Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej Konferencja Na płaszczyźnie i w przestrzeni, Ameliówka 25-27 X 2013
1 9 + 1 9 5 9 + 1 9 5 9 2 + 1 9 5 9 3 +... = 1 4
1 9 + 1 9 5 9 + 1 9 5 9 2 + 1 9 5 9 3 +... = 1 4
1 9 + 1 9 5 9 + 1 9 5 9 2 + 1 9 5 9 3 +... = 1 4 1 2 2 3 1 3 = 1 9 1 4 1 9 = 5 9
1 + 3 + 5 +... + (2n 1) = n 2
1 + 3 + 5 +... + (2n 1) = n 2
1 + 3 + 5 +... + (2n 1) = n 2
1 + 3 + 5 +... + (2n 1) = n 2
1 + 3 + 5 +... + (2n 1) = n 2 1 + 3 + 5 +... + (2n 1) = 1 4 (2n)2 = n 2
1 3 = 1 + 3 5 + 7 = 1 + 3 + 5 7 + 9 + 11 = 1 + 3 + 5 + 7 9 + 11 + 13 + 15 =...
1 3 = 1 + 3 5 + 7 = 1 + 3 + 5 7 + 9 + 11 = 1 + 3 + 5 + 7 9 + 11 + 13 + 15 =...
1 + 2 + 3 +... + n = n(n + 1) 2
1 + 2 + 3 +... + n = n + 1 2
1 + 2 + 3 +... + n = n + 1 2
Dla n nieparzystych, liczba n 2 daje przy dzieleniu przez 8 resztę 1.
Liczba i jej odwrotność
Liczba i jej odwrotność x + 1 x 2 4
Liczba i jej odwrotność x + 1 x 2 4 x + 1 x 2 dla x > 0
Średnia arytmetyczna i geometryczna
Średnia arytmetyczna i geometryczna (a + b) 2 4ab
Średnia arytmetyczna i geometryczna (a + b) 2 4ab a + b 2 ab dla a, b > 0
Średnia geometryczna i harmoniczna
Średnia geometryczna i harmoniczna 2 ab ab 4 a + b 2
Średnia geometryczna i harmoniczna 2 ab ab 4 a + b 2ab ab a + b 2
Średnia geometryczna i harmoniczna 2 ab 2 ab 4 a + b 2ab ab a + b 2 ab 1 a + 1 dla a, b > 0 b
Liczby Fibonacciego F 1 = 1, F 2 = 1, F n+1 = F n + F n 1 dla n 2 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,...
Liczby Fibonacciego F 1 = 1, F 2 = 1, F n+1 = F n + F n 1 dla n 2 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,... F 2 n+1 = 4F n F n 1 + F 2 n 2 dla n 3
Liczby Fibonacciego F 1 = 1, F 2 = 1, F n+1 = F n + F n 1 dla n 2 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,... F 2 n+1 = 4F n F n 1 + F 2 n 2 dla n 3
Liczby Fibonacciego F 1 = 1, F 2 = 1, F n+1 = F n + F n 1 dla n 2 F 3 n+1 = F 3 n + F 3 n 1 + 3F n 1 F n F n+1 dla n 2
Liczby Fibonacciego F 1 = 1, F 2 = 1, F n+1 = F n + F n 1 dla n 2 F 3 n+1 = F 3 n + F 3 n 1 + 3F n 1 F n F n+1 dla n 2
Sześciokąt foremny podzielono na romby jednostkowe. Wówczas jest po tyle samo rombów w każdym z kierunków.
Sześciokąt foremny podzielono na romby jednostkowe. Wówczas jest po tyle samo rombów w każdym z kierunków.
Sześciokąt foremny podzielono na romby jednostkowe. Wówczas jest po tyle samo rombów w każdym z kierunków. Łącznie jest 3n 2 rombów.
Całka to pole pod wykresem 1 0 ( t a + t 1 a ) dt = 1 dla a > 0
Całka to pole pod wykresem 1 0 ( t a + t 1 a ) dt = 1 dla a > 0
Całka to pole pod wykresem 1 0 ( t a + t 1 a ) dt = 1 dla a > 0
Całka to pole pod wykresem 1 0 ( t a + t 1 a ) dt = 1 dla a > 0
Całka to pole pod wykresem 1 0 ( t a + t 1 a ) dt = 1 dla a > 0
Całka to pole pod wykresem 1 0 ( t a + t 1 a ) dt = 1 dla a > 0
Całka to pole pod wykresem 1 0 ( t a + t 1 a ) dt = 1 dla a > 0
Wzory na sin(α + β) oraz cos(α + β) dla α + β < 90
Wzory na sin(α + β) oraz cos(α + β) dla α + β < 90
Wzory na sin(α + β) oraz cos(α + β) dla α + β < 90
Wzory na sin(α + β) oraz cos(α + β) dla α + β < 90
Wzory na sin(α + β) oraz cos(α + β) dla α + β < 90
Wzory na sin(α + β) oraz cos(α + β) dla α + β < 90
Wzory na sin(α + β) oraz cos(α + β) dla α + β < 90
Wzory na sin(α + β) oraz cos(α + β) dla α + β < 90
Wzory na sin(α + β) oraz cos(α + β) dla α + β < 90
Wzory na sin(α + β) oraz cos(α + β) dla α + β < 90
Wzory na sin(α + β) oraz cos(α + β) dla α + β < 90
Wzory na sin(α + β) oraz cos(α + β) dla α + β < 90
Wzory na sin(α + β) oraz cos(α + β) dla α + β < 90 sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β cos(α + β) = cos αcosβ sin α sin β
Wzór na tg(α + β) dla α + β < 90
Wzór na tg(α + β) dla α + β < 90
Wzór na tg(α + β) dla α + β < 90
Wzór na tg(α + β) dla α + β < 90
Wzór na tg(α + β) dla α + β < 90
Wzór na tg(α + β) dla α + β < 90
Wzór na tg(α + β) dla α + β < 90
Wzór na tg(α + β) dla α + β < 90
Wzór na tg(α + β) dla α + β < 90
Wzór na tg(α + β) dla α + β < 90
Wzór na tg(α + β) dla α + β < 90
Wzór na tg(α + β) dla α + β < 90 tg(α + β) = tg α + tg β 1 tg α tg β
Jeśli α + β + γ = 90, to tg α tg β + tg β tg γ + tg γ tg α = 1.
