Dodatek E. Liczby kardynalne. Do okre lania liczby element w zbior w sko czonych s u liczby naturalne.

Dodatek E. Liczby kardynalne Do okre lania liczby element w zbior w sko czonych s u liczby naturalne. W wyk adzie 7 przyj li my, e sko czony zbi r A ma n element w (gdzie n 2 N), je li jest r wnoliczny ze zbiorem [n], z o onym z liczb 1; : : : ; n, je li n > 0 i r wnym?, gdy n = 0. Zbi r [n] uznali my wi c za wzorcowy" zbi r n-elementowy. Innym takim zbiorem, kt rym teraz wygodniej nam b dzie si pos ugiwa, jest odcinek pocz tkowy O(n) = fk 2 N : k < ng wyznaczony w zbiorze liczb naturalnych przez liczb n. Oznaczaj c symbolem jaj liczb element w zbioru A, czyli t jedyn liczb n, dla kt rej A O(n), mo emy stwierdzi, e dla dowolnych zbior w sko czonych A i B A B, jaj = jbj: R wnoliczno zbior w sko czonych jest wi c scharakteryzowana przez r wno przyporz dkowanych tym zbiorom liczb ich element w. Zarazem przypisanie zbiorowi A liczby jaj nast puje w wyniku por wnania zbioru A pod wzgl dem mocy ze wzorcowymi" zbiorami sko czonymi postaci O(n). W tym rozdziale rozszerzymy poj cie liczby element w na zbiory niesko czone. Przypomnijmy, e w toku dotychczasowych wyk ad w ustalili my jedynie, co znacz stwierdzenia w rodzaju: zbiory A i B maj t sam moc" lub moc jednego zbioru jest mniejsza ni moc drugiego zbioru". Wygodnie jest jednak zdeniowa tzw. liczby kardynalne i pos ugiwa si nimi w taki spos b, w jaki u ywamy liczb naturalnych przy badaniu liczebno ci zbior w sko czonych. Chodzi wi c o to, by dla ka dego zbioru A istnia a dok adnie jedna liczba kardynalna, kt r nazwiemy jego moc i oznaczymy symbolem jaj. R wnoliczno zbior w A; B powinna by przy tym scharakteryzowana przez r wno przyporz dkowanych tym zbiorom liczb kardynalnych: A B, jaj = jbj; gdzie znak r wno ci po prawej stronie powy szej r wnowa no ci oznacza bycie t sam liczb kardynaln. Narzuca si pomys, by podobnie jak w przypadku zbior w sko czonych, przypisanie zbiorowi A liczby kardynalnej jaj wi za o si ze wskazaniem pewnego wzorcowego zbioru r wnolicznego z A. Takie post powanie jest tym bardziej naturalne, Dodatek E, wersja 27.10.2004 E { 1

e jak zauwa yli my w wyk adzie 9 (zob. uwag po przyk adzie 9.12) r wnoliczno zbior w ma w asno ci kojarz ce si z relacjami r wnowa no ci. Podobny problem musieli my rozwi za, chc c zdeniowa liczby porz dkowe (zob. dodatek C). Liczby porz dkowe pos u nam teraz do zdeniowania liczb kardynalnych. Przypomnijmy, e (zob. dodatek C) liczb porz dkow nazywamy liczb pocz tkow, je li ka dy w a ciwy odcinek pocz tkowy zbioru O() jest mocy mniejszej ni zbi r O(). Przyjmijmy, e liczby kardynalne s to pocz tkowe liczby porz dkowe. Zatem liczba porz dkowa jest liczb kardynaln, je li jo()j < jo()j dla ka dej liczby porz dkowej <. Poka emy teraz, e denicja ta spe nia nasze oczekiwania. Twierdzenie E.1. Dla ka dego zbioru A istnieje dok adnie jedna liczba kardynalna, dla kt rej A O(). Dow d. We my dowolny zbi r A i spr bujmy znale liczb kardynaln, dla kt rej A O(). Od razu zauwa my, e liczba ta, o ile istnieje, jest jedyna. Istotnie, niech i b d liczbami kardynalnymi takimi, e 6= oraz A O() i A O(). Bez ograniczenia og lno ci za my, e <. Wtedy jednak O(), jako w a ciwy odcinek pocz tkowy zbioru O(), jest mocy mniejszej ni zbi r O(), gdy jest liczb pocz tkow. Wynika st d, e A 6 O(), sprzeczno. Dla dowodu istnienia, zdeniujmy liczb porz dkow jako najmniejsz liczb porz dkow tak, e zbi r A jest r wnoliczny ze zbiorem O(). Zauwa my, e denicja ta jest poprawna, tzn. istniej liczby porz dkowe o w asno ci A O(), a w r d nich jest liczba najmniejsz (zob. uwag po twierdzeniu C.14). Istotnie, twierdzenie Zermelo m wi, e istnieje pewna relacja dobrze porz dkuj ca zbi r A; niech = typ(a; ). W wczas izomorzm zbior w dobrze uporz dkowanych ha; i oraz ho(); i ustala r wnoliczno zbior w A i O(). Oczywiste jest te, e jest liczb kardynaln. Je li bowiem <, to z denicji liczby wynika, ze A 6 O(), wi c O() 6 O(). Ponadto O() O(), wi c jo()j < jo()j. Dodatek E, wersja 27.10.2004 E { 2

Moc zbioru A nazywamy t jedyn liczb kardynaln, dla kt rej A O(). Moc zbioru A oznaczamy symbolem jaj. Je li jaj =, to m wimy, e zbi r A ma moc lub jest zbiorem mocy. Z dowodu twierdzenia E.1 wynika, e moc zbioru A jest najmniejsz liczb porz dkow tak, e A O(). Wniosek E.2. Dla dowolnych zbior w A i B A B, jaj = jbj (znak r wno ci po prawej stronie powy szej r wnowa no ci oznacza, e liczby kardynalne jaj i jbj s identyczne). Zauwa my, e wcze niej pisali my jaj = jbj, chc c wyrazi r wnoliczno zbior w A i B. Wprowadzenie symbolu jaj na oznaczenie mocy zbioru jest z tym zgodne. Przypomnijmy te, e sko czone liczby porz dkowe uto samili my z liczbami naturalnymi. Zatem liczby naturalne to sko czone liczby kardynalne i je li A jest zbiorem sko czonym, to symbol jaj zachowuje sw j wcze niejszy sens. Moc zbioru jest wi c uog lnieniem poj cia liczby element w zbioru. R wnie, jak si zaraz przekonamy, oznaczenia jaj jbj i jaj < jbj, rozumiane jako nier wno ci mi dzy liczbami porz dkowymi jaj i jbj, wyra aj to samo, co dot d. Twierdzenie E.3. Dla dowolnych zbior w A i B (1) jaj < jbj wtedy i tylko wtedy, gdy zbi r A jest mocy mniejszej ni zbi r B. (2) jaj jbj wtedy i tylko wtedy, gdy zbi r A jest mocy nie wi kszej ni zbi r B. Dow d. Niech jaj = i jbj =. Wtedy A O() i B O(). Dla dowodu punktu (1) wystarczy zauwa y, e < wtedy i tylko wtedy, gdy O() O(), co jest r wnowa ne temu, e zbi r O() jest mocy mniejszej ni zbi r O(). Punkt (2) wynika natychmiast z punktu (1). Wniosek E.4. Dla dowolnych zbior w A; B, gdzie A 6=?, oraz liczby kardynalnej Dodatek E, wersja 27.10.2004 E { 3

