Przetwarzanie sygnałów z czasem ciągłym

Przetwarzanie sygnałów z czasem ciągłym

Model systemowy układu p( t ) r ( t) wejście Układ wyjście p( t ) pobudzenie r ( t) reakcja Układ wykonuje pewną operację { i } na sygnale wejściowym p t (pobudzeniu), w wyniku której otrzymujemy sygnał wyjściowy r t (reakcję układu). Będziemy zapisywać: lub = p( t) r t { } r ( t) p t

p( t ) r ( t) Przykłady: { } ( τ ) r t = p t = kp t { } r t = p t = p t + { } p( t ) r t = = { } α, d p, d t ( ) + p( t + ) p t r t = p t = p t + β, { } { }, r t = p t = + cos t p t, r t = p t = sin p t.

Liniowość p( t ) r ( t) p ( t) r ( t) p t r t = + p t a p t a p t r t Definicja Układ nazywamy liniowym, jeżeli dla każdego a, a i dla każdej pary pobudzeń p (t), p (t) zachodzi: czyli = + r t a r t a r t { } { } { } a p t + a p t = a p t + a p t

Przypadki szczególne: Homogeniczność a = 0 wówczas = = p t a p t r t a r t Addytywność a = a = wówczas = + = + p t p t p t r t r t r t

Przykłady: = kp( t τ ) r t, Liniowy r t = p t + d p, dt Nieliniowy r t = ( ) + p( t + ) p t p( t) r t, Liniowy = α + β, Nieliniowy = ( + t) p( t) r t cos, = p( t) r t sin. Liniowy Nieliniowy

Stacjonarność p( t ) r ( t) p t r t = ( ) p t p t t r t 0 Definicja Układ nazywamy stacjonarnym (niezmiennym w czasie), jeżeli dla każdego p (t) i dla każdego t 0 zachodzi: = ( ) r t r t t 0

Przykłady: = kp( t τ ) r t, Stacjonarny r t = p t + d p, dt Stacjonarny r t = ( ) + p( t + ) p t p( t) r t, Stacjonarny = α + β, Stacjonarny = ( + t) p( t) r t cos, = p( t) r t sin. Niestacjonarny Stacjonarny

Przyczynowość p( t ) r ( t) p t r t p t r t Definicja Układ nazywamy przyczynowym, jeżeli dla każdego t 0 z warunku p t = p t dla t < t wynika 0 r t = r t dla t < t 0

p( t) r( t) t 0 t t 0 t p ( t) r ( t) t t t 0 t 0 Wszystkie układy fizycznie realizowalne są przyczynowe

Układ liniowy p t r t p t r t = = p t p t p t r t r t r t p t = p t dla t < t p t = 0 dla t < t 0 0 r t = r t dla t < t r t = 0 dla t < t 0 0 Układ liniowy jest przyczynowy, jeżeli dla każdego t 0 z warunku wynika p t = 0 dla t < t 0 r t = 0 dla t < t 0

Przykłady: = kp( t τ ) r t, Przyczynowy, gdy τ 0 r t = p t + d p, dt Przyczynowy r t = ( ) + p( t + ) p t α p( t) r t = + β,, = ( + t) p( t) r t cos, = p( t) r t sin. Nieprzyczynowy Przyczynowy Przyczynowy Przyczynowy

Będziemy rozpatrywać obwody liniowe i stacjonarne obwody LS Spotyka się również oznaczenie obwody LI (Linear ime Invariant) Niekiedy będziemy również zakładać, że obwody spełniają warunek kwazistacjonarności, tzn. ich wymiary geometryczne są znacząco mniejsze (co najmniej 0 razy) od długości fali elektromagnetycznej rozchodzącej się w obwodzie. Obwody takie można zamodelować w postaci obwodu konkretnego, zbudowanego z dyskretnych elementów. Nazywa się je obwodami skupionymi. Obwody takie będziemy nazywać obwodami SLS (Skupione Liniowe Stacjonarne) lub obwodami LLI (Lumped Linear ime Invariant)

Stabilność p( t ) r ( t) Definicja Układ nazywa się stabilnym w sensie BIBO gdy reakcja na dowolne ograniczone pobudzenie jest ograniczona, czyli Bounded Input Bounded Output p t M < r t N <

