UPORZĄDKOWANIE STOCHASTYCZNE ESTYMATORÓW ŚREDNIEGO CZASU ŻYCIA Piotr Nowak Uniwersytet Wrocławski
Wprowadzenie X = (X 1,..., X n ) próba z rozkładu wykładniczego Ex(θ). f (x; θ) = 1 θ e x/θ, x > 0, θ > 0 gęstość rozkładu wykładniczego F (x; θ) = 1 e x/θ dystrybuanta rozkładu wykładniczego F (x; θ) = 1 F (x; θ) = e x/θ funkcja przeżycia Problem: Estymacja średniej rozkładu wykładniczego, tj. wielkości θ i zbadanie uporządkowania stochastycznego otrzymanych estymatorów.
Definicja (1) Rodzinę rozkładów {F (x; θ), θ Θ} nazywamy stochastycznie rosnącą względem θ jeśli dla każdego θ 1 < θ 2 zachodzi F (x; θ 1 ) F (x; θ 2 ), tzn. X (θ 1 ) st X (θ 2 ), gdzie X (θ i ) jest zmienną losową o dystrybuancie F (x; θ i ), i = 1, 2. Przykład (1) Rodzina rozkładów {F (x θ), θ R}, gdzie θ jest parametrem położenia, jest stochastycznie rosnąca względem θ. Przykład (2) Rodzina rozkładów {F ( x θ ), θ > 0} zdefiniowanych na R +, gdzie θ jest parametrem skali, jest stochastycznie rosnąca względem θ. Definicja (2) Mówimy, że estymator ˆγ funkcji γ(θ), θ Θ jest stochastycznie rosnący względem θ, jeśli rodzina rozkładów estymatora ˆγ jest stochastycznie rosnąca względem θ.
Metody dowodzenia stochastycznej monotoniczności Metoda couplingu Twierdzenie (2) Jeśli X st Y, to istnieje przestrzeń probabilistyczna (Ω, F, P) oraz X i Y na tej przestrzeni takie, że X = st X, Y = st Y oraz P(X Y ) = 1. Dowód Wystarczy przyjąć Ω = (0, 1), F = B((0, 1)), P = λ((0, 1)), gdzie λ jest miarą Lebesgue a oraz X = FX 1 (U), Y = FY 1 (U), gdzie U U(0, 1) i F 1 (t) = inf{x : t F (x)}.
Lemat o trzech monotonicznościach Załóżmy, że funkcję przeżycia estymatora ˆθ można przedstawić w postaci P(ˆθ > x) = d D P(D = d)p(ˆθ > x D = d), (3.1) gdzie D jest pewnym skończonym podzbiorem liczb naturalnych. Lemat (1) (Balakrishnan, Iliopoulos 2009) Załóżmy, że estymator ˆθ ma funkcję przeżycia postaci (3.1) oraz spełnione są następujące warunki: (M1) P θ (ˆθ > x D = d) jest rosnąca funkcją względem θ dla wszystkich x i d D, (M2) P θ (ˆθ > x D = d) jest malejącą funkcją względem d D dla wszystkich x i θ, (M3) zmienna losowa D jest stochastycznie malejąca względem θ. Wówczas estymator ˆθ jest stochastycznie rosnący względem θ.
Estymacja na podstawie całej próby ˆθ estymator NW parametru θ na podstawie próby X rozmiaru n. Funkcja wiarogodności jest postaci L(x; θ) = 1 θ exp ( n x ) i n i=1 θ. Twierdzenie (1) 1. Statystyka n i=1 X i jest dostateczna i zupełna dla parametru θ. 2. ˆθ = n i=1 X i /n = X jest estymatorem NJMW oraz NW parametru θ. 3. 2nˆθ θ χ2 (2n). Wniosek Estymator ˆθ jest stochastycznie rosnący względem θ. Prawdziwy jest mocniejszy fakt: rodzina rozkładów estymatora ˆθ ma monotoniczny iloraz wiarogodności, tzn. jeśli θ 1 < θ 2, to g θ2 (x)/g θ1 (x) jest rosnącą funkcją x, gdzie g jest gęstością estymatora ˆθ.
