Dodatek F. Aksjomaty teorii mnogo ci. Przedstawimy tu przyjmowany dzi powszechnie system aksjomat w E. Zermelo

Transkrypt

1 Dodatek F. Aksjomaty teorii mnogo ci. Przedstawimy tu przyjmowany dzi powszechnie system aksjomat w E. Zermelo i A. A. Fraenkla. System ten i opart na nim teori zbior w nazywa si teori mnogo ci ZFC. Litery Z i F pochodz od nazwisk tw rc w systemu, a C jest pierwsz liter angielskiego s owa choice, czyli wyb r { wskazuje ona, e jednym z aksjomat w teorii ZFC jest w a nie pewnik wyboru (zob. wyk ad 4). Aksjomaty dotycz pewnego domy lnego uniwersum zbior w, kt re staraj si opisa. W konsekwencji, wszystkie obiekty tego uniwersum s zbiorami, a zatem ka dy zbi r jest rodzin zbior w { swoich element w. Kwantykatory dla ka dego x: : : " i istnieje x takie, e: : : ", nale y wi c teraz odczytywa tak: dla ka dego zbioru x: : : " i, odpowiednio, istnieje zbi r x taki, e: : : ". 1. Aksjomat ekstensjonalno ci. Jest to przedyskutowana dok adnie w wyk adzie 1. zasada r wno ci zbior w: Je li zbiory A i B maj te same elementy, to s identyczne. 2. Aksjomat zbioru pustego. Jest to aksjomat, kt ry gwarantuje, e opisywane uniwersum zbior w jest niepuste { nale y do niego zbi r pusty: Istnieje zbi r, kt ry nie ma adnego elementu. 3. Aksjomaty wyr niania. W a ciwie mamy tu do czynienia ze schematem aksjomat w wyr niania. Jest ich bowiem niesko czenie wiele, a ka dy z nich jest zwi zany z dan w asno ci W : Dla ka dego zbioru B, istnieje zbi r A, z o ony z tych i tylko tych element w x zbioru B, kt re maj w asno W. Jest to wi c schemat deniowania zbior w, przedyskutowany w wyk adach 1 i 2. Wr my tu jednak raz jeszcze do istotnej kwestii, za pomoc jakich w asno ci mo na deniowa zbiory. Okazuje si, e wystarczy rozpatrywa wy cznie nast puj ce w asno ci: (1) w asno ci podstawowe (nazywane czasem atomowymi), czyli w asno ci postaci x = y oraz x 2 y, Dodatek F, wersja F { 1

2 (2) w asno ci, utworzone z w asno ci podstawowych za pomoc sp jnik w logicznych i kwantykator w. Rozwijaj c aksjomatyczn teori mnogo ci jako formaln teori logiczn mo na w og le ograniczy si do wypowiedzi" powy szej postaci, kt re nazywa si formu ami (j zyka pierwszego rz du). Dok adniej, formu y s wyra eniami zbudowanymi ze zmiennych, sp jnik w logicznych, kwantykator w i nawias w zgodnie z nast puj cymi regu ami: (1) Formu ami s wyra enia postaci x = y i x 2 y, gdzie x i y s dowolnymi zmiennymi. (2) Je li W 1 i W 2 s formu ami, to formu ami s te wyra enia : (W 1 ), (W 1 ^ W 2 ), (W 1 _ W 2 ), (W 1 ) W 2 ), (W 1, W 2 ). (3) Je li W jest formu, a x jest dowoln zmienn, to formu ami s te wyra enia 9x W oraz 8x W. Formu y s u wi c do wyra ania w asno ci dw ch poj : zbioru oraz nale enia do zbioru. S to tak zwane poj cia pierwotne teorii mnogo ci. W praktyce, wraz z rozwojem teorii wprowadzamy wiele nowych poj i z ich pomoc formu ujemy coraz bardziej z o one w asno ci. Dbamy jednak o to, eby da o si je wyrazi za pomoc formu. Przyk adowo, w asno x 62 A mo na traktowa jako skr t formu y :(x 2 A), w asno Z X odpowiada formule a w asno A \ B =? { formule 8x (x 2 Z ) x 2 X) ; (1) : (9x (x 2 A ^ x 2 B)) (2) itp. W szczeg lno ci, wszystkie aksjomaty mo na zapisa w postaci odpowiednich formu, co zostanie zrobione na ko cu tego dodatku. Przez zmienne wyst puj ce w formule rozumiemy wszystkie litery, kt re si w niej pojawiaj. Zwr my uwag, e zmienne mog wyst powa w r nych rolach. Zmienna x w formu ach (1) i (2) w pewnym sensie wcale nie jest zmienn ", gdy jest zwi zana kwantykatorem. Natomiast rol prawdziwych" zmiennych odgrywaj litery Z i X w formule (1) oraz litery A i B w formule (2). S to zmienne wolne tych formu. Zmienne te s wolne w podobnym sensie, w jakim wolna" jest zmienna y w oznaczeniu ca ki nieoznaczonej R (x + y)dx, podczas gdy Dodatek F, wersja F { 2