(1) jbj wtedy i tylko wtedy, gdy zbi r B zawiera podzbi r mocy. (2) jaj wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje ci g pozasko czony ha i < typu taki, e A = fa : < g. Dow d. Zauwa my, e = jo()j i skorzystajmy z twierdzenia E.3 (punkt (2)). Punkt (1) wynika st d natychmiast, a dla dowodu punktu (2) wystarczy przypomnie, e zgodnie z twierdzeniem 6.11 nier wno jaj jo()j, gdzie A 6=?, jest r wnowa na istnieniu funkcji z O() na A. Mo na wi c powiedzie, e niepusty zbi r A jest mocy co najwy ej wtedy i tylko wtedy, gdy jego elementy mo na ustawi w ci g pozasko czony typu. Kolejne twierdzenie przedstawia podstawowe w asno ci liczb kardynalnych. Twierdzenie E.5. Dla dowolnej liczby porz dkowej (1) jest liczb kardynaln wtedy i tylko wtedy, gdy jo()j = ; ponadto, je li nie jest liczb kardynaln, to jo()j <, (2) jest liczb kardynaln wtedy i tylko wtedy, gdy < jo()j dla ka dej liczby porz dkowej <, (3) jest liczb kardynaln wtedy i tylko wtedy, gdy jo()j dla ka dej liczby porz dkowej, (4) je li jest niesko czon liczb kardynaln, to jest graniczn liczb porz dkow, tzn. < ) + 1 <. Dow d. Najpierw za my, e jest liczb kardynaln i poka my, e ma w wczas w asno ci z punkt w (1) { (4). Oczywi cie jo()j =, gdy w a nie = jest tak liczb kardynaln, dla kt rej O() O(). Je li <, to < jo()j, gdy jak zauwa yli my, jo()j =. Je li, to oczywi cie jo()j jo()j =. Za my wreszcie, e liczba kardynalna jest niesko czona (tzn. zbi r O() jest niesko czony) i przypu my, e = + 1 dla pewnej liczby porz dkowej Dodatek E, wersja 27.10.2004 E { 4

<. Wtedy O() = O() [ fg, a st d jo()j = jo() n fgj = jo()j =, gdy usuni cie jednego elementu ze zbioru niesko czonego nie zmienia jego mocy (zob. twierdzenie 7.15). To jednak e przeczy za o eniu, e jest liczb kardynaln. Teraz przyjmijmy, e nie jest liczb kardynaln. Wtedy jo()j 6=, gdy moc dowolnego zbioru jest liczb kardynaln. Nie jest wi c spe niony warunek z punktu (1). Co wi cej, je li jo()j =, to <. Istotnie, w przeciwnym razie <, a st d jo()j < jo()j =, gdy jest liczb kardynaln. To jednak przeczy denicji liczby. W szczeg lno ci liczba = jo()j jest tak liczb mniejsz od, dla kt rej nie jest prawd, e < jo()j. Nie zachodzi wi c warunek z punktu (2). Na koniec zauwa my, e z udowodnionej wcze niej nier wno ci jo()j < wynika zaprzeczenie warunku z punktu (3). Zauwa my, e z ka dym zbiorem A zwi zali my dwa obiekty, kt re jednoznacznie okre laj jego liczebno : moc zbioru A, czyli liczb kardynaln = jaj oraz zbi r O() { wzorcowy zbi r tej w a nie mocy. Je li deniuje si liczby porz dkowe metod von Neumanna, to = O() i ka da liczba kardynalna sama jest wzorcowym zbiorem mocy { zbiorem wszystkich liczb porz dkowych od niej mniejszych. W tym rozdziale nie b dziemy jednak z tego uto samienia korzysta. Przypomnijmy natomiast, e liczb porz dkow nazywamy sko czon (odp. niesko czon, przeliczaln, nieprzeliczaln itp.), je li zbi r O() jest sko czony (odp. niesko czony, przeliczalny, nieprzeliczalny, itd.). Przyk ad E.6. Nie ka da graniczna liczba porz dkowa jest liczb kardynaln. Liczb kardynaln nie jest na przyk ad adna przeliczalna liczba porz dkowa graniczna opr cz liczby!; w szczeg lno ci liczby! +!,!! i!! nie s liczbami kardynalnymi. Najmniejsz niesko czon liczb kardynaln jest najmniejsza niesko czona liczba porz dkowa!. Jest to moc zbioru liczb naturalnych. T liczb kardynaln oznacza si te symbolami! 0 lub @ 0 (alef zero). Mamy wi c jnj = @ 0 i zbiory przeliczalne nazywamy cz sto zbiorami mocy alef zero. Zbi r A jest niesko czony wtedy i tylko wtedy, gdy jaj @ 0. Najmniejsz nieprzeliczaln liczb kardynaln jest najmniejsza nieprzeliczalna liczba porz dkowa! 1. Oznacza si j te symbolem @ 1 (alef jeden). Jest ona Dodatek E, wersja 27.10.2004 E { 5

najmniejsz liczb kardynaln wi ksz od @ 0. Zbi r A jest nieprzeliczalny wtedy i tylko wtedy, gdy jaj @ 1. Liczby kardynalne @ 0 i @ 1 stanowi pocz tek skali niesko czonych liczb kardynalnych, tzw. skali alef w: @ 0 ; @ 1 ; @ 2 ; : : : ; @! ; @!+1 ; : : : czyli rosn cej numeracji kolejnych niesko czonych liczb kardynalnych za pomoc liczb porz dkowych. Dok adniej, @ (alef alfa), gdzie jest liczb porz dkow, oznacza liczb kardynaln tak, e typ porz dkowy zbioru wszystkich niesko czonych liczb kardynalnych mniejszych od (dobrze uporz dkowanego przez relacj por wnywania liczb porz dkowych) jest r wny. M wi c nieformalnie, @ jest -t, licz c od zera, niesko czon liczb kardynaln. Oczywi cie ka da niesko czona liczba kardynalna jest r wna @ dla (dok adnie jednej) liczby porz dkowej danej wzorem: = typ(f 2 O() : jest niesko czon liczb kardynaln g): Istnienie liczby @ dla dowolnej liczby porz dkowej uzyskamy jako wniosek z nast puj cego twierdzenia, kt re raz jeszcze potwierdza poczynion w wyk adzie 6 uwag, e istnieje niezmierne bogactwo mocy zbior w niesko czonych (zob. twierdzenia 6.27). Twierdzenie E.7. (1) Dla ka dej liczby porz dkowej istnieje liczba kardynalna wi ksza od. (2) Dla ka dego zbioru A, z o onego z liczb kardynalnych, istnieje liczba kardynalna wi ksza od wszystkich liczb ze zbioru A. (3) Nie istnieje zbi r, z o ony ze wszystkich liczb kardynalnych. Dow d. Dla dowodu punktu (1) wystarczy zauwa y, e na mocy twierdzenia Cantora mamy jp(o())j > jo()j: Zatem z twierdzenia E.5 (punkt (3)) wynika, e jp(o())j > : Dodatek E, wersja 27.10.2004 E { 6