Opis układu w dziedzinie czasu p( t ) r ( t) Charakterystyką czasową układu LS nazywa się reakcję tego układu na ustalone, standardowe pobudzenie. Zakłada się, że w chwili przyłożenia tego pobudzenia w układzie nie była zgromadzona energia, czyli warunki początkowe są zerowe. Niech p( t ) = δ( t) ( t) Definicja δ dystrybucja Diraca ( delta Diraca ) = δ( t) Charakterystyką impulsową h t układu nazywa się reakcję tego układu na pobudzenie p t = δ t, czyli h t { }

Własności Charakterystyka impulsowa układu przyczynowego spełnia warunek 0 dla t < 0 h t Jest to podstawowy warunek fizycznej realizowalności układu Charakterystyka impulsowa układu SLS ma postać 0( 0 ) = δ + h t a t h t gdzie h t jest zwykłą funkcją (nie zawiera dystrybucji) (może być oczywiście a = 0, czyli nie ma składnika dystrybucyjnego) 0 wierdzenie Układ SLS jest BIBO stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy jego charakterystyka impulsowa jest bezwzględnie całkowalna, czyli 0 0 h t dt <

Reakcja układu LS na dowolne pobudzenie p( t ) r ( t) Dane h( t) { }? p( t) r t = = { δ( t) } = h( t) { δ ( t τ ) } = h ( t τ ) { p( τ ) δ( t τ )} = p( τ ) h( t τ ) (stacjonarność) (liniowość) { ( )} = ( ) p τ δ t τ dτ p τ h t τ dτ p( τ ) δ( t τ ) dτ = p( τ ) h( t τ ) dτ (liniowość) { } = = ( )d p t r t p τ h t τ τ

= ( )d = h( τ ) p( t τ )dτ = h( t) p( t ) r t p τ h t τ τ r ( t) = h( t) p( t) oznacza splot (!!!) Układ przyczynowy: h( t) 0 dla t < 0 t+ = ( ) d = ( ) r t p τ h t τ τ h τ p t τ dτ Jeżeli p( t) 0 dla t < 0 0 t+ t+ r t = h τ p t τ dτ = p τ h t τ d τ, t > 0 0 0

Przykład t = e sin h( t) = e t ( t) p t t t p( t) h( t) t t p( τ ) h( t τ ) τ 0 t t = ( ) r t p τ h t τ dτ 0 t τ t τ ( t τ ) t e sin e d e e sin d = τ τ = τ τ = 0 0 t 4e t = + ( sin t 4cos t) e, t > 0 7

p( t) h( t) t t t 4e t r t = + ( sin t 4cos t) e, t > 0 7 r ( t) t

Operatorowa funkcja transmitancji p( t ) r ( t) L = = ( ) r t h t p t h τ p t τ dτ t+ 0 { r ( t ) } = L { h ( t ) p ( t ) } L h ( t ) Oznaczmy: { } { } L { p ( t ) } = { } { } L p t = P s, L r t = R s, L h t = H s Wówczas: = H ( s) P( s) R s

= H ( s) P( s) R s L h( t) H s { } operatorowa funkcja transmitancji (funkcja układu) Często definiuje się operatorową funkcję transmitancji jako H s = zerowe R s P s warunki początkowe

Przykład t = e sin p t t t = e t ( t) h t P s = = = { } L p ( t ) H ( s) = L{ h( t) } = s + ( ) 7 s + + 4 s + s + 4 = H ( s ) P ( s ) = 7 R s 7 s + s + s + 4 8 8 s = 7 s + 7 = s + s + 7 4 4 s + = 4 7 + s + s + + 4 s + + 4 t r ( t) = L R( s) = 4e + sin t 4cos t e t 7 t { }

Własności funkcji transmitancji Operatorowa funkcja transmitancji układu SLS jest rzeczywistą wymierną funkcją zmiennej zespolonej s, czyli ma postać gdzie i M ( s) L s H s L s M s są wielomianami o współczynnikach rzeczywistych Uwaga: nie jest to prawdą dla układu LS o parametrach rozłożonych = + 0 Jeżeli h t aδ t h t oraz h t t < (układ jest BIBO stabilny), to funkcja transmitancji ma postać L s L s = 0 d H s = = a +, gdzie st L s < st M s M s M s Może być (i często jest) a = 0 (!!!) funkcja ta jest funkcją holomorficzną w domkniętej prawej półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej s Są to warunki konieczne i dostateczne BIBO stabilności układu