3 zmienna x jest w nim zwi zana". Natomiast w wyra eniu x+ R (x+y)dx zmienn x uznamy za woln " { analogicznie, zmienn woln danej formu y jest ka da zmienna, kt rej co najmniej jedno wyst pienie w tej formule nie jest zwi zane adnym kwantykatorem. Na przyk ad, zmiennymi wolnymi formu y x 2 y ) 9x (x 2 z); s nie tylko zmienne y i z, ale r wnie zmienna x (cho jedno z jej wyst pie jest zwi zane kwantykatorem). Odt d wi c b dziemy rozwa a tylko takie w asno ci, kt re da si wyrazi za pomoc formu (cho w praktyce rzadko b dziemy je w tej postaci zapisywa ). Wobec tego mo na powiedzie, e schemat aksjomat w wyr niania wi e z ka d formu W odpowiedni aksjomat, kt ry u ywaj c symboliki logicznej mo na zapisa w nast puj cej postaci: 8p 1 : : : 8p n 8B 9A 8x? x 2 A, (x 2 B ^ W (x; B; p 1 ; : : : ; p n )) : W formule W by mo e pewne zmienne s wolne, inne za mog nie by wolne { zapis W (x; B; p 1 ; : : : ; p n ) oznacza, e wszystkie zmienne wolne formu y W znajduj si w r d zmiennych x; B; p 1 ; : : : ; p n. W szczeg lno ci zak adamy, e A nie jest zmienn woln formu y W. Jest to istotne dla unikni cia k opot w natury logicznej. Intuicyjnie, nie mo emy wyr nia element w, kt re maj utworzy de- niowany zbi r A, za pomoc w asno ci odwo uj cej si do tego zbioru, zanim jeszcze zosta on zdeniowany (zob. przyk ad F.1 punkt (3)). Zmienne B; p 1 ; : : : ; p n odgrywaj rol parametr w. Przyk ad F.1. (1) Niech W (x; B; C) oznacza formu x 2 C. W wczas odpowiadajacy tej formule aksjomat wyr niania stwierdza, e 8C 8B 9A 8x? x 2 A, (x 2 B ^ x 2 C) ; czyli innymi s owy: dla dowolnych zbior w C i B istnieje zbi r A = fx 2 B : x 2 Cg: Zdeniowany zbi r A jest po prostu cz ci wsp ln zbior w C i B. Inaczej m wi c, iloczyn C \ B zdeniowali my, wyr niaj c spo r d wszystkich element w zbioru B te, kt re nale jednocze nie do C { jego istnienie wynika Dodatek F, wersja F { 3

4 wi c z aksjomatu wyr niania. Oczywi cie, iloczyn C \ B mo na r wnie zde- niowa, wyr niaj c spo r d wszystkich element w zbioru C te, kt re nale jednocze nie do B, czyli okre laj c C \ B = fx 2 C : x 2 Bg: (2) Przeci cie dowolnej niepustej rodziny zbior w mo na r wnie zdeniowa za pomoc aksjomatu wyr niania (pami tajmy, e teraz m wimy wy cznie o zbiorach, zatem ka dy zbi r jest rodzin zbior w i termin w zbi r" oraz rodzina zbior w" mo emy u ywa zamiennie). Mianowicie, niech W (x; B; A) oznacza formu 8A? A 2 A ) x 2 A : W wczas dla ka dego B 2 A mamy \ A = fx 2 B : W (x; B; A)g: Inaczej m wi c, iloczyn niepustej rodziny zbior w A zdeniowali my, wyr niaj c spo r d wszystkich element w dowolnego zbioru B 2 A te, kt re nale do wszystkich zbior w rodziny A. Istnienie iloczynu niepustej rodziny zbior w wynika wi c z aksjomatu wyr niania. (3) Niech W (x; C) oznacza formu :(x 2 C). Odpowiadaj cy tej formule aksjomat wyr niania stwierdza, e 8C 8B 9A 8x? x 2 A, (x 2 B ^ x 62 C) ; czyli innymi s owy: dla dowolnych zbior w C i B istnieje zbi r A = fx 2 B : x 62 Cg: Zbi r A jest po prostu r nic zbior w B i C. Inaczej m wi c, r nic B n C zdeniowali my, wyr niaj c spo r d wszystkich element w zbioru B te, kt re nie nale do C. Natomiast A jest zmienn woln formu y W (x; A), czyli formu y :(x 2 A) i b dem by oby zastosowanie aksjomatu wyr niania, odpowiadaj cego tej formule w nast puj cy spos b: 8B 9A 8x? x 2 A, (x 2 B ^ W (x; A) ; Dodatek F, wersja F { 4

5 Mianowicie, je li zbi r B jest niepusty, to w wyniku powy szej denicji" otrzymamy zbi r A = fx 2 B : x 2 B ^ x 62 Ag; czyli zbi r A = B n A: Jednak e, skoro B 6=?, to ostatnia r wno nie zachodzi dla adnego zbioru A { otrzymujemy wi c sprzeczno. 4. Aksjomat pary. Aksjomat ten gwarantuje istnienie pary nieuporz dkowanej dowolnych zbior w A i B: Dla dowolnych zbior w A i B istnieje zbi r C, kt rego elementami s dok adnie zbiory A oraz B. Przypomnijmy, e w wyk adzie 1 przyj li my umow, e b dziemy stosowa oznaczenia postaci A = fx : W (x)g tylko w sytuacjach, w kt rych istnienie zbioru A nie budzi w tpliwo ci, tzn., gdy b d z kontekstu wynika, z jakiego zbioru B elementy tworz ce zbi r A zosta y wyr nione za pomoc w asno ci W (x), b d te istnienie zbioru A gwarantuj inne aksjomaty teorii mnogo ci. Zauwa my, e w a nie aksjomat pary zapewnia poprawno zapisu fa; Bg = fx : x = A _ x = Bg: Nie mo emy natomiast istnienia pary nieuporz dkowanej uzasadni u ywaj c aksjomatu wyr niania; musieliby my a priori wiedzie, do jakiego zbioru nale zbiory A i B, by m c nast pnie par fa; Bg wyr ni spo r d jego element w za pomoc formu y x = A _ x = B. Takim zbiorem jest oczywi cie w a nie para fa; Bg, ale wiemy o tym dopiero po zagwarantowaniu jej istnienia za pomoc aksjomatu pary. Z powy szych uwag wynika jednak, e aksjomat pary mo na te sformu owa w nast puj cy spos b: Dla dowolnych zbior w A i B istnieje taki zbi r C, do kt rego nale zbiory A oraz B. 5. Aksjomat sumy. Aksjomat ten gwarantuje istnienie sumy dowolnej rodziny zbior w A: Dodatek F, wersja F { 5

