Modelowanie rynków finansowych Jerzy Mycielski WNE UW 5 października 2017 Jerzy Mycielski (WNE UW) Modelowanie rynków finansowych 5 października 2017 1 / 12
Podstawowe elementy teorii 1 racjonalne oczekiwania Oczekiwania formułowane jako warunkowe wartości oczekiwane przy danym zbiorze informacyjnym I t 1 Oczekiwane W t = E (W t I t 1 ) 2 warunek braku arbitrażu ( ) Pt P t 1 E I t 1 E ( p t I t 1 ) = r P t 1 gdzie p t = ln (P t ) a r jest oczekiwaną wartością przychodu dla aktywów o analogicznym poziomie ryzyka 3 teoria oczekiwanej użyteczności Von Neumanna - Morgensterna Jerzy Mycielski (WNE UW) Modelowanie rynków finansowych 5 października 2017 2 / 12
Von Neumann - Morgenstern Maksymalizowana oczekiwana użyteczność uzyskiwana z portfela o losowej wartości P t a nie oczekiwana wartość tego portfela. P t P t jeśli a nie E [U (P t )] > E [U (P t )] U [E (P t )] > U [E (P t )] Jerzy Mycielski (WNE UW) Modelowanie rynków finansowych 5 października 2017 3 / 12
Von Neumann - Morgenstern c.d. Rozwinięcie Taylora funkcji użyteczności: U (W t ) = U [E (W t )] + U [E (W t )] [W t E (W t )] + 1 2 U [E (W t )] [W t E (W t )] 2 Wartość oczekiwana użyteczności: + 1 6 U(3) [E (W t )] [W t E (W t )] 3 + R t E [U (W t )] = U [E (W t )] + 1 2 U [E (W t )] σ 2 + 1 6 U(3) [E (W t )] µ 3 + E (R t ) Przyjmuje się zazwyczaj, że 1 6 U(3) [E (W t )] µ 3 0 i E (R t ) = 0 Z aksomatów teorii konsumenta wynika, że U [E (W t )] 0 (awersja do ryzyka) Wniosek: użyteczność inwestycji wzrasta wraz ze stopą zwrotu i maleje wraz z ryzykiem mierzonym σ 2 Jerzy Mycielski (WNE UW) Modelowanie rynków finansowych 5 października 2017 4 / 12
Podstawowe fakty stylizowane dotyczące rynku kapitałowego rynek efektywny (Fama) założenia (1,2) ale także (3) pozytywna korelacja między ryzykiem a oczekiwaną dochodowością (3) logarytmy stóp zwrotu nie mają rozkładu normalnego - są leptokurtyczne (grube ogony) grupowanie wariancji w czasie Jerzy Mycielski (WNE UW) Modelowanie rynków finansowych 5 października 2017 5 / 12
6 7 8 9 10 11 Logarytm indeksu WIG 0 20000 40000 60000 Indeks WIG WIG (wysokość indeksu z okresu 1.10.1994-19.04.2007) 01 01 90 01 01 92 01 01 94 01 01 96 01 01 98 01 01 00 01 01 02 01 01 04 01 01 06 01 01 08 Data 01 01 90 01 01 92 01 01 94 01 01 96 01 01 98 01 01 00 01 01 02 01 01 04 01 01 06 01 01 08 Data Jerzy Mycielski (WNE UW) Modelowanie rynków finansowych 5 października 2017 6 / 12
G ęsto ść 0 10 20 30 40 G ęsto ść 0 10 20 30 40 WIG (rozkłady stóp zwrotu 1.10.1994-19.04.2007).05 0.05 Dzienne stopy zwrotu.05 0.05 Logarytm dziennej stopy zwrotu Rysunek: Rozkład zwrotów i logarytmów zwrotów Jerzy Mycielski (WNE UW) Modelowanie rynków finansowych 5 października 2017 7 / 12
P t P t 1 ( ln Pt P t 1 ) Skośność -0.030-0.156-0.094 Kurtoza 6.186 6.314 6.433 Stat. JB 1328 1449 1544 Pr ( JB > χ 2 2 ) 0.000 0.000 0.000 Reszty z modelu AR (1) Jerzy Mycielski (WNE UW) Modelowanie rynków finansowych 5 października 2017 8 / 12
.1.05 0.05.1 Biały szum.1.05 0.05.1 Zmiana indeksu WIG Zwroty z WIG i biały szum (1.10.1994-19.04.2007) 01 01 94 01 01 96 01 01 98 01 01 00 01 01 02 01 01 04 01 01 06 01 01 08 Data 01 01 94 01 01 96 01 01 98 01 01 00 01 01 02 01 01 04 01 01 06 01 01 08 Data Jerzy Mycielski (WNE UW) Modelowanie rynków finansowych 5 października 2017 9 / 12
Srednia ruchoma MA(40) e(t)^2 0.0005.001.0015.002 Srednia ruchoma MA(40) [log(r(t))]^2 0.0005.001.0015.002 Kwadraty zwrotów z WIG i kwadraty białego szumu (1.10.1994-19.04.2007) 01 01 94 01 01 96 01 01 98 01 01 00 01 01 02 01 01 04 01 01 06 01 01 08 Data 01 01 94 01 01 96 01 01 98 01 01 00 01 01 02 01 01 04 01 01 06 01 01 08 Data 2 Jerzy Mycielski (WNE UW) Modelowanie rynków finansowych 5 października 2017 10 / 12
Praktyczne znaczenie faktów stylizowanych średnia stopa zwrotu z zarządzanego portfela jest (w dłuższym okresie) równa stopie losowo dobranego portfela o identycznej wariancji wyższe stopy zwrotu można osiągnąć wyłącznie na drodze podejmowania wyższego ryzyka p-stwo wysokich strat jest dużo wyższe niż to sugerowane przez rozkład normalny - należy to uwzględnić przy liczeniu wartości opcji i VAR (Value at Risk) ryzyko inwestowania zmiania się w czasie Jerzy Mycielski (WNE UW) Modelowanie rynków finansowych 5 października 2017 11 / 12
Weryfikacja faktów stylizowanych Testy pierwiastka jednostkowego jeśli spełniona jest hipoteza o efektyności rynkowej, to a więc E ( p t I t 1 ) = r p t = p t 1 + r + ε t i E ( ε t I t 1 ) = 0. Weryfikujemy hipotezę o tym, że współczynnik przy p t 1 równa się jeden Weryfikacja braku przewidywalności oczekiwanych stóp zwrotu: brak przyczynowości w sensie Grangera E ( p t I t 1 ) = µ gdzie I t 1 jest zbiorem informacji z poprzedniego okresu I t 1 jest zawiera między innymi ceny z przeszłości, zatem E ( p t p t 1, p t 2,...) = µ Jerzy Mycielski (WNE UW) Modelowanie rynków finansowych 5 października 2017 12 / 12