MODELOWANIE DYNAMIKI STEROWANEGO OBIEKTU LATAJĄ CEGO KLASY ZIEMIA- POWIETRZE. 1. Wstę p

Transkrypt

1 MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 1/ 2, 25, 1987 MODELOWANIE DYNAMIKI STEROWANEGO OBIEKTU LATAJĄ CEGO KLASY ZIEMIA- POWIETRZE JAN NICZYPORUK ALEKSANDER WIELGUS Wojskowa Akademia Techniczna 1. Wstę p W celu zbadania zmiany konfiguracji obszarów startu rakiety w zależ nośi cod warunków począ tkowych i rodzaju manewru celu, rozpatrzono dynamikę systemu samonaprowadzania (rys. 1). System samonaprowadzania potraktowano jako układ dynamiczny [1], w którym sygnał y wejś ciowe generuje manewrują cy cel, a sygnały wyjś ciowe opisują sterowany ruch rakiety. Zał oż ono, że cel jest punktem materialnym o zadanej hipotezie P - rakieta C- cel S5- stanowisko startowe R 3 - przestrzeń ruchu T"- przestrzeń czasu Ft 3 *!"- przestrzeń zdarzeń Rys. J. Schemat procesu samonaprowadzania rakiety na cel.

2 64 J. NlCZYPORUK, A. WlELGOS przestrzennego ruchu, a rakieta samonaprowadzana jest układem o wielu stopniach swobody, wykonują cym przestrzenny lot z wię zami programowymi [2] w standardowej atmosferze. Modelowanie dynamiki systemu samonaprowadzania obejmuje klasę zagadnień prostych i odwrotnych, przedstawionych na schemacie rys. 2, który wyróż nia pię ć warstw: warstwę obiektu czyli przedmiotu badań, jakim jest fizycznie istnieją cy system samonaprowadzania lub jego wzorzec; warstwę wiedzy apriorycznej teoretycznej i eksperymentalnej dotyczą cej obiektu; warstwę identyfikacji tj. procedury uzyskania modelu matematycznego obiektu: L*\ u,x,y,z,p] - 0 (1.1) Rys. 2. Schemat formułowania problemów dynamicznych. gdzie: L* operator modelu; w wektor wejś ć; x wektor stanu; y wektor wyjś ć; g wektor zakł óceń; p wektor parametrów; warstwę zagadnień prostych, w której wyróż niono analizę bę dą cą przedmiotem szczegół owych rozważ ań; warstwę zagadnień odwrotnych, spoś ród których problemy syntezy i regulacji nie są rozpatrywane w niniejszej pracy. 2. Formułowanie dynamicznych zagadnień samonoprowadzania W celu sformułowania zagadnień dynamicznych samonaprowadzania wyszczególnionych na rys. 2, do równania (1.1) obejmują cego równania ruchu i wię zów należy dołą czyć warunki graniczne (począ tkowe i koń cowe) oraz ograniczenia na wektor sterowań u, stanu "je i wyjść y.