6 Dla dowolnej rodziny zbior w A istnieje zbi r U, do kt rego nale dok adnie te zbiory x, kt re nale do co najmniej jednego spo r d zbior w, kt re s elementami rodziny A. Aksjomat ten uprawnia nas do zapisania denicji sumy rodziny zbior w w postaci [ A = fx : 9A (x 2 A ^ A 2 A)g; cho, z tych samych powod w, co w przypadku pary nieuporz dkowanej, istnienia sumy nie mo emy uzasadni za pomoc aksjomatu wyr niania. Przyk ad F.2. (1) Sum zbior w A i B mo na zdeniowa jako sum rodziny zbior w A = fa; Bg, kt rej istnienie gwarantuje z kolei aksjomat pary: A [ B = [ fa; Bg: (2) R nic symetryczn zbior w A i B mo na zdeniowa za pomoc schematu wyr niania, jako podzbi r sumy zbior w A i B: A : B = fx 2 A [ B : x 62 A _ x 62 Bg: 6. Aksjomat zbioru pot gowego. Aksjomat ten zapewnia istnienie zbioru pot gowego dowolnego zbioru: Dla ka dego zbioru X istnieje zbi r P, kt rego elementami s dok adnie podzbiory zbioru X. Znowu wi c, po przyj ciu tego aksjomatu wolno nam napisa, e P(X) = fz : Z Xg: Przyk ad F.3. Iloczyn kartezja ski zbior w A i B mo na zdeniowa za pomoc aksjomatu wyr niania. Trzeba najpierw zastanowi si, do jakiego zbioru nale pary uporz dkowane hx; yi, gdy x jest dowolnym elementem zbioru A, a y { dowolnym elementem zbioru B. eby odpowiedzie na to pytanie, musimy zdecydowa si na konkretn denicj pary uporz dkowanej. Przyjmijmy wi c tu, e hx; yi = ffxg; fx; ygg: Dodatek F, wersja F { 6

7 Poniewa x 2 A i y 2 B, wi c oba elementy x i y nale do zbioru A [ B. St d wynika, e fxg A [ B oraz fx; yg A [ B: Zatem To z kolei poci ga za sob, e fxg; fx; yg 2 P(A [ B): ffxg; fx; ygg P(A [ B); czyli hx; yi 2 P(P(A [ B)): Ostatecznie, denicja iloczynu kartezja skiego zgodna z aksjomatem wyr niania wygl da nast puj co: A B = fz 2 P? P(A [ B) : 9x 9y (x 2 A ^ y 2 B ^ z = hx; yi)g: 7. Aksjomat niesko czono ci. Zadaniem tego aksjomatu jest zagwarantowanie istnienia zbior w niesko czonych, a w szczeg lno ci zbioru liczb naturalnych. Zbi r X nazywamy zbiorem induktywnym, je li spe nia nast puj ce dwa warunki: (1)? 2 X, (2) 8y (y 2 X ) y [ fyg 2 X). Aksjomat niesko czono ci stwierdza, e: Istnieje zbi r induktywny. Aksjomat ten rzeczywi cie gwarantuje istnienie zbioru liczb naturalnych. Mianowicie, jeden ze sposob w wprowadzenia liczb naturalnych do matematyki polega na przyj ciu, e zbi r liczb naturalnych N to najmniejszy zbi r induktywny. Nietrudno udowodni, e z istnienia jakiegokolwiek zbioru induktywnego X wynika, e istnieje najmniejszy taki zbi r: wystarczy zdeniowa N jako cz wsp ln rodziny wszystkich induktywnych podzbior w zbioru X. Nietrudno w wczas dowie, e algebra hn;?; fi, gdzie f(n) = n [ fng dla n 2 N, jest algebr Peano (zob. wyk ad 12). Pos uguj c si pozosta ymi aksjomatami teorii ZFC mo na te pokaza, e aksjomat niesko czono ci jest r wnowa ny stwierdzeniu, e istnieje jakakolwiek algebra Peano. Dodatek F, wersja F { 7

