DYFRAKCJA ŚWIATŁA NA POJEDYNCZEJ I PODWÓJNEJ SZCZELINIE

DYFRAKCJA ŚWIATŁA NA POJEDYNCZEJ I PODWÓJNEJ SZCZELINIE I. Cel ćwiczenia: zapoznanie ze zjawiskiem dyfrakcji światła na pojedynczej i podwójnej szczelinie. Pomiar długości fali świetlnej, szerokości szczeliny i odległości między środkami szczelin. II. Przyrządy: wersja A ( obserwacja na ekranie ): laser LG 00, zestaw szczelin pojedynczych i podwójnych, ekran wersja B (obserwacja przy pomocy goniometru (spektrometru ): goniometr, lampa rtęciowa, zestaw szczelin pojedynczych i podwójnych, filtr interferencyjny np. zielony (długość fali 546 nm). III. Literatura: F. C. Crawford Fale. D. Resnick, R. Holliday Fizyka, t. II. IV. Obraz dyfrakcyjny pojedynczej szczeliny. Wyznaczymy obraz dyfrakcyjny, jaki powstaje, gdy fala płaska pada na szczelinę. Posługując się konstrukcją Huygensa zastępujemy w myśli padającą falę płaską i materiał ekranu przez płytkę promieniującego materiału - przeszkodę Huygensa. Początkowo załóŝmy, Ŝe mamy N identycznych promieniujących anten (lub N wąskich szczelin) rozmieszczonych na płytce w jednakowych odstępach, zamiast oscylujących ładunków rozmieszczonych na płytce w sposób ciągły. Gdy N dąŝy do nieskończoności, otrzymujemy w granicy ciągły rozkład źródeł promieniowania. Posługując się odrębnymi źródłami zamiast rozkładem ciągłym, otrzymujemy równocześnie rozwiązanie obrazu promieniowania wytworzonego przez N anten lub N wąskich szczelin (dla dowolnego N, od N = do nieskończoności). Rys. duŝa odległość lub soczewka P d X D dsin Dsin I PRACOWNIA FIZYCZNA

Niech szerokość pojedynczej szczeliny wynosi D. Wówczas D jest szerokością obszaru, który zawiera nasz liniowy układ anten Huygensa. Odległość miedzy sąsiadującymi antenami wynosi d i wówczas D = (N-)d. ZałóŜmy, Ŝe fala płaska pada z kierunku +z, a N szczelin rozmieszczonych jest wzdłuŝ osi X, jak pokazuje rysunek. W odległym punkcie P kaŝda z anten daje wkład o tej samej amplitudzie A(r) (poniewaŝ punkt P jest tak daleko połoŝony, Ŝe w zaleŝności amplitudy od odległości moŝemy przyjąć odległości P od wszystkich anten jednakowe). Z załoŝenia wszystkie anteny drgają w fazie. NatęŜenie pola elektrycznego E w punkcie P dane jest superpozycją E = A(r) cos(ωt - kr ) +A(r) cos(ωt - kr ) +... +A(r) cos(ωt - kr N ) ( ) MoŜna wyrazić tę superpozycję N wychodzących fal w postaci pojedynczej fali biegnącej, która rozchodzi się z punktu wyobraŝającego średnie połoŝenie anten układu i której amplituda modulowana jest w funkcji kąta emisji. Obliczenia dają (patrz przypis I) następujące wyraŝenie na natęŝenie pola w punkcie P E(r,, t) = A(r) sin N ϕ gdzie ϕ = kd sin = π, λ d sin r - odległość punktu P od środka anten. sin cos(ωt kr) = A(r, )cos(ωt kr) ϕ Przyjmując załoŝenie, Ŝe N otrzymujemy po przekształceniach (przypis I) E(r,, t) = A(r, 0) sin Φ cos(ωt kr) Φ gdzie Φ =. π λ D sin ( 3a ) Z elektrodynamiki wiadomo, Ŝe w przypadku fal płaskich i monochromatycznych natęŝenie strumienia energii jest proporcjonalne do E I E. gdzie nawiasy oznaczają uśrednienie w czasie. Uwzględniając ten fakt i zaleŝność (3) otrzymujemy, Ŝe natęŝenie strumienia energii wykazuje zaleŝność kątową I(r, ) = I max sin Φ Φ WyraŜenie (4) przyjmuje wartość minimalną dla Φ = ±nπ ( ) ( 3 ). ( 4 ) n =,, 3,... Uwzględniając (3a) otrzymujemy warunek na minima dyfrakcyjne D sin = ±nλ n =,, 3,... ( 5 ) Dla małych kątów sin i wówczas połoŝenie pierwszego minimum dyfrakcyjnego określone je- st przez zaleŝność = ± λ D ( 5a ) I PRACOWNIA FIZYCZNA