Je li A jest zbiorem, z o onym z liczb kardynalnych, to z twierdzenia C.18 (punkt (1)) wynika, e istnieje liczba porz dkowa wi ksza od wszystkich liczb ze zbioru A. Wystarczy teraz skorzysta z punktu (1). Punkt (3) wynika natychmiast z punktu (2). Wniosek E.8. Dla dowolnej liczby porz dkowej istnieje liczba kardynalna @. Dow d. Dla = 0 mamy @ 0 =!. Niech wi c > 0 i za my, e dla ka dej liczby porz dkowej < istnieje @. Poka emy, e wynika st d istnienie liczby @, co na mocy zasady indukcji pozasko czonej zako czy dow d. Rozwa my zbi r liczb kardynalnych A = f@ : < g. Z twierdzenia E.7 wynika, e istniej liczby kardynalne wi ksze od ka dej liczby ze zbioru A; niech b dzie najmniejsz z nich. Twierdzimy, e = @. Niech wi c B = f 2 O() : jest niesko czon liczb kardynaln g; oraz = typ(b; ); wtedy = @ i chcemy pokaza, e =. Zauwa my, e typ(a; ) =, gdy funkcja f : O()?! A dana wzorem f() = @, jest izomorzmem. Wystarczy wi c udowodni, e B = A. Zawieranie A B wynika wprost z denicji liczby. Dla dowodu inkluzji odwrotnej we my 2 B. Wtedy = @ dla pewnej liczby porz dkowej. Co wi cej, <, gdy w przeciwnym razie liczba = @ by aby wi ksza od wszystkich liczb ze zbioru A i zarazem mniejsza od liczby, wbrew jej denicji. Zatem 2 A, co ko czy dow d. Na oznaczenie liczby @ o ywa si te symbolu! ; zwyczajowo, @ oznacza na og moc zbioru, za! { typ porz dkowy zbioru dobrze uporz dkowanego (o ile jest on liczb kardynaln ). Formalnie jednak mamy: @ =!. Moc zbioru liczb rzeczywistych nazywa si continuum i oznacza symbolem c. Mamy wi c jrj = c; w wyk adzie 8 pokazali my wiele innych przyk ad w zbior w mocy continuum. Oczywi cie liczba c znajduje si gdzie na skali alef w powy ej liczby @ 0. Cantor przypuszcza, e c = @ 1 i zdanie to nazywane jest hipotez continuum (w Dodatek E, wersja 27.10.2004 E { 7

skr cie CH od angielskiej nazwy Continuum Hypothesis). Jak jednak wspomnieli my w wyk adzie 8, jest ono niezale ne od aksjomat w teorii mnogo ci ZFC. Z jednej strony mo na je przyj jako dodatkowy aksjomat, z drugiej strony Cohen pokaza, e dodatkowym aksjomatem mo e by ka de z osobna ze zda postaci c = @ 2, c = @ 3 itd. (ale ju na przyk ad nie mo e nim by adna z r wno ci c = @!, c = @!+! lub c = @!!, gdy s one po prostu fa szywe { zob. twierdzenie E.21). Na liczbach kardynalnych mo na wykonywa dzia ania, analogiczne do dzia a arytmetycznych na liczbach naturalnych. Dla liczb kardynalnych i deniujemy (1) sum (kardynaln ) wzorem + = ja [ Bj; gdzie jaj = ; jbj = oraz A \ B =?; (2) iloczyn (kardynalny) wzorem = ja Bj; gdzie jaj = ; jbj = ; (3) pot g (kardynaln ) wzorem = ja B j; gdzie jaj = ; jbj = : W powy szych denicjach A i B s dowolnymi zbiorami takimi, e jaj = i jbj =, a w przypadku denicji sumy dodatkowo zak adamy, e A \ B =?. Poprawno tych denicji (zdeniowane liczby kardynalne zale jedynie od liczb kardynalnych i ) opiera si na nast puj cym lemacie, b d cym przypomnieniem poznanych ju wcze niej fakt w (zob. lematy 8.7 i 8.16). Lemat E.9. Niech A 1 A 2 i B 1 B 2. Wtedy (1) je li A 1 \ B 1 = A 2 \ B 2 =?, to A 1 [ B 1 A 2 [ B 2, (2) A 1 B 1 A 2 B 2, (3) A B 1 1 A B 2 2. Innymi s owy, moce zbior w A B, AB oraz A[B (w tym ostatnim przypadku zak adamy, e A \ B =?) zale wy cznie od mocy zbior w A i B. Dodatek E, wersja 27.10.2004 E { 8

Wniosek E.10. Dla dowolnych zbior w A i B: (1) jaj + jbj = ja [ Bj, o ile A \ B =?, (2) jaj jbj = ja Bj, (3) jaj jbj = ja B j. Wprost z denicji i w asno ci odpowiednich dzia a na zbiorach atwo wynika, e suma kardynalna i iloczyn kardynalny s dzia aniami przemiennymi, cznymi, a mno enie jest rozdzielne wzgl dem dodawania: ( + ) = + : Odnotujmy r wnie nast puj ce prawa motoniczno ci, kt rych atwe dowody pozostawiamy jako wiczenie. (1) ) + +, (2) ), (3) ), (4) ). Poza tym pot gowanie kardynalne u atwiaj nast puj ce wzory, uog lniaj ce znane prawa arytmetyki liczb naturalnych. Twierdzenie E.11. Dla dowolnych liczb kardynalnych, i zachodz wzory (1) ( ) = ; (2) ( ) = ; (3) + =. Dow d. We my dowolne zbiory A; B i C takie, e jaj = ; jbj = ; jcj =. Poniewa w wczas j(a B ) C j = ( ) oraz ja BC j = ; wi c dla dowodu wzoru (1) wystarczy pokaza, e (A B ) C A BC : Dodatek E, wersja 27.10.2004 E { 9

Okre lmy zatem odwzorowanie : (A B ) C?! A BC w nast puj cy spos b. Niech f 2 (A B ) C, czyli f : C?! A B. Je li wi c f c oznacza warto funkcji f w punkcie c 2 C, to f c jest pewn funkcj ze zbioru B w zbi r A. Warto ci odwzorowania dla argumentu f ma by pewna funkcja (f) = g : B C?! A. Okre lmy j wzorem g(b; c) = f c (b) dla b 2 B; c 2 C: Odwzorowanie jest r nowarto ciowe. Istotnie, je li f; h 2 (A B ) C oraz f 6= h, to f c 6= h c dla pewnego c 2 C. Zatem f c (b) 6= h c (b) dla pewnego b 2 B. To jednak znaczy, e (f)(b; c) 6= (h)(b; c), czyli (f) 6= (h). Zauwa my nast pnie, e przeciwdziedzin odwzorowania jest zbi r A BC. Mianowicie, dowolna funkcja g : BC?! A jest postaci (f) dla funkcji f 2 (A B ) C okre lonej wzorem f c (b) = g(b; c) dla b 2 B; c 2 C: Odwzorowanie ustala zatem r wnoliczno zbior w (A B ) C i A BC. Podobnie, j(a B) C j = ( ) oraz ja C B C j = ; wi c dla dowodu wzoru (2) wystarczy pokaza, e (A B) C A C B C : Niech funkcje p A : A B?! A oraz p B : A B?! B b d rzutowaniami, odpowiednio, na o A oraz o B, tzn. p A (a; b) = a oraz p B (a; b) = b dla ha; bi 2 A B: Zdeniujmy odwzorowanie : (A B) C?! A C B C Dodatek E, wersja 27.10.2004 E { 10