8 8. Aksjomat wyboru. Aksjomat ten umo liwia prowadzenie niekonstruktywnych dowod w istnienia r nych obiekt w matematycznych { postuluje on istnienie funkcji, kt re nie zosta y w aden spos b zdeniowane: Dla dowolnej indeksowanej rodziny niepustych zbior w ha i funkcja wyboru, tzn. funkcja f : I?! S i2i A i taka, e : i 2 Ii istnieje f(i) 2 A i dla ka dego i 2 I: atwo pokaza, e powy sze sformu owanie aksjomatu wyboru jest na gruncie pozosta ych aksjomat w r wnowa ne ka demu z nast puj cych stwierdze (por. twierdzenie 4.3): (1) dla dowolnej rodziny A z o onej z niepustych zbior w istnieje funkcja wyboru tzn. funkcja f : A?! S A taka, e f(a) 2 A dla ka dego A 2 A; (2) dla dowolnej roz cznej rodziny A z o onej z niepustych zbior w istnieje selektor, tzn. taki zbi r S S A, kt ry z ka dym ze zbior w rodziny A ma dok adnie jeden element wsp lny. Niekonstruktywny charakter aksjomatu wyboru i do nieoczekiwane wnioski z niego spowodowa y, e przez wiele lat by on w r d matematyk w przedmiotem kontrowersji, kt re jednak nale ju w zasadzie do przesz o ci. Te kontrowersje jednak spowodowa y, e w oznaczeniu ZFC pojawi a si litera C { dla podkre- lenia, e aksjomat wyboru jest jednym z aksjomat w teorii, na r wni z innymi. Bez aksjomatu wyboru nie uda oby si udowodni ani twierdzenia Zermelo, ani lematu Kuratowskigo-Zorna { ka de z tych twierdze jest na gruncie pozosta ych aksjomat w jemu r wnowa ne. W toku wyk ad w korzystali my z niego wielokrotnie { zosta on u yty nawet w dowodzie tego, e suma przeliczalnie wielu zbior w przeliczalnych jest przeliczalna. Aksjomat wyboru jest narz dziem powszechnie stosowanym we wsp czesnej matematyce. 9. Aksjomaty zast powania. Te aksjomaty gwaratuj istnienie zbior w zdeniowanych w spos b, kt ry nie zawsze daje si uzasadni za pomoc aksjomat w wyr niania. Zn w mamy Dodatek F, wersja F { 8

9 tu do czynienia ze schematem aksjomat w zast powania { odpowiedni aksjomat zwi zany jest z dan formu : Je li dla ka dego x istnieje dok adnie jeden y, dla kt rego zachodzi (x; y), to dla dowolnego zbioru X istnieje taki zbi r Y, e 8y? y 2 Y, 9x 2 X ((x; y)) : Innymi s owy, m wi c nieformalnie, je li formu a (x; y) deniuje globaln funkcj ", czyli okre la przyporz dkowanie ka demu x takiego jedynego y, dla kt rego mamy (x; y), to obraz" dowolnego zbioru X wzgl dem tej funkcji" te jest zbiorem. Dok adniej, podobnie jak w przypadku aksjomatu wyr niania, nale a oby uwzgl dni rol r nych zmiennych wyst puj cych w formule. Ponownie przyjmujemy, e zapis (x; y; X; p 1 ; : : : ; p n ) oznacza, e wszystkie zmienne wolne formu y znajduj si w r d zmiennych x; y; X; p 1 ; : : : ; p n (w szczeg lno ci zak adamy, e Y nie jest zmienn woln formu y ). Ponadto niech kwantykator 9!y znaczy: istnieje dok adnie jeden y taki, e...". W wczas aksjomat zast powania, odpowiadaj cy formule, przybiera nast puj c posta : 8p 1 : : : 8p n? 8x 9!y (x; y; X; p1 ; : : : ; p n ) ) 8X 9Y 8y? y 2 Y, 9x (x 2 X ^ (x; y; X; p 1 ; : : : ; p n )) : Podkre lmy, e istnienie nast puj cego zbioru Y (dla wi kszej przejrzysto ci parametry pomijamy): Y = fy : 9x 2 X ((x; y))g; nie wynika z aksjomatu wyr niania i poprawno powy szego zapisu zapewnia w a nie aksjomat zast powania (zob. uwag po sformu owaniu aksjomatu pary). Aby zastosowa aksjomat wyr niania, musieliby my a priori wiedzie, e istnieje zbi r Z, do kt rego nale wszystkie elementy y o w asno ci 9x 2 X ((x; y)), by m c nast pnie zbi r Y wyr ni za pomoc tej w asno ci spo r d element w zbioru Z. Dodatek F, wersja F { 9

10 Z powy szych uwag wynika jednak, e aksjomat zast powania mo na te sformu owa w nast puj cy spos b: 8p 1 : : : 8p n 8x 9!y (x; y; X; p 1 ; : : : ; p n ) ) 8X 9Z 8x x 2 X ) 9y (y 2 Z ^ (x; y; X; p 1 ; : : : ; p n ))! : Zauwa my r wnie, e w powy szym zapisie formu 8x 9!y (x; y; X; p 1 ; : : : ; p n ): mo na zast pi formu 8x 2 X 9!y (x; y; X; p 1 ; : : : ; p n ) ; przenosz c jednocze nie kwantykator 8X na pocz tek: 8X 8p 1 : : : 8p n 8x 2 X ) 9Z 8x 9!y (x; y; X; p 1 ; : : : ; p n ) x 2 X ) 9y (y 2 Z ^ (x; y; X; p 1 ; : : : ; p n ))! : Istotnie, je li mamy 8x 9!y (x; y) to tym bardziej 8x 2 X 9!y (x; y). Na odwr t, je li mamy 8x 2 X 9!y (x; y), to dla formu y 0 (x; y), okre lonej nast puj co: (x 2 X ) (x; y)) ^ (x 62 X ) y = x); mamy 8x 9!y 0 (x; y); zast pienie formu y (x; y) formu 0 (x; y) nie wp ywa na sens sformu owania aksjomatu. Wynika st d, e aksjomat zast powania gwarantuje r wnie, e je li formu a pozwala ka demu elementowi x danego zbioru X jednoznacznie przyporz dkowa taki y, dla kt rego mamy (x; y; X; p 1 ; : : : ; p n ) (zmienne p 1 ; : : : ; p n odgrywaj rol parametr w), to przyporz dkowanie x 7! jedyny y taki, e (x; y; X; p 1 ; : : : ; p n ) jest funkcj. Mianowicie, je li Z jest zbiorem takim, e dla ka dego elementu x 2 X istnieje dok adnie jeden element y 2 Z, dla kt rego mamy (x; y; X; p 1 ; : : : ; p n ) Dodatek F, wersja F { 10