Jeśli α + β + γ = 90, to tg α tg β + tg β tg γ + tg γ tg α = 1
Jeśli α + β + γ = 90, to tg α tg β + tg β tg γ + tg γ tg α = 1
Tożsamości trygonometryczne: arc tg
Tożsamości trygonometryczne: arc tg arc tg 1 + arc tg 2 + arc tg 3 = 180
Tożsamości trygonometryczne: arc tg arc tg 1 + arc tg 1 2 = arc tg 3
Tożsamości trygonometryczne: arc tg arc tg 1 + arc tg 1 2 + arc tg 1 3 = 90
Tożsamości trygonometryczne: arc tg arc tg 1 + arc tg 1 2 + arc tg 1 3 = 90 arc tg 1 2 + arc tg 1 3 = 45
Tożsamości trygonometryczne: arc tg arc tg 1 3 + arc tg 1 = arc tg 2
Jeśli a, b, c, d > 0 oraz a b < c d, to a b < a + c b + d < c d.
Jeśli a, b, c, d > 0 oraz a b < c d, to a b < a + c b + d < c d.
Jeśli a, b, c, d > 0 oraz a b < c d, to a b < a + c b + d < c d. a2 + b 2 + c 2 + d 2 (a + c) 2 + (b + d) 2
Średnia kwadratowa i arytmetyczna 2 a 2 + b 2 (a + b) 2
Średnia kwadratowa i arytmetyczna 2 a 2 + b 2 (a + b) 2 a2 + b 2 2 a + b 2 dla a, b > 0
Co jest większe, 116 + 74 czy 370?
Dla a, b, c > 0 takich, że a + b + c = 4, zachodzi nierówność a2 + 1 + b 2 + 1 + c 2 + 1 5.
Dla a, b, c > 0 takich, że a + b + c = 4, zachodzi nierówność a2 + 1 + b 2 + 1 + c 2 + 1 5.
Jaka jest najmniejsza wartość n takich, że n a i = n 2? i=1 i=1 a 2 i + (2i 1) 2 dla a 1, a 2,..., a n > 0
Jaka jest najmniejsza wartość n takich, że n a i = n 2? i=1 i=1 a 2 i + (2i 1) 2 dla a 1, a 2,..., a n > 0
Jaka jest najmniejsza wartość n takich, że n a i = n 2? i=1 i=1 a 2 i + (2i 1) 2 dla a 1, a 2,..., a n > 0 a 1 + a 2 +... + a n = n 2,
Jaka jest najmniejsza wartość n takich, że n a i = n 2? i=1 i=1 a 2 i + (2i 1) 2 dla a 1, a 2,..., a n > 0 a 1 + a 2 +... + a n = n 2, 1 + 3 + 5 +... + (2n 1) = n 2
Jaka jest najmniejsza wartość n takich, że n a i = n 2? i=1 i=1 a 2 i + (2i 1) 2 dla a 1, a 2,..., a n > 0 a 1 + a 2 +... + a n = n 2, 1 + 3 + 5 +... + (2n 1) = n 2 Najmniejsza wartość = n 2 2; jest osiągana, gdy a i = 2i 1.
Ku przestrodze 64 = 65
Literatura i źródła rysunków http://www.google.pl graphics proofs without words http://legacy.lclark.edu/~mathsci/nelsen.html Mathematics Magazine, The Mathematical Association of America; The College Mathematics Journal, The Mathematical Association of America; Roger B. Nelsen, The Mathematical Association of America: Proofs Without Words: Exercises in Visual Thinking, 1993; Proofs Without Words II: More Exercises in Visual Thinking, 2001; Claudi Alsina, Roger B. Nelsen, The Mathematical Association of America: Math Made Visual: Creating Images for Understanding Mathematics, 2006; When Less is More: Visualizing Basic Inequalities, 2009; Charming Proofs: A Journey into Elegant Mathematics, 2010; Icons of Mathematics: An Exploration of Twenty Key Images, 2011.