Pojemnośd elektryczna Tekst jest wolnym tłumaczeniem pliku guide05pdf kursu dostępnego na stronie http://webmitedu/802t/www/802teal3d/visualizations/coursenotes/indexhtm Wszystkie rysunki i animacje zaczerpnięto ze strony http://webmitedu/802t/www/802teal3d/visualizations/electrostatics/indexhtm Co się dzieje, gdy na izolowany przewodniki, początkowo neutralny, zaczniemy dostarczad, tj gromadzid na nim ładunek elektryczny? Poglądowo doświadczenie to reprezentuje poniższy rysunek Doświadczalnie stwierdzono, że ładowanie przewodnika ładunkami elektrycznymi, np za pomocą generatora van der Graaffa (patrz dalej) lub poprzez podłączenie do źródła prądu elektrycznego, zwiększa jego potencjał względem otoczenia, tj względem innych ciał będących w jego bliższym lub dalszym sąsiedztwie Eksperyment pokazuje proporcjonalnośd między dostarczonym w ten sposób ładunkiem Q i wspomnianą różnicą potencjałów gdzie współczynnik proporcjonalności jest zwany pojemnością elektryczną przewodnika, który dalej będziemy nazywali kondensatorem Z tego wzoru wynika jednostka pojemności elektrycznej gdzie wprowadzono jednostkę farada jako jednostkę pojemności w SI ;, 1
Podpis pod rysunkiem i schematem generatora (tekst opisu, zdjęcie i schemat generatora zaczerpnięty ze strony http://plwikipediaorg/wiki/generator_van_de_graaffa) Generator Van de Graaffa to generator elektrostatyczny wysokiego napięcia wynaleziony w 1929 roku przez fizyka amerykańskiego Roberta J Van de Graaffa Zasada działania Prosty generator składa się z elektrody (1) w kształcie czaszy, gromadzącej ładunek elektryczny oraz układu przenoszącego ładunek elektryczny na tą elektrodę Układ przenoszący jest pasem transmisyjnym wykonanym z izolatora Koło pasowe (3) jest umieszczone wewnątrz elektrody (1) i poprzez szczotkę (2) przekazuje ładunki do czaszy Dzięki temu, że koło pasowe znajduje się wewnątrz czaszy, przekazywanie odbywa się na zasadzie rozpływu ładunku elektrycznego na zewnątrz metalu (puszka Faradaya) Pas transmisyjny jest elektryzowany poprzez szczotkę (7) z zewnętrznego generatora ładunku o niewielkim napięciu, w wyniku elektryzowania przez tarcie lub w wyniku zjawiska indukcji elektrostatycznej (ewentualnie obu zjawisk) Uzyskiwanie wysokiego napięcia (energii ładunków elektrycznych) następuje w wyniku mechanicznego przenoszenia ich na izolującym pasie transmisyjnym Generatory tego typu mogą wytworzyć napięcie nawet 5 MV Generatory Van de Graaffa wykorzystywane są do budowy elektrostatycznych akceleratorów cząstek Akceleratory te są nazywane akceleratorami Van de Graaffa 2
Ze względu na dużą wartośd farad stosuje się podjednostki: 1 mf (milifarad) = (10-3 )F; 1 F (mikrofarad) = (10-6 )F; 1 nf (nanofarad) = (10-9 )F; 1 F (pikofarad) = (10-12 )F Kondensatory to urządzenia do przechowywania ładunków elektrycznych i energii elektrycznej Mają szerokie zastosowania w elektronice do budowy obwodów elektronicznych W układach elektronicznych zaznacza się ich obecnośd za pomocą symbolu Kondensatory mają różne wymiary i kształty, od których zależy ich pojemnośd elektryczna Jak obliczamy pojemnośd kondensatorów? Odpowiemy na to pytanie rozpatrując kilka przykładów 1 Kondensator płaski tworzą dwie płaszczyzny o powierzchni A, odległe o d naładowane z gęstością powierzchniową, gdzie Q jest wartością bezwględną ładunku jednej z okładek 3
