Model Rynku z czasem dyskretnym n = 0,1,2, S 1 (n), S 2,, S m (n) - czas - ceny m aktywów obciążanych ryzykiem (akcji) w momencie : dodatnie zmienne losowe. - cena aktywa wolnego od ryzyka (obligacji) w momencie, stałe dodatnie. A(n) n (x 1 (n), x 2 (n),, x m (n), y(n)) IR m+1 n 1 n ryzyka w posiadaniu inwestora od momentu do momentu. V(n) = m - portfel inwestycyjny tj. liczba akcji i jednostek aktywa wolnego od Zatem, jest wartością portfela (wealth) w chwili,. Wartość portfela w chwili (initial wealth) to. Ciąg portfeli,, to strategia inwestycyjna. Strategia inwestycyjna j=1 x 1 (n)s j (n) + y(n)a(n) n = 0 V(0) = (x 1 (n), x 2 (n),, x m (n), y(n)) n = 1,2,, m (x 1 (n), x 2 (n),, x m (n), y(n)) m jest samofinanasująca (self-financing) jeśli,. Strategię inwestycyjną nazywamy prognozowalną (predictable) jeśli portfel skonstruowany w momencie zależy jedynie od,, oraz,,,, tj. wartości cen aktywów znanych do m n j=1 x 1 (1)S j (0) + y(1)a(0) j=1 x j (n + 1)S j (n) + y(n + 1)A(n) = V(n) n = 0,1,2,, m 1 (x 1 (n + 1), x 2 (n + 1),, x m (n), y(n + 1)) n (S 1 ( j),, S m ( j)) j = 0,1,, n A(0) A(1) A(n + 1) momentu n włącznie. n n = 1,2,, m 1
Strategię nazywamy dopuszczalną (admissible) jeśli jest samofinansująca, prognozowalna i, dla każdego z prawdopodobieństwem 1. n W naszych modelac h rynku będziemy zakładać: Zasada braku możliwości arbitrażu. Nie istnieje dopuszczalna strategia taka, że i z dodatnim prawdopodobieństwem dla pewnego. Przykład 5.1. n V(n) 0 V(0) = 0 V(n) > 0 Rynek jednokresowy dwustanowy.,,, A(0) = 1 A(1) = 1 + r r > 0 0 < p < 1, d < u, S 0 > 0, S(0) = S 0, S(1) = S 0 (1 + u) z prawdopodobieństwem p, oraz S(1) = S 0 (1 + d) z prawdopodobieństwiem 1 p. (x(1), y(1)) V(0) = 0 0 = x(1)s 0 + y(1) Stąd y(1) = x(1)s 0. Zatem V(1) = x(1)[s(1) S 0 (1 + r)]. Stąd V(1) = x(1)s 0 (u r) z prawdopodobieństwiem p oraz V(1) = x(1)s 0 (d r) z prawdopodobieństwem 1 p. Warunek V(1) 0 implikuje, a) x(1) = 0 w przypadku, gdy d < r < u (brak możiwości arbitrażu), b) x(1) 0, gdy r < d < u, oraz V(1) > 0, gdy x(1) > 0 (arbitraż możliwy), c) x(1) 0, gdy d < u < r, oraz V(1) > 0, gdy x(1) < 0 (arbitraż możliwy). Załóżmy, że strategia jest dopuszczalna oraz że. Wtedy. 2
Przykład 5.2 Wycena poprzez replikację a) Rynek jednookresowy dwustanowy, opcja kupna.,, A(0) = 10 S(0) = 24 A(1) = 11 S(1) = 22 S(1) = 30, lub (każda z tych wartości z prawdopodobieństwem 1/2). Ile powinno kosztować w chwili prawo do kupna w chwili jednej S akcji po cenie równej 26? (czyli opcja kupna z ceną rozliczenia 26) To prawo w chwili n = 1 n = 0 C n = 1 jest warte 0 lub 4 w zależności od scenariusza. (x, y) n = 1 Szukamy portfela (replikującego), którego ceny w chwili takie same tzn. 22x + 11y = 0 30x + 11y = 4 Znajdujemy x = 0,5 i y = 1. Stąd V(0) = x 24 y 10 = 0,5 24 1 10 = 2. Zauważmy, że obliczona cena nie zależy od prawdopodobieństwa. p 3
A(0) = 10 S(0) = 24 A(1) = 11 cenie S(1) w momencie n = 0 nic nie wiadomo oprócz tego, że jest w momencie n = 0 nieznana. Dwie strony: kupujący i sprzedający chcą w momencie n = 0 n = 1 F n = 1 wynosić bezarbitrażowa cena F? Szukamy portfela replikującego (x, y) dla instrumentu, którego cena w momencie n = 0 wynosi 0, a cena w momencie n = 1 wynosi S(1) F dla każdej możliwej ceny S(1), czyli xs(0) + ya(0) = 0 xs(1) + ya(1) = S(1) F. x = 1 y = S(0) F = A(1) A(0) A(0) S(0) b) Tak jak w poprzednim przykładzie,,, a o zawrzeć wiążącą obie strony umowę sprzedaży w chwili jednej akcji S po cenie płatnej również w chwili. Ile powinna Dlatego, oraz. Stąd (wartość przyszła bieżącej ceny S). 4