Estymacja średniej na podstawie prób uciętych Wymieńmy najbardziej powszechne typy cenzurowania. 1. I typ (ang. Type-I censoring) badanie jest kończone w z góry ustalonym momencie czasu T. Inne oznaczenie według Gniedenki: Plan [n,b,t ], co oznacza, że pracuje n elementów do chwili T, które nie są wymieniane na nowe w momencie awarii. 2. II typ (ang. Type-II censorig) badanie jest prowadzone do momentu ustalonej z góry r-tej awarii. Inne oznaczenie: Plan [n,b,r]. 3. Cenzurowanie losowe, tzn. czas cenzurowania jest zmienną losową.
Plan[n,B,T ] D = #{X i T } liczba awarii ma rozkład dwumianowy b(n, 1 e T /θ ). Funkcja wiarogodności dla próby z tego rodzaju badania jest postaci ( ) n ( L(x 1:n, x 2:n,..., x d:n, d; θ) = e T /θ) n d d ( 1 i:n/θ) d θ e x = i=1 ( ) n 1 = d θ d exp 1 d x i:n + (n d)t, gdy d = 1,..., n. θ i=1 W przeciwnym razie, gdy d = 0 L(x 1:n, x 2:n,..., x d:n, d; θ) = P(D = 0) = e nt /θ. Estymator NW parametru θ istnieje, gdy D 1 i jest postaci ˆθ = 1 ( D ) X i:n + (n D)T. (5.2) D i=1
Balakrishnan i Iliopoulos (2009) udowodnili następujące twierdzenie o stochastycznej monotoniczności estymatora (5.2). Twierdzenie (3) Estymator NW średniej w rozkładzie wykładniczym uzyskany na podstawie planu [n, B, T ] jest stochastycznie rosnący względem θ.
Dowód stochastycznej monotoniczności ˆθ przy użyciu metody couplingu przeprowadzimy dla estymatora otrzymanego z nieco ogólniejszego planu. Ustalmy chwilę T w której przerywamy badanie. Niech T i oznacza czas, jaki upłynął od chwili uruchomienia i-tego elementu do chwili T. Oznaczmy zmienne losowe C i następująco 1, gdy i-ty element uszkodził sie do chwili T, C i = 0, w przeciwnym przypadku, gdzie i = 1, 2,..., n.
Jeśli długość pracy każdego elementu jest zmienną losową o gęstości f i dystrybuancie F, to funkcja wiarogodności dla tak opisanego planu jest postaci L(x 1,..., x n ; T 1,..., T n ; θ) = = n 1 θ c i i=1 ( exp c ix i θ n f (x i ) c i (1 F (T i )) 1 c i = i=1 (1 c i)t i θ ). (5.3) Zauważmy, że C i b(1, F (T i )). Z kolei liczba awarii jest zmienną losową D = n i=1 C i. Z (5.3) otrzymujemy estymator NW postaci ˆθ = 1 D Twierdzenie (4) n i=1 (C i X i + (1 C i )T i ), gdy D > 0. (5.4) Estymator postaci (5.4) jest stochastycznie rosnący względem θ.
Plany [n, B, r] i [n, W, r] Czas badania jest losowy i trwa do momentu r-tej awarii. Rozróżniamy dwa przypadki: z odnową, tzn. w momencie awarii element natychmiast zostaje zastąpiony nowym, tj. plan [n, B, r], i bez odnowy, tj. plan [n, W, r]. Dla planu [n, B, r] estymator parametru θ dany jest wzorem ˆθ = 1 ( r ) X i:n +(n r)x r:n = 1 r (n i+1)(x i:n X i 1:n ) = 1 r W i, r r r i=1 i=1 i=1 (5.5) gdzie W i, i = 1, 2,..., n są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych Ex(θ). (Przyjmujemy X 0:n = 0.) Estymator parametru θ dla planu [n, W, r] wyraża się wzorem ˆθ = n r X (r) = n r ( ) n r X(i) X r (i 1) = W i, (5.6) r i=1 gdzie W i, i = 1, 2,, n są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych Ex(θ/n). i=1
Z postaci wzorów (5.5) i (5.6) wynika natychmiast następujące twierdzenie. Twierdzenie (5) Estymatory (5.5) i (5.6) średniego czasu życia uzyskane z próby uciętej w chwili r-tej awarii są stochastycznie rosnące względem parametru θ. Co więcej, są uporządkowane rosnąco względem porządku ilorazu wiarogodności.