Funkcja wymierna jest funkcją holomorficzną w pewnym obszarze jeżeli nie ma ona w tym obszarze biegunów, czyli jej mianownik nie ma w tym obszarze miejsc zerowych (pierwiastków) wierdzenie: Układ SLS o transmitancji operatorowej H ( s) jest BIBO stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy = L s M s { L ( s ) } M ( s ) { }. st st,. wszystkie pierwiastki wielomianu mają ujemne części rzeczywiste. M s Wniosek: Jeżeli h(t) jest charakterystyką impulsową układu BIBO stabilnego, to obszarem zbieżności transformaty L{ h( t) } jest domknięta prawa półpłaszczyzna zmiennej zespolonej s.

Charakterystyki widmowe układów SLS p( t ) r ( t) t + = = ( ) d = ( ) r t h t p t h τ p t τ τ h t τ p τ dτ 0 Jeżeli istnieją transformaty Fouriera to P H { } { } ( j) = F p ( t) ( j) = F h( t) ( j) = ( j) ( j) R H P

Niech = δ + h t a t h t 0 ransformata Fouriera będzie istnieć gdy 0 0 h t d t <, czyli gdy układ będzie BIBO stabilny. H ( j) = F h( t) { } charakterystyka widmowa układu Jeżeli H(s) jest operatorową transmitancją układu BIBO stabilnego, to H ( j) = H ( s) s= j Charakterystyka widmowa istnieje tylko wtedy gdy układ jest BIBO stabilny!!! Podstawienia s = j wolno dokonać tylko wtedy, gdy funkcja H(s) nie ma biegunów w prawej domkniętej półpłaszczyźnie zmiennej s.

Oznaczmy: A jθ H j = H j e = A e jϕ jθ P j = P j e, R j = R j e ( j) = ( ) ( j) R A P = + ψ θ ϕ jψ = H j charakterystyka amplitudowa Określa w jaki sposób modyfikowane jest widmo amplitudowe pobudzenia θ = arg H j charakterystyka fazowa Określa w jaki sposób modyfikowane jest widmo fazowe pobudzenia

Podstawowe typy filtrów idealnych Filtr dolnoprzepustowy Filtr górnoprzepustowy A( ) A( ) g g g g θ θ g g g g H ( j) j t0 e dla = 0 dla > g g H ( j) j t0 e dla = 0 dla g < g

Filtr pasmowoprzepustowy Filtr pasmowozaporowy A( ) A( ) g g g g g g g g θ ( ) θ ( ) g g g g g g g g

Idealny filtr dolnoprzepusowy H ( j) j t0 e dla = 0 dla F H ( ) h t g > g g g g jt0 jt d j( t t0 ) { j } e e = = = e d = π π sin ( t t ) ( t t ) j( t t0 ) g j( t t0 ) g e e g g t t0 g = = = Sa π j π π 0 g 0 g ( t t ) g 0 Układ nie jest przyczynowy!!!

Kryterium Paley a-wienera Jeżeli charakterystyka amplitudowa A() spełnia warunek ( ) to istnieje funkcja θ (), taka,że charakterystyka widmowa jest realizowalna fizycznie. ln A + d <, H ( j) = A( ) j e θ A( ) A A( ) A( ) Nierealizowalne Realizowalne

Aproksymacja charakterystyk filtrów Prototyp dolnoprzepustowy ( j) Hɶ ɶ ɶ Należy wyznaczyć taką funkcję H ɶ j ɶ, która:. Będzie fizycznie realizowalna. H ɶ jɶ będzie przybliżać (aproksymować) według wybranego kryterium zadaną charakterystykę filtru idealnego W zależności od przyjętego kryterium można uzyskać różne przebiegi charakterystyk.