11 (istnienie takiego zbioru Z zapewnia w a nie aksjomat zast powania), to t funkcj mo na zdeniowa za pomoc aksjomatu wyr niania w nast puj cy spos b: f = fhx; yi 2 X Z : (x; y; X; p 1 ; : : : ; p n )g: Aksjomat zast powania pozwala wi c zdeniowa funkcj f (i zarazem stwierdzi jej istnienie) podaj c przepis" na jednoznaczne przyporz dkowanie ka demu elementowi x zbioru X (argument w funkcji) warto ci y deniowanej funkcji bez uprzedniego wskazania zbioru, do kt rego warto ci tej funkcji b d nale e. Nast puj cy przyk ad ujawnia rol aksjomatu zast powania w niekt rych przeprowadzonych przez nas wcze niej rozumowaniach. Przyk ad F.4. (1) W twierdzeniu C.18 (punkt (1)) dowodzili my, e dla ka dego zbioru T, z o onego z liczb porz dkowych, istnieje liczba porz dkowa wi ksza od wszystkich liczb ze zbioru T. W dowodzie rozwa ali my indeksowan rodzin zbior w ho() : 2 T i. Wiedzieli my jednak jedynie, e dla ka dej liczby 2 T istnieje zbi r O() i a priori nie znali my adnego zbioru Y, do kt rego wszystkie zbiory O() nale. Istnienie rozpatrywanej indeksowanej rodziny zbior w, czyli funkcji 7! O(), wynika z aksjomatu zast powania. Oczywi cie wskazany tu k opot znika, je li przyjmiemy denicj von Neumanna, kt rej konsekwencj jest r wno = O() dla ka dej liczby porz dkowej. (2) W twierdzeniu C.18 (punkt (2)) dowodzili my, e dla ka dego zbioru A, z o- onego ze zbior w dobrze uporz dkowanych, istnieje zbi r dobrze uporz dkowany d u szy od wszystkich element w zbioru A. Na zbiorze A okre lili my funkcj f wzorem: f(ha; A i) = typ(a; A ): Zn w jednak a priori nie wiemy, do jakiego zbioru nale warto ci tej funkcji i uzasadnienie jej istnienia wymaga odwo ania si do aksjomatu zast powania. (3) Kluczowy punkt dowodu twierdzenia C.11 polega na pokazaniu, e je li A jest dowolnym zbiorem dobrze uporz dkowanym przez relacj A i, to istnieje Dodatek F, wersja F { 11

12 dok adnie jedna liczba porz dkowa (w sensie denicji von Neumanna), kt ra jest z nim izomorczna. Na zbiorze ~ A, sk adaj cym si z tych element w zbioru A, kt re wyznaczaj odcinki pocz tkowe izomorczne z liczbami porz dkowymi, okre lili my funkcj f za pomoc warunku: f(a) jest jedyn liczb porz dkow izomorczn z odcinkiem O(a): Sytuacja jest taka sama, jak w poprzednim punkcie. Inny spos b wykorzystania aksjomat w zast powania pokazuje kolejny przyk ad. Przyk ad F.5. Niech A b dzie dowolnym zbiorem. W ka dym z nast puj cych przypadk w dow d istnienia zbioru Y wymaga skorzystania z aksjomatu zast powania. (a) Y = A; fag; ffagg; fffaggg; : : :, (b) Y = fa; P(A); P (P(A)) ; P (P (P(A))) ; : : :g. W obu wypadkach nale y zastosowa ten aksjomat do zbioru X = N, u ywaj c formu y W (n; y) wyra aj cej, m wi c niezbyt ci le, nast puj c w asno : n 2 N i y jest wynikiem zastosowania n-krotnej iteracji pewnej operacji" ' do zbioru A". W punkcie (a) chodzi o operacj " '(x) = fxg, w punkcie (b) { o operacj " '(x) = P(x). W ka dym z przypadk w mamy w rzeczywisto ci do czynienia z pewn formu, dla kt rej zachodzi 8x9!y (x; y); napis y = '(x) jest po prostu skr tem dla (x; y). W powy szym przyk adzie narzucaj cym sie sposobem znalezienia odpowiedniej formu y W (n; y) by oby zdeniowanie ci gu niesko czonego f za pomoc warunk w indukcyjnych: (P) f(0) = a; (R) f(n + 1) = ' (f(n)) ; dla n 2 N; a nast pnie przyj cie, e W (n; y) wyra a w asno y = f(n). Co wi cej, maj c funkcj f mogliby my ju bez konieczno ci korzystania z aksjomatu zast powania ka dorazowo stwierdzi po prostu, e Y = R f. Dodatek F, wersja F { 12

