Zbiory 1
Rozważmy dowolne dwa zbiory A i B. Suma A B składa się z wszystkich elementów, które należą do zbioru A lub do zbioru B: (x A B) (x A x B). Część wspólna (przekrój) A B składa się z wszystkich elementów, które należą jednocześnie do zbioru A i do zbioru B: (x A B) (x A x B). Różnica A \ B składa się z wszystkich elementów, które należą do zbioru A, ale nie należą do zbioru B: Oczywiście (x A) (x A). (x A \ B) (x A x B). 2
Własności działań na zbiorach Dla dowolnych zbiorów A, B i C zachodzą następujące równości: 1) (A B) C = (A C) (B C), 2) (A B) C = (A C) (B C), 3) (A B) \ C = (A \ C) (B \ C), 4) (A B) \ C = (A \ C) (B \ C), 3
5) (A \ B) C = (A C) \ B, 6) (A \ B) C = (A C) \ (B \ C), 7) (A \ B) \ C = A \ (B C), 8) A \ (B \ C) = (A \ B) (A C). Takich równości można dowodzić dwiema metodami rachunku zdań (bardziej formalna) i diagramów Venne a (bardziej obrazowa). 4
Przykład zastosowania diagramów Venne a. Zadanie. Załóżmy, że prawdziwe są następujące stwierdzenia: (1) wśród ludzi posiadających telewizory są tacy, którzy nie są malarzami, (2) ludzie, którzy codziennie pływają w basenie, a nie są malarzami, nie mają telewizorów. Czy wynika stąd, że prawdziwe jest następujące stwierdzenie: (3) nie wszyscy posiadacze telewizorów pływają codziennie w basenie? 5
Inkluzja zbiorów Mówimy, że zbiór A jest zawarty w zbiorze B, co zapisujemy A B, jeśli wszystkie elementy zbioru A należą do zbioru B, czyli dla dowolnego elementu x prawdziwe jest zdanie (x A) (x B). Przykłady: {0} [0, 1) ( 1, 1) [ 1, 1] (, 1], N 1 N Z Q R. 6
Własności: 1) Jeżeli A B i B A, to A = B. 2) Jeżeli A B i B C, to A C. 3) Jeżeli A C i B C, to A B C. 4) Jeżeli A B i A C, to A B C. Zadanie. Wykaż, że dla dowolnych zbiorów A, B i C zachodzą następujące równoważności: A B A B = A A B = B. 7
Zbiór pusty to zbiór posiadający 0 elementów, oznaczamy go symbolem. Zbiór pusty jest zawarty w każdym zbiorze: A. Jest tylko jeden zbiór pusty: ( 1 2 ) ( 2 1 ) ( 1 = 2 ). 8
Algebra podzbiorów danego zbioru Przez X oznaczmy dowolny zbiór. Zbiór podzbiorów zbioru X oznaczamy symbolem 2 X, na przykład: jeśli X = {a, b}, to 2 X = {, {a}, {b}, {a, b}}, jeśli X = {1, 2, 3}, to 2 X = {, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}. Twierdzenie. 2 n elementów. Jeśli zbiór X ma n elementów, to zbiór 2 X ma Jeśli mamy ustalony zbiór X i rozważamy tylko jego podzbiory, to zbiór X nazywamy przestrzenią lub uniwersum. 9
Dopełnieniem zbioru A (w przestrzeni X) nazywamy zbiór A = X \ A. Dla każdego elementu x X prawdziwe jest zdanie x A (x A). Zachodzą następujące zależności: A A =, A A = X, (A ) = A, = X, X =. 10
Odnotujmy prawa de Morgana dla zbiorów: (A B) = A B, (A B) = A B. Podobne zależności zachodzą dla większej liczby zbiorów, na przykład: (A B C) = A B C, (A B C D) = A B C D. 11
Iloczyn kartezjański zbiorów Rozważmy dwa zbiory A i B. Z dowolnych elementów a A i b B możemy utworzyć parę (a, b). Zbiór wszystkich takich par oznaczamy symbolem A B i nazywamy iloczynem kartezjańskim zbiorów A i B: przy czym A B = {(a, b); a A, b B}, (a, b) = (a, b ) (a = a ) (b = b ). Uwaga. Jeśli zbiory A i B są skończone i zbiór A ma m elementów, a zbiór B ma n elementów, to zbiór A B ma m n elementów. 12
Kwadratem kartezjańskim zbioru A nazywamy zbiór A 2 = A A. Przykład. R 2 = R R płaszczyzna (z układem współrzędnych), [0, 3) (1, 2] R 2, [0, 3) (1, 2] = {(x, y); x [0, 3), y (1, 2]}. 13
Analogicznie określamy iloczyn kartezjański większej liczby zbiorów, na przykład przy czym A B C = {(a, b, c); a A, b B, c C}, (a, b, c) = (a, b, c ) (a = a ) (b = b ) (c = c ). Zbiór A n = A A... A }{{} n = = {(a 1, a 2,..., a n ); a 1, a 2,..., a n A} nazywamy n-tą potęgą kartezjańską zbioru A, na przykład R 3 to przestrzeń trójwymiarowa (z układem współrzędnych) i ogólnie R n to przestrzeń n-wymiarowa. 14
Zbiór słów nad alfabetem Alfabet dowolny zbiór A (zazwyczaj zakładamy, że jest skończony). Litery elementy zbioru A. Słowa nad alfabetem A ciągi liter. Długość słowa liczba liter. Jeśli elementy zbioru A oznaczamy pojedynczymi symbolami, to litery słowa piszemy (bez odstępów i przecinków) jedna za drugą. 15
Przykłady: A = {a, b, c}, słowa jednoliterowe (długości 1): a, b, c, słowa dwuliterowe (długości 2): aa, ab, ac, ba, bb, bc, ca, cb, cc, słowa trzyliterowe (długości 3): aaa, aab,... A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, słowami są na przykład: 000 długości 3, 1234 długości 4, 5 długości 1, 100 000 000 długości 9, 007 długości 3. 16
Jeśli słowo w ma długość m, a słowo v ma długość n, to możemy utworzyć słowo wv, które ma długość m + n. Przyjmujemy, że jest jedno słowo puste ε złożone z 0 liter. Dla dowolnego słowa w mamy εw = wε = w. Bardziej formalnie, zbiorem słów długości n nad alfabetem A nazywamy zbiór A n. Ponadto przyjmujemy A 0 = {ε}. Zbiór wszystkich słów oznaczamy symbolem A. A = A 0 A 1 A 2... = n=0 A n. 17