Aproksymacja krzywej ramion prostujących i jej wpływ na symulacje numeryczne kołysań bocznych statku

. Wojciech Wawrzyński 1 Akademia Morska w Gdyni Aproksymacja krzywej ramion prostujących i jej wpływ na symulacje numeryczne kołysań bocznych statku 1. WSTĘP Do opisania ruchu statku po sfalowanym morzu stosuje się układ sześciu równań różniczkowych, dodatkowo uwzględniając sprzężenia występujące pomiędzy poszczególnymi ruchami. Opis równań ruchu statku można znaleźć w wielu podręcznikach w tym [4, 11]. Jednak z punktu widzenia bezpieczeństwa statku analizuje się głównie kołysania boczne, z ewentualnym uwzględnieniem ruchów z nimi sprzężonych, przede wszystkim nurzań oraz kiwań. Sytuacje niebezpieczne, w których może dojść do przewrócenia statku dzieli się na rezonansowe oraz nierezonansowe [1]. Sytuacje nierezonansowe dotyczą praktycznie dwóch scenariuszy. Pierwszym jest połączenie kołysań statku na fali poprzecznej z dynamicznym uderzeniem wiatru. Scenariusz ten jest dobrze analizowany przez uproszczone podejście stosowane w kryteriach stateczności statku, definiowanych wcześniej przez poszczególne Instytucje Klasyfikacyjne, a obecnie przez Kodeks Stateczności Statku w Stanie Nieuszkodzonym [5]. Drugi scenariusz dotyczy utraty stateczności statku na fali nadążającej, gdy grzbiet fali znajduje się na wysokości śródokręcia. Ten scenariusz jest aktualnie analizowane przez IMO w ramach prac nad Drugą Generacją Kryteriów Stateczności Statku. Sytuacje rezonansowe dzieli się na rezonans zwykły kołysań bocznych oraz rezonans parametryczny. Rezonans zwykły występuje przy falowaniu bocznym, gdy częstość momentu wymuszającego jest równa lub bliska częstości kołysań własnych statku. W sytuacji rezonansu zwykłego energia kołysań pochodzi bezpośrednio od fali. Zagrożenie przewrócenia się statku jest jednak ograniczone, gdyż nawet przy dłuższym utrzymaniu się stałej wartości częstości wymuszeń, po osiągnięciu większych amplitud kołysań, układ statek-fala wykazuje tendencję do rozstrajania się. Wynika to ze zmian częstości kołysań własnych statku wraz z narastaniem amplitudy. Rezonans parametryczny kołysań, występuje przy falowaniu z sektora dziobowego lub rufowego i polega na wzbudzaniu niestabilności układu i wzroście amplitudy kołysań w wyniku okresowej zmiany parametrów układu, a nie w wyniku bezpośredniego działania okresowej siły zewnętrznej, przy czym często rozróżnia się: rezonans parametryczny kołysań, w odniesieniu do zjawiska wywołanego okresowymi zmianami momentu prostującego statku na fali, rezonans autoparametryczny kołysań, gdy energia kołysań dostarczana jest z rezonansowej postaci innego stopnia swobody a dokładnie nurzań oraz kołysań wzdłużnych. Ogólny model kołysań bocznych statku, z pominięciem sprzężeń z innymi ruchami, z uwzględnieniem wymuszenia zewnętrznego w postaci pojedynczej fali harmonicznej ma postać: + + + = (1) gdzie I x jest poprzecznym momentem bezwładności masy statku, A 44 momentem masy wody towarzyszącej kołysaniu, B 44 współczynnikiem tłumienia kołysań, K(ϕ) momentem prostującym statek, M w momentem wymuszenia zewnętrznego, a ω e częstością spotkaniową fali. Z kolei model kołysań bocznych dla zjawiska rezonansu parametrycznego, przy fali dziobowej lub rufowej, z pominięciem sprzężeń z innymi ruchami, przedstawia zależność: + + +, = 0 (2) 1 KESWWaw@am.gdynia.pl 1 Logistyka 4/2015 1161

gdzie K(t, ϕ) jest momentem prostującym statek zmiennym zarówno w funkcji kąta przechyłu jak i czasu. Rezultaty obliczeniach numerycznych zarówno dla podanych modeli kołysań jak i dla modeli z uwzględnieniem sprzężeń uzależnione są od właściwego odwzorowania poszczególnych parametrów równania. Jest to szczególnie ważne ze względu na nieliniowość zmian tłumienia, momentu wymuszenia oraz momentu prostującego Jest to wyraźnie zaznaczane w wielu opracowaniach [3, 6, 7]. Bardzo często podkreślane jest, że brak zgodności obliczeń numerycznych z wynikami badań modelowych oraz odnotowanymi wielkościami zdarzeń rzeczywistych, spowodowany jest właśnie