H ɶ ( jɶ ) Aproksymacja Butterwortha Charakterystyka maksymalnie płaska w paśmie przepustowym i monotoniczna w paśmie zaporowym ɶ H ɶ ( jɶ ) Aproksymacja Czebyszewa I rodzaju Charakterystyka równomiernie falista w paśmie przepustowym i monotoniczna w paśmie zaporowym ɶ

H ɶ ( jɶ ) ɶ Aproksymacja Czebyszewa II rodzaju Charakterystyka maksymalnie płaska w paśmie przepustowym i równomiernie falista w paśmie zaporowym H ɶ ( jɶ ) 0.5 0 0 3 ɶ Aproksymacja Cauera (eliptyczna) Charakterystyka równomiernie falista w obu pasmach (przepustowym i zaporowym)

Gabaryty filtru Filtr dolnoprzepustowy LP (Low Pass filter) H ( j) A p A s Pasmo przepustowe p 0 A H j p p s Pasmo zaporowe < s 0 H j A s Pasmo przejściowe H < < p ( ) j dowolne s

H ( j) A p Filtr górnoprzepustowy HP (High Pass filter) A s s p H ( j) A p Filtr pasmowoprzepustowy BP (Band Pass filter) A s s p p s H ( j) A p Filtr pasmowozaporowy BS (Band Stop filter) A s p s s p

Aproksymacja Butterwortha Hɶ ( jɶ ) = Hɶ ( jɶ ) = + ε ɶ + ε ɶ n n ( j) Hɶ ɶ A p = + ε 8 5 n = 3 ɶ Współczynnik ε dobiera się tak, aby spełnić wymagania na dopuszczalne tłumienie w paśmie przepustowym, natomiast rząd filtru n tak aby spełnić wymagania na tłumienie w paśmie zaporowym

Wielomiany Czebyszewa n 3 ( x) cos narccos x, gdy x = ch n ar ch x, gdy x > = = x cos arccos x x, x = x = x cos arccos, x = x = x x 4 3 cos(3arccos ) 4 3, 4 x = cos(4arccos x) = 8x 8x +, 5 3 5 x = cos 5arccos x = 6x 0x + 5x itd. Wielomian Czebyszewa stopnia n cos α = cosα 3 cos3 = 4cos 3cos α α α 4 cos 4α = 8cosα 8cosα + 5 3 cos5 = 6cos 0cos + 5cos α α α α Wielomiany wyższych stopni można wyliczyć z zależności rekurencyjnej = x x x x n n n

3 ( x ) ( x) 3 x x 6 ( x ) 6 ( x) x x 9 ( x ) 9 ( x) x x ( x ) ( x) x x

Aproksymacja Czebyszewa I rodzaju Hɶ ( jɶ ) = H ( jɶ ) = + ε ( ɶ ) + ε n n ( ɶ ) ( j) Hɶ ɶ A p = + ε n = 3 4 7 ɶ Współczynnik ε dobiera się tak, aby spełnić wymagania na dopuszczalne tłumienie w paśmie przepustowym, natomiast rząd filtru n tak aby spełnić wymagania na tłumienie w paśmie zaporowym

Aproksymacja Czebyszewa II rodzaju Hɶ ( jɶ ) = Hɶ ( jɶ ) = ɶ + ε ( ɶ ) + ε ( ɶ ) ɶ s n s n n s n ɶ s ɶ ( j) Hɶ ɶ A p = + ε A s A s A s ( 3) ( 4) ( 5) 5 4 n = 3 ɶ ɶ s A ( n) s = n ( ) + ε ɶ s

Aproksymacja Cauera(filtry eliptyczne) Charakterystyka amplitudowa jest równomiernie falista w obu pasmach (przepustowym i zaporowym) A p ( j) Hɶ ɶ n = 5 A s 0 0 ɶ s Użyteczne procedury w MALABie: butter, cheby, cheby, ellip ɶ

ransformacje częstotliwości LP LP ɶ = 0 ɶ p p 0 p = = = 0 ( j) Hɶ ɶ ɶ s p ɶ H ( j) ɶ p = ɶ s ɶ s p p s

LP HP 0 p ɶ = 0 = p ɶ = j j ( j) Hɶ ɶ ɶ s p ɶ H ( j) ɶ p = ɶ s ɶ p s s p

LP BP jɶ = j + B 0 j B =, = = p p 0 p p s s ɶ = 0 B ( j) Hɶ ɶ ɶ s p ɶ H ( j) ɶ p = ɶ s ɶ s p 0 p s s p 0 p s

