MECHANIKA TEORETYCZNA 1 STOSOWANA 3-4, 23 (1985) STATECZNOŚĆ SPIRALNA SAMOLOTU W RUCHU PRZESTRZENNYM Z UWZGLĘ DNIENIEM EFEKTÓW ELEMENTÓW WIRUJĄ CYCH ZESPOŁU NAPĘ DOWEGO* JERZY MARYNIAK, WITOLD MOLICKJ (WARSZAWA) 1TLIMS Politechnika Warszawska 1, Wyprowadzenie równań mchu samolotu Ruch samolotu w przestrzeni opisano stosują c nastę pują ce układy odniesienia (rys. 1): OXYZ układ samolotowy" sztywno zwią zany z poruszają cym się samolotem, OX a Y a Z a układ prę dkoś ciowy" zwią zany z kierunkiem przepływu, OX g Y g Zg układ grawitacyjny zwią zany z poruszają cym się samolotem równoległy do ukł adu OX^Y x Z y. OX\ Y t Z, nieruchomy układ grawitacyjny zwią zany z ziemią. Dodatkowo wprowadzono ukł ad współrzę dnych CX r Y r Z r zwią zany z silnikiem. Począ tek C ukł adu umieszczony jest w ś rodku masy zespołu turbina sprę ż arka, oś X, skierowana ł ) Rys. 1. Praca przedstawiona na I Ogólnopolskiej Konferencji. Mechanika wlotniciwk. Warszawa I9.T.1984.
652 J. MARYNIAK, W. MOLICKI jest wzdłuż osi obrotu zespołu ku przodowi pł atowca, oś Z r leży w płaszczyź nie symetrii samolotu i jest skierowana ku spodowi pł atowca, zaś oś Y r tworzy z dwoma poprzednimi prawoskrę tny ukł ad kartezjań ski (rys. 2). Przyję to, że ś rodek masy zespołu turbina- spręż arka leży w odległoś ci od począ tku ukł adu OXYZ, a oś X, tworzy z osią X ką t <p r. Dla tak przyję tych układów współ rzę dnych macierz prę dkoś i cką towej Sl silnika w układzie OXYZ ma postać: SI = colfp+ ctvcoscv, Q, jr- ca r sinf/ ) r ], (i) Rys. 2. gdzie: <a r prę dkość ką towa zespołu wirują cego w ukł adzie CX r Y r Z r, P,Q,R prę dkoś i c ką towe samolotu w układzie OXYZ. Macierz prę dkośi c liniowych ś rodka masy zespołu wirują cego w układzie OXYZ ma postać: V = col[u, V- R, W+Q ], (2) gdzie: U, V, W prę dkoś ci ś rodka masy samolotu w układzie OXYZ. Samolot potraktowano jako ciał o o siedmiu stopniach swobody, bez uwzglę dniania drgań powierzchni sterowych. Jako siódmy stopień swobody przyję to ruch obrotowy zespołu turbina- sprę ż ark a wokół własnej osi. Dynamiczne równania ruchu samolotu w przestrzeni wyprowadzono stosują c równania Boltzmana- Hamela [2, 3] d l8t*\ 8T* V V"- 8T* At \ 8co (t ) ZJ ZJ 80,. - «= (3) gdzie: T* energia kinetyczna układu wyraż ona w quasi- współrzę dnych i quasi- prę d- koś ciach, Van trójwskaź nikowe symbole Boltzmanna, Q* siły uogólnione wyraż one w quasi- współ rzę dnych i ą uasi- prę dkoś ciach. Jako współrzę dne uogólnione przyję to: tfi ^i) Iz v x,?3 = zi odległoś ci ś rodka masy samolotu od począ tku układu współ rzę dnych OXxY^Z^, qx ~ $, q s - 6, q 6 = V / ką ty przechylenia, pochylenia i odchylenia samolotu mierzone od nieruchomego ukł adu współ rzę dnych zwią zanego z samolotem OX^Z, do ruchomego sztywno zwią zanego z samolotem układu OXYZ, 9i = 9V ką t obrotu zespołu wirują cego turbina- sprę ż arka.