13 Zwr my jednak uwag, e powy sza denicja ci gu f wykracza poza zakres stosowalno ci twierdze o deniowaniu przez indukcj, poznanych w toku wyk ad w (por. wyk ady 4, 11 i 12). Przyk adowo, w twierdzeniu 4.6 warunek (R) odwo uje si do funkcji ' : A?! A, gdzie A jest danym zbiorem, do kt rego nale e maj wyrazy deniowanego ci gu. W rozpatrywanej sytuacji a priori ani nie znamy zbioru A, ani warunek (R) nie odwo uje si do funkcji. Istnienie ci gu ci gu f wymaga wi c uzasadnienia, kt re oparte jest w a nie na aksjomacie zast powania. Og lne twierdzenie, a w a ciwie schemat twierdze, dotycz cych denicji indukcyjnych tego typu, ma nast puj c posta. Niech (x; y) b dzie formu (mog c zawiera parametry, kt re jednak { dla wi kszej przejrzysto ci { pomijamy). W za o eniu twierdzenia wyst pi warunek 8x9!y (x; y), dzi ki kt remu, tak jak poprzednio, o formule (x; y) b dzie mo na my le jak o denicji pewnej operacji". Pe ni ona we wzorze indukcyjnym rol przepisu", kt ry pozwala w kroku" zdeniowa wyraz x za pomoc zdeniowanych wcze niej" wyraz w ci gu o indeksach mniejszych od. Zamiast (x; y) b dziemy pisa y = '(x); wyrazem pocz tkowym deniowanego ci gu jest '(?), czyli jedyny x 0, dla kt rego mamy (?; x 0 ). Twierdzenie F.6. Je li zachodzi warunek: 8x9!y (x; y); to dla dowolnej liczby porz dkowej > 0 istnieje dok adnie jeden ci g pozasko czony hx i < d ugo ci taki, e: x = '? (x ) < dla wszystkich < : Szkic dowodu. Rozumujemy tak jak w dowodzie twierdzenia D.3. Dla ka dej liczby porz dkowej, ci giem indukcyjnym d ugo ci nazywamy ci g pozasko czony f d ugo ci spe niaj cy warunek: f() = '(fjo()) dla < : Nast pnie pokazujemy, e dla ka dej liczby istnieje dok adnie jeden ci g indukcyjny f d ugo ci { ci g f jest ci giem, kt rego szukamy. Jedyna r nica polega na tym, e z chwil, gdy poka emy, e dla ka dej liczby istnieje co najwy ej jeden ci g indukcyjny d ugo ci, do uzasadnienia istnienia indeksowanej rodziny ci g w indukcyjnych hf : 2 Zi, o zbiorze indeks w Z = f : istnieje ci g indukcyjny d ugo ci g; Dodatek F, wersja F { 13

14 musimy wykorzysta aksjomat zast powania. W dowodzie twierdzenia D.3 wystarczy w tym miejscu aksjomat wyr niania, gdy znaj c zbi r A, do kt rego nale wyrazy deniowanego ci gu, potramy te wskaza zbi r, do kt rego nale wszystkie funkcje f dla 2 Z { zbiorem tym jest [ <A O(). Podamy jeszcze jedno zastosowanie powy szego twierdzenia. Domkni ciem przechodnim zbioru X nazywamy najmniejszy (w sensie inkluzji) zbi r przechodni, w kt rym zbi r X jest zawarty. Twierdzenie F.7. Dla ka dego zbioru X istnieje jego domkni cie przechodnie. za pomoc nast puj cych warunk w in- Dow d. Deniujemy ci g hx n i n2n dukcyjnych: X 0 = X; X n+1 = S X n ; dla n 2 N; ci lej, niech (x; y) b dzie formu wyra aj c nast puj c w asno : W wczas istnienie ci gu hx n i n2n X. Niech T = S n2n (x =? ) y = X) ^ (x 6=? ) y = [ x): wynika z twierdzenia F.6 (dla formu y (x; y)). X n. Twierdzimy, e T jest domkni ciem przechodnim zbioru Oczywi cie, X T. Ponadto, zbi r T jest przechodni. Istotnie, je li x 2 T oraz z 2 x, to x 2 X n dla pewnego n 2 N i w wczas z 2 X n+1, sk d z 2 T. Za my wi c, e Z jest dowolnym zbiorem przechodnim takim, e X Z; poka emy, e T Z. W tym celu udowodnimy przez indukcj, e X n Z dla dowolnego n 2 N. Poniewa X 0 = X, wi c X 0 Z. Niech n 2 N i za my, e X n Z; chcemy pokaza, e X n+1 Z. We my x 2 X n+1. Skoro X n+1 = S X n, to x 2 z dla pewnego z 2 X n. Ale X n Z, wi c z 2 Z i z przechodnio ci zbioru Z wynika, e x 2 Z. Pokazali my, e zbi r T jest najmniejszym zbiorem przechodnim, zawieraj cym zbi r X. Dodatek F, wersja F { 14

15 Aksjomaty 1{ 9 u ywane by y w toku wyk ad w wielokrotnie i wsp czesna matematyka nie mo e si bez nich oby (dotyczy to zw aszcza aksjomat w 1 { 8). Na koniec sformu ujemy aksjomat, kt ry poza teori mnogo ci nie ma istotnego znaczenia. 10. Aksjomat regularno ci (ufundowania). Aksjomat ten wyklucza pewne obiekty z opisywanego przez aksjomaty uniwersum zbior w, narzucaj c na zbiory nast puj cy warunek: Ka dy niepusty zbi r X ma element roz czny z X. Z tego aksjomatu skorzystali my w wyk adzie 1., przyjmuj c, e nie istnieje aden zbi r A taki, e A 2 A. Istotnie, w przeciwnym razie w zbiorze X = fag nie by oby elementu roz cznego z X; jedynym elementem zbioru X jest zbi r A, ale A 2 A \ X. Podobnie, nie istniej takie zbiory A; B, e A 2 B 2 A, ani zbiory A; B; C, dla kt rych A 2 B 2 C 2 A itd. Twierdzenie F.8. Nie istnieje ci g zbior w hx n i n2n taki, e 8n 2 N (x n+1 2 x n ): Dow d. Przypu my, e hx n i n2n jest ci giem o powy szej w asno ci i niech X = fx n : n 2 Ng. W wczas dla ka dego n 2 N mamy x n+1 2 X \ x n ; wi c zbi r X nie jest roz czny z adnym swoim elementem. Jest to sprzeczne z aksjomatem ufundowania. Nazwa aksjomat ufundowania" ma nast pujace uzasadnienie. Relacj r nazywamy relacj ufundowan w zbiorze X, je li w ka dym niepustym podzbiorze Y X istnieje taki element y 2 Y, z kt rym aden element x 2 Y nie jest w relacji r. Innymi s owy, mamy :(x r y) dla ka dego x 2 Y. Zauwa my na przyk ad, e relacja liniowego porz dku zbioru X dobrze porz dkuje ten zbi r wtedy i tylko wtedy, gdy relacja < jest ufundowana w zbiorze X. Dodatek F, wersja F { 15

