METODA RZUTÓW MONGE A (II CZ.)

RZUT PUNKTU NA TRZECIĄ RZUTNIĘ METODA RZUTÓW MONGE A (II CZ.) Dodanie trzeciej rzutni pozwala na dostrzeżenie ważnej, ogólnej zależności. Jeżeli trzecia rzutnia została postawiona na drugiej - pionowej, to i na niej, i na rzutni numer jeden rzuty punktów rysowane są w tej samej odległości od osi, bo na obu rzutniach widzimy te same głębokości punktów. Jeżeli zaś została postawiona na pierwszej to i na niej, i na drugiej rzuty obrazują wysokości punktów, więc i odległości są sobie równe. Rys. 1. Trzecia rzutnia postawiona na rzutni poziomej, z zaznaczoną wysokością punktu h Rys. 2. Trzecia rzutnia postawiona na rzutni pionowej, z zaznaczoną głębokością punktu d DO ZAPAMIĘTANIA! Odległości rzutów punktów odmierzane na zewnątrz osi sąsiadujących rzutni są sobie równe. TRANSFORMACJA PUNKTU Pamiętając o powyższej zasadzie potrafimy skonstruować rzuty punktu na dowolną rzutnię, jeżeli tylko mamy podane jego obrazy (rzuty) na rzutnie podstawowe: 1 i 2. Pokażemy to dodając do wyjściowego obrazu kolejne dwie rzutnie. str. 1

Obraz B powstanie przez poprowadzenie odnoszącej prostopadłej do osi x2,3 i odmierzenie odcinka d. Obraz B przez poprowadzenie odnoszącej prostopadłej do x3,4 i odmierzenie odcinka c. Rys. 3. Sekwencyjne dodawanie kolejnych rzutni i uzyskiwanie kolejnych obrazów punktu RZUTNIA RÓWNOLEGŁA DO PŁASZCZYZNY PIONOWEJ Niech będzie dana płaszczyzna pionowa α = pł.(a,b,c), jak na rysunku poniżej. Obrazem takiej płaszczyzny na rzutni 1 jest krawędź przecięcia płaszczyzny α i rzutni 1. Z tego powodu taki widok płaszczyzny nazywamy krawędziowym. Rzuty poziome wszystkich punktów α, więc również A, B i C znajdują się na krawędzi. Rys. 4. Obraz pionowej płaszczyzny ABC Znając wszystkie odległości rzutów potrafimy dla przyjętego układu współrzędnych o płaszczyznach pokrywających się z rzutniami podać współrzędne tych punktów: A(40; 0; 100), B(70; 30; 20), C(120; 80; 50), ale również wykorzystując znajomość geometrii analitycznej wyznaczyć długości boków trójkąta ABC: dł.(ab) = 90.55, dł.(bc) = 76.81, dł.(ac) = 123.69. str. 2

Pokażemy jak z wykorzystaniem trzeciej rzutni uzyskać obraz trójkąta ABC w jego rzeczywistych wymiarach. Wystarczy na rzutni poziomej postawić rzutnię 3 równoległą do α (który niezmiennik rzutów o tym mówi?). Przyjmujemy więc oś x1,3 w dowolnym położeniu, ale równolegle do α i wykorzystując poznaną wcześniej zasadę odnajdujemy obrazy A, B i C, jak na rysunku poniżej. Uzyskany na tej podstawie wymiar odpowiada dokładnie wyliczonej wcześniej wartości. Rys. 5. Rzeczywiste wymiary trójkąta ABC ZNAJDYWANIE RZUTNI RÓWNOLEGŁEJ DO ZADANEJ PŁASZCZYZNY Jak widać z poprzedniego zadania odtworzenie rzeczywistych wymiarów figur na płaszczyźnie jest łatwe, jeżeli mamy rzut, w którym płaszczyzna α występuje w widoku krawędziowym. Wtedy rzutnia równoległa do krawędzi jest równoległą do płaszczyzny. Powstaje pytanie: jak uzyskać taki widok w przypadku dowolnej płaszczyzny? Istnieje na to skuteczna metoda, choć wymaga użycia dwóch dodatkowych rzutni. Przyjmując prostą należącą do tej płaszczyzny i równoległą do pierwszej rzutni, uzyskamy dla każdej dodatkowej rzutni postawionej na drugiej obraz prostej w postaci prostej równoległej do osi rzutni. Jeśli rzutnia (i jej oś) będzie równoległa do rzutu prostej, to kolejna rzutnia, ustawiona prostopadle pozwoli uzyskać obraz prostej w postaci punktu (obrazy wszystkich punktów będą równoodległe od osi, a zarazem będę leżeć na prostej do niej prostopadłej, bo tak zorientowane będę proste odnoszące). A to oznacza, że obrazem płaszczyzny będzie prosta. str. 3

Wykonajmy taką konstrukcję (transformację) rzutów zaznaczonej połaci dachu, którego rzuty pokazane są poniżej. Możemy wykonując odpowiednie kłady odczytać długość krawędzi EF, a także widoczną w naturalnej wielkości (leżącą na rzutni poziomej) krawędzi ED. Rys. 5. Rzuty dachu z wyznaczonymi krawędziami Przyjmiemy prostą czołową (równoległą do rzutni pionowej) wyznaczoną przez punkty P1 i P2, powstałe w wyniku przecięć krawędzi EF i DG płaszczyzną pionową. Postawimy trzecią rzutnię równolegle do rzutu P1 P2 (te punkty potrzebne są tylko do wyznaczenia położenia rzutni 3, stąd nie będziemy dokonywać ich dalszych transformacji). Kolejna rzutnia będzie prostopadła do poprzedniej, a ostatnia czwarta równoległa do krawędziowego obrazu płaszczyzny EDGF. Na rzutni nr 5 uzyskujemy obraz połaci w jej rzeczywistym kształcie. Rys. 6. Kompletny układ rzutni str. 4

Odczytane wymiary, dają wynik identyczny z uzyskanymi na początku z dokładnością przyjętą w trakcie transformacji (1/100). Rys. 6. Rzeczywiste wymiary połaci Ten skomplikowany sposób dochodzenia do takiej sytuacji zagadnienie transformacji układu rzutni - był dawniej jednym z podstawowych zagadnień praktycznej nauki geometrii wykreślnej, dzisiaj stanowi już tylko ciekawostkę. PYTANIA: 1. Jak zmieni się rysunek 1, jeżeli trzecią rzutnię postawimy patrząc na nią z przeciwnej strony (zamienimy oś x1,3 na x3,1)? 2. Co można powiedzieć o rzutach punktu na dwie rzutnie prostopadłe do wybranej? 3. Jak mając dane rzuty odcinka AB (na rzutnię poziomą i pionową) odczytać jego długość? 4. Jaką rzutnię trzeba dodać do rysunku 4, żeby zobaczyć odległość punktu A od prostej BC? 5. W sytuacji jak wyżej - jaką dla wyznaczenia odległości punktu B od prostej AC? str. 5