3 DYNAMIKA OBIEKTU LATAJĄ CEGO 65 W przestrzeni stanu X n <= R", równanie (1.1) moż na zapisać w postaci [2], [3], [4]: Xl =fi{xi,x 2,...X n ) M 1,M 2,...U,t) (2.1) / = 1,2,...» gdzie x = col [x t, x 2, x ], u = col [u u u 2,... u,], u t = u l (t,x 1,x 2,...x ) (2.2) Specyfika pracy systemu samonaprowadzania wymaga formuł owania warunków począ tkowych w zbiorze Q o c X x T <= R n+1, co zapisujemy: x(t 0 ) =*x o eq o = {x 0 ; x o,(varf Q )} var/ 0 = {to- hi < 'o < hz) Ograniczenia sterowań typu lokalnego i globalnego, wyznaczają zbiory sterowań dopuszczalnych: <= T Ui = {S:max w ( (OI * if lt I - 1,2,... r} (2.4) 'o 1-1 'w r 'o wynikają ce z ograniczenia odpowiednio: U y składowych wektora sterowań; U 2 mocy; U 3 wydajnoś ci; U* energii całkowitej ź ródła zasilania. Ograniczenia okreś lają ce zbiór stanów dopuszczalnych: X D - {x:max\x t (t)\ ^ M s, max i,(oi < M 6 } (2.5) Ograniczenia okreś lają ce zbiór dopuszczalnych wyjś ć: _ fmax j> ( = n t \x(t)]\ < M lt i = \, 2, 3 J y: \ max ^ = hj[x(t)]\ <M 8, 7-1, 2, 3 j gdzie: ni, hi składowe odpowiednio przecią ż eni a i przelotu chwilowego. Relacje (2.1) 4- (2.6) stanowią zamknię ty układ danych wyjś ciowych" do formułowania, w zależ nośi cod etapu badań i potrzeb, zagadnień prostych i odwrotnych samonaprowadzania. N a mocy (2.2) i (2.3) formuł uje się postulat [2], że badanie dynamiki samonaprowadzania wymaga wprowadzenia abstrakcyjnych poję ć teorii pól orientorowych i w klasie tych poję ć należy interpretować rozwią zania zagadnień dynamicznych samonaprowadzania. 5 Mech. Teoret. i Stos. 1 2/87

4 66 J. NICZVPORUK, A. WrELOUS 3. Sformuł owanie zagadnienia analizy samonaprowadzania Niech analiza dynamiki systemu samonaprowadzania polega na iloś ciowym i jakoś ciowym badaniu równań stanu (2.1) dla zadanej struktury systemu. Efektem koń cowym analizy bę dą obszary startu, samonaprowadzania i realizacji zadania. Ponieważ strukturę systemu, ruch celu i zakł ócenia przyjmujemy za znane, to równania stanu (2.1) moż na zapisać w nastę pują ce j formie wektorowej: x = F(x, t) (3.1) Poszukujemy więc takich rozwią zań równania (3.1), które speł niają warunki począ tkowe (2.3) i ograniczenia (2.4) ~ (2.6), oraz dla t > t wl (rys. 1) mają punkty wspólne z otoczeniem celu Q c. Otoczenie celu definiujemy jako zbiór (3.2) okreś lony w przestrzeni X x T, w którym speł nione są warunki wynikają ce z technicznych wymagań realizacji zadania samonaprowadzania: Q e m {(x, t):\x,\ < a t, b t ^ \'x t \ ś C t ;t> t wl, i < «} (3.2) Zbiór trajektorii stanu, które w czasie / > t wl osią gaj ą punkty wspólne z otoczeniem celu Q c nazywamy obszarem samonaprowadzania Q SN. Natomiast zbiór Q ST warunków począ tkowych x 0 e Q ST c Q o dla trajektorii z obszaru i SN nazywamy obszarem startu lub obszarem dopuszczalnych warunków począ tkowych. Zbiór Q RZ = Q c nq SN ź 0 (3.3) bę dąy cniepustym przekrojem otoczenia celu i obszaru samonaprowadzania jest obszarem realizacji zadania. Posł ugując się wprowadzonymi poję ciami obszarów, moż emy zagadnienie analizy sformuł ować nastę pują co : Dla zadanej hipotezy o ruchu celu, danych równań stanu (3.1), warunków (2.3) H- (2.6) i otoczenia celu (3.2) należy wyznaczyć Q Zauważ my, że Q C,Q SN) Q ST i Q RZ zdefiniowane w przestrzeni J xt mają swoje obrazy w wybranej przestrzeni fizycznej. I tak w ukł adzie startu x g, y g, z 0 (rys. 1), otoczeniem celu jest tuba wyznaczona torem celu i promieniem r zc, a obszarem samonaprowadzania tuba torów rakiety, mają cych przynajmniej jeden wspólny punkt z tubą celu. Obszarem startu i realizacji zadania odpowiadają tzw. strefy ataku (startu) i raż enia. Jak wynika z powyż szego, wyznaczenie stref startu i raż enia wymaga wcześ niejszego okreś lenia: struktury systemu i odpowiadają cego jej modelu matematycznego w postaci np. równań stanu; hipotezy o ruchu celu i odpowiadają cych jej równań ruchu celu; zbioru ograniczeń nakł adanych na system; algorytmu rozwią zania równań stanu, przy czym bę dzie to naogół algorytm rozwią zania numerycznego. 4. Struktura i model matematyczny hipotetycznego systemu samonaprowadzania Zał óż my, że dana jest struktura hipotetycznego systemu samonaprowadzania przedstawiona na rys. 3. Rakieta (6), naprowadzana wedł ug metody proporcjonalnej nawigacji,