16 Aksjomat ufundowania jest r wnowa ny stwierdzeniu, e relacja nale enia" jest ufundowana w ka dym zbiorze, ci lej: dla ka dego zbioru X, relacja jest ufundowana w X. 2 jx = fhx; yi 2 X X : x 2 yg Rola aksjomatu regularno ci w teorii mnogo ci polega r wnie na tym, e pozwala on na lepsze sprecyzowanie, jaka jest struktura uniwersum zbior w, kt re aksjomaty staraj si opisa. Mianowicie, pos uguj c si twierdzeniem F.6, mo na ka dej liczbie porz dkowej przyporz dkowa zbi r R w taki spos b, by spe nione by y nast puj ce warunki indukcyjne: R 0 =?; R +1 = P(R ); R = S fr : < g; o ile liczba jest graniczna: Powiemy, e zbi r X ma w asno R, je li istnieje liczba porz dkowa taka, e X 2 R. Naszym celem jest udowodnienie, e ka dy zbi r ma w asno R. Lemat F.9. Ka dy zbi r R jest przechodni. Dow d. Przypu my, e jest przeciwnie i niech b dzie najmniejsz liczb porz dkow, dla kt rej zbi r R nie jest przechodni. Rozwa my dwa przypadki. Przypadek 1. Liczba jest nast pnikiem porz dkowym. W wczas = + 1 dla pewnej liczby oraz R = P(R ). Niech x 2 R i z 2 x. Wtedy x R, wi c z 2 R. Ale <, wi c zbi r R jest przechodni, a st d z R, czyli z 2 R. Okaza o si, e zbi r R jest przechodni, co przeczy wyborowi. Przypadek 2. Liczba jest graniczna. Wtedy R = [ < Dodatek F, wersja F { 16 R :

17 Niech x 2 R i z 2 x. Wtedy x 2 R dla pewnej liczby <. Ale <, wi c zbi r R jest przechodni. St d wynika, e z 2 R, a wi c tym bardziej z 2 R. Okaza o si, e zbi r R jest przechodni, co ponownie przeczy wyborowi. Uwaga. Rozumuj c tak jak w dowodzie lematu F.9 mo na wykaza og lnie, e je li zbi r X jest przechodni, to zbi r P(X) te jest przechodni. Podobnie, mo na pokaza, e je li zbiory A i s przechodnie dla i 2 I, to zbi r S A i te jest przechodni. Lemat F.10. Dla dowolnych liczb porz dkowych ; ) R R : Dow d. Przypu my, e jest przeciwnie i niech b dzie najmniejsz liczb porz dkow, dla kt rej istnieje liczba < spe niaj ca warunek R 6 R ; ustalmy tak liczb. Zn w rozwa my dwa przypadki. Przypadek 1. Liczba jest nast pnikiem porz dkowym. W wczas < + 1 = dla pewnej liczby. Poniewa < i, to R R. Je li wi c x 2 R, to x 2 R. Z lematu F.9 wynika zatem, e x R, czyli x 2 R +1 = R. To dowodzi, e R R, wbrew wyborowi. Przypadek 2. Liczba jest graniczna. Wtedy R = [ < R ; wi c w szczeg lno ci R R, co znowu przeczy wyborowi. i2i W obu przypadkach otrzymali my sprzeczno. Lemat F.11. Je li ka dy element zbioru X ma w asno R, to X ma w asno R. Dow d. Niech f b dzie funkcj dan wzorem f(z) = minf : z 2 R g dla z 2 X: Dodatek F, wersja F { 17