LP BS jɶ = B 0 j + j B =, = = p p 0 p p s s ( j) Hɶ ɶ ɶ = B 0 ɶ s p ɶ H ( j) ɶ p = ɶ s ɶ p s s 0 p p s 0 s p

Przykład ( j) = 6 Hɶ ɶ + 0,5ɶ Filtr Butterwortha III rzędu (prototyp) Zaprojektować filtr pasmowoprzepustowy o częstotliwościach granicznych f p = 8kHz i f =,5kHz p 3 ( p p ) B = π f f = 9π 0 = π f f = 0π 0 p p 0 p p H ( j) = Hɶ ( jɶ ) 0 = = ɶ = 6 B 0 + 0,5 B = B 3 3 6 + 5 + 4B 0 + 5 6 + 0 4 8 6 6 6 8 4 0 0 0 0 0 0 0 3

( j) Hɶ ɶ ɶ ( j ) = ( jπ ) H H f f, Hz

Charakterystyka jest symetryczna w skali logarytmicznej H ( jπf ) f, Hz

Filtry wszechprzepustowe (All Pass filter) H ( j) A( ) = = const Filtr nie zmienia widma amplitudowego sygnału pobudzenia modyfikuje tylko widmo fazowe W klasie układów SLS można zrealizować filtry all pass o transmitancjach operatorowych w postaci M ( s) H ( s) = M ( s) czyli H s H s = Wówczas H j = H j H j = H s H s = s= j

Przykład H ( s) H ( j ) = ( j ) H = j e θ = s s 3s + 3 + 3s + 3 θ ( ) = arg H ( j) = ln H ( j) = ln s 3s + 3 j j s + 3 s + 3 s = j H ( j) θ ( )

Układ opóźniający Układ o charakterystyce impulsowej = δ( ) h t t t Układ będzie przyczynowy (fizycznie realizowalny) gdy t 0 > 0 = = δ( ) = ( ) r t p t h t p t t t 0 0 p t t 0 p( t ) = ( ) r t p t t 0 t t 0

L 0 { } L{ δ( 0 )} e st H s = h t = t t = Operatorowa funkcja transmitancji nie jest funkcją wymierną układ o takiej transmitancji nie jest realizowalny w klasie układów SLS Może być zrealizowany jako układ LS o parametrach rozłożonych różnego rodzaju linie transmisyjne (tzw. linie opóźniające) H j 0 ( j) = H ( s) = e t s= j czyli =, θ ( ) = t0 A = ( j) A H θ ( ) π t 0 π π 3π t0 t0 t0

Filtr Hilberta j < 0 H ( j) = = jsgn = e j > 0 π j sgn A( ) θ ( ) π sgnt j jt πsgn ( ) π Symetria: ( j ) ( j ) π ( ) x t X X t x πt jsgn h t = πt Filtr nie jest przyczynowy (nie jest realizowalny)

r t h t p t p t πt = = H p( t) { } pˆ ( t) = = Reakcją filtru Hilberta na pobudzenie p( t ) jest transformata Hilberta pobudzenia ˆp ( t) ( j ) xˆ ( t) X ˆ ( j) = jsgn X ( j) x t X Sygnał analityczny x = + jˆ z t x t x t Widmo sygnału analitycznego x ( j ) = ( j ) + j ˆ ( j ) = ( j ) + sgn ( j ) = X ( j) ( ) Z X X X X X ( j ) Z ( j) x

Próbkowanie sygnałów ciągłych # L x ( t ) = x( t) δ ( t) = x( t) δ( t k ) = x( k ) δ( t k ) x t x( t) k= k= t # x t δ( ) x k t k 3 k t

Oznaczmy x( k ) x[ k] x t x k t k # = [ ] δ( ) k= { } Niech X ( j ) =F x ( t ) A { } F X # x # t j = =? Ściąga x t y t X Y π ( j) ( j) π π δ ( t) = δ( t k ) δ k k = k = δ( ) = ( ) f t t t f t t 0 0 # X j x t δ t k k = ( j ) = F ( ) F = { x t } F δ ( t k ) = π k = X A( j) δ k π = k = = δ k π k = X A j Oznaczmy π = # X j = X π A j k k = pulsacja próbkowania