Zgodnie z definicją Aby obliczyd pojemnośd kondensatora płaskiego powinniśmy znad wartośd natężenie pola elektrycznego w kondensatorze Przyjmuje założenie, że kondensator jest dostatecznie duży, co pozwala zaniedbad wyciekanie linii sił pola na jego brzegach (patrz rysunek) Jeśli skorzystamy z wyników otrzymanych poprzednio (ilustracją jest kolejny rysunek) za pomocą prawa Gaussa, to strumieo pola elektrycznego przez powierzchnię zamkniętą pokazaną na rysunku jest proporcjonalny do ładunku znajdującemu się pod nią, tj w objętości, której brzegiem jest pow Gaussa 4
Zatem, skąd wynika, że Teraz możemy policzyd różnicę potencjałów między ujemną i dodatnią okładką kondensatora Całkowanie przeprowadziliśmy po prostej łączącej okładkę dodatnią z ujemną (pole jest zachowawcze) Pole elektryczne jest skierowane zawsze od dodatniego ładunku do ujemnego, zatem potencjał okładki ujemnej jest niższy Pozwala to nam obliczyd szukaną pojemnośd Widzimy, że pojemnośd zależy jedynie od czynników geometrycznych Animacja ruchu ładunków zmagazynowanych na okładkach kondensatora płaskiego wraz ze szczegółowym opisem jest dostępna na stronie: http://webmitedu/802t/www/802teal3d/visualizations/electrostatics/ca pacitor/capacitorhtm 5
2 Kondensator cylindryczny Rysunek ilustruje budowę takiego kondensatora, którego okładkami są powierzchnie cylindryczne o podanych promieniach i długości Wyznaczamy najpierw natężenie pola elektrycznego Obliczymy natężenie pola wewnątrz kondensatora W tym celu wybieramy powierzchnię Gaussa w postaci cylindra współosiowego z osią kondensatora (patrz rysunek dolny) i obliczamy strumieo pola przez tę powierzchnię 6
gdzie Zauważmy, że natężenie pola elektrycznego na zewnątrz cylindrycznego kondensatora oraz wewnątrz cylindra o promieniu a jest równe zeru! Dlaczego? Różnica potencjałów, Jak widzimy zewnętrzna okładka naładowana ujemnie ma niższy potencjał od wewnętrznej Pojemnośd kondensatora wynosi Ponownie widzimy, że pojemnośd zależy jedynie od czynników geometrycznych 7
3 Kondensator sferyczny budowa jest przedstawiona na kolejnych rysunkach Pierwszy z nich przedstawia ładowanie kondensatora za pomocą baterii Policzymy teraz pojemnośd takiego kondensatora stosując prawo Gaussa, co ilustruje kolejny rysunek 8
Strumieo pola elektrycznego przez powierzchnię Gaussa (zaznaczona linią przerywaną) wynosi Wyznaczamy obecnie różnicę potencjałów między cylindrycznymi okładkami Ostatecznie pojemnośd jest równa Ponownie widzimy, że pojemnośd zależy jedynie od czynników geometrycznych Izolowany kondensator, tj taki którego jedna okładka jest przeniesiona do nieskooczoności ma pojemnośd równą 9
Kondensatory w układach elektrycznych Po podłączeniu okładek kondensatora do źródła napięcia następuje błyskawiczne ładowanie kondensatora, co przedstawia rysunek Ile wynosi pojemnośd baterii kondensatorów połączonych równolegle? 10
Bateria złożona z dwóch kondensatorów ma właściwości przedstawione na kolejnych rysunkach 11
Pojemności kondensatorów wynoszą i Dwa kondensatory można zastąpid jednym o pojemności nim zgromadzonym równym i ładunku na więc 12
Uogólniając, pojemnośd zastępcza baterii równolegle połączonych N kondensatorów wynosi Połączenie równoległe kondensatorów Bateria kondensatorów 13
Napięcia (różnica potencjałów) na każdym z kondensatorów Całkowite napięcie na baterii dwóch kondensatorów jest równe i Uogólniając otrzymany wynik na baterię N kondensatorów połączonych równolegle możemy napisad 14