STATECZNOŚĆ SPIRALNA SAMOLOTU... 653 Przyjmują c zależ nośi c(1-3) otrzymano [7] równania ruchu samolotu w locie przestrzennym uwzglę dniają ce oddział ywania elementów wirują cych zespoł u napę dowego: Um+QWm- RVm+R 2 m r +Q 2 m r = X*; (a) Vm- Rm r - (PW- RU)m- PQm r = Y*; (b) Wm+Qm r - (QU- PV)m- PRm T ~ Z*; (c) +h h J* P (coss - J co$ 2 <p r - J sin 2 (p r +m r x?)- PQ[J x: +(J xr - J )sin(p r cos(p r ] + +PRJ xy + 2" 30" J w(sin 3?>r+ cos 2 c? r sin (p r ) ~ L*; (d) Q(Jy+Jy r +2m r x 2 )+ + (Jx, ~Jz r ) sin cv cos <p r ]+ PQJ yz RQJ xy PR [J x ~J x - J X r(cos 2 f, + - sin 3 *?,) - Jz r (sin 2 (p r - cos 2 q> r )+ m r x 2 ]+ (PF- g (7) m r + J i ^ + i t f J + P j{ J (sin<pr+cos<p r sm<p r ) = M*; (e) ^(/,+ J zr cos z <p,+j sin 2 9? r + m r ) - P[J XI +(J - Jz r ) sin c> r cos <p r ]+ (4) - Q- 'yz - Vm t - h ~ Jx,($in 3 <p r +cos 2 c» r sin <p r )+ (Q 2 - - PQ(J x - Jy+J cos 2 ( Pr +I sin 2 (p r - J yt - 2m r x 2 )+QR[J xz + + (J X r- T ir )sin<p f cos<p r ]~PRJ yz +(PW- UR)m r x t + - Qn - ^J (cos 3 ip r +sin 2 c3 r cos tp r ) = #*; (0 /i J (sin 2 y r + cos 2 c> r ) 2 - i?j (sin cp r + cos 2 p r sin y,)+ + PJ (cos 3 9J r + sin 2 9' r cosc' l.) = n*; (g) Dodatkowo uwzglę dniono: zwią zki kinematyczne prę dkoś i c liniowych + w(cos(^sin0 cos y>+sin <^> sin y>), I7cos0sinv+ F(sin0sinOsinv+ cos^cosf)+ (5) + w(cos <j) sin 6 sin y> - sin ^ cos y>), zwią zki kinematyczne prę dkośi c ką towych 0 = fl =
654 J. MARYNIAK, W. MOLICKI zmianę ką ta natarcia a, ką ta ś lizgu /?j prę dkoś i cliniowej samolotu v c, oraz gę stoś ic powietrza Q:,.. ;,. : a = ^ J L * ; /? = arcsinjl; V* = 2 + W 2 ; o= eocl+ Zj/ 44300) 4-256 dla : 7t= - Prawe strony równań (4) okreś lono nastę pują co [4, 5] W y* A B Y X Z ~L* ' M* iv*. - <4,BW "L " M nj (8) gdzie Z, y, Z, L, M,N- ~- oznaczają siły i momenty dział ają ce na samolot. Wyraż eni a te wyprowadzone w ukł adzie prę dkoś ciowym" mają postać [8]: X - - P x +P s cos(<p r +<x) (P xh +P x0 )cos'e- P~ n sins- P s, tt s'm(fl 0 + Ó)coss- mgsino, Z = - P z - P s sin(<p r + oć )~P zh cos e + (P x + P xv )sin & + mg cos6 cos <j>, L = L / ll> +L al +L v + L r +L Q +Lri -. ^ M = M bli - P^X^H+P^Z AH +P xv sm(^- F)Z AV +M Q +M T, N = N Sv +N v +N r +N Q +N r, ABW oznacza macierz transformacji z układu prę dkoś ciowego" do układu samolotowego" i przedstawia się nastę pują co:. cosoccos/? cosasiii/ 5 siny? cos/ T 0 sinacos/? sin a sin /? sin cci cos a r 2 stała czasowa silnika turboodrzutowego a mają ca postać;, T 2 = f(1.269-0,703 Ma)- (2,978-1,961 Ma)/ " A + (1,82 + (10) gdzie Q o charakterystyka statyczna silnika Q o = / («): 2o= - 57,1 + 387 ^ = - ^, OD (12) T 0 stała czasowa T 0 =f(n),, r 0,094-0,0196 ( ~^\ + 0,106.1+ 0,2^ (13) A. 7j ciś nienie i temperatura powietrza na wysokoś ci H nad poziomem morza, Ma liczba Macha dla danej prę dkoś i c i wysokoś ci lotu.