Znajdźmy połoŝenia i natęŝenia dalszych maksimów dyfrakcyjnych. W przybliŝeniu leŝą one w pośrodku między sąsiednimi minimami a więc w punktach dla których tzn. Φ ±(n + )π π λ D sin ±(n + )π D sin (n + )λ Podstawiając (6) do równania (4) otrzymamy w rezultacie I() I max = n+ π ( 6 ) I D = λ 0 5 0 5 0 5 0 5 0 I D = 5 λ 0 5 0 5 0 5 0 5 0 I D = 0 λ 0 5 0 5 0 5 0 5 0 Rys. Względne natęŝenie dyfrakcyjne dla trzech wartości stosunku D λ 3 I PRACOWNIA FIZYCZNA

Æwiczenie O - 9 Stąd otrzymujemy, Ŝe dla n =,, 3,... stosunek I()/I max = 0,045, 0,06, 0,0083 itd. A więc natę- Ŝenia maksimów bardo szybko maleją Rysunek pokazuje krzywe I dla róŝnych wielkości stosunku D/λ.Obraz staje się coraz bardziej wąski, gdy D/λ wzrasta ( przy λ = const.) V. Obraz dyfrakcyjny dwu szczelin. KaŜda ze szczelin daje w punkcie wykrywania (obserwacji) natęŝenie pola elektrycznego o pewnej amplitudzie i stałej fazowej. Stała fazowa przyczynku z jednej całej szczeliny jest taka sama, jak stała fazowa nieskończenie małego przyczynku pochodzącego od bardzo wąskiej anteny w środku szczeliny. Wynika to z faktu, Ŝe fala zawiera czynnik cos(ωt - kr), gdzie r jest odległością od środka szczeliny do punktu wykrywania (patrz równania () i (3)). Amplituda fali jest proporcjonalna do sin Φ / Φ, gdzie Φ jest róŝnicą fazy przyczynków z przeciwległych krańców szczeliny. Gdy mamy N takich szczelin w odległości d jedna od drugiej, kaŝda z nich daje przyczynek, który - jeśli chodzi o fazę - jest taki sam, jaki otrzymałoby się z wąskiej szczeliny umieszczonej w środku rzeczywistej szczeliny. Powtarzając rozumowanie i obliczenia, które doprowadziły do zaleŝności () ale przy zastąpieniu stałej amplitudy A(r), którą dawała kaŝda z wąskich szczelin, przez nową amplitudę równą stałej A(r) pomnoŝonej przez sin otrzymamy obraz interferencyjny z N nieskończe- Φ/Φ nie wąskich szczelin ale zmodulowany przez sin czyli Φ/Φ E(r,, t) = A(r) sin Φ sin N ϕ. ( 7 ) Φ sin cos(ωt kr) ϕ PoniewaŜ nas interesuje przypadek N =, to korzystając z toŝsamości trygonometrycznej sin x = sin x cos x dla x = ϕ i N = otrzymujemy natęŝenie pola elektrycznego w punkcie P od dwu szczelin E(r,, t) = [ A(r) sin Φ. ( 8 ) Φ cos ϕ] cos(ωt kr) Jeśli oznaczyć [ A(r) sin Φ, ( 9 ) Φ cos ϕ ] = A(r, ) to E(r,, t) = A(r, 0) cos(ωt kr) ( 0 ) Φ = kd sin = π, ( ) λ D sin ϕ = kd sin = π λ d sin, ( ) gdzie D jest szerokością kaŝdej ze szczelin, d - odległością między środkami szczelin, r - odległością punktu P od punktu połoŝonego w połowie między środkami szczelin. Obraz natęŝenia I() jest proporcjonalny do średniej czasowej kwadratu natęŝenia pola elektrycznego, tzn. zgodnie z równaniami (9) i (0) I() = I(0) sin Φ. ( 3 ) Φ cos ϕ W równaniu (3) zaleŝność od r pominięto. Czynnik cos ϕ zwany czasem interferencyjnym daje szybką zmienność w zaleŝności od kąta, charakterystyczną dla dwu szczelin. Czynnik sin daje modulację związaną z szerokością Φ/Φ szczeliny (tzw. czynnik dyfrakcyjny). 4 I PRACOWNIA FIZYCZNA

we wzorze (3) wyno- Maksima interferencyjne wystąpią dla tych kątów, dla których cos ϕ si, czyli ϕ = ±mπ Uwzględniając () otrzymujemy warunek na maksima interferencyjne zwane głównymi d sin = ±mλ m = 0,,,... ( 4 ) Dla zakresu małych kątów sin i połoŝenie maksimów wyznacza zaleŝność = ± m λ ( 4a ) d Minima wystąpią dla tych kątów, dla których Dla sin mamy ϕ = ±(m + )π, czyli d sin = ±(m + )λ, ( 5 ) = ±(m + ) λ ( 5a ) d Ι i n t D = λ 0 Ι i n t D = 5 λ 0 Ι d y f D = 0 λ 0 Rys. 3 5 I PRACOWNIA FIZYCZNA