Energia zgromadzona w kondensatorze Powiedzieliśmy wcześniej, że kondensator jest urządzeniem umożliwiającym gromadzenie energii Ile energii jest zgromadzonych w kondensatorze płaskim? To, że energia jest magazynowana wynika z tego, że podczas ładowania kondensatora ładunek elektryczny gromadzony jest na jednej z okładek, co wymaga pokonania sił wzajemnego odpychania się ładunków jednoimiennych W tym procesie wykonywana jest praca, która jest gromadzona w kondensatorze jako jego energia potencjalna pola elektrycznego Przenoszenie ładunków ilustruje poniższy rysunek, gdzie ładunki dq są stopniowo przenoszone z dolnej na górna okładkę Jak policzyd energię naładowanego kondensatora? Wyobraźmy sobie, że na górnej okładce zgromadzony jest ładunek +q Wtedy różnica potencjałów między okładkami jest równa Aby przenieśd w tych warunkach ładunek dq z dolnej na górną okładkę trzeba wykonad pracę 15
Całkowita praca ładowania kondensatora ładunkiem Q jest równa Zatem energia zgromadzona w kondensatorze Gęstośd energii pola elektrycznego Wyznaczoną energię potencjalną można uważad za energię zgromadzoną w polu elektrostatycznym kondensatora Postaramy się teraz wyznaczyd tej gęstośd energii, czyli iloraz i objętości kondensatora Definicja gęstości energii pola elektrycznego Przypomnijmy, że fragment powierzchni okładki o powierzchni umieszczony w polu elektrostatycznym jest wciągany w to pole siła przyciągającą równą Tak więc całkowita siła wciągająca okładkę 16
Tak więc, aby rozsunąd okładki na odległośd d należy wykonad pracę co jest w zgodzie z poprzednio otrzymanym wynikiem, pola Przypomnijmy, że gęstośd energii jest elektrostatycznym ciśnieniem Applet dostępny na stronie http://webmitedu/802t/www/802teal3d/visualizations/electrostati cs/electrostaticforce/electrostaticforcehtm ilustruje zachowanie się aluminiowej sfery w polu elektrostatycznym kondensatora płaskiego Początkowo animacja przedstawia sferę będąca w kontakcie z dolną okładką Siła grawitacji utrzymuje ją na powierzchni dolnej okładki Zmieniając za pomocą suwaka (widocznego w lewym górnym rogu okienka animacji) różnicę potencjałów, co oznacza ładowanie kondensatora, powodujemy gromadzenie się na powierzchni sfery aluminiowej ujemnego ładunku elektrycznego Dopóty siła grawitacji ciągnąca sferę w dół jest większa od siły pochodzącej od pola i ciągnącej sferę do góry siły elektrostatycznej, dopóty sfera spoczywa na dolnej okładce Przy 17
odpowiednio dobranej różnicy potencjałów sfera może lewitowad w obszarze między okładkami kondensatora Przy dostatecznie dużej różnicy potencjałów siła oddziaływania pola przewyższa silę grawitacji i sfera unosi się do góry Nie osiąga górnej okładki, ponieważ twórcy oprogramowania umieścili na jej drodze ruchu płaski kawałek metalu Przebicie elektrostatyczne powietrza Zjawisko pioruna (błyskawicy) obserwujemy, jeśli natężenie pola elektrostatycznego w powietrzu osiągnie wartośd V/m Odpowiada to gęstości energii pola elektrostatycznego Energia pola sferycznej powierzchni Pole elektryczne pochodzące od sfery o promieniu a i zgromadzonego na niej ładunku Q ma natężenie Możemy więc policzyd gęstośd energii tego pola poza wnętrzem sfery Obliczymy całkowitą energię tego pola stosując współrzędne sferyczne gdzie 18
jest potencjałem na powierzchni sfery, przy warunku =0 Zauważmy, że policzona całkowita energia jest równa pracy jaką trzeba wykonad, aby naładowad sferę ładunkiem Q Jeśli to, Algorytm wyznaczania i pojemności elektryczne wybranych kondensatorów 19