STATECZNOŚĆ SPIRALNA SAMOLOTU... 655 2. Badanie statecznoś ci spiralnej samolotu w ruchu przestrzennym Otrzymauy ukł ad równań (4^7) zlinearyzowano stosując metodę mał ych zakł óceń wokół poł oż eni a równowagi. Otrzymano ukł ad trzynastu równań róż niczkowych pierwszego rzę du. Ukł ad ten poddano analizie modalnej w celu wnioskowania o jego statecznoś ci. Wyniki obliczeń numerycznych dla postaci ruchu nazywanego spiralą przedstawiono i)4 69 B4 99 114 129 144 159 174 189 204 2i9 234 y Rys. 3., na rysunku 3 zmiana współ czynnika tł umienia w funkcji prę dkoś. ci Jako samolot testowy do obliczeń przyję to samolot TS- 1 ISKRA" wyposaż ony w silnik SO- 3, ze wzglę du na dostęp do niezbę dnych danych. Obliczenia wykonano w peł nym zakresie prę dkośic lotu. oraz dla trzech wybranych wysokoś ci lotu. Uwzglę dnienie w modelu samolotu elementów wirują cych zespoł u napę dowego w zdecydowany sposób zmieniło jakoś ciowo i iloś ciowo rozwią zania równań ruchu przestrzennego samolotu, wpł ywając na pogorszenie statecznoś ci ruchu spiralnego".
656 J. MARYNIAK, W. MOLICKI Literatura 1. B. ETKIN, Dynamics of Atmospheric Flight, J. Wiley, New York J972.. 2. J. MARYNIAK, Dynamiczna teoria obiektów ruchomych. Prace naukowe Mechanika nr. 32, Politechnika Warszawska, Warszawa 1975. 3. R. GuTOWSKi, Mechanika Analityczna, PWN,' Warszawa 1971. 4. I. W. OSTOSŁAWSKI, Aerodinamilca samoliota. GIOP, Moskwa 1957. 5. W. FISZDON, Mechanika Lotu, t.l, 2, PWN, Łódź Warszawa 1960. 6. F. LENORT, Próba okreś leniamodelu matematycznego silnika turboodrzutowego jako obiektu regulacji. Prace ILOT nr 68, WNT, Warszawa 1972. 7. W. MOLICKI, Modelowanie własnoś cidynamicznych samolotu w locie przestrzennym z uwzglę dnieniem mas wirują cych. XXII Sympozjon Modelowanie w mechanice zbiór referatów (s. 299-306) Gliwice PTMTS 1983. 8. Z. GORAI, Obliczenia sterownoś ci, równowagi i statecznoś cisamolotu w zakresie poddź wię kowym.politechnika Warszawska skrypt (w druku). P e 3 IO M e CIIHPAJIBHAfl yctoa^ihboctb CAMOJIETA B IIPOCTPAHCTBEHHOM flbkdkehhh 3#<&EKTA BPAmATEJIBHLIX 3JIEMEHTOB CHJIOBOfł YCTAHOBKH B pa6oie o6cymfleho crmpajibiryio ycroitajiboctb camoneia B npoctpahctbehhom ppmktsiw. HHaMH^ecKyio Moflejii, camojieta c CHJIOBOH yciahobkoh. IlpeflCTaBneHo pe3yjifctattt peiuemm fljin cnhpajiłhoii yctoirthbocni. Summary SPIRAL STABE.ITY OF AIRPLANE IN A SPACE MOTION WITH THE EFFECT OF POWER UNIT SPIN ELEMENTS In the paper, the problem of spiral stability in a space motion in presented. Dynamic model of an airplane with power unit is proposed. Solution of the spiral stability motions have been obtained by means of a digital computer. Praca została złoż ona25 grudnia 1984 roku