przedstaw wzory na obliczanie parametrów a o i a 1 klasyczną metodą najmniejszych kwadratów? 5. Objaśnij elementy równania macierzowego do wyznaczania parametrów modelu liniowego wielowymiarowego: 113
114
9. Objaśnij sposób obliczania kryterium porównawczego Schwarza na podstawie wzoru: z 2 k N SCHW N ln ln n 115
9. Opisz prognozowanie bazujące na modelu prostego wyrównywania wykładniczego i objaśnij stosowany do niego wzór. 10. Podaj procedurę obliczania prognoz wygasłych i przyszłej na podstawie modelu ważonych średnich ruchomych czterookresowych na przykładzie poniższego szeregu czasowego: t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 y 120 124 122 123 125 128 129 127 129 128 130 132 11. Opisz w jaki sposób dobrać najlepszą wartość parametru a przy minimum RMSE, bazując na danych z pytania 11 i dysponując arkuszem kalkulacyjnym Excel? 116
12. Objaśnij następujące równania modelu Browna: S n = a Y n + (1 - a) S n-1 S n = a Y n + (1 - a) S n-1 a n = S n + (S n S n ) b n = [a/(1 - a)] (S n S n ) F n+m = a n + b n m 117
118 13. Opisz podany model Holta-Wintersa bez sezonowości: m b S F b S S b b S Y S n n m n n n n n n n n n 1 1 1 1 1 1
14. Podaj różnicę między sezonowością multiplikatywną a addytywną. 15. Napisz model autoregresyjny trzeciego rzędu i objaśnij jego elementy 16. Wymień zalety edukacji komputerowej na ekonomicznej symulacyjnej grze edukacyjnej 119
Zaliczenie ćwiczeń 1.Na podstawie 10 obserwacji zmiennej objaśnianej Y oraz objaśniającej X 1 wyznacz parametry a 1 i a 2 modelu liniowego jednowymiarowego, a następnie oblicz prognozę na okres 11 jeżeli wartość obserwacji na okres 11 wynosiła 12. 120
1 Y X 1 1 0,8 5,0 2 0,9 5,5 3 1,0 5,8 4 1,2 6,0 5 1,1 7,0 6 1,3 8,0 7 1,5 8,5 8 1,8 9,0 9 2,0 10,2 10 2,20 11,0 11 12 121
Skorzystaj ze wzorów: y yx x a 1 1 ; a y a x 1 2 0 1 x x 1 1 1 Sprawdź z modelem uzyskanym funkcją REGLINP Excela: Ŷ 0, 34 0, 23* X 11 11 122
1. Na podstawie danych oblicz elementy równań normalnych do określenia parametrów a 0, a 1, a 2 modelu regresji liniowej dwuwymiarowej. 1 Y X 1 X 2 1 0,8 5,0 0,6 2 0,9 5,5 0,7 3 1,0 5,8 0,9 4 1,2 6,0 0,9 5 1,1 7,0 1,0 6 1,3 8,0 1,2 7 1,5 8,5 1,3 8 1,8 9,0 1,5 9 2,0 10,2 1,8 10 2,20 11,0 2,0 11 Skorzystaj ze wzorów: Y a X Y X 1 2 Y 0 n a a 0 a 0 1 X X X 1 2 1 a a a 1 X 1 2 X X 2 1 1 2 a X 2 2 X a 2 1 X X 2 2 2 123
3. Sprawdź współczynnikiem Janusowym aktualność podanego modelu trendu liniowego mając dane rzeczywiste z okresów prognozowanych 11,12, 13 podane w poniższej tabeli: Ŷ 47, 531, 98* t t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Y 50 51 53 55 58 60 61 64 65 67 68 70 72 Skorzystaj ze wzoru: J 2 1 T n 1 n T t n1 y t y t ŷ y t tp 2 2 4. Określ prognozę F na okresy 11 stosując model prostego wyrównywania wykładniczego według wzoru: Ŷ n 1 Y n F 1 1 dla = 0,3 i poniższego szeregu czasowego 10 obserwacji zmiennej Y: t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 y 120 124 122 123 125 128 129 127 129 128-124
5. Dane jest 10 obserwacji zmiennej objaśnianej Y: 1 Y 1 0,8 2 0,9 3 1,0 4 1,2 5 1,1 6 1,3 7 1,5 8 1,8 9 2,0 10 2,2 Zbuduj model danych autoregresji drugiego rzędu: Ŷ a a Y 2 0 a1y 1 2 Mając uzyskane z funkcji REGLINP Excela równanie modelu postaci: 1 0, 40Y 2 Y 0, 01 0, 78Y oblicz prognozę na okres 11. 125
Dziękuję za uwagę 126