niewłaściwym odwzorowaniem parametrów równania, lub pominięciem sprzężeń z innymi ruchami. W prezentowanym opracowaniu opisany zostanie tylko jeden z tych parametrów, a mianowicie moment prostujący K(ϕ). Wartość tego momentu równa jest iloczynowi wyporności statku D oraz ramienia prostującego GZ: = (3) 2. KRZYWA RAMION PROSTUJĄCYCH Zależność ramienia prostującego od kąta przechyłu przedstawia się w formie krzywej ramion prostujących, którą najczęściej oblicza się w oparciu o podane w dokumentacji statecznościowej wartości ramion stateczności kształtu l k (pantokareny): =! "# (4) Obliczenia wykonuje się dla kątów, dla których podano wartości pantokaren a przebiegi pomiędzy obliczonymi punktami, w zastosowaniach statkowych, ustala się graficznie, prowadząc linię płynną przez uzyskane punkty. Krzywą ramion prostujących opisuje się stosując takie parametry jak wartość maksymalnego ramienia prostującego, zakres dodatnich ramion prostujących, kąt nachylenia wykresu przy przechyle 0 czy pole powierzchni pod wykresem. Parametry te nie są jednak wystarczające do dokładnego określenia zmian ramienia prostującego w funkcji kąta przechyłu. Krzywej ramion prostujących nie można również przedstawić w formie prostej zależności analitycznej. W obliczeniach numerycznych kołysań statku najlepiej jest wyznaczać wartość ramienia prostującego na bieżąco, w czasie symulacji, dla aktualnego położenia statku na wodzie. Jednak, algorytm realizujący takie obliczenia może być zbyt wolny, lub nie można go zastosować. Dlatego, często dla potrzeb symulacji numerycznych równań ruchu statku stosuje się aproksymacje krzywej GZ [2, 3, 10]. Dokładność odwzorowania krzywej GZ za pomocą funkcji aproksymujących omówiona zostanie na przykładzie czterech, specjalnie dobranych wykresów (rys.1), obrazujących zakres typowych przebiegów krzywych ramion prostujących, wpływających na stopień trudności dopasowania funkcji aproksymującej. Wykresy przedstawione na rys.1 można następująco opisać: A. Najprostszy, najczęściej występujący kształt krzywej ramion prostujących. Duża wartość początkowej wysokości metacentrycznej GM. (masowiec) B. Kształt krzywej jest podobny do wykresu 1/A, ale z mniejszą wartością GM. W wielu przypadkach, w zakresie kątów od 0 do 0.4 wykres posiada lekko wklęsły przebieg. (semikontenerowiec) C. Wykres z lokalnym punktem przegięcia w okolicach ϕ=0.3 rad często jest to lokalne maksimum wykresu. Wykres jest charakterystyczny dla jednostek, dla których przy obliczaniu pantokaren uwzględniono wodoszczelną nadbudowę, wysokie zrębnice lukowe czy ładunek pokładowy drewna. (masowiec uniwersalny) D. Wykres dla statku z ujemną początkową wysokością. Taką charakterystykę krzywej ramion prostujących otrzymuje się dla statku niepspełniającego wymagania steteczności, statku na grzbiecie fali lub w sytuacjach awaryjnych. (semikontenerowiec) Podany na końcu każdego opisu typ statku, dla którego uzyskano daną charakterystykę, nie jest ściśle z nią związany. Najczęściej dla dowolnego statku w różnych stanach załadowania oraz pozycji na fali uzyskuje się różne charakterystyki wykresu ramion prostujących. 1162 Logistyka 4/2015

2 1,5 1 0,5 0 GZ A 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 ϕ 0,4 0,2 0-0,2-0,4 GZ B 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 ϕ 0,8 0,6 0,4 0,2 0 GZ C 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 ϕ 0,6 0,4 0,2 0-0,2-0,4-0,6 GZ D 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 ϕ Rys. 1. Typowe charakterystyki wykresów ramion prostujących. 