20
DIELEKTRYKI Doświadczalnie stwierdzono, że pojemnośd kondensatora rośnie, gdy między okładkami kondensatora umieszczony zostanie dielektryk Pojemnośd kondensatora z dielektrykiem rośnie o czynnik stała dielektryczna) i wynosi Poniższa tabela przedstawia wartości stałej dielektrycznej (tzw Dlaczego rośnie pojemnośd kondensatora? Jest to wynikiem odpowiedzi dielektryka na umieszczenie go w zewnętrznym polu elektrycznym Są dwa typy dielektryków: polarne i niepolarne Pierwsze z nich mają niezerowe stałe (permanentne) momenty dipolowe (momenty te wykazują cząsteczki/atomy dielektryka) Ilustruje to poniższy rysunek Pierwszy z nich przedstawia dielektryk polarny bez pola zewnętrznego 21
Tutaj dipole elektryczne są ustawione chaotycznie w przestrzeni Teraz dipole elektryczne ustawiają się wzdłuż pola elektrycznego, ponieważ na dipole działa niezerowy moment sił obracający dipole na kierunek pola Zauważmy, że pole pochodzące od dipoli jest skierowane przeciwnie do zewnętrznego 22
Drugi typ dielektryków to dielektryki niepolarne Nie wykazują stałych momentów dipolowych, które indukuje zewnętrzne pole elektryczne Przedstawiają to kolejne dwa rysunki Indukowane pole elektryczne do pola zewnętrznego Wypadkowe pole ma natężenie w dielektryku ma kierunek przeciwny 23
przy czym POLARYZACJA Stwierdziliśmy, że dielektryki posiadają permanentne lub indukowane momenty dipolowe Jakie pole elektryczne generują te dipole? Załóżmy, że mamy do czynienia z dielektrykiem w kształcie walca o polu przekroju A i wysokości h zawierający N dipoli każdy o wartości momentu dipolowego p zorientowanych równolegle (wzdłuż) do osi walca Dipole są rozmieszczone w objętości walca w sposób jednorodny (patrz rysunek) 24
Definicja polaryzacji gdzie jest dipolowym momentem elektrycznym pojedynczej molekuły (atomu) Zauważmy, że jednostką polaryzacji jest C/m 2 Jeśli wszystkie momenty dipolowe w naszej cylindrycznej próbce są ustawione równolegle do pionowej osi to wartośd polaryzacji jest równa Ile wynosi natężenie pola elektrycznego pochodzącego od uporządkowanych dipoli? Pozwala to zrozumied analiza dwóch kolejnych rysunków, z których drugi jest równoważny pierwszemu, 25
Pole wytwarzane w objętości walca przez wszystkie dipole jest równoważne polu, którego źródłem są ładunki znajdujące się na powierzchni górnej i dolnej Jest to konsekwencją tego, że pola elektryczne pochodzące od dipoli znajdujących się wewnątrz walca wzajemnie znoszą się Tak więc średnie pole elektryczne w objętości walca jest równe zeru Ile wynosi? Potraktujmy górną i dolną powierzchnię walca jako składniki dipola Wtedy i W celu wyznaczenia natężenia pola elektrycznego, którego źródłem są ładunki, potraktujemy walec jako kondensator płaski, którego górnymi okładkami są górna i dolna powierzchnia walca Powierzchniowa gęstośd ładunku zgromadzonego na tych powierzchniach wynosi 26
Jeśli polaryzacja tworzy kąt normalnym do tej powierzchni, to z powierzchnią, tj z wektorem Wyznaczona wartośd powierzchniowej gęstości pozwala obliczyd średnią wartośd wektora natężenia pola elektrycznego w objętości dielektryka Po uwzględnieniu zwrotu tego pola, jego natężenie jest równe Wniosek: Średnia wartośd natężenia pola elektrycznego w dielektryku, którego źródłem są dipole elektryczne (stałe lub permanentne) jest skierowane przeciwnie do zewnętrznego pola elektrycznego Co dzieje się z indywidualnym dipolem po jego umieszczeniu w