5 DYNAMIKA OBIEKTU LATAJĄ CEGO 67 Rys. 3. Schemat strukturalny. wyposaż ona jest w koordynator (3) ś ledzą cy za celem (1), ukł ad formowania sygnałów naprowadzania (4) oraz w układy stabilizacji (5) i (7). Dla celu traktowanego jako punkt materialny i wykonują cego przestrzenny manewr przyspieszeniem otrzymujemy równania ruchu: [ ye [ J V Oy cj (4.1) y c = (4.2) gdzie: v c,0 c,y) moduł, ką t pochylenia i odchylenia wektora prę dkoś i c celu; n c, n c,n c maksymalne przecią ż eni a styczne, normalne i boczne; r](t)~pseudofunkcja Heaviside'a; T x, T y, T z stale czasowe; t Ox, t Oy, t Oz czasy począ tku manewru; g przyspieszenie ziemskie; x c,y c,z c współrzę dne celu w układzie startowym. Dla rakiety mamy [5]: Równania ruchu translacyjnego w układzie semiprę dkoś ci : m (4.3)

6 68 J. NlCZYPORUK, A. WlELGUS 0 = mv p [P(sinasiny -cosasm 9cosy ) + (4y. OS& L THVCOS& L + ic- S(C yk sin y + C ag cos y )] gdzie: V, 0, Ą moduł, ką t pochylenia i odchylenia wektora prę dkoś ci ; x, /?, y ką t natarcia, ś lizgu i przechylenia toru; P cią g; Q gę stość powietrza; S powierzchnia charakterystyczna; C x, C yv, C yk, C 2V, C sk współczynniki sił aerodynamicznych; m masa. Równania ruchu obrotowego w układzie zwią zanym z rakietą : t T T x I n 2 tcd] 6>yl = ^Y Sbmy +^>- m ~ I^ C0^ ^ ( 4-4 ) «*«i = - j ^ Y ShtHz+ ( Ixl ~ I^ c xl ct) 'i gdzie: co xi> o> yl,co zl prę dkoś i c ką towe; / xl,/ y i, Ą i główne centralne momenty bezwładnoś ci; m x,m y,m z współczynniki momentów aerodynamicznych; I, b długość i ś rednia cię ciwa aerodynamiczna. Równania kinematyczne ruchu obrotowego i translacyjnego: # = foj,j sin y+ ft) zl cosy (ft>yi cosy - co sl siny) (4.5) y = co^-t x g y a =?)sin@ (4.6) ig = ~ocos@sinif gdzie: &,f, y ką t pochylenia, odchylenia i przechylenia rakiety; x g! y g,z g współrzę dne ś rodka masy rakiety. Równania kinematyczne ruchu wzglę dnego rakiety i celu (czł onu kinematycznego (2) na rys. 3): r = v c [cos6> c cos (W o - x) cos 9?+ sin@ c sin q>] v [cos cos (W x) cos <p+sin sin <p] ip = {v c [sin.g c cos<p- co$6 c cos(w c - ^sin^+ wfcosscos^ ^) sin 99- sin cos <p]} (4.7) gdzie: /-, 93, ^ moduł, ką t pochylenia i odchylenia promienia wektora PC (rys. 1).