W zakresie małych kątów, odległość kątowa między dwoma pierwszymi minimami dyfrakcyjnymi leŝącymi po prawej i lewej stronie punktu 0 (rys. 3) wynosi zgodnie ze wzorem (5a) = dyf = λ D ( 6 ) Zerowe maksimum dyfrakcyjne jest tym szersze im węŝsza jest szczelina oraz im większa jest długość fali świetlnej. Wykorzystując zaleŝność (5a) otrzymujemy szerokość kątową maksimów głównych (interferencyjnych) : int = m m = λ d ( 7 ) PoniewaŜ int = x /L, to liniowa odległość między sąsiednimi minimami (lub maksimami) wyniesie x = L λ d ( 7a ) (L - odległość ekranu od szczelin). ZałóŜmy, Ŝe maksimum główne m-tego rzędu pokrywa się z pierwszym minimum dyfrakcyjnym tzn., Ŝe mamy dyf m int dyf = m int - połoŝenie kątowe pierwszego minimum dyfrakcyjnego, - połoŝenie kątowe maksimum głównego m - tego rzędu. Dla małych kątów (wzór (5a) i (4a)) otrzymuje się λ m m =. ( 8 ) D = λ d d D Stosunek d/d równy liczbie całkowitej wyznacza rząd maksimum głównego, które nie będzie obserwowane. W takim razie w obrębie między minimami dyfrakcyjnymi rzędu ± otrzymamy k = m - ( 9 ) d maksimów głównych; np., gdy = 4 powinniśmy zaobserwować 7 widocznych maksimów. D Jaki będzie obraz (tj. ile będzie widocznych maksimów), gdy d/d nie jest liczbą całkowitą i stosunek ten wynosi np. 3,4 lub 3,8. VI. Układ pomiarowy. Zestaw do ćwiczenia składa się ze źródła światła spójnego (laser) lub lampy rtęciowej, zestawu szczelin pojedynczych i podwójnych, spektrometru lub ekranu. Jeśli ćwiczenie wykonywane jest przy uŝyciu spektrometru, ekran jest zbędny. Źródłem światła jest wówczas lampa rtęciowa oświetlająca szczelinę kolimatora spektrometru. Przy pomocy filtru zielonego wybieramy jej zieloną linię (λ = 546 nm). Szczeliny wsuwamy w odpowiedni uchwyt na stoliku spektrometru, regulując odpowiednim pokrętłem jego wysokość tak, aby wiązka światła trafiała na szczelinę (szczeliny). Przy uŝyciu lasera obraz obserwuje się na ekranie (rys.4). 6 I PRACOWNIA FIZYCZNA

ekran x x m dyf pojemnik na szczeliny laser L Rys. 4. Układ pomiarowy dla wariantu A (laser i obserwacja na ekranie ). VII. Wykonanie ćwiczenia. A) Wariant z laserem.. WłoŜyć płytkę z pojedynczą szczeliną o znanej szerokości D w odpowiedni uchwyt umieszczony na koniku na ławie optycznej. Oświetlić szczelinę światłem lasera, regulując w razie konieczności połoŝenie szczeliny względem wiązki światła laserowego.. Zmierzyć na ekranie odległość x między dwoma minimami po obu stronach maksimum głównego i odległość L ekranu od szczeliny. 3. WłoŜyć zamiast pojedynczej szczeliny szczelinę podwójną. 4. Zmierzyć odległość liniową x m między skrajnymi widocznymi maksimami ± m -tego rzędu (w obrębie dyfrakcyjnego maksimum głównego). Zapisać liczbę k widocznych maksimów, między którymi dokonano pomiarów odległości. 5. Powtórzyć pomiary dla dwóch innych szczelin. B) Wariant z spektrometrem.. WłoŜyć płytkę z pojedynczą szczeliną o znanej szerokości D w odpowiedni uchwyt stolika. Ustawić lampę rtęciową tak, by wiązka równoległa po wyjściu z kolimatora oświetlała szczelinę umieszczoną na stoliku goniometru.. Zmierzyć połoŝenie kątowe dyf dyf dyf minimów leŝących po obu stronach maksimum ( + i ). 3. WłoŜyć zamiast pojedynczej szczeliny szczelinę podwójną. 4. Zmierzyć połoŝenie kątowe m skrajnych widocznych maksimów ±m- tego rzędu. Zapisać liczbę k widocznych maksimów, między którymi dokonywano pomiarów odległości kątowej. 5. Powtórzyć pomiary dla innych szczelin. 7 I PRACOWNIA FIZYCZNA

