MODELOWNIE INŻYNIERSKIE 17 nr 65 ISSN 1896-771X PORÓWNNIE ROZWIĄZŃ ZGDNIENI PRZEWODNICW CIEPLNEGO W PRZEWODNIKCH WRSWOWYCH W MODELCH OLERNCYJNYM I SYMPOYCZNYM Vazgen Bagdasaryan 1a, Marek Chalecki 1b 1 Katedra Inżynierii Budowlanej, Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska, Szkoła Główna Gospodarstwa Wiejskiego w Warszawie a vazgen_bagdasaryan@sggw.pl, b marek_chalecki@sggw.pl Streszczenie Rozpatrywanie zagadnień początkowo-brzegowych dla przewodników warstwowych w ramach klasycznej teorii przewodnictwa cieplnego jest skomplikowane, ponieważ zagadnienia te są opisane przez równania różniczkowe o zmiennych i silnie oscylujących współczynnikach. W związku z tym poszukuje się modeli uproszczonych. W pracy porównano rozwiązania otrzymane w ramach dwóch uśrednionych modeli przewodnictwa cieplnego w periodycznych kompozytach warstwowych: modelu tolerancyjnego i jego wariantu asymptotycznego. Rozwiązania te otrzymano metodą różnic skończonych. Stwierdzono, że korzystanie z rozwiązań modelu asymptotycznego nie zawsze jest możliwe ze względu na zbyt dużą różnicę w wynikach względem modelu tolerancyjnego. Słowa kluczowe: przewodnictwo cieplne, periodyczne kompozyty warstwowe, technika uśredniania tolerancyjnego CCURCY OF SOLUIONS OF HE CONDUCION PROBLEM IN HE OLERNCE MODEL IN RELION O IS SYMPOIC VERSION Summary nalysis of initial-boundary conditions for multilayered conductors within the framework of the classical theory of heat conduction is complex because these problems are described by differential equations with variable and highly oscillating coefficients. Due to this, simplified models are being sought. In this paper, the solutions obtained within the framework of two averaged models of heat conduction in multilayered materials have been compared: the tolerance model and its asymptotic version. hese solutions have been obtained with use of the finite differences method. It has been stated that application of the asymptotic model is not always possible due to too large difference in results if compared to the tolerance model. Keywords: heat conduction, periodically layered composites, tolerance averaging technique 1. WSĘP W pracy rozważane są niejednorodne periodycznie ośrodki warstwowe, których warstwy są jednorodne. W strukturze tych ośrodków można wydzielić powtarzające się elementy o własnościach zmieniających się periodycznie. W celu wyznaczenia efektywnych własności periodycznych ośrodków warstwowych stosuje się metody homogenizacyjne. Jedną z takich metod jest technika uśredniania tolerancyjnego. Podstawy tej metody można znaleźć w wielu monografiach [np. 5, 6]. Zagadnienia 5
PORÓWNNIE ROZWIĄZŃ ZGDNIENI PRZEWODNICW CIEPLNEGO ( ) dotyczące przewodzenia ciepła omawiane były w licznych pracach [np. 1, 2, 3]. Rozwiązanie zagadnienia dwuwymiarowego przewodzenia ciepła w ośrodku o funkcyjnej gradacji własności przy użyciu metody różnic skończonych znaleźć można w pracy [4]. 2. PRZEDMIO ROZWŻŃ Konfiguracją rozpatrywanych w pracy ośrodków jest obszar Ω=0, 0, 0,. Przewodnik jest periodyczny w kierunku osi, z elementem reprezentatywnym Λ 0,, składającym się z dwóch warstw o długościach λ oraz λ, tak, że λ +λ =. Przewodnik podzielony jest na n elementów reprezentatywnych, a więc na 2n warstw. Rozpatrywany w pracy dwuskładnikowy periodyczny przewodnik warstwowy pokazano na rys. 1. x 3 &,%='&,%+h ) + ) &,%, (2) gdzie &=,,,, =1,2,,.. Przez ' oznaczono temperaturę uśrednioną, a przez + ) fluktuacje temperatury, opisujące wpływ niejednorodności przewodnika na przewodnictwo cieplne. Przez h ) oznaczono znane Λ periodyczne oscylujące funkcje kształtu. W pracy wykorzystano operator uśredniania, który dla dowolnej funkcji g ma postać / = 2 /343. (3) 1 1 Równania modelu dla rozkładu (2) mają postać ([2], [5]) 5 '! ', ', ', h, +, = $ 5h +! h +, ++, h, +. (4) h, ', = $h W przypadku przewodnika dwuwarstwowego funkcję kształtu założono w postaci funkcji przedziałami liniowej: 9 : : 4= 0, : ; ; 7 : h = : :; 4= 8 ; : : ;, : ;?. (5) ; 7 6 : : + :; 4= ; : : ;, ; Dla takiej funkcji kształtu i dla periodycznego kompozytu dwuwarstwowego, dla którego własności termomechaniczne (c, K, ρ) oznaczono ogólnie φ, φ odpowiednio w pierwszej oraz drugiej warstwie, występujące w równaniach wielkości uśrednione mają postać L 3 x λ 1 λ 2 2 L 1 L 2 x 1 @ = @ B + @ BB, @h, =@ B @ BB Rys. 1. Dwuskładnikowy periodyczny kompozyt warstwowy Ze względu na rozpatrywany ośrodek własności termiczne ośrodka są periodycznymi funkcjami nieciągłymi. W pracy zakłada się, że materiały warstw są izotropowe, czyli współczynniki tensora przewodnictwa cieplnego są równe =, dla, =1,2,3. Równanie przewodnictwa cieplnego dla rozpatrywanych ośrodków ma postać!, #, # =$, (1) gdzie przez =,,,% oznaczono temperaturę, =,, ciepło właściwe, =,, gęstość masy, a przez $ =$,,,% wydajność źródeł ciepła. Równanie przewodnictwa ciepła (1) jest równaniem różniczkowym liniowym o zmieniających się skokowo współczynnikach. Dla takiego opisu można zbudować model prostszy, w którym współczynniki będą stałe. 3. MODEL UŚREDNIONY @h = :; @ B + @ BB, gdzie = : F :, = : ; :, + =1. @h, = CD E F CDD E ;, (6) W równaniach (4) można dokonać przejścia granicznego λ 0 wtedy pomijane są wyrazy rzędu O(λ 2 ). Jeśli dodatkowo założy się brak źródeł ciepła, to z równań (4) otrzymuje się: 5 '! ', ', ', h, +, =0 h,. (7) ++ h, ', =0 Z równania (7)2 można wyznaczyć amplitudę fluktuacji: + = GH, F GH, F ; ',. (8) Po podstawieniu do równania (7)1 otrzymuje się wyrażenie na temperaturę uśrednioną gdzie 5 '! IJJ ', ', ', =0, (9) IJJ = GH, F ; GH, F ;. () W modelowaniu użyto techniki uśredniania tolerancyjnego [6], według której zakłada się dekompozycję pola temperatury w postaci 6
Vazgen Bagdasaryan, Marek Chalecki Równanie (9) ma postać analogiczną do klasycznego równania Fouriera (1) z tą różnicą, że występujące w nim współczynniki są dla rozpatrywanego ośrodka stałe. W niniejszej pracy porównano wyniki otrzymane w ramach dwóch przedstawionych modeli opisanych równaniami (4) oraz (7). 4. PORÓWNNIE MODELI W celu porównania wyników otrzymanych w ramach przedstawionych wyżej modeli rozpatrzono stacjonarne, dwuwymiarowe przewodzenie ciepła. Do obliczeń przyjęto warunki brzegowe, przedstawione na rys. 2. Problem rozwiązano metodą różnic skończonych. Przyjęto siatkę o oczku kwadratowym o boku 1 cm. Schemat siatki pokazano na rys. 3. Obliczenia wykonano także dla oczka o boku 0,5 cm i 2 cm, jednakże różnice w wynikach w porównaniu z oczkiem o boku 1 cm były na tyle małe, że nie zamieszczano ich w niniejszym artykule. Dla przypadku nieasymptotycznego (model pełny) równania różnicowe układa się na podstawie równań (4): 1,1 1,2 1,3 1,n-1 1,n 1,n+1 2,1 2,2 2,3 2,n-1 2,n 2,n+1 ϑ(x 1, L 2 )=0 x 1 3,1 3,2 3,3 3,n-1 3,n 3,n+1 L 2 ϑ(0,) =f2() ϑ(x 1,0)=f 1 (x 1 ) ϑ(l1,) =0 m-1,1 m,1 m-1,2 m,2 m-1,3 m,3 m-1,n-1 m,n-1 m-1,n m,n m- m,n+1 λ 1 λ 2 L 1 m+1,1 m+1,2 m+1,3 m+1,n-1 m+1,n m+1,n+1 Rys. 2. Warunki brzegowe przewodnika dwuwymiarowego Przyjęto, że $ =0LMNO P