zewnętrznym polu elektrycznym o natężeniu Wtedy na dipol zaczyna działad moment siły, który wymusza przeorientowanie się dipola na kierunek pola W efekcie powstaje niezerowe pole elektryczne o kierunku, ale przeciwnym zwrocie Oznacza to, że zewnętrzne pole jest osłabiane Pole w dielektryku jest sumą obu pól, tj W ogólności wektory i polaryzacji nie są kolinearne Doświadczenie pokazuje, że w przypadku dielektryków liniowych jest proporcjonalna do i do Dlatego zapisujemy te proporcjonalnośd w postaci, gdzie jest elektryczna podatnością dielektryka 27
Z powyższych wzorów wynika gdzie jest stałą dielektryczną ośrodka Stała dielektryczna jest zawsze większa od zera, więc, Dodajmy, że dielektryki, które nie wykazują stałych momentów dipolowych, umieszczone w polu elektrycznym zachowują się podobnie Są w nich indukowane momenty dipolowe, co powoduje powstanie wewnętrznej polaryzacji i pola elektrycznego natężenie, którego jest skierowane przeciwnie do pola zewnętrznego Wyprowadzone wyżej relacji mają zastosowanie także w tym przypadku Dielektryk umieszczony między okładkami naładowanego kondensatora (patrz rysunki) powoduje zmniejszenie różnicy potencjałów między okładkami w stosunku Oznacza to, że zmienia się pojemnośd kondensatora 28
W konsekwencji maleje także natężenie pola elektrycznego miedzy okładkami Dielektryk umieszczony między okładkami naładowanego kondensatora (patrz rysunki) podłączonego ze źródłem prądu stałego powoduje zwiększenie ładunku, który jest zgromadzony na okładkach kondensatora Oznacza to, że rośnie także pojemnośd kondensatora W tym przypadku ładunek rośnie, co powoduje wzrost pojemności W poprzednim przypadku zmniejszyła się różnica potencjałów i wartośd pola elektrycznego 29
Prawo Gaussa dla dielektryków Ponownie rozpatrzymy kondensator płaski Jeśli miedzy okładkami kondensatora nie ma dielektryka to z prawa Gaussa otrzymujemy Po wsunięciu dielektryka miedzy okładki sytuacja fizyczna ulega zasadniczej zmianie Indukowane są ładunki elektryczne przeciwnych znaków na okładkach kondensatora (patrz rysunek) Wypadkowy ładunek obejmowany powierzchnią Gaussa jest teraz równy 30
Prawo Gaussa przyjmuje postad Wiemy z poprzednich rozważao, że pole elektryczne miedzy okładkami kondensatora z dielektrykiem maleje do wartości Pozwala to nam wyznaczyd wartośd indukowanego ładunku Oznacza to, że powierzchniowa gęstośd ładunku na okładkach wynosi Zauważmy, że dla mamy, co odpowiada sytuacji kondensatora bez dielektryka Teraz podstawimy wyrażenie na do równania na i otrzymujemy gdzie jest przenikalnością dielektryczną materiału dielektryka 31
Alternatywna postad prawa Gaussa gdzie, jest wektorem indukcji elektrycznej Pojemnośd kondensatora z dielektrykiem Rozpatrzymy warstwę dielektryka (patrz rysunki) o grubości t, 32
powierzchni A, stałej dielektrycznej umieszczonej między okładkami kondensatora płaskiego naładowanego ładunkiem Q, odległości między okładkami o powierzchni A odległymi od d Ile wynosi pojemnośd takiego kondensatora? Wyznaczymy najpierw różnicę potencjałów między okładkami kondensatora z dielektrykiem Wiemy, że pod nieobecnośd dielektryka natężenie pola elektrycznego między okładkami kondensatora wynosi Pod obecnośd dielektryka Zatem szukaną różnicę liczymy w standardowy sposób całkując po linii prostej idąc z góry w dół gdzie Ostatecznie pojemnośd naszego kondensatora jest równa Ile wynosi wartośd wyznaczonej pojemności, gdy: a), b) i c)? 33