VIII. Opracowanie wyników.. Obliczyć korzystając ze wzoru (6) długość fali światła uŝytego w doświadczeniu, znajdując odległość kątową między dwoma minimami dyfrakcyjnymi ±rzędu, tzn. dyf. W przypadku wariantu z laserem dyf = x. L. Obliczyć odległość kątową int między sąsiednimi maksimami głównymi. Wyznaczamy ją z zaleŝności: int = m. k m - odległość kątowa między skrajnymi widocznymi maksimami ±m-tego rzędu, k - liczba zanotowanych widocznych maksimów. W przypadku wariantu z laserem m = x m. L 3. Znając λ, int obliczyć d. 4. Uwzględniając, Ŝe między minimami dyfrakcyjnymi ± rzędu wystąpi k = m - maksimów (patrz wzór (9) ) znaleźć D ( wzór (8) ). 5. Oszacować błąd wyznaczenia długości fali λ, odległości między środkami szczelin d, szerokości kaŝdej ze szczelin D. UWAGA! Laser włączać tylko na czas przeprowadzania pomiarów. Nie oświetlać oczu światłem laserowym. 8 I PRACOWNIA FIZYCZNA

Przypis I. NatęŜenie pola E stanowi część rzeczywistą zespolonej wielkości E c. Zespolona wielkość E c dana jest zaleŝnością: E c = A(r)e iωt (e ikr + e ikr +... + e ikr N ) ( I. ) Zgodnie z rysunkiem r = r + dsin, r 3 = r +dsin, ( I. )...... r N = r + (N - )dsin. Równanie (I.) przejdzie w E c = A(r)e iωt e ikr ( + e ik(r r ) + e ik(r 3 r ) +...) = A(r)e iωt e ikr S gdzie S = + e ik(r r ) + e ik(r 3 r ) +... = + a + a +... + a N przy czym a = e ik(r r ) = e ikd sin = e i ϕ gdzie ϕ = kd sin = π λ d sin. Suma szeregu geometrycznego (I.4) wynosi gdzie q N S = a q = an a = e in ϕ = e i N ϕ [e i N ϕ e i N ϕ ] e i ϕ = e i (N ) ϕ e i N ϕ e i N ϕ e i N ϕ e i N ϕ i e i ϕ e i ϕ i e i ϕ e i ϕ = sin N ϕ = sin ϕ Równanie (I.3) przechodzi teraz w e i ϕ [e i ϕ e i ϕ ] = e sin i (N ) ϕ N ϕ sin ϕ E c = A(r)e iωt e ik[r + (N ) ϕ] sin N ϕ = A(r)eiωt e sin ϕ sin ikr N ϕ sin ϕ = ( I.3 ) ( I.4 ) ( I.5 ) ( I.6 ) ( I.7 ) gdzie r = r + (N ) d sin = r ( I.8 ) + (N ) ϕ We wzorze (I.8) r jest odległością punktu P od środka anten. Biorąc część rzeczywistą z zaleŝności (I.8) otrzymujemy natęŝenie pola w punkcie P E(r,, t) = A(r) sin N ϕ sin ϕ cos(ωt kr) = A(r, )cos(ωt kr) ( I.9 ) Przyjmujemy teraz, Ŝe N, D pozostaje stałe a wówczas d maleje do 0. Względne przesunięcie ϕ między falami wychodzącymi z sąsiednich anten dąŝy do zera. Całkowite przesunięcie fazy Φ między przyczynkami z pierwszej i ostatniej anteny w punkcie P wynosi 9 I PRACOWNIA FIZYCZNA

Φ = (N ) ϕ = kd sin Φ N ϕ dla N>>. Tak więc modulowana amplituda w zaleŝności (I.9) wynosi A(r, ) = A(r) sin N ϕ sin ϕ PoniewaŜ sin ( N>>), N N Φ Φ sin A(r) Φ sin Φ N. ( I.0 ) to A(r, ) = NA(r) sin Φ. ( I. ) Φ Gdy N dąŝy do nieskończoności, musimy przyjąć, Ŝe A(r) dąŝy do 0 w taki sposób, Ŝe NA(r) pozostaje stałe, poniewaŝ chcemy mieć taki sam przyczynek z danego nieskończenie małego elementu dx ciągłego układu anten, bez względu na ilość anten jaką ten układ zawiera. W równaniu (I.) moŝemy uniknąć jawnego wprowadzenia N i A(r), gdyŝ Φ dąŝy do 0, gdy 0 a wówczas Zgodnie z równaniem (I.) Otrzymujemy w końcu sin Φ = dla Φ (sin x A(r, 0) = NA(r). x = x 0 ) E(r,, t) = A(r, 0) sin Φ cos(ωt kr), ( I. ) Φ gdzie Φ = π. ( I.3 ) λ D sin 0 I PRACOWNIA FIZYCZNA