X X k j k = A j # = ( ) X A ( j ) X # ( j) X ( ) # j 3 3

wierdzenie o próbkowaniu (twierdzenie Whittakera-Nyquista-Kotielnikowa-Shannona) Jeżeli x( t ) jest sygnałem o ograniczonym widmie, czyli A X j 0 dla >, to sygnał ten można bez zniekształceń odtworzyć na podstawie ciągu próbek [ ] x( k ) x k π pobieranych z okresem, takim, że =, czyli = m X # ( j) idealny filtr dolnoprzepustowy m m. π m X A( j)

π Warunek nazywa się warunkiem Nyquista, maksymalny okres m π próbkowania max = przedziałem Nyquista, zaś częstotliwość m m f min = = częstotliwością Nyquista π max Warunek Nyquista często zapisuje się jako f f m gdzie f = jest częstotliwością próbkowania, a f m m = maksymalną π częstotliwością w widmie sygnału.

x t x k t k # = [ ] δ( ) A k= { } ( j ) =F X x t # X j = X π A j k k = # j X x k δ t k x k δ t k k= k= { } = k= = F [ ] ( ) = [ ] F ( ) [ ] x k j X ( j) X ( e ) # j k k ( j ) = [ ] e = ( e ) X x k X # j j k= ( j ) = ( + ) ( ) H = H ( j) X ( j) A e k x t x # ( t )

j j j = j e = + ( e ) X A H X X { } j F X ( e ) j = + ( e ) x t X d π jk jt x[ k] e e x[ k] x t = k = = d π j( t k ) = e = k = e jt d π = π j( t k ) x[ k] e = j( t k ) x[ k] π k sin ( t k ) = = t k k = = π sin ( k ) x[ k] = x[ k] Sa ( t k ) = ( t k k = ) k t

Zbiór funkcji x t = x k t k [ ] Sa k= [ ] Możliwe jest odtworzenie wartości sygnału x t w dowolnej chwili czasu, na podstawie wartości jego próbek x k = x k Sa ( t k ), k Z jest zbiorem ortogonalnym, ale nie jest zbiorem domkniętym w przestrzeni L (, ) Jest zbiorem domkniętym w podprzestrzeni przestrzeni L,, zawierającej sygnały, w widmie których nie występują składowe o pulsacjach >, stanowi więc bazę tej podprzestrzeni. Otrzymany szereg jest uogólnionym szeregiem Fouriera względem tej bazy. Nosi on nazwę szeregu Kotielnikowa-Shannona ( szereg Sa ).

Aliasing Jeżeli w widmie sygnału próbkowanego z okresem występują składowe π o pulsacjach > = wydzielenie pierwotnego widma z widma sygnału spróbkowanego nie jest możliwe. X A ( j ) X ( ) # j 0 Zjawisko nakładania się widm nosi nazwę aliasingu. Powoduje ono nieodwracalne zniekształcenie sygnału. Widmo musi być ograniczone przed próbkowaniem.

Przykład x t = cos π f t + cosπ f t, f = 00Hz, f = 450Hz X A ( jπf ) f = 000 Hz f f f f f X # ( jπf ) f = 800Hz f f f f X # ( jπf ) f f f f f f f f f f = 350 Hz ego się nie da odfiltrować! f f f

Próbkowanie sygnałów wąskopasmowych Niech x t L będzie sygnałem o ograniczonym widmie F { } m X j = x t, X j 0 dla > Sygnał zmodulowany amplitudowo (bez fali nośnej) cos 0 y t = x t t (zakładamy, że ) Y ( j) = X j( 0 ) j( 0 ) + X + X ( j ) 0 m m Y m ( j) 0 0 0+ m 0 m

Aby zachować pełną informację o sygnale należy wybrać ( + ) 0 m 0 Wybierzmy (ponad czterokrotnie mniej!) i zobaczymy co z tego wyjdzie = Y ( j) 0 0 Y ( ) # j 0 0 0 Każde z widm zawiera pełną informację o sygnale x( t) 3 0 Widma nie będą się nakładać, gdy 0, gdzie k = = 0 = k,,..., kmax, kmax m Poprzez wybór odpowiedniego widma można zrealizować przemianę częstotliwości lub demodulację.