Zauważmy, że wyznaczona pojemnośd jest równoważna pojemności zastępczej dwóch kondensatorów połączonych równolegle, o pojemności i Wytwarzanie pola elektrycznego Źródłem pola elektrycznego są ładunki elektryczne Jak powstaje pole elektryczne? Dydaktyczną prezentacją jest animacja dostępna na stronie http://webmitedu/802t/www/802teal3d/visualizations/electrostatics/pit hballscreate/pithcreate_640mpg Początkowo (rys lewy) środki ładunków elektrycznych dodatnich i ujemnych znajdujących się na jednej kuli pokrywają się Podczas rozciągania ładunki te separują się, co wytwarza pole elektryczne dipola elektrycznego w ich otoczeniu Pole to stopniowo rozprzestrzenia się w ośrodku (tj rozchodzi się ze skooczona prędkością), co ilustrują rys środkowy i prawy Po 34
zatrzymaniu się ładunków pole elektryczne nie zmienia się Wówczas mówimy, że jest ono stacjonarne Tym niemniej rozchodzi się w przestrzeni, czego nie widzimy ponieważ obserwujemy skooczony/ograniczony fragment przestrzeni położonej blisko i otaczającej ładunki Dodajmy jeszcze, ze pole to ma energię, której źródłem jest zewnętrzny czynnik wykonujący prace potrzebna do odseparowania różnoimiennych ładunków na skooczoną odległośd Kolejna animacja dostępna pod adresem http://webmitedu/802t/www/802teal3d/visualizations/electrostati cs/createfield/createfieldhtm ilustruje generowanie i usuwanie pola elektrycznego Animacja startuje z układu, w którym 5 ładunków dodatnich i ujemnych znajduje się w jednym punkcie Układ jest neutralny elektrycznie więc nie wytwarza pola elektrycznego! Przenosimy jeden z ładunków dodatnich na odległośd L po poziomej prostej Potem postępujemy tak samo z drugim, trzecim, czwartym i piątym dodatnim ładunkiem elektrycznym Powyższy rysunek przedstawia sytuację po rozsunięciu ładunków różnoimiennych Podczas przenoszenia ładunków dodatnich siła pola elektrycznego rośnie Wzrasta także energia potencjalna pola elektrycznego, która pochodzi stąd, że zewnętrzny czynnik (agent) pompuje do układu energię przenosząc ładunki i pokonując siłę odpychania elektrostatycznego Animację kooczy proces odwrotny do 35
opisanego polegający na przeniesieniu ładunków dodatnich do ładunków ujemnych i odtworzenie w ten sposób sytuacji początkowej Wtedy to pole elektryczne przestaje istnied Podsumowanie 1 Kondensator to urządzenie do przechowywania energii i ładunków elektrycznych Pojemnośd to stosunek ładunku zgromadzonego na okładce dodatniej do różnicy potencjałów między okładkami kondensatora 2 Równoważny opór (opór zastępczy) baterii połączonych równolegle i szeregowo jest równy odpowiednio 36
3 Praca wykonana podczas ładowania kondensatora oraz energia pola zmagazynowana w polu elektrostatycznym wynosi 4 Gęstośd energii pola elektrostatycznego wynosi 5 Po wprowadzeniu dielektryka o stałej dielektrycznej między okładki kondensatora jego pojemnośd elektryczna rośnie i wynosi 6 Wektor polaryzacji jest wypadkowym momentem dipolowym jednostki objętości dielektryka 7 Natężenie pola elektrycznego indukowanego polaryzacją dielektryka jest równe 8 W przestrzeni wypełnionej dielektrykiem o stałej dielektrycznej wektor natężenia pola elektrycznego wynosi Tekst jest wolnym tłumaczeniem pliku guide05pdf kursu dostępnego na stronie http://webmitedu/802t/www/802teal3d/visualizations/coursenotes/indexhtm Wszystkie rysunki i animacje zaczerpnięto ze strony http://webmitedu/802t/www/802teal3d/visualizations/electrostatics/indexhtm 37
38