3. APROKSYMACJA KRZYWEJ RAMION PROSTUJĄCYCH Do aproksymacji krzywej ramion prostujących statku najczęściej stosuje się wielomian potęgowy. Można jednak również zastosować wielomian trygonometryczny. Współczynniki wielomianów ustalane są metodą najmniejszych odchyleń średniokwadratowych. Zgodnie z teorią, stopień wielomianu aproksymującego powinien być niższy niż liczba punktów (węzłów) użytych do aproksymacji. W przypadku krzywej ramion prostujących statek, liczba punktów możliwych do wykorzystania zależna jest do liczby kątów, dla których, w dokumentacji statku, podano wartości ramion stateczności kształtu (pantokaren), plus punkt początku układu współrzędnych. W obliczeniach liczba punktów ograniczona jednak zostaje do punktów prezentujących dodatnie ramiona prostujące plus jeden punkt dla pierwszej ujemnej wartości GZ. Ponieważ ramiona stateczności kształtu zwyczajowo podawane są dla kątów w odstępie 10 a dodatnie wartości ramion kończą się często w obszarze 60 70, to uwzględniając początek układu oraz to, że często podawane są dodatkowe wartości dla 5 i 15, zazwyczaj dysponuje się ok. 8 9 punktami. Zatem, sugerując się liczbą punktów, do aproksymacji krzywej GZ powinno stosować się wielomian stopnia nie wyższego niż siódmy. Zwiększenie ilości punktów poprzez interpolacje pantokaren, dla kątów innych niż podane w dokumentacji statku, nie jest możliwe, ze względu na nieliniowość zmian ich wartości. Gdy wielomian aproksymujący nie daje zadowalających rezultatów, można zastosować metodę funkcji sklejanych. Polega ona na przybliżaniu nieznanej funkcji za pomocą szeregu wielomianów, najczęściej niskiego stopnia, określonych niezależnie dla fragmentów krzywej pomiędzy każdymi kolejnymi dwoma węzłami. Metoda daje bardzo dobre rezultaty, zazwyczaj dużo lepsze niż wielomiany aproksymujące, ale w przypadku równań kołysań statku, jest często kłopotliwa w aplikacji. 4. METODY UPROSZCZONEJ APROKSYMACJI KRZYWEJ GZ Jednym z najprostszych sposobów aproksymacji krzywej ramion prostujących statku w oparciu tylko o wartość początkowej poprzecznej wysokości metacentrycznej GM jest wykorzystanie krzywej postaci [2]: = 1 % (5) Krzywa ta odzwierciedla rzeczywistą krzywą ramion prostujących statku tylko dla małych kątów przechyłu, gdzie początkowa poprzeczna wysokość metacentryczna GM jest współczynnikiem Logistyka 4/2015 1163

kierunkowym nachylenia krzywej GZ. Przy większych kątach przechyłu może już znacząco odbiegać od rzeczywistego przebiegu krzywej ramion prostujących i ma stały zakres 1 radiana. Jest jednak prosta w aplikacji i może być wykorzystana do ogólnego badania wybranego zjawiska bez wiązania go z konkretnym statkiem. Na przykład przy badaniu rezonansu parametrycznego kołysań, wykorzystując uproszczoną funkcję uwzględniającą zmiany stateczności zachodzące w trakcie przejścia wzdłuż kadłuba pojedynczej fali sinusoidalnej otrzymujemy zależność [2]:, = & 1 % & % + ' % cos (6) gdzie ω m jest średnią częstością kołysań własnych statku na fali, ω a parametrem opisującym zmiany stateczności statku na fali a ω e częstością spotkaniową fali. Uzyskaną za pomocą zależności (6) grupę krzywych opisujących zmiany ramion prostujących w trakcie przejścia, wzdłuż kadłuba statku, pojedynczej fali sinusoidalnej, przedstawiono na rys.2. Linia ciągła na rysunku prezentuje krzywą GZ statku na wodzie spokojnej, a więc krzywą zgodną z zależnością (5). Rys. 2. Aproksymacja zmian krzywej ramion prostujących statku w trakcie przejścia pojedynczej fali sinusoidalnej wzdłuż kadłuba statku według zależności (6). Inne, dość proste i oryginalne podejście do aproksymacji krzywej ramion prostujących znaleziono w publikacji [10]. Wykorzystuje ono wielomian 5 stopnia i wydawać się może obiecujące ze względu na zastosowany sposób ustalania współczynników wielomianu. Podstawowy zapis prezentuje zależność: = +1 ++3 - ++5 / (7) Współczynniki C1, C3 oraz C5 ustalane są w nietypowy sposób, bo w oparciu o parametry wykresu ramion prostujących: +1 = 0!1 02 = (8) +3 = 2 3 43 25 5 % (9) +5 = - 2 3 64 25 5 % (10) gdzie ϕ v oznacza zakres dodatnich ramion prostujących a A ϕv pole powierzchni pod wykresem ramion prostujących mierzone do kąta zakresu dodatnich ramion prostujących. Oczywiście, posługując się tak skromnymi danymi trudno jest aproksymować wykresy o zmienności przebiegu jak na rys. 1. Potwierdziły to próby aplikacji powyższego podejścia. Co ciekawe podejście to zostało jednak zastosowane w kilku pracach w tym w [9]. 5. APROKSYMACJA KRZYWEJ GZ WIELOMIANEM POTĘGOWYM