Plan [n, W, (r, T )] W tym planie badanie kończymy w chwili T, bądź w chwili min[t, x (r) ]. Estymator NW parametru θ wyraża się wzorem nt, gdy D = 1, 2,..., r 1, D ˆθ = nx (r), gdy D r. r (5.7) W przypadku z wymianą elementów natychmiast w momencie awarii, chwile uszkodzeń tworzą strumień Poissona o intensywności n/θ. Dlatego liczba awarii na przedziale [0, T ] jest zmienną losową o rozkładzie Poissona Poi(nT /θ), zaś odstępy między kolejnymi awariami są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych Ex(θ/n).
Twierdzenie (6) Estymator NW średniej w rozkładzie wykładniczym otrzymany na podstawie planu [n, W, (r, T )] jest stochastycznie rosnący względem θ.
Plan [n, B, (r, S 0 )] Zdefiniujmy najpierw wielkość S(t), którą będziemy nazywać czasem nagromadzonym do chwili t. S(t) = nx (1) + (n 1)(x (2) x (1) ) +... + (n d)(t x (d) ), (5.8) gdzie d jest liczbą awarii, które wystąpiły do chwili t, zaś x (1), x (2),..., x (d) są kolejnymi momentami awarii.
W tym planie badanie przerywa się w chwili t 0, gdy S(t 0 ) = S 0, tj. nagromadzony czas pracy elementów do chwili t 0, osiągnie poziom S 0, bądź w chwili r-tego uszkodzenia, jeśli S(x (r) ) < S 0. Wiadomo, że zmienne losowe nx (1), (n 1)(X (2) X (1) ),..., (n r + 1)(X (r) X r 1 ) są niezależne o jednakowym rozkładzie wykładniczym Ex(θ), co w rzeczywistości oznacza, że obserwujemy poissonowski strumień uszkodzeń o intensywności 1/θ i badanie przerywamy bądź w chwili S 0, bądź w chwili S(x (r) ) wystąpienia r-tego uszkodzenia. Aby otrzymać estymator NW parametru θ wystarczy zauważyć, że problem ten był już rozważany dla planu [N, W, (r, T )] i we wzorze (5.7) podstawić X (r) := S(X (r) ), T := S 0 oraz n := 1.
Wniosek Estymator NW parametru θ dla planu [n, B, (r, S 0 )] dany jest wzorem S 0, gdy D = 1, 2,..., r 1, D ˆθ = S(X (r) ), gdy D r. r (5.9) Zmienna losowa D występująca w (5.9) jest zmienną o rozkładzie Poissona Poi(S 0 /θ) i oznacza liczbę awarii do chwili t 0. Wniosek Estymator dany wzorem (5.9) jest stochastycznie rosnący względem θ.
Przykłady zastosowań Definicja (2) Powiemy, że przedział losowy I 1 = (L 1, U 1 ) jest mniejszy w porządku stochastycznym od przedziału I 2 = (L 2, U 2 ), ozn. I 1 st I 2, jeśli L 1 st L 2 oraz U 1 st U 2. Definicja (3) Powiemy, że długość przedziału losowego I 1 = (L 1, U 1 ) jest stochastycznie mniejsza od długości przedziału losowego I 2 = (L 2, U 2 ), ozn. d(i 1 ) st d(i 2 ), jeśli U 1 L 1 st U 2 L 2.
Przykład (3) Korzystając z asymptotycznych własności estymatorów NW łatwo podać asymptotyczny przedział ufności na poziomie 1 α dla θ w oparciu o plan [n, B, T ]. I = ( ( ˆθ 1 z ( α/2 ), ˆθ 1 + z α/2 )). (6.10) r r Zatem jeśli θ 1 < θ 2 i r > (z α/2 ) 2, to I 1 st I 2. Co więcej, ponieważ d(i ) = 2z α/2 ˆθ/ D, więc d(i 1 ) st d(i 2 ).