F Q F R, $ =0LMNO P ; Q ; R, L1 = 1,2 m, L2 = 1,0 m, λ1:λ2 = 2:1. Porównania rozwiązań dokonano przy zmiennym wymiarze λ komórki periodyczności oraz przy założeniu, że jeden materiał składowy jest ten sam, a drugi różny. Jako materiał stały przyjęto żelbet. Wszystkie materiały pokazano w tabeli. Ostatnia kolumna w tabeli 1 zawiera współczynniki opisujące stopień niejednorodności całego laminatu. ab. 1. Zestawienie materiałów przyjętych do analizy Materiał Współcz. przew. ciepła K [W/m K] Żelbet 1,7 - S= żi, żi V Pianka poliuret. 0,025 68 Styropian 0,036 47,22 Drewno 0,2 8,5 Beton 1,3 1,8 Stal wysokostop. x 2 15 8,823 Stal niskostop. 42 24,71 Stal węglowa 58 34,12 Rys. 3. Siatka MRS dla rozpatrywanego problemu W XYF,Z[W X\F,Z ]W X,Z + W X,ZYF[W X,Z\F ]W X,Z + H ; H ; + h, ^\FX,Z]^XYF,Z H =0, h, W \FX,Z]W XYF,Z h ]^X,Z ^XYF,Z[^X\F,Z + H H ; + h, + #,_ =0. (11) Dla przypadku asymptotycznego równanie różnicowe układa się na podstawie równania (9): ' #[,_ +' #],_ 2`+1' #,_ +`' #,_[ +`' #,_] =0, gdzie (12) ` = G Gabb. (13) Za miarę porównania przyjęto różnicę procentową między temperaturą otrzymaną w modelu tolerancyjnym () a temperaturą otrzymaną w jego wersji asymptotycznej (a) =S=c ] d 0%c. (14) Obliczenia wykonano dla,, i 5 komórek periodyczności, dla jednego przekroju płaszczyzny równoległej do osi i przechodzącej przez punkt = 0,5L2 = 0,5 m. Należy zaznaczyć, że przyjęte kombinacje materiałowe są przykładowe i nie muszą być realizowane w rzeczywistości zostały dobrane wyłącznie w celu przeprowadzenia obliczeń, w taki sposób, by zapewnić różnorodność wyników. utorzy zdają sobie sprawę, że realizacja 7
PORÓWNNIE ROZWIĄZŃ ZGDNIENI PRZEWODNICW CIEPLNEGO ( ) niektórych kombinacji może być niepraktyczna, a nawet niemożliwa. Wyjątkiem jest tu kombinacja żelbet-beton, żelbet która opisuje strukturę betonu zbrojonego ( beton obszar bez prętów zbrojeniowych, jeniowych, żelbet obszar z prętami). W praktyce wykorzystywane są połączenia materiałów o znacznie różniących się właściwościach termomechanicznych, a rozwiązania uzyskane w tej pracy mogą odnosić się również do tych przypadków. δ [%] 8 a a 6 4 2 [m] δ [%] c) żelbet drewno a [m] a) δ [%] żelbet pianka poliuretanowa 0.5 0.3 a 0.1 [m] δ [%] d) żelbet beton a [m] b) 25 δ [%] żelbet styropian 15 5 [m] e) żelbet stal wysokostopowa 8
Vazgen Bagdasaryan, Marek Chalecki a Rys. 4 przedstawia rozkłady temperatury, otrzymane w ramach modeli opisanych układami równań (4) oraz (7), a także porównanie wartości δ otrzymanych w przyjętym przekroju dla różnych kombinacji materiałowych i różnej liczby komórek periodyczności. Na rys. 5 przedstawiono zestawienie maksymalnych wartości δ w zależności od współczynnika niejednorodniejednoro ności S= O 70 δ [%] G Gżaf, Gżaf G R. 80 δ [%] max żelbet-pianka poliuret. żelbet-stal węglowa. żelbet-styropian. żelbet-stal stal niskostop. [m] a żelbet-stal wysokostop. f) żelbet stal niskostopowa 0 żi, żi V 70 Rys. 5. Maksymalne wartości δ dla różnych kombinacji materiałowych S= żelbet-drewno żelbet-beton 5. PODSUMOWNIE I WNIOSKI δ [%] W pracy przedstawiono dwa modele uśrednione przeprz wodnictwa ciepła dla dwuskładnikowych periodycznych ośrodków warstwowych: model tolerancyjny oraz jego wariant asymptotyczny. Porównano rozwiązania wybranych zagadnień przewodnictwa ciepła uzyskane w rar mach tych modeli. Na podstawie uzyskanych rozkładów temperatury wyznaczono parametr δ określający względną różnicę między tymi rozwiązaniami. W obliobl czeniach uwzględniano również wpływ wymiaru komórki periodyczności eriodyczności przez zmianę liczby komórek w rozparozp trywanym ośrodku. Otrzymane wyniki przedstawiono w formie graficznej. Wyrażone przez parametr δ różnice między rozwiązaniami uzyskanymi w ramach rozpatryrozpatr wanych modeli są tym większe, im większa jest różnica między wartościami współczynników przewodzenia przewod ciepła materiałów składowych w ośrodku. Można to stwierdzić na podstawie rys. 5. Przyczyna tak dużych wartości parametru δ leży w różnicach między rozkładami temperatury, uzyskanymi w obu modelach (wykre(wykr sy przestrzenne na rys. 4). ). W rozkładach rozkład otrzymanych dla modelu tolerancyjnego, w przypadku połączenia materiałów o bardzo różniących się współczynnikach przewodzenia ciepła, jest widoczne widoczn podłużne zagłębienie (wykresy przestrzenne oznaczone literami dla przyprz padków a, b, c, f, g). Zagłębienie to wynika stąd, że warstwy materiału o mniejszym współczynniku stanowią izolację dla przepływu ciepła w kierunku. Model asymptotyczny tego faktu nie zauważa rozkłady temperatur oznaczone literą są podobne do siebie [m] g) żelbet stal węglowa Legenda do rysunku: komórek komórek komórek 5 komórek rozkład temperatury wg wersji pełnej modelu toletol rancyjnego (równania (4)) rozkład temperatury wg wersji asymptotycznej modelu tolerancyjnego (równania (7)) Rys. 4. Rozkłady temperatur uzyskane dla dwóch rozparozp trywanych modeli oraz wykresy zmienności wartości war δ (11) w zależności od kombinacji materiałowych składu przewodnika z rys. 2 i od liczby komórek 9
PORÓWNNIE ROZWIĄZŃ ZGDNIENI PRZEWODNICW CIEPLNEGO ( ) dla wszystkich kombinacji materiałowych. Z tego powo- δ przyjmuje du, a także ze względu na fakt, że parametr duże wartości dla połączeń materiałów o skrajnie róż- że korzystanie nych właściwościach, można wnioskować, z modelu asymptotycznego nie zawsze jest wskazane ze względu na dokładność rozwiązań. Skoro w równaniach modelowych (4) występują człony związane z wymiarem komórki periodyczności, to możliwe jest badanie wpływu tego wymiaru na rozkład temw niniejszej pracy pro- peratury. Obliczenia wykonane wadzą do wniosku, że wpływ ten jest nieznaczny w stosunku do wpływu różnicy między współczynnikami przewodzenia ciepła. Literatura 1. Bagdasaryan V., Chalecki M.: Zastosowanie metody różnic skończonych w modelu uśrednionym przewodnictwa cieplnego w periodycznym ośrodku dwuwarstwowym. cta Scientiarum Polonorum 16, 15 (2), s. 55-66. 2. Bagdasaryan V., Nagórko W.: Model asymptotyczny przewodnictwa cieplnego w ośrodkach wieloskładnikowych o funkcyjnej gradacji własności materiałowych. cta Scientiarum Polonorum 13, 12 (3), s. 3-15. 3. Michalak B., Woźniak Cz., Woźniak M.: Modelling and analysis of certain functionally graded heat conductors. rchive of pplied Mechanics 07, 77, p. 823-834. 4. Radzikowska., Wirowski.: wo-dimensional heat conduction in the laminate with the functionally graded properties. Civil and Environmental Engineering Reports 12, vol. 8, p. 61-68. 5. Woźniak Cz., Michalak B., Jędrysiak J., (red.): hermomechanics of microheterogeneous solids and structures. olerance averaging approach. Łódź: Politechnika Łódzka, 08. 6. Woźniak Cz., Wierzbicki E.: veraging techniques in thermomechanics of composite solids. olerance averaging versus homogenization. Częstochowa: Wydawnictwo Politechniki Częstochowskiej, 00. rtykuł dostępny na podstawie licencji Creative Commons Uznanie autorstwa 3.0 Polska. http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/pl