Optyka Wykład XI Krzysztof Golec-Biernat Równania zwierciadeł i soczewek Uniwersytet Rzeszowski, 3 stycznia 2018 Wykład XI Krzysztof Golec-Biernat Optyka 1 / 16
Plan Równanie zwierciadła sferycznego i soczewki Wady optyczne Źródło rysunków do wykładu: Wikipedia, D. Halliday, R. Resnick, J. Walker, Podstawy fizyki, tom4, PWN 2014 Wykład XI Krzysztof Golec-Biernat Optyka 2 / 16
Równanie zwierciadła sferycznego i soczewki Równanie wiążące odległość przedmiotu p z odległością obrazu o 2 1 p + 1 o = 1 zwierciadło sferyczne r = f (n 1) ( ) 1 r 1 + 1 r 2 soczewka Równanie otrzymane w przybliżeniu małych katów (promieni przyosiowych) Wykład XI Krzysztof Golec-Biernat Optyka 3 / 16
Przygotowanie matematyczne Kąt zewnętrzny w trójkącie jest sumą przeciwległych katów wewnętrznych δ = α + γ Dowód: α + β + γ = 180 => α + γ = 180 β β + δ = 180 => δ = 180 β => δ = α + γ Wykład XI Krzysztof Golec-Biernat Optyka 4 / 16
Przygotowanie matematyczne Miara łukowa kąta α = PX r Dla małych kątów, α 1, mamy sin α α α y r Wykład XI Krzysztof Golec-Biernat Optyka 5 / 16
Równanie zwierciadła sferycznego Przedmiot punktowy P i jego obraz O dla zwierciadła wklęsłego Dla PaC : β = α + θ, a dla PaO : γ = α + 2θ. Eliminując kąt θ: α + γ = 2β Dla małych katów otrzymujemy równanie zwierciadła sferycznego: α âc p, γ âc o, β = âc r => 1 p + 1 o = 2 r Wykład XI Krzysztof Golec-Biernat Optyka 6 / 16
Równanie sferycznej powierzchni załamującej Z prawa Snelliusa dla małych katów n 1 sin θ 1 = n 2 sin θ 2 => n 1θ 1 n 2θ 2 Dla PaC : θ 1 = α + β, a dla CaO : β = θ 2 + γ => θ 2 = β γ: n 1(α + β) n 2(β γ) => n 1α + n 2γ = (n 2 n 1)β Dla małych katów otrzymujemy równanie powierzchni załamującej: α âc p, γ âc o, β = âc r => n 1 p + n2 n2 n1 = o r Wykład XI Krzysztof Golec-Biernat Optyka 7 / 16
Równanie cienkiej soczewki Rozpatrzmy na początek grubą soczewkę Promienie świetlne wychodzące z punktowego przedmiotu P tworzą po dwukrotnym załamaniu obraz rzeczywisty O. Rozpatrzmy te załamania oddzielnie wykorzystując równanie powierzchni załamującej n 1 p + n2 n2 n1 = o r dla powierzchni o promieniu krzywizny r oraz r Wykład XI Krzysztof Golec-Biernat Optyka 8 / 16
Równanie cienkiej soczewki 1 p n o = n 1 r n o + L + 1 o = 1 n r Załamanie na pierwszej powierzchni daje obraz pozorny O przedmiotu P. Załamanie na drugiej powierzchni daje obraz rzeczyw. O przedmiotu O. Po dodaniu równań stronami dla L = 0, równanie cienkiej soczewki: 1 p + 1 ( 1 o = (n 1) r + 1 ) r Wykład XI Krzysztof Golec-Biernat Optyka 9 / 16
Wady odwzorowań optycznych Wady te są wynikiem stosowanego przybliżenia małych kątów dla promieni przyosiowych. Aberracja sferyczna - padające równoległe promienie nie skupiają się w jednym ognisku Wada naszego opisu, a nie rzeczywistości. Wykład XI Krzysztof Golec-Biernat Optyka 10 / 16
Aberracja chromatyczna Padające równoległe promienie światła białego nie skupiają się w jednym ognisku Jest to wynik efektu dyspersji czyli zależności współczynnika załamania materiału soczewki od długości fali, tak jak w pryzmacie n = n(λ) Wykład XI Krzysztof Golec-Biernat Optyka 11 / 16
Astygmatyzm Błąd ostrości dla promieni podających ukośnie do osi optycznej. Dla płaszczyzny południkowej M promienie skupiają się w punkcie B M. Dla płaszczyzny równoleżnikowej S promienie skupiają się w punkcie B S. Dwa odcinki w punktach B M i B S jako obraz źródła punktowego G. Brak płaszczyzny, w której obraz byłby ostry. Wykład XI Krzysztof Golec-Biernat Optyka 12 / 16
Astygmatyzm Wada wynikająca także z zaburzenia symetrii obrotowej soczewki względem jej osi optycznej. Na przykład oko: Astygmatyczna rogówka tworzy dwa punkty ogniskowe, przed i za siatkówką. Wykład XI Krzysztof Golec-Biernat Optyka 13 / 16
Koma Wiązka promieni równoległych wychodzących z punktu poza osią optyczną nie ogniskuje się w punkcie lecz daje obraz w kształcie komety. Wykład XI Krzysztof Golec-Biernat Optyka 14 / 16
Dystorsja Chcąc ograniczyć aberrację sferyczną i astygmatyzm stosujemy przysłony ograniczające promienie do przyosiowych Przysłony mogą prowadzić do dystorsji - zakrzywienia pola obrazu. Zmiana powiększenia przy odchyleniu od środka obrazu - dystorsja poduszkowa i beczkowa. Wykład XI Krzysztof Golec-Biernat Optyka 15 / 16
Zadania 1. Modliszka znajduje się na osi optycznej cienkiej symetrycznej soczewki o współczynniku załamania n = 1.65 w odległości 20 cm od niej. Soczewka wytwarza obraz modliszki o powiększeniu m = 0.25. Czy jest to soczewka skupiająca czy rozpraszająca? Jaki to jest obraz i gdzie on się znajduje? 2. Ziarenko papryczki umieszczono przed układem dwóch współosiowych, cienkich soczewek symetrycznych 1 i 2. Ogniskowe soczewek są równe odpowiednio f 1 = +24 cm i f 2 = +9 cm, a odległość miedzy nimi wynosi L = 10 cm. Ziarenko znajduje się w odległości 6 cm od soczewki 1. Gdzie powstaje obraz ziarenka wytwarzany przez układ soczewek? Wykład XI Krzysztof Golec-Biernat Optyka 16 / 16