Przykład (4) Podamy przedział ufności I na poziomie 1 α dla θ w oparciu o plan [n, B, r]. Ponieważ 2r ˆθ/θ ma rozkład χ 2 (2r) więc I = ( 2r ˆθ 2r ˆθ ) χ 2 α/2 (2r), χ 2 1 α/2 (2r). (6.11) Jeśli θ 1 < θ 2, to I 1 st I 2 oraz d(i 1 ) st d(i 2 ). Rozważmy teraz estymację niezawodności R(t; θ) = e t/θ w chwili t > 0. Jest oczywiste, że estymatorem NW wielkości R(t; θ) jest ˆR = e t/ˆθ, gdzie ˆθ jest estymatorem NW parametru θ. Funkcja R(t; θ) jest rosnąca względem θ przy ustalonym t > 0. Porządek stochastyczny jest zachowany przy przekształceniach rosnących, zatem prawdziwy jest następujący wniosek.
Wniosek Estymatory NW funkcji niezawodności uzyskane na podstawie planów: [n, B, T ], [n, B, r], [n, W, T ], [n, W, r], [n, B, (r, T )], [n, W, (r, T )], [n, B, (r, S 0 )] są stochastycznie rosnące względem θ. Przykład (5) Estymator NJMW dla niezawodności na podstawie planu [n, B, r] dany jest wzorem (6.12). ˆR = ( 1 t ) r 1, (6.12) r ˆθ + gdzie estymator ˆθ dany jest wzorem (5.5) Estymator (6.12) jest stochastycznie rosnący względem θ.
Przykład (6) Estymator NJMW dla niezawodności na podstawie planu [n, W, T ] dany jest wzorem (6.13). ˆR = ( 1 t ) nt /ˆθ, (6.13) nt + gdzie ˆθ = nt /D i D Poi(nT /θ). Estymator (6.13) jest stochastycznie rosnący względem θ. Przykład (7) Estymator NJMW dla niezawodności na podstawie planu [n, W, r] dany jest wzorem (6.14). ˆR = ( 1 t ) r 1, (6.14) r ˆθ + gdzie estymator ˆθ dany jest wzorem (5.6). Estymator (6.14) jest stochastycznie rosnący względem θ.
Przykład (8) Estymator NJMW niezawodności dla planu [n, B, T ] nie istnieje ponieważ statystka dostateczna (D(T ), S(T )) nie jest zupełna. Możemy jednak podać nieobciążone estymatory niezawodności, np. 1 D(t) n, gdy t (0, T ], ( ) ( ˆR(t) = 1 D(T ) n 1 D(t pt ) n p ), gdy t (pt, (p + 1)T ], (6.15) gdzie p = 1, 2,..., n 1, zaś D(t), 0 < t T, oznacza liczbę awarii do chwili t. Lemat (2) Wektor losowy (D(t), D(T )) jest stochastycznie malejący względem θ, tzn. (D θ2 (t), D θ2 (T )) st (D θ1 (t), D θ1 (T )), gdy θ 1 < θ 2.
Dowód lematu 2 polega na sprawdzeniu kolejno warunków: 1) D θ2 (t) st D θ1 (t), 2) [D(t) θ2 D θ2 (T ) = d] st [D θ1 (t) D θ1 (T ) = d], dla wszystkich d, 3) [D θ (t) D θ (T ) = d 2 ] st [D θ (t) D θ (T ) = d 1 ], gdy d 2 d 1 i dla wszystkich θ. Twierdzenie (7) Estymator niezawodności w chwili t (0, nt ] dany wzorem (6.15) jest stochastycznie rosnący względem θ.
Literatura Literatura [1] N. Balakrishnan, G. Iliopoulos, Stochastic monotonicity of the MLE of exponential mean under different censoring schemes, Annals of the Institute of Statistical Mathematics 61 (2009), 753-772. [2] N. Balakrishnan, C. Brain, Jie Mi, Stochastic order and MLE of the mean of the exponential distribution, Methodology and Computing in Applied Probability 4 (2002), 83-93. [3] B.W. Gniedenko, J.K. Bielajew, A.D. Sołowiew, Metody matematyczne w teorii niezawodności, WNT Warszawa 1968.