Kontrakty teminowe Transakcja (kontrakt) forward to umowa sprzedaży określonego dobra (bazowego) realizowana w z góry określonym terminie i po z góry określonej cenie. W dniu realizacji transakcji następuje dostawa dobra bazowego (przedmiotu transakcji) i zapłata lub rozliczenie różnicy ceny z umowy i bieżącej ceny rynkowej w gotówce. W tym drugim przypadku umowę można traktować jako zakład o poziom ceny. Kupujący = długa pozycja Sprzedający = krótka pozycja Przykład. Kontraktowanie płodów rolnych. 5
Oznaczenia: 0 - moment zawarcia transacji T moment dostawy i zapłaty F(0,T ) cena przyjęta w kontrakcie (w ten sposób, aby w momencie zawarcia transakcji wartość kontraktu dla każdej z jego strony byłą równa 0) cena forward, cena rozliczenia S(t) - cena rynkowa dobra bazowego w momencie t. W momencie dostawy posiadacz długiej pozycji zarabia: S(T ) F(0,T ), a posiadacz krótkiej pozycji F(0,T ) S(T ). Wykres funkcji wypłaty dla każdej ze stron. 6
Załóżmy, że S jest dobrem nie przynoszącym bieżącego dochodu i którego przechowywanie nic nie kosztuje (np. akcja nie wypłacająca dywidendy). Fakt 5.3 Cena forward takiej akcji to F(0,T ) = S(0)e rt, gdzie r jest stopą zwrotu z aktywów wolnych od ryzyka (w kapitalizacji ciągłej). Bardziej ogólnie Jeśli kontrakt jest zawierany w momencie t, 0 t < T, to cena tego kontraktu, to F(t, T ) = S(t)e r(t t) 7
Dowód. Użyjemy własność braku możliwości arbitrażu czyli niemożliwe jest, aby bez ryzyka straty z pozycji o wartości 0 otrzymać pozycję o wartości dodatniej. Przypuśćmy, że F(0,T ) S(0)e rt. Przypadek F(0,T ) > S(0)e rt. W momencie 0: i) zajmujemy pozycję krótką na kontrakcie ii) pożyczamy S(0) przy stopie r iii) kupujemy akcję S za S(0) Wartość netto całej pozycji to 0. W momencie T: iv) sprzedajemy akcję za F(0,T ) zamykając pozycję na kontrakcie. v) spłacamy dług wydając S(0)e rt. Wartość netto naszej pozycji po tych operacjach to F(0,T ) S(0)e rt > 0, co przeczy brakowi możliwości arbitrażu. Przypadek F(0,T ) < S(0)e rt. W momencie 0 i) dokonujemy krótkiej sprzedaży akcji S za S(0) (czyli pożyczamy akcję S i ją sprzedajemy) ii) lokujemy środki S(0) ze sprzedaży akcji przy stopie r iii) zajmujemy długą pozycję na kontrakcie Nasz stan posiadania netto w tym memencie to 0. W momencie T iii) zamykamy lokatę otrzymując S(0)e rt iv) zamykamy pozycję na kontrakcie kupując akcję S za F(0,T ) v) oddajemy pożyczoną akcję. Po tych operacjach nasz stan posiadania netto to S(0)e rt F(0,T ) > 0, co przeczy brakowi możliwości arbitrażu. 8
Uwaga. Zauważmy, że w dowodzie wzoru na cenę rozliczeniową kontraktu forward wykorzystywaliśmy założenia, które nie zawsze są w realnym świecie spełnione (a na pewno nie dla wszystkich inwestorów). a) brak kosztów transakcyjnych, b) możliwość krótkiej sprzedaży dobra bazowego, c) stopa lokat równa stopie kredytu. d) brak kosztów przechowywania dobra 9
Fakt 5.4 Jeśli na akcję S wypłacana jest dywidenda D w momencie t, 0 < t < T, to cena forward tej akcji wyraża się wzorem F(0,T ) = [S(0) e rt D]e rt. Dowód. (ModyZikujemy poprzedni dowód) Przypuśćmy, że F(0,T ) [S(0) e rt D]e rt. Przypadek F(0,T ) > [S(0) e rt D]e rt. W momencie 0 i) pożyczamy kwotę S(0), ii) kupujemy akcję S za S(0), iii) otwieramy krótką pozycje na kontrakcie. Po tych operacjach nasz stan posiadania netto to 0. W momencie t iv) otrzymujemy dywidendę o wartości D i lokujemy ją przy stopie r. W momencie T v) zamykamy lokatę otrzymując e r(t t) D, vi) sprzedajemy akcję za F(0,T ) zamykając pozycję na kontrakcie terminowym vii) spłacamy kredyt płacąc S(0)e rt Stan posiadania netto po tych operacjach to F(0,T ) S(0)e rt + e r(t t) D > 0. Przypadek F(0,T ) < [S(0) e rt D]e rt - analogicznie.(należy tylko zwrócić uwagę na to, że inwestor sprzedający pożyczaną akcję musi zapłacić z własnej kieszeni dywidendy wypłacane w międzyczasie osobie, od której akcje są pożyczone) 10