za pomoc wzoru (g) = hp 1 g; p 2 gi dla g 2 (A B) C : Odwzorowanie przyporz dkowuje wi c funkcji g : C?! (A B) par takich funkcji: g 1 : C?! A oraz g 2 : C?! B, e g(c) = hg 1 (c); g 2 (c)i dla ka dego c 2 C. atwe sprawdzenie, e przekszta ca ono wzajemnie jednoznacznie zbi r (A B) C na zbi r A C B C, pozostawiamy jako wiczenie (zob. zadanie 5.5). W ko cu, je li dodatkowo za o ymy, e B \ C =?, to ja B[C j = + oraz ja B A C j = ; wi c dow d wzoru (3) sprowadza si do pokazania, e A B[C A B A C : Okre lmy wi c odwzorowanie : A B[C?! A B A C wzorem (g) = hgjb; gjci dla g 2 A B[C : Odwzorowanie przyporz dkowuje wi c funkcji g : B [ C?! A par funkcji: gjb : B?! A oraz gjc : C?! A. Rutynowe sprawdzenie, e przekszta ca ono wzajemnie jednoznacznie zbi r A B[C na zbi r A B A C, pozostawiamy r wnie jako wiczenie (zob. podobne rozumowanie w dowodzie twierdzenia 7.9 { dodatek B oraz zadanie 5.6). Zauwa my, e sum i iloczyn liczb kardynalnych oznaczyli my tymi samymi symbolami, co odpowiednie dzia ania na liczbach porz dkowych. Teoretycznie mo e to prowadzi do nieporozumie, gdy liczby kardynalne s pewnymi liczbami porz dkowymi. Na og jednak z kontekstu jasno wynika, o jakie dzia anie chodzi w konkretnym wypadku. Jak widzimy, twierdzeniom teorii r wnoliczno ci mo na nadawa form wzor w arytmetyki liczb kardynalnych. Zapiszemy teraz w ten spos b szereg fakt w, Dodatek E, wersja 27.10.2004 E { 11

dotycz cych przede wszystkim zbior w co najwy ej przeliczalnych i zbior w mocy continuum, kt re udowodnili my w toku wyk ad w po wi conych r wnoliczno ci. Twierdzenie E.12. (1) 2 > dla dowolnej liczby kardynalnej, (2) @ 0 + @ 0 = @ 0, (3) @ 0 @ 0 = @ 0, (4) @ 0 n = @ 0 dla dowolnej liczby naturalnej n > 0, (5) 2 @ 0 = @ 0 @ 0 = c, (6) c + c = c, (7) c c = c, (8) c n = c dla dowolnej liczby naturalnej n > 0, (9) c @ 0 = c, (10) 2 c = c c. Dow d. Powy sze wzory wyra aj odpowiednio nast puj ce fakty: (1) twierdzenie Cantora (por. twierdzenie 6.6); wystarczy zauwa y, e dla ka dego zbioru A mamy jp(a)j = jf0; 1g A j = 2 jaj : (2) suma dw ch zbior w przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym (por. wniosek 7.24), (3) iloczyn kartezja ski dw ch zbior w przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym (por. twierdzenie 7.28), (4) zbi r wszystkich ci g w ustalonej sko czonej d ugo ci n > 0 o wyrazach w danym zbiorze przeliczalnym jest zbiorem przeliczalnym (por. twierdzenie 7.33), (5) zbi r wszystkich niesko czonych ci g w o wyrazach w zbiorze f0; 1g, a tak e zbi r wszystkich niesko czonych ci g w o wyrazach w danym zbiorze przeliczalnym s zbiorami mocy continuum (por. twierdzenie 8.1), (6) suma dw ch zbior w mocy continuum jest zbiorem mocy continuum (por. twierdzenie 8.10), Dodatek E, wersja 27.10.2004 E { 12

(7) iloczyn kartezja ski dw ch zbior w mocy continuum jest zbiorem mocy continuum (por. twierdzenie 8.8), (8) zbi r wszystkich ci g w ustalonej sko czonej d ugo ci n > 0 o wyrazach w danym zbiorze mocy continuum jest zbiorem mocy continuum (por. twierdzenie 8.12), (9) zbi r wszystkich ci g w niesko czonych o wyrazach w danym zbiorze mocy continuum jest zbiorem mocy continuum (por. twierdzenie 8.17), (10) rodzina wszystkich podzbior w zbioru R jest r wnoliczna ze zbiorem wszystkich funkcji rzeczywistych (por. twierdzenie 8.32). Przy okazji zauwa my, e dowody niekt rych z powy szych wzor w mo na zredagowa w zwi z y spos b, pos uguj c si poznanymi w twierdzeniu E.11 prawami pot gowania liczb kardynalnych. Przyk adowo (7) c c = 2 @ 0 2 @ 0 = 2 @ 0+@ 0 = 2 @ 0 = c, (9) c @ 0 = (2 @ 0 ) @0 = 2 @ 0@ 0 = 2 @ 0 = c, (10) c c = (2 @ 0 ) c = 2 @ 0c = 2 c. W wyk adach 8 i 13 wspominali my o twierdzeniu Hessenberga, kt re m wi, e je li T jest zbiorem niesko czonym, to T T T. W j zyku liczb kardynalnych stanowi ono uog lnienie wzor w: @ 0 @ 0 = @ 0 oraz c c = c: Twierdzenie E.13. (Hessenberg) Dla dowolnej niesko czonej liczby kardynalnej zachodzi r wno = : () Poka emy dwa niezale ne dowody twierdzenia Hessenberga. Pierwszy z nich oparty b dzie na lemacie Kuratowskiego-Zorna. Dow d twierdzenia Hessenberga { wersja I. Niech T b dzie dowolnym zbiorem mocy. Deniujemy zbi r X z o ony z funkcji f o nast puj cych w asno ciach: Dodatek E, wersja 27.10.2004 E { 13

(1) zbi r D f jest niesko czony, (2) D f T, (3) R f = D f D f, (4) funkcja f jest r nowarto ciowa. Poka emy, e zbi r X, cz ciowo uporz dkowany przez relacj inkluzji, spe nia za o enia lematu Kuratowskiego-Zorna. Zauwa my najpierw, e X 6=?. Istotnie, skoro zbi r T jest niesko czony, to zawiera podzbi r przeliczalny S. Istnieje wi c funkcja f : S??! 1?1 S S i w wczas f 2 X. Niech teraz L b dzie niepustym a cuchem w zbiorze X; poka emy, e zbi r h = S L nale y do X. Rozumuj c tak, jak w dowodzie twierdzenia 13.7, stwierdzamy bez trudu, e h jest funkcj r nowarto ciow. Ponadto na D h = [ fd f : f 2 Lg T i zbi r D h jest niesko czony, gdy L 6=?. Analogicznie, R h = [ fr f : f 2 Lg = [ fd f D f ) : f 2 Lg D h D h : Dla wykazania, e h 2 X, pozostaje udowodni zawieranie D h D h R h. We my wi c dowolne elementy t 1 ; t 2 2 D h. Istniej wtedy funkcje f 1 ; f 2 2 L takie, e t 1 2 D f1 oraz t 2 2 D f2. Ale L jest zbiorem liniowo uporz dkowanym przez relacj inkluzji, zatem jedna z tych funkcji, powiedzmy f 2, zawiera drug. Wynika st d, e t 1 ; t 2 2 D f2. Ale f 2 2 L, wi c D f2 D f2 = R f2. Zatem ht 1 ; t 2 i 2 R f2, co implikuje, e ht 1 ; t 2 i 2 R h. Skoro suma ka dego niepustego a cucha w X nale y do X, to z lematu Kuratowskiego-Zorna (zob. twierdzenie 13.2) wynika, e w rodzinie X istnieje element maksymalny g. Niech D g = A oraz = jaj. Zauwa my, e funkcja g wiadczy o Dodatek E, wersja 27.10.2004 E { 14

tym, e AA A. Wynika st d, e =. Dla zako czenia dowodu wystarczy wi c pokaza, e =. Przypu my, e jest przeciwnie, czyli <. Zauwa my, e skoro jest niesko czon liczb kardynaln oraz =, to z twierdzenia 8.11 wynika, e suma sko czenie wielu zbior w mocy co najwy ej jest zbiorem mocy co najwy ej. W szczeg lno ci, jt n Aj >, gdy w przeciwnym wypadku zbi r T by by mocy co najwy ej jako suma zbior w A oraz T n A, mocy co najwy ej. Skoro jt n Aj >, to z wniosku E.4 (punkt 1.) wynika, e istnieje zbi r B T n A mocy. Niech C = A [ B; oczywi cie zbi r C jest mocy, jako suma dw ch zbior w mocy. Znajdziemy funkcj f : C 1?1??! na C C; tak e fja = g. Istnienie takiej funkcji przeczy maksymalno ci funkcji g w zbiorze X i uzyskana sprzeczno zako czy dow d. Zauwa my, e C C = (A A) [ (A B) [ (B A) [ (B B) i zbiory wyst puj ce po prawej stronie powy szej r wno ci s parami roz czne. Zatem (C C) n (A A) = (A B) [ (B A) [ (B B): St d wynika, e j(c C) n (A A)j = Istotnie, ka dy ze zbior w A B; B A; B B ma moc, jako iloczyn kartezja ski dw ch zbior w mocy ; ich suma ma wi c te moc. Zatem w szczeg lno ci, B (C C) n (A A); Dodatek E, wersja 27.10.2004 E { 15