7 DYNAMIKA OBIEKTU LATAJĄ CEGO 69 Ką ty a, /?, y.> speł niają zwią zki geometryczne [5], które zapiszemy ogólnie a. =.- a(#, y, y,, SO, = 0(0, v» y, 0, SO, y* - y»(0, v. y,»0- Równania koordynatora: U x - fli2(%*- Z*)- ^i2f/ z ; Żt = ^2f x (4.8) Ł /p = a, 3 (f - r Ł ) - i 13 C/ r ; /- fc = / c 3 t/ P gdzie: U ę, U x, U r sygnał y napię ciowe na wyjś ciu z koordynatora, proporcjonalne w stanie ustalonym do <?>*, %% i / '*; a t j, by, k t parametry konstruycyjne. Równania czujników przecią żń e (czł ony W v i W nk na rys. 3) i czujników prę dkośi cką towych (czł ony W az, W ay i W v na rys. 3): U nx = a 21 U x + b 21 n xl ; U# = «31 U 0 + b 31 a) zl 0 ; U 9 = a 32 U v +b 32 co yl (4.9) gdzie: n x x,n yl,n zl skł adowe przecią ż eni a w zwią zanym ukł adzie współ rzę dnych ; U nx,u ny,u z - odpowiadają ce przecią ż eniom napię cia; U», U 9, U v napię cia odpowiadają ce prę dkoś ciom ką towym. Równania napę dów sterów (czł ony W So, W ć k, W a na rys. 3): - b 42 U sh (4.10) gdzie: d t, 6 k, d 0 ką ty wychylenia sterów; U SB,U S k,u sl sygnał y bł ę dów naprowadzania dla metody proporcjonalnej nawigacji i danego (na rys. 3) ukł adu stabilizacji : U = K, U ę + U^- 00 U y - Ut U sk = K k U x + U zk - &$U nz - U v U sl - U y +U 2l (4.11) ' Równania (4.1)- r- (4.11 ) przedstawiają zamknię ty ukł ad równań stanu ukł adu samonaprowadzania o danej na rys. 3 strukturze. Funkcje <Z> { uwzglę dniają transformacje ukł adów współ rzę dnych, sprzę ż eni a skroś ne, adaptacyjnośc metody naprowadzania i są znane. Np. dla rakiety stabilizowanej w ką cie przechylenia (y = 0) oraz dla idealnego pomiaru prę d- koś ci lotu (v% = v) i prę dkośi czbliż ania (r = r^) otrzymujemy: K v = 0 o (r,v > 0,<p) = Kk = *.(r, v, ip, x) = 1 n n a & y (6,v, a) = (r&+gco$&~vń na) o (4.12)

8 70 J. NlCZYPORUK, A. WlELGUS zl, v, /?, 0) = o - vcos ft),(4.12) [cd] W układzie samonaprowadzania wystę pują ograniczenia typu nasycenie dla ką tów ś ledzenia koordynatora, ką tów wychylenia sterów, przecią ż eń i inne (niektóre ograniczenia zaznaczono na rys. 3). Równania (4.1)- r- (4.10), relacje (4.11) i (4.12) oraz ograniczenia przedstawiają model matematyczny systemu samonaprowadzania o strukturze pokazanej na rys Obszary startu Obszary startu wyznaczono cał kują c równania stanu systemu naprowadzania (4.1)-r (4.10) na EMC Odra metodą Mersona. W celu zbadania oraz ilustracji interesują - cego zjawiska ewolucji obszarów startowych ką tów wyprzedzenia r) 0 w funkcji współrzę dnej x c dla y c const (obszary te dalej nazywane są przekrojami rj o (x c ) strefy startu) i wyjaś nienia topologii strefy startu, przedstawiono na rys. 4- *-9 wybrane wyniki obliczeń numerycznych dla danych: 1. Cel wykonuje lot poziomy przy zerowym parametrze, ze stał ą prę dkoś ci ą i jest atakowany z przedniej pół sfery. Liczbowe wartoś ci parametrów lotu celu podaje tabela: Tabela 1 }'c [m] v c [m/s] Nr rys Geometrię rakiety w układzie kaczka" charakteryzują : ś rednica kadłuba 0,33 m; długość kadł uba 5,6 m; powierzchnia skrzydł a 0,92 m 2 ; ś rednia cię ciwa aerodynamiczna skrzydł a 0,78 m. 3. Rakieta wyposaż ona jest w dwustopniowy układ napę dowy, każ dy o stałym cią gu: Pt = 850 kn, P 2 7,6 kn. Masa rakiety maleje z czasem liniowo, od wartoś ci począ tkowej m Q 578 kg. 4. System sterowania rakiety zawiera idealne czł ony pomiarowe i napę d sterów, układ ograniczenia dopuszczalnych przecią ż eń oraz adaptacyjny ukł ad formowania sygnałów naprowadzania wedł ug metody proporcjonalnej nawigacji. 5. Start rakiety odbywa się z prę dkoś ci ą począ tkową v 0 41 m/ s z wyrzutni ograniczają cej startowe ką ty wyprzedzenia od góry (rj 0 < t] gw ) i od dołu {rjo > ydw), P rz y czym maksymalny ką t podniesienia wyrzutni przyję to 80, a minimalny Lot rakiety odbywa się bez zakł óceń z dopuszczalnym przecią ż eniem normalnym 10.

9 DYNAMIKA OBIEKTU LATAJĄ CEGO Algorytm obliczeń uwzglę dnia zmianę gę stoś i c powietrza i prę dkoś i c dź wię ku z wysokoś cią, zależ ność współczynników aerodynamicznych od liczby Macha i transformację pochodnych aerodynamicznych wzglę dem aktualnego położ enia ś rodka masy w danej chwili lotu. Uzyskane dla powyż szych danych wykresy przekrojów rj o (x c ) (rys ) 8 wskazują, że wystę pują ce ograniczenia: maksymalnego czasu trwania lotu t wmax = 35s, ką tów startowego wyprzedzenia i] iw < rj 0 < t] gw i wymaganie pozytywnej realizacji procesu wyraż one warunkami f w^0i r p ^ r xc (gdzie r w = r(t wl ), r p przelot) ingerują bardzo silnie w konfigurację tych przekrojów i róż nic, w zależ nośi cod wysokoś ci y c X c x10 3!ml Rys. 4. Przekrój strefy startu y c 300 m Xc xio 3!m] Rys. 5. Przekrój strefy startu y c m 2500 m. I tak dla mał ych wysokoś ci y c ^ 3000 m (rys. 4 i 5) przekrój rj o (x e ) wyznaczają odcinki linii: AB i EA o własnoś ciach r w = 0 i r p r xc ; BC o własnoś ci r) Q r\ iv \ CD o własnoś ci t wl = t wmax oraz DE o własnoś ci?? 0 =»? 9W - Punktom przecię cia linii ograniczają - cych pole przekroju rj Q (x c ) moż na przypisać własność podwójnego ograniczania: A rjr w ; B ^whdwl C ~ rid W lt m 0X ; D twmaxlvgw i ^ ^gwl^w Linie AF i AG wyznaczają odpowiednio ką ty rj Q o najkrótszym czasie wejś cia t wmi i maksymalnej prę dkoś i c wejś cia r»m«j. Pola przekrojów został y sparametryzowane liniami r w const.

10 72 J. NlCZYPORUK, A. WlELGUS W przedziale wysokoś ci y c = ^70 0 m wystę pują dwa odcinki linii ograniczenia r\ gw (E'H i ED rys. 6), a nowy punkt podwójnego ograniczenia H jest typu r w fi] gw. z e wzrostem, wysokoś ci punkty H i E zbliż aj ą się do siebie i powyż ej wysokoś ci dla której H = E (y c x m) górny brzeg przekroju f] 0 (x c ) stanowi linia 7] gw (rys. 7 i 8). Sytuacja taka ma miejsce aż do puł apu (punkt P na rys. 9). r X c *10 3!ml Rys. 6. Przekrój strefy startu y c = 5000 m. 40 r I 1 _ Ou _ If \225\ 25V, %, ^^- ^\ ~ S- -" ^ i\ >- " c I ) 5 J, i 1S X c *10 3 lm] - ' i Ł0 Rys. 7. Przekrój strefy startu y c = m. 0,8 i i I 35 " 3193^<- r i j i 10 I I «10 3 Im] I 25 Rys. 8. Pr2ekrój strefy startu y c = m. i 30

11 DYNAMIKA OBIEKTU LATAJĄ CEHGO 73 Przy y c > m, w linii ograniczają cej przekrój rj Q (x c ) od dołu pojawia się odcinek ograniczenia maksymalnego czasu lotu (dla mał ych, a nawet ujemnych x c ), zawarty mię dzy punktami K i L (rys. 7) typu 't] g Jt wmax i t wmax / ^ aw odpowiednio. Linia KL rozbudowuje się ze wzrostem wysokoś ci i dla y c bliskich pułapowi stanowi wyłą czne ograniczenie przekroju r> 0 (x) od doł u (rys. 8) X c *10 3 lmj Rys. 9. Strefa startu. Strefę startu (rys. 9) wyznaczają punkty skrajne (A i F, E' i F, K i F, K i D) przekrojów rja(x c ). Dlatego poszczególne odcinki brzegu strefy startu MN, NP, PR, RS i ST mają własnoś ci odpowiednio punktów F, D, K, E' i A. Odcinek TM odpowiada y cmi. Krzywa WP wyznacza warunki startu przy których t wl = t wmin tj. czas realizacji zadania jest najkrótszy. Strefę sparametryzowano liniami r w = const i t w const, co daje pełniejszy obraz jej topologii. Ocena wpł ywu innych ograniczeń i czynników, uję tych w opracowanym modelu matematycznym systemu samonaprowadzania, na konfigurację strefy startu jest przedmiotem badań autorów. Literatura 1. JI. F. EBJIHHOBJ Konmpojib dunajuuueckux cucmejn, HayKa, MocKBa S. DUBIEL, Wię zy uogólnione i ich zastosowanie do badania sterowalnoś ciobiektów latają cych. Dodatek do Biuletynu WAT, 256, Warszawa J.MARVNIAK, Dynamiczna teoria obiektów ruchomych, Prace naukowe Mechanika N r 32, Politechnika Warszawska, Warszawa R. GUTOWSKI, Mechanika analityczna, PWN, Warszawa H. KPHHEIJKHHJ CucmeMu camonaeedemn. MainHHOCTpoeHjie, MocKBa 1970.

12 74 3. NICZYPORUK, A. WlELGUS P e 3 jo M e MOflEJIHPOBAHHE flhhamhkh yilpabjihemoro JIETAIOmErO OBtEKTA KJIACCA 3EMJM- BO3AYX B pabote paccmotpehbi HeKOTopbie Bonpocw HHHaMitrtH CHCteMti camohabeflehhh 3eHHTHoft param na BO3flyinHyio UBJIB. Onpe^eneHO MHowecTBo AHHaMH^ecKHX aapim camonabeflemia, a. Tanw HccjieflosaHo 3aflaqy aiiajih3a chciembi c H3BeCTHoft crpyktypos. Jtna 3TOH CHCTCMLI nowpoeha siatłrqeckah MOflejib H tmcjiehho onpeflejiehw 3wibi nyci<a. Summary MODELLING OF THE DYNAMICS OF A MANOEUVERING AIRCRAFT UNDER CONTROL Selected problems of the dynamics of target- homing system on the manoeuvering aircraft are considered. The set of the dynamical target- homing problems have been defined. The analysis problem of the system with known structure has been studied in details. Mathematical model has been formulated and the lift- of regions have been determined by means of the digital simulation. Praca wpł ynę ł a do Redakcji dnia 14 kwietnia 1986 roku.