18 Istnienie takiej funkcji f wynika z aksjomatu zast powania. Niech teraz = sup R f. W wczas z lematu F.10 wynika, e z 2 R dla ka dego z 2 X; czyli X R, a st d X 2 R +1. To dowodzi, e zbi r X ma w asno R. Mo emy teraz udowodni zapowiedziane (przed lematem F.9) twierdzenie. Twierdzenie F.12. Ka dy zbi r ma w asno R. Dow d. Przypu my, e wbrew tezie twierdzenia, istnieje zbi r Y, kt ry nie ma w asno ci R. Niech T b dzie domkni ciem przechodnim zbioru Y ; jego istnienie gwarantuje twierdzenie F.7. Zauwa my, e zbi r T r wnie nie ma w asno ci R. Istotnie, w przeciwnym razie T 2 R dla pewnej liczby porz dkowej i w wczas T R na mocy lematu F.9, a st d Y R, czyli Y 2 R +1, co przeczy wyborowi zbioru Y. Okre lmy zbi r X wzorem X = fx 2 T : x nie ma w asno ci Rg: Z lematu F.11 wynika, e X 6=?, wi c korzystaj c z aksjomatu regularno- ci wybierzmy taki zbi r Z 2 X, e Z \ X =?. Zauwa my, e Z 2 T, wi c przechodnio zbioru T zapewnia, e Z T. We my dowolny element x 2 Z. W wczas x 62 X, ale jednocze nie x 2 T, wi c x ma w asno R. Z lematu F.11 wynika zatem, e r wnie Z ma w asno R i otrzymujemy sprzeczno. Konsekwencj aksjomatu regularno ci jest wi c to, e teoria mnogo ci ZFC formalnie ogranicza si do badania zbior w maj cych w asno R. Hierarchia zbior w postaci R nadaje uniwersum z o onemu z takich zbior w struktur, kt r wyobra a poni szy rysunek. Rysunek F.1. Mo e si wydawa zaskakuj ce, e redukujemy nasze rozwa ania wy cznie do zbior w otrzymanych ze zbioru pustego w wyniku pozasko czonej iteracji" operacji tworzenia zbioru pot gowego. Podkre lmy wi c raz jeszcze, e z jednej Dodatek F, wersja F { 18

19 strony ograniczenie to ma znaczenie dla samej teorii mnogo ci, z drugiej jednak { nie wp ywa istotnie na kszta t pozosta ej matematyki. Po pierwsze bowiem, jak ju niejednokrotnie zaznaczali my, sam spos b zdeniowania takich poj, jak na przyk ad liczby naturalne czy rzeczywiste, nie ma wielkiego znaczenia dla zajmowania si sam matematyk. Po drugie, je li zbi r liczb naturalnych N zdeniujemy jako najmniejszy zbi r induktywny (zob. aksjomat niesko czono ci), a nast pnie za pomoc tego zbioru skonstruujemy pozosta e zbiory liczbowe: Z, Q oraz R (zob. wyk ad 11), to mo na atwo pokaza, nie odwo uj c si do aksjomatu regularno- ci, e wszystkie te zbiory maj w asno R. R wnie i inne podstawowe obiekty matematyczne mo na bez ograniczenia og lno ci deniowa jako pewne zbiory o w asno ci R. Wspomnijmy w tym miejscu, e przyj te przez teori ZFC rozstrzygni cie co do tego, jakie obiekty tworz badane uniwersum, nie jest jedynym mo liwym. Znane s inne uj cia teorii mnogo ci, kt re dopuszczaj istnienie obiekt w, kt re nie s zbiorami. W szczeg lno ci obiektami tymi mog by atomy oraz klasy. Atomy nie maj w og le element w, cho s r ne od zbioru pustego. W teorii mnogo ci z atomami przyjmuje si cz sto odpowiednik aksjomatu regularno ci m wi cy, e wszystkie zbiory mo na otrzyma ze zbioru pustego i atom w w wyniku pozasko czonej iteracji" operacji tworzenia zbioru pot gowego. Klasy maj elementy i przyjmuje si, e ka dy zbi r jest klas. W teorii mnogo ci z klasami dopuszcza si jednak istnienie klas, kt re s w pewnym sensie za du e" na to, by by zbiorami. Ich przyk adami s : klasa wszystkich zbior w, klasa wszystkich liczb porz dkowych i klasa wszystkich liczb kardynalnych. Przedstawmy na koniec list wszystkich aksjomat w ZFC, zapisanych za pomoc odpowiednich formu. Dwukrotnie u yjemy skr tu postaci 9!yW (y) na oznaczenie formu y wyra aj cej w asno istnieje dok adnie jeden taki y, e zachodzi W (y)". Formu a taka ma posta : 9y W (y) ^ 8x8z (W (x) ^ W (z)) ) x = z : (1) Aksjomat ekstensjonalno ci. 8A 8B 8x (x 2 A, x 2 B) ) A = B : Dodatek F, wersja F { 19

20 (2) Aksjomat zbioru pustego. 9X 8y :(y 2 X): (3) Aksjomaty wyr niania. 8p 1 : : : 8p n 8B 9A 8x x 2 A, (x 2 B ^ W (x; B; p 1 ; : : : ; p n )) : (4) Aksjomat pary. 8A 8B 9C 8x x 2 C, (x = A _ x = B) : (5) Aksjomat sumy. 8A 9U 8x x 2 U, 9A (x 2 A ^ A 2 A) : (6) Aksjomat zbioru pot gowego. 8X 9P 8Z Z 2 P, 8x (x 2 Z ) x 2 X) : (7) Aksjomat niesko czono ci. 9X 9Y Y 2 X ^ 8y :(y 2 Y ) ^ 8y y 2 X ) 9z z 2 X ^ 8x (x 2 z, (x 2 y _ x = y))! : (8) Aksjomat wyboru. 8A 8A (A 2 A ) A 6=?) ^ 8A 8B ((A 2 A ^ B 2 A ^ A 6= B) ) :(9x (x 2 A ^ x 2 B)) ) 9S 8A A 2 A ) 9!y (y 2 S ^ y 2 A)! : Dodatek F, wersja F { 20

21 (9) Aksjomaty zast powania. 8p 1 : : : 8p n 8x 9!y (x; y; X; p 1 ; : : : ; p n ) ) 8X 9Y 8y y 2 Y, 9x (x 2 X ^ (x; y; X; p 1 ; : : : ; p n ))! : (10) Aksjomat regularno ci (ufundowania). 8X X 6=? ) 9y y 2 X ^ :(9z (z 2 X ^ z 2 y))! : Dodatek F, wersja F { 21