Funkcj f : C 1?1??! na C C okre lamy teraz w nast puj cy spos b: fja = g, natomiast jako fjb bierzemy dowoln funkcj ustalaj c r wnoliczno zbior w B oraz (C C) n (A A). Drugi dow d twierdzenia Hessenberga przeprowadzimy przez indukcj pozasko czon. Mianowicie, chc c udowodni, e ka da niesko czona liczba kardynalna ma pewn w asno W (x) wystarczy pokaza, e dla ka dej liczby porz dkowej zachodzi warunek 8 < W (@ ) ) W (@ ): R wnowa nie, po pierwsze nale y pokaza, e W (@ 0 ); nast pnie wzi liczb kardynaln > @ 0, jako za o enie indukcyjne przyj, e W () dla ka dej niesko czonej liczby kardynalnej < i wyprowadzi st d wniosek, e W (). Dow d twierdzenia Hessenberga { wersja II. Po pierwsze zauwa my, e dla = @ 0 wz r () zachodzi. Niech teraz > @ 0 i za my (za o enie indukcyjne), e r wno () jest prawdziwa dla ka dej niesko czonej liczby kardynalnej <. Poka emy, e jest ona r wnie prawdziwa dla. W zbiorze O() O() wprowad my porz dek liniowy w nast puj cy spos b: h; i h; i wtedy i tylko wtedy, gdy (max(; ) < max(; )) _ (max(; ) = max(; ) ^ h; i leks h; i); gdzie leks oznacza relacj porz dku leksykogracznego w zbiorze O() O() (sprawdzenie, e relacja rzeczywi cie jest porz dkiem liniowym pozostawiamy jako wiczenie). Zauwa my, e relacja dobrze porz dkuje zbi r O() O(). Mianowicie, niech A b dzie niepustym podzbiorem zbioru O() O(). Niech b dzie najmniejsz liczb porz dkow w zbiorze W = fmax(; ) : h; i 2 Ag: Rozwa my zbi r ~A = fh; i 2 A : max(; ) = g: Dodatek E, wersja 27.10.2004 E { 16

Z twierdzenia 12.3 (punkt (4)) wynika, e w zbiorze ~ A istnieje element najmniejszy h; i w sensie porz dku leks. Korzystaj c z denicji porz dku atwo sprawdzi, e h; i jest szukanym elementem najmniejszym zbioru A w sensie tego porz dku. Niech = typ(o() O(); ): Poka emy, e =, co zako czy dow d, gdy w wczas w szczeg lno ci co jest r wnowa ne r wno ci (). O() O() O(); Dla dowodu nier wno ci zauwa my, e funkcja 7! h0; i jest izomor- cznym w o eniem zbioru O(), typu porz dkowego, w zbi r dobrze uporz dkowany (przez relacj ) O() O(), typu porz dkowego. Dla dowodu nier wno ci odwrotnej oszacujmy moc dowolnego w a ciwego odcinka pocz tkowego O (h; i), gdzie ; <. Z denicji porz dku wynika, e je li h; i h; i, to ; max(; ). Zatem O (h; i) O() O(); gdzie = max(; ) + 1. Zauwa my te, e skoro ; <, to r wnie <, gdy na mocy twierdzenia E.5 (punkt (4)) jest graniczn liczb porz dkow. St d jo()j <, a wi c jo()j = dla pewnej niesko czonej liczby kardynalnej <. Z za o enia indukcyjnego otrzymujemy teraz jo() O()j = = ; sk d ostatecznie jo (h; i)j < : Pokazali my, e moc dowolnego w a ciwego odcinka pocz tkowego zbioru dobrze uporz dkowanego ho() O(); i jest mniejsza od. Poniewa = typ(o() O(); ); wi c r wnie dowolny w a ciwy odcinek pocz tkowy zbioru dobrze uporz dkowanego ho() i jest mocy mniejszej od : jo()j < dla ka dej liczby porz dkowej Dodatek E, wersja 27.10.2004 E { 17

<. To dowodzi, e ; w przeciwnym razie < i dla = mieliby my < oraz jo()j = jo()j =, na mocy twierdzenia E.5 (punkt (1)). Z zasady indukcji pozasko czonej wynika, e wz r () jest prawdziwy dla ka dej liczby porz dkowej. Jak pokazali my w wyk adzie 8 (zob. twierdzenie 8.11 i uwagi po nim), z twierdzenia Hessenberga natychmiast wynikaj uog lnienia niekt rych twierdze, kt re wcze niej udowodnili my dla zbior w co najwy ej przeliczalnych oraz zbior w mocy co najwy ej continuum. Sformu ujemy je teraz w j zyku liczb kardynalnych, w odniesieniu do zbior w mocy co najwy ej, gdzie jest dowoln niesko czon liczb kardynaln. Twierdzenie E.14. Za my, e jest niesko czon liczb kardynaln. Wtedy (1) Je li K jest rodzin zbior w mocy co najwy ej (tzn. dla ka dego A 2 K mamy jaj ) oraz jkj, to j S Kj. (2) n = dla ka dej liczby naturalnej n > 0. (3) Zbi r wszystkich sko czonych ci g w o wyrazach w zbiorze mocy ma moc. (4) Zbi r wszystkich sko czonych podzbior w zbioru mocy ma moc. Z twierdzenia Hessenberga wynika, e dzia ania sumy i iloczynu liczb kardynalnych, z kt rych co najmniej jedna jest niesko czona, s w gruncie rzeczy bardzo proste. Twierdzenie E.15. Je li i s liczbami kardynalnymi, z kt rych co najmniej jedna jest niesko czona, to (1) + = max(; ), (2) = max(; ); o ile ; > 0. Dow d. Za my, e oraz @ 0. Mamy nast puj ce oszacowania + + = 2 = oraz, o ile ; > 0; = ; kt rych szczeg owe uzasadnienie pozostawiamy Czytelnikowi. Dodatek E, wersja 27.10.2004 E { 18

Wniosek E.16. Niech A i B b d dowolnymi zbiorami, z kt rych co najmniej jeden jest niesko czony. Wtedy (1) ja [ Bj = max(jaj; jbj), (2) ja Bj = max(jaj; jbj); o ile A; B 6=?: Jako kolejny wniosek otrzymujemy nast puj ce uog lnienie twierdzenia E.14 (punkt (1)). Jego dow d zostawiamy jako wiczenie. Twierdzenie E.17. Niech i b d liczbami kardynalnymi, z kt rych co najmniej jedna jest niesko czona. Je li K jest rodzin zbior w mocy co najwy ej (tzn. dla ka dego A 2 K mamy jaj ) oraz jkj, to j S Kj max(; ). W wyk adzie 8 udowodnili my, e aden zbi r mocy continuum nie jest sum dw ch swoich podzbior w mocy mniejszej ni continuum (zob. lemat 8.23). Kolejny wniosek z twierdzenia Hessenberga uog lnienia ten fakt na dowolne zbiory niesko czone. Twierdzenie E.18. Niech X b dzie dowolnym zbiorem niesko czonym oraz K { sko czon rodzin podzbior w zbioru X, z kt rych ka dy jest mocy mniejszej ni X. W wczas j S Kj < jxj, w szczeg lno ci S K 6= X. Dow d. Niech liczba kardynalna b dzie najwi kszym elementem sko czonego zbioru fjaj : A 2 Kg. Wtedy < jxj i z twierdzenia E.17 wynika, e j S Kj. Narzuca si pytanie, czy twierdzenie E.18 mo na rozszerzy na przeliczalne rodziny podzbior w zbioru X. Oczywi cie trzeba w wczas zak ada, e zbi r X jest nieprzeliczalny, gdy ka dy zbi r przeliczalny jest sum przeliczalnie wielu swoich podzbior w sko czonych (nawet jednoelementowych). Kolejne twierdzenie i nast puj cy po nim przyk ad rzucaj wiat o na ten problem. Twierdzenie E.19. Niech X b dzie dowolnym nieprzeliczalnym zbiorem mocy oraz K { przeliczaln rodzin podzbior w zbioru X, kt rych moce s wsp lnie ograniczone przez pewn niesko czon liczb kardynaln <. W wczas j S Kj < jxj, w szczeg lno ci S K 6= X. Dodatek E, wersja 27.10.2004 E { 19

Dow d. Powtarzamy argument z dowodu twierdzenia E.18: z twierdzenia E.17 wynika, e j S Kj. Uwaga. To twierdzenie mo na uog lni, przyjmuj c za o enie, e K jest rodzin mocy mniejszej od. Dow d pozostanie bez zmian. Przyk ad E.20. (1) Niech X = O(@! ) oraz A n = O(@ n ) dla n 2 N. Wtedy [ X = A n ; n<! a jednocze nie ja n j < jxj dla ka dego n 2 N. Istotnie, je li 2 O(@! ), czyli < @!, to jj < @!, gdy @! jest liczb pocz tkow. Zatem albo jj < @ 0 i wtedy 2 A 0 albo jj = @ n dla pewnego n 2 N i w wczas < @ n+1, czyli 2 A n+1. (2) Niech X = O(@!+! ) oraz A n = O(@!+n ) dla n 2 N. Wtedy [ X = A n ; n<! a jednocze nie ja n j < jxj dla ka dego n 2 N. (3) Niech X = O(@!! ) oraz A n = O(@! n) dla n 2 N. Wtedy [ X = A n ; n<! a jednocze nie ja n j < jxj dla ka dego n 2 N. Mo e si zatem zdarzy, e zbi r X nieprzeliczalnej mocy jest sum przeliczalnie wielu swoich podzbior w mocy mniejszej ni (przy czym moce tych zbior w nie mog by wsp lnie ograniczone przez adn liczb < ). Oczywi cie zale y to jedynie od mocy zbioru X, czyli liczby kardynalnej. Mamy na przyk ad nast puj ce twierdzenie, wzmacniaj ce nier wno c > @ 0. Twierdzenie E.21. aden zbi r mocy continuum nie jest sum przeliczalnie wielu swoich podzbior w mocy mniejszej ni continuum. Dow d. Wystarczy rozwa y przypadek, gdy rozpatrywanym zbiorem mocy continuum jest zbi r A = R N wszystkich niesko czonych ci g w rzeczywistych. Dodatek E, wersja 27.10.2004 E { 20

Niech fs k : k 2 Ng b dzie rodzin podzbior w zbioru A tak, e js k j < c dla ka dego k 2 N. Chcemy pokaza, e A 6= S S n : Rozwa aj c rzutowanie na k-t o, tzn. funkcj p k : R N na??! R, okre lon wzorem n2n p k? (xn ) n2n = xk stwierdzamy, e jp k [S k ]j js k j < c i wybieramy y k 2 R n k [S k ]. Wtedy (y n ) n2n 62 [ n2n S n ; a wi c A n S n2n S n 6=?. Twierdzenie to, cznie z przyk adem E.20 wyja nia, dlaczego nie mo na jako dodatkowego aksjomatu przyj na przyk ad adnej z r wno ci c = @!, c = @!+! lub c = @!!. Niech b dzie dowoln niesko czon liczb kardynaln. Najmniejsza liczba kardynalna taka, e zbi r mocy jest sum swoich podzbior w, z kt rych ka dy jest mocy mniejszej ni, nazywa si wsp czynnikiem wsp ko cowo- ci liczby kardynalnej i jest oznaczana cf(). Je li cf() =, to m wimy te, e liczba kardynalna ma wsp ko cowo. Nazw wsp czynnik wsp ko cowo ci" wyja ni twierdzenie E.26. Jasne jest, e dla ka dej liczby kardynalnej zachodzi nier wno cf(). Z twierdzenia E.18 wynika tak e, e cf() @ 0. Oczywi cie cf(@ 0 ) = @ 0. Poznali my te przyk ady nieprzeliczalnych liczb kardynalnych o przeliczalnej wsp ko cowo- ci, czyli takich liczb, dla kt rych cf() = @ 0 (zob. przyk ad E.20). Z drugiej strony, twierdzenie E.21 pokazuje, e cf(c) > @ 0. Skoro zbi r mocy continuum nie jest sum przeliczalnie wielu zbior w mocy mniejszej, to powstaje naturalne pytanie, czy w og le mo e on by sum mniej ni continuum zbior w mocy mniejszej, tzn., czy cf(c) = c. Niesko czon liczb kardynaln nazywamy liczb regularn, je li cf() = ; je li cf() <, to jest liczb nieregularn. Innymi s owy, liczba jest regularna, je li dowolna suma mniej ni zbior w mocy mniejszej ni ma moc mniejsz ni. Dodatek E, wersja 27.10.2004 E { 21

Oczywistym przyk adem liczby regularnej jest @ 0. Liczba @ 1 te jest regularna, poniewa zbiory mocy mniejszej ni @ 1 to po prostu zbiory co najwy ej przeliczalne, a suma co najwy ej przeliczalnie wielu zbior w co najwy ej przeliczalnych jest zbiorem co najwy ej przeliczalnym. Powy sze spostrze enie mo na uog lni na niesko czone liczby kardynalne postaci @ +1. Zauwa my, e @ +1 jest najmniejsz liczb kardynaln wi ksz od @. Og lnie, je li jest dowoln liczb kardynaln, to najmniejsz liczb kardynaln wi ksz od nazywamy nast pnikiem kardynalnym liczby i oznaczamy symbolem +. Zatem @ +1 = @ +. Liczby postaci + nazywamy nast pnikami kardynalnymi. Twierdzenie E.22. Ka dy niesko czona liczba kardynalna b d ca nast pnikiem kardynalnym jest liczb regularn. Dow d. Niech = + b dzie dan niesko czon liczb kardynaln. Wystarczy zauwa y, e zbiory mocy mniejszej ni to po prostu zbiory mocy co najwy ej, a zgodnie z twierdzeniem E.14 suma co najwy ej wielu takich zbior w ma moc co najwy ej, a wi c mniejsz ni. Ka da liczba @ n, gdzie n 2 N, jest wi c regularna. Przyk adem liczby nieregularnej jest @!, gdy zgodnie z przyk adem E.20 cf(@! ) = @ 0 < @! : Nieregularna jest te liczba @!1, czyli najmniejsza liczba kardynalna, poni ej kt rej jest nieprzeliczalnie wiele niesko czonych liczb kardynalnych. Mianowicie, nietrudno pokaza, e cf(@!1 ) = @ 1 < @!1 : Liczby @!1 oraz @! nie s nast pnikami kardynalnymi { takie liczby nazywamy granicznymi liczbami kardynalnymi. Dok adniej, jest graniczn liczb kardynaln, je li jest nieprzeliczalna oraz + < dla ka dej liczby kardynalnej <. Zauwa my, e @ jest graniczn liczb kardynaln wtedy i tylko wtedy, gdy jest graniczn liczb porz dkow. Z twierdzenia E.22 wynika, e ka da liczba kardynalna nieregularna jest graniczn liczb kardynaln. Nieprzeliczalne regularne graniczne liczby kardynalne nazywamy liczbami s abo nieosi galnyni. Zatem liczba kardynalna jest s abo nieosi galna, je li > @ 0, cf() = oraz < ) + <. Je li dodatkowo Dodatek E, wersja 27.10.2004 E { 22

<, to liczba jest mocno nieosi galna (lub kr tko: nieosi - < ) 2 galna). Aksjomaty teorii mnogo ci nie rozstrzygaj kwestii istnienia liczb s abo b d mocno nieosi galnych. Wr my do pytania, czy continuum jest liczb regularn. Znowu okazuje si, e aksjomaty teorii mnogo ci nie daj na nie odpowiedzi. Przypomnijmy, e hipotez continuum mo na r wnowa nie sformu owa jako r wno c = @ 1. Je li wi c przyjmiemy t r wno jako dodatkowy aksjomat, to liczba c jest regularna. Ale z drugiej strony, dodatkowym aksjomatem mo e te by r wno c = @!1, z kt rej wynika, e c jest liczb nieregularn. Og lnie, Cohen udowodni, e nier wno cf(@ ) > @ 0 jest jedynym ograniczeniem, narzuconym (zob. twierdzenie E.21) przez aksjomaty ZFC na warto liczby kardynalnej c = @ na skali alef w. Poniewa c = 2 @ 0, wi c z twierdzenia E.21 wynika nier wno cf(2 @ 0 ) > @ 0. Ma ona nast puj ce uog lnienie, wzmacniaj ce twierdzenie Cantora, zgodnie z kt rym 2 >. Twierdzenie E.23. Dla dowolnej niesko czonej liczby kardynalnej cf(2 ) > : Dow d. Chcemy udowodni, e zbi r mocy 2 nie jest sum swoich podzbior w, z kt rych ka dy jest mocy mniejszej ni 2. Wystarczy rozwa y przypadek, gdy rozpatrywanym zbiorem mocy 2 jest zbi r A = P() O() wszystkich funkcji z O() w P(). Istotnie, jaj = 2, gdy co wynika z twierdze E.11 i E.13. jp() O() j = (2 ) = 2 = 2 ; Dalej rozumujemy tak, jak w dowodzie twierdzenia E.21. Niech wi c fs : < g b dzie rodzin podzbior w zbioru A tak, e js j < 2 dla ka dego <. Chcemy pokaza, e A 6= S S : < Rozwa aj c rzutowanie na -t o, tzn. funkcj p : P() O() na??! P(), okre lon wzorem p (X : < ) = X ; Dodatek E, wersja 27.10.2004 E { 23

stwierdzamy, e jp [S ]j js j < 2 i wybieramy Y 2 P() n p [S ]. Wtedy (Y : < ) 62 [ < S ; a wi c A n S < S 6=?. W. Easton udowodni, e nier wno cf(2 ) > jest jednym z dw ch tylko ogranicze, narzuconych przez aksjomaty ZFC na warto ci pot g 2 regularnych liczb. Drugim jest oczywisty fakt, e < ) 2 2. Zauwa my wi c, e aksjomaty nie rozstrzygaj w szczeg lno ci czy z tego, e jaj < jbj wynika, e jp(a)j < jp(b)j. Na przyk ad, bez sprzeczno ci mo na przyj jako dodatkowy aksjomat, e zbi r mocy @ 1 ma continuum podzbior w, tzn. 2 @ 0 = 2 @ 1. Je li chodzi o warto ci pot g 2 nieregularnych liczb, to sytuacja jest znacznie bardziej skomplikowana. Na przyk ad J. Silver udowodni, e je li jest nieregularn liczb kardynaln o nieprzeliczalnej wsp ko cowo ci, to z tego, e dla ka dej niesko czonej liczby kardynalnej < zachodzi 2 = + wynika, e 2 = +. Twierdzenie Silvera wi e si z tzw. uog lnion hipotez continuum (w skr cie GCH od angielskiej nazwy Generalized Continuum Hypothesis). Jest to zdanie stwierdzaj ce, e 2 = + dla ka dej niesko czonej liczby kardynalnej. W szczeg lno ci z GCH wynika CH: 2 @ 0 = @ 1, ale r wnie 2 @ 1 = @ 2 itd. K. Godel udowodni, e uog lniona hipoteza continuum jest niesprzeczna z teori mnogo ci ZFC. Powy szy przegl d wynik w pokazuje, e w przeciwie stwie do dodawania i mno enia, pot gowanie liczb kardynalnych jest dzia aniem bardzo skomplikowanym. W og lno ci o warto ciach pot g udowodniono wiele twierdze, spo r d kt rych poka emy tu tylko kilka najprostszych. c c. Pierwsze z nich uog lnia udowodnione wcze niej r wno ci 2 @ 0 = @ 0 @ 0 i 2 c = Twierdzenie E.24. Je li i s liczbami kardynalnymi takimi, e liczba jest niesko czona oraz 2, to = 2. W szczeg lno ci, = 2 dla dowolnej niesko czonej liczby kardynalnej. Dodatek E, wersja 27.10.2004 E { 24

Dow d. Mamy nast puj ce oszacowania 2 (2 ) = 2 = 2 ; kt rych szczeg owe uzasadnienie pozostawiamy Czytelnikowi. Pokazali my wi c, e je li i s liczbami kardynalnymi takimi, e 2, to liczba jest moc zbioru wszystkich podzbior w dowolnego zbioru mocy. Warto w tym miejscu odnotowa, e je li >, to liczba jest z kolei moc pewnej naturalnej rodziny podzbior w dowolnego zbioru mocy. Mianowicie, dla zbioru A i liczby kardynalnej niech [A] = fx A : jxj = g: Twierdzenie E.25. Je li jest niesko czon liczb kardynaln, A jest dowolnym zbiorem mocy, a jest liczb kardynalna tak, e, to = j[a] j: Dow d. Na pocz tek zauwa my, e je li A i B s zbiorami takimi, e A B, to [A] [B]. Dla dowodu nier wno ci " wystarczy zauwa y, e dla dowolnych zbior w C i D mamy Zatem je li jcj = i jdj =, to D C [C D] jcj : = jd C j j[c D] j = j[a] j; gdy jc Dj = = = jaj na mocy twierdzenia E.15. eby udowodni nier wno ", dla ka dego zbioru X 2 [A] wybierzmy na funkcj f X : O()??! X. W wczas odwzorowanie F : [A]?! A O() ; Dodatek E, wersja 27.10.2004 E { 25

dane wzorem F (X) = f X, jest r nowarto ciowe. St d j[a] j ja O() j = jaj jo()j = : Niech b dzie niesko czon liczb kardynaln. Powiemy, e zbi r X O() jest ograniczony (w ), je li istnieje liczba porz dkowa <, taka e X O() ( jest w wczas ograniczeniem g rnym zbioru X w zbiorze O(), liniowo uporz dkowanym przez relacj por wnywania liczb porz dkowych). W przeciwnym razie, zbi r X jest nieograniczony lub wsp ko cowy (w ). Zauwa my, e zbi r X O() jest nieograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy = S O(). Mamy nast puj c u yteczn charakteryzacj wsp czynnika wsp ko cowo- ci liczby, stanowi c zarazem wyja nienie jego nazwy. Twierdzenie E.26. Je li jest niesko czon liczb kardynaln, to liczba kardynalna cf() jest r wna najmniejszej mocy zbioru wsp ko cowego w. Dok adniej: 2X (1) je li X O() i jxj < cf(), to zbi r X jest ograniczony w, (2) istnieje zbi r X O() nieograniczony w taki, e jxj = cf(). Dow d. eby pokaza punkt (1), wystarczy zauwa y, e je li zbi r X jest nieograniczony, to = S O(), gdzie jo()j < dla ka dego 2 X. St d jxj cf(). 2X Dla dowodu punktu (2) rozwa my dwa przypadki. Przypadek 1. cf() =. Wtedy wystarczy wzi X =. Przypadek 2. cf() = <. Znajd my rodzin fa : < g zbior w mocy mniejszej od, kt rej suma ma moc. Niech X = fja j : < g. Wtedy jxj i X O(). Twierdzimy, e zbi r X jest nieograniczony. Istotnie, gdyby X O() dla pewnej liczby <, to dla ka dego < by oby ja j jj. W wczas jednak z twierdzenia E.17 wynika oby, e j [ < i otrzymaliby my sprzeczno. A j max(jj; ) < Dodatek E, wersja 27.10.2004 E { 26

Zatem X jest zbiorem niegraniczonym w oraz jxj cf(). Z punktu (1) wynika, e jxj = cf(). Kolejne twierdzenie podaje wz r rekurencyjny na pot g ( + ), zwany wzorem Hausdora. Twierdzenie E.27.(Wz r Hausdora) Dla dowolnych niesko czonych liczb kardynalnych i ( + ) = + = max( + ; ): Dow d. R wno + = max( + ; ) wynika z Twierdzenia E.15. Nier wno ( + ) max( + ; ) jest oczywista. Dla dowodu nier wno ci ( + ) max( + ; ) rozwa my dwa przypadki. Przypadek 1. +. W wczas + < 2 oraz na mocy twierdzenia E.24 co natychmiast implikuje, e ( + ) = 2 = ; ( + ) = max( + ; ): Przypadek 2. < +. Na mocy twierdzenia E.25 wystarczy pokaza, e j[o( + )] j max( + ; ): Dodatek E, wersja 27.10.2004 E { 27

Zauwa my, e z twierdzenia E.22 wynika, e cf( + ) = +. Ponadto za o yli- my, e < +. Zatem na mocy twierdzenia E.26 dowolny zbi r X O( + ) mocy jest ograniczony w +. Oznacza to, e [O( + )] = [ << + [O()] : Poniewa jo()j < +, czyli jo()j dla ka dego < +, wi c z twierdzenia E.25 wynika, e j[o()] j = jo()j : Przedstawili my wi c zbi r [O( + )] jako sum rodziny K = f[o()] : < < + g zbior w mocy co najwy ej. Z twierdzenia E.17 wynika wi c, e j[o( + )] j max( + ; ): Wniosek E.28. Dla ka dej liczby naturalnej n i dowolnej liczby porz dkowej @ @ n = max(@ n ; 2 @ ): Dow d. Udowodnimy przez indukcj, e ka da liczba naturalna n ma nast puj c w asno W (n): dla dowolnej liczby porz dkowej @ @ n = max(@ n; 2 @ ): Po pierwsze, z twierdzenia E.24 wynika, e @ @ 0 = 2 @ ; co oznacza, e dowodzona w asno jest prawdziwa dla n = 0. We my teraz liczb n 2 N i za my W (n). Sprawdzamy W (n + 1). Dla dowolnej liczby m 2 N, stosuj c wz r Hausdora, otrzymujemy @ @ n+1 = max(@ n+1; @ @ n ) = max(@ n+1; @ n ; 2 @ ) = max(@ n+1; 2 @ ); Dodatek E, wersja 27.10.2004 E { 28

co ko czy dow d. Ustalmy teraz niesko czon liczb kardynaln i przyjrzyjmy si, jak zmienia si pot ga w zale no ci od liczby kardynalnej. Oczywi cie, 0 = 1, gdy jedyn funkcj o pustej dziedzinie jest zbi r pusty. Je li > 0, to max(2 ; 2 ). W szczeg lno ci, z twierdzenia Hessenberga wynika (por. twierdzenie E.14), e = dla ka dej sko czonej liczby > 0. Mo e by te tak, e = dla niesko czonej liczby ; na przyk ad c @ 0 = c. Niemniej jednak >, o ile liczba jest dostatecznie du a: twierdzenie Cantora pokazuje, e wystarczy, by, gdy w wczas = 2 >. Kolejne twierdzenie wzmacnia powy sze spostrze enie: wystarczy, e cf(), by >. Twierdzenie E.29. Dla dowolnej niesko czonej liczby kardynalnej cf() > : Dow d. Niech = cf(). Poniewa = jo() O() j; wi c wystarczy pokaza, e dla dowolnego zbioru F O() O() mocy istnieje funkcja g : O()?! O() taka, e g 62 F. Skoro = cf(), to niech ff : < g b dzie rodzin mocy podzbior w zbioru F, tak e F = S F oraz jf j < dla ka dej liczby <. < Do zdeniowania szukanej funkcji g zastosujemy metod przek tniow : warto funkcji g w punkcie < okre limy tak, by by a ona r na od warto ci w tym punkcie dowolnej funkcji ze zbioru F. Mianowicie, niech g() b dzie najmniejsz liczb porz dkow w zbiorze Taka liczba istnieje, gdy skoro O() n ff() : f 2 F g: jff() : f 2 F gj jf j < ; to zbi r, z kt rego j wybieramy, jest niepusty. Dodatek E, wersja 27.10.2004 E { 29

Je li teraz f jest dowoln funkcj nale c do zbioru F, to f 2 F dla pewnej liczby porz dkowej <. Ale wtedy g() 6= f(), a st d g 6= f. Okazuje si, e powy szego wyniku w ramach przyj tej aksjomatyki teorii mnogo ci nie da si ju wzmocni. Dok adniej, je li jako dodatkowy aksjomat przyjmiemy uog lnion hipotez continuum, to w wczas pot gowanie liczb kardynalnych jest proste i w szczeg lno ci, = dla ka dej niezerowej liczby kardynalnej < cf(), natomiast cf() = +. Twierdzenie E.30. Za my GCH. W wczas dla dowolnej niesko czonej liczby kardynalnej oraz dowolnej liczby kardynalnej > 0 8 < je li < cf() = : + je li cf() < + je li Dow d. Po pierwsze zauwa my, e je li @ 0, to z twierdzenia E.24 oraz GCH wynika, e = 2 = + : Za my teraz, e 0 < < i rozwa my dwa przypadki. Przypadek 1. 0 < < cf(). Z twierdzenia E.25 wynika, e = j[o()] j; a na mocy twierdzenia E.26 dowolny zbi r X O() mocy jest ograniczony w, czyli [ [O()] = [O()] : << Ale je li < <, to przyjmuj c, e = max(jo()j; ) <, z pomoc twierdzenia E.25, twierdzenia E.24 i GCH wnioskujemy, e: j[o()] j = 2 = + : Z twierdzenia E.17 wynika teraz, e [O()], co daje i ostatecznie =, gdy > 0. Przypadek 2. cf() <. Na mocy twierdzenia E.24 oraz GCH mamy = 2 = + : Z drugiej strony, z twierdzenia E.29 wynika, e +. Ostatecznie, = +, co ko czy dow d. Dodatek E, wersja 27.10.2004 E { 30