ZESTAWY ZADAŃ Z EKONOMII MATEMATYCZNEJ

ZESTAWY ZADAŃ Z EKONOMII MATEMATYCZNEJ Zestaw 5 1.Narynkuistniejądwajhandlowcyidwatowary,przyczymtowarupierwszegosą3sztuki,adrugiego 2sztuki. a). Jak wygląda zbiór alokacji dopuszczalnych, jeśli towary są niepodzielne, tj. najmniejszą jednostą towaru, którą można wymianiać, jest jedna sztuka? b).funkcjaużytecznościpierwszegokonsumentatou 1 (x 1,x 2 )=x 1 +x 2,afunkcjaużytecznościdrugiegokonsumentamapostaću 2 (x 1,x 2 )=x 1 x 2.Pokaż,jakporządkujealokacjekonsumentpierwszy, a jak drugi. Wypisz ich relacje preferencji. Znajdź część wspólną tych relacji. c). Wskaż alokacje Pareto-optymalne. Wskaż jądro wymiany dla alokacji początkowej(3, 0, 0, 2)(w nawiasie podano najpierw koszyk pierwszego konsumenta, a potem drugiego). d).jakzmienisięodpowiedź,jeżelifunkcjaużytecznościdrugiegohandlowcabędziepostaciu 2 (x 1,x 2 )= x 1 +2x 2? 2.Narynkujestmkonsumentów.Konsumenti-tyoceniaalokacjezgodniezfunkcjąużytecznościu i (x). Pokaż, że każda alokacja maksymalizująca funkcję u(x)=c 1 u 1 (x)+c 2 u 2 (x)+...+c m u m (x), gdziec 1,...c m sąstałymidodatnimi,jestalokacjąpareto-optymalną. 3. Zbiór dostępnych alokacji ma postać M= {( x 1,x 2,...,x m) :x 1,x 2,...,x m R n + x1 +x 2 +...+x m =a }, a funkcje użyteczności wszystkich m handlowców są ciągłe, różniczkowalne i silnie wklęsłe. Pokaż, że jeśli w pewnej alokacji dla dowolnej pary towarów k i l krańcowa stopa substytucji towaru k przez towar l jest taka sama dla wszystkich handlowców, to alokacja ta jest Pareto-optymalna. Czy możliwa jest alokacja Pareto-optymalna, w której krańcowe stopy substytucji nie są takie same dla wszystkich handlowców? 4.Narynekprzychodzidwóchhandlowcówzkoszykamia 1 =(a 1,a 2 )ia 1 =(20 a 1,20 a 2 ),azatemna rynku jest łącznie 20 jednostek towaru pierwszego i 20 jednostek towaru drugiego. Funkcje użyteczności handlowcówtou 1 (x 1,x 2 )=x 1 2 1 x 1 2 2 iu 2 (x 1,x 2 )=x 1 4 1 x 3 4 2. a). Wyznacz alokacje Pareto-optymalne. b). Znajdź wszystkie alokacje, dla których krańcowa stopa substytucji towaru pierwszego przez drugi jest taka sama dla obu handlowców. c). Narysuj pudełko Edgewortha. Wskaż krzywą kontraktów i jądro wymiany. 5. Trzech studentów Akademii Ekonomicznej dorabia do stypendium grając na wiejskich weselach. Jeden z nich śpiewa, a dwóch gra na różnych instrumentach: jeden na gitarze, a drugi na perkusji. W zależności od składu zespołu dostają różne wynagrodzenia. I tak, Gitarzysta za występ solowy otrzymuje 100 zł. Wokalista występując sam otrzyma 50 zł, zaś za występ samego Perkusisty nikt nie da ani grosza. Występując w duecie Wokalista i Gitarzysta zarobią razem 180 zł, zaś duet Perkusisty i Gitarzysty otrzyma 230 zł. Wokalista i Perkusista grając razem mogą zarobić 190 zł. Występując wszyscy razem muzycy mogą zarobić 300 zł. Studenci mieli już ekonomię matematyczną i wiedzą, jak podzielić miedzy siebie pieniądze. Jak to zrobią? 1

1.Narynkekprzychodzidwóchhandlowcówzkoszykamitowarówa 1 =(10,10)ia 2 =(20,5).Ichfunkcje użyteczności mają postać: A). u 1 (x 1 1,x1 2 )=(x1 1 )2 x 1 2 u 2 (x 2 1,x2 2 )=(x2 1 )1 3(x 2 2 )1 2, B). u 1 (x 1 1,x1 2 )=(x1 1 )1 2+(x 1 2 )1 2 u 2 (x 2 1,x2 2 )=(x2 1 )1 3(x 2 2 )1 2, C). u 1 (x 1 1,x1 2 )=(x1 1 )1 3(x 1 2 )1 2 max { λ:λ(2,1) (x 2 1,x2 2 )}. a). Wyznacz funkcje popytu obu handlowców oraz funkcję nadmiernego popytu z(p). b). Sprawdź, czy z(p) jest dodatnio jednorodna stopnia 0 i spełnia prawo Walrasa. Jaką interpretację ekonomiczną mają te własności? c). Wyznacz wektor cen równowagi, koszyki handlowców po wymianie oraz wielkość przeprowadzonych transakcji. d). Porównaj użyteczność koszyków, z jakimi handlowcy opuszczą rynek z użytecznością koszyków początkowych. 2. Udowodnij prawo Walrasa w modelu Arrowa-Hurwicza. 3. Na pewnym rynku jest trzech handlowców i trzy towary. Pierwszy handlowiec m aa jednostek towaru 1ipotrzebujetowaru2.Drugihandlowiecmabjednostektowaru2ipotrzebujetowaru3,atrzeci handlowiec ma c jednostek towaru 3 i potrzebuje towaru 1. Wyznacz funkcję z(p) i stan równowagi w modelu Arrowa-Hurwicza. 4. Na pewnym rynku jest trzech handlowców i trzy towary. Handlowiec pierwszy ma a jednostek towaru 1, drugi b jednostek towaru 2, a trzeci c jednostek towaru 3. Ich preferencje opisują funkcje użyteczności u 1 =min { x 1 1,x1 2},u 2 =min { x 2 2,x2 3},u 3 =min { x 3 1,x3 3}.Wyznaczfunkcjęz(p)istanrównowagi. 5.Narynekprzychodzidwóchhandlowcówzfunkcjamiużytecznościu 1 =a 1 lnx 1 1+(1 a 1 )lnx 1 2iu 2 = a 2 lnx 2 1 +(1 a 2)lnx 2 2,którzyprzynosząkoszyki(y1 1,y1 2 )i(y2 1,y2 2 ). a). Pokaż, że funkcja popytu nadwyżkowego ma postać ( z(p 1,p 2 )= A p 2 B,B p ) 1 A, p 1 p 2 gdzieaibtopewnestałedodatnie. b). Zapisz dyskretną wersję równań dynamiki. c).przyjmując,żea=1,b=2orazp(0)=(p 1 (0),p 2 (0))=(2,1)wyznaczcenyw10pierwszych momentach.dlaσ=1orazdlaσ=0,1. d). Zapisz ciągłą wersję równań dynamiki cen. Udowodnij, że trajektoria cen leży na okręgu o promieniu r= p 1 (0) 2 +p 2 (0) 2. e).pokaż,żedp 1 /dt=0wtedyitylkowtedy,gdydp 2 /dt=0. f). Pokaż, że wszystkie trajektorie cen na spełniają warunki: A dp 1(t) + dp 1(t) dp 2 (t) +B dp 2(t) =0 dt dt dt dt dp 1 (t) > B dt dp 2 (t) > A dt

1. Sformułuj własności przestrzeni c-produkcyjnej odpowiadające następującym własnościom przestrzeni p-produkcyjnej; a). addytywność, b). możliwość marnotrawstwa, c). brak rogu obfitości. 2.Pokaż,żejeślifunkcjaprodukcjif : R n + Rjestwklęsłaidodatniojednorodnastopnia1,tojest superddytywna,tzn.dladowolnychkombinacjinakładówx 1,x 2 R n + zachodzi f(x 1 +x 2 ) f(x 1 )+f(x 2 ). 3. Dana jest funkcja produkcji: A). f(k,z)=ak+bza,b>0, B). f(k,z)=ak α z β,a,α,β>0, C). f(k,z)=(ak γ +bz γ ) θ γ,a,b,θ>0,γ<1,γ 0. a). Oblicz produktywności krańcowe i elastyczności produkcji czynników. b). Oblicz krańcową stopę substytucji i elastyczność substytucji kapitału przez pracę. c). Sprawdź stopień jednorodności funkcji i efekty skali. Kiedy funkcja ma stałe efekty skali? Co to oznacza? d). Oblicz wydajność pracy i produktywność kapitału jako funkcje technicznego uzbrojenia pracy. Przedstaw je na wykresach. e). Dla jakich wartości parametrów funkcja będzie spełniała założenia neoklasycznej funkcji produkcji? 4. Pokaż, że jeżeli funkcja produkcji jest jednorodna stopnia θ, to jej elastyczność względem skali nakładów też wynosi θ. 5. Jeżeli krańcowa stopa substytucji pracy przez kapitał da się przedstawić jako funkcja technicznego uzbrojeniapracy,σ zk =σ zk (u),tomożnaobliczyćelastycznośćkrańcowejstopysubstytucji(pracy przez kapitał) względem technicznego uzbrojenia pracy. Oblicz tę wielkość dla funkcji Cobba-Douglasa, funkcji liniowej i funkcji CES. 6.DlafunkcjiprodukcjiKoopmansa-Leontiefa:f(k,z)=min { k a,z b},gdziea,b>0 a). Narysuj izokwanty produkcji. b). Sprawdź, czy funkcja jest(silnie) wklęsła i jednorodna. c). Wykreśl wydajność pracy i produktywność kapitału w zależności od technicznego uzbrojenia pracy. d). Co można powiedzieć o substytucji czynników produkcji dla tej funkcji? 7. Wykaż, że dla funkcji dodatnio jednorodnych stopnia pierwszego prawdziwe są następujące równania: f(k,z)=k f k +z f (tw. Eulera) z e f k +ef z =1 8.FunkcjaCESprzystałychefektachskalimapostaćf(k,z)=A(ak γ +bz γ ) 1 γ.pokaż,że a).dlaγ=1jesttofunkcjaliniowa, b).przyγ 0oraza+b=1funkcjaCESzmianiasięwfunkcjęCobba-Douglasaf(k,z)=Ak a z b, c). przy γ funkcja przyjmuje postać funkcji Koopmansa-Leontiewa, f(k, z) = min{k, z}. Sprawdź, jak zmienia się elastyczność krańcowej stopy substytucji względem technicznego uzbrojenia pracy przy podanych zmianach parametru γ. Zinterpretuj to ekonomicznie.

1. Jeżeli proporcjonalny wzrost zatrudnienia ziemi i pracy zawsze powoduje proporcjonalny wzrost produkcji pszenicy, a krańcowa produktywność pracy rośnie wraz ze wzrostem jej zatrudnienia, to cała światowa produkcja pszenicy zmieściłaby się w jednej doniczce, o ile doniczka byłaby wystarczająco mała [G.J. Stigler The Theory of Price]. Czy zgadzasz się z tym twierdzeniem? Spróbuj je uzasadnić lub pokazać, że jest fałszywe. 2. Dana jest liniowa funkcja produkcji z wyrazem wolnym: Sprawdź, jakie efekty skali ma ta funkcja. f(x)= a,x +b, a R n,a>0,b R. 3. W procesie produkcji zużywany jest tylko jeden czynnik, X. Rozwiąż zadanie maksymalizacji zysku przedsiębiorstwa w długim okresie. Jak wygląda rozwiązanie w okresie krótkim, kiedy ilość czynnika jestograniczona(x [0,x max ])?Funkcjaprodukcjijestdanawzorem: a).f(x)=ax,gdziea>0(stałeefektyskali), b).f(x)=ax α,gdziea>0,α>1(rosnąceefektyskali), c).f(x)=ax α,gdziea>0,0<α<1(malejąceefektyskali). 4.RozwiążzadaniemaksymalizacjizyskudlafunkcjiprodukcjitypuCobba-Doulglasa,f(k,z)=ak α z β. Dla jakich wartości parametrów α i β zadanie będzie miało rozwiązanie? Wyznacz funkcję popytu produkcyjnego i funkcję podaży. Wyznacz funkcje reakcji przedsiębiorstwa(reakcja popytu produkcyjnego i podaży) na zmianę ceny produktu i zmiany cen czynników produkcji. 5. Pokaż, że następujące funkcje: a). funkcja popytu produkcyjnego, b). funkcja podaży produktu, są jednorodne stopnia 0. Przedstaw ekonomiczną interpretację tego faktu.

1. Proces produkcji przedsiębiorstwa opisuje dwuczynnikowa funkcja produkcji Cobba-Douglasa, f(k, z) = ak α z β,(a,α,β>0). a). Wyznacz funkcję kosztów produkcji. Sprawdź, czy jest ona rosnąca, wypukła(wklęsła), jednorodna. Narysujjejwykres.Jakwykressięzmieniawrazzezmianąparametrówαiβ? b). Posługując się wyznaczoną funkcją kosztów sformułuj zadanie maksymalizacji zysku firmy w długim okresie.kiedytozadaniemarozwiązanie,akiedygoniema? c). Rozwiąż zadanie maksymalizacji zysku i wyznacz funkcję podaży. Narysuj jej wykres(krzywą podaży). 2. Pokaż, że jeżeli funkcja produkcji jest rosnąca i jednorodna stopnia k, to funkcja kosztów jest jednorodna stopnia 1 k. 3.DlafunkcjiprodukcjitypuKoopmansa-Leontiewa,f(k,z)=min{ k a,z b },gdziea,b>0: a). Wyznacz funkcję kosztów produkcji. b). Korzystając z funkcji kosztów rozwiąż zadanie maksymalizacji zysku w długim okresie. Czy rozwiązanie istnieje? c). Powtórz poprzednie punkty zakładając, że zasób kapitału, który firma może zatrudnić, jest ograniczonyprzezk max. 4.Technologięstosowanąprzezprzedsiębiorstwoopisujefunkcjaprodukcjif(k,z)= 3 kz.wkrótkim okresie zasób kapitału, jakim firma dysponuje, jest stały, k = const. a). Rozwiąż zadanie maksymalizacji zysku firmy w krótkim okresie. b). Wyznacz funkcję kosztów produkcji. Podziel koszty na zmienne i stałe. c). Narysuj krzywą podaży firmy. Od czego zależy podaż? 5. Firma działa w warunkach monopolu na rynkach czynników produkcji. Ceny kapitału i pracy zależą od ichzatrudnieniaprzezfirmęizależnośćtęopisująfunkcjeliniowe:v k (k)=ak,v z (z)=bz,a,b>0. Funkcjaprodukcjifirmyjestdanawzoremf(k,z)= 3 kz.rynekproduktujestdoskonalekonkurencyjny. Rozwiąż zadanie maksymalizacji zysku w długim okresie. Od czego zależy podaż? Od czego zależą ceny czynników produkcji? Narysuj krzywą podaży. 6. Firma działa w warunkach monopolu na rynku produktu. Cena produktu zależy od jego podaży przez firmęizależnośćtęopisujefunkcjap(y)= a y,a>0.funkcjaprodukcjifirmyjestdanawzoremf(k,z)= 3 kz.rynkiczynnikówprodukcjisądoskonalekonkurencyjne.rozwiążzadaniemaksymalizacjizysku w długim okresie. Od czego zależy podaż? Od czego zależą cena produktu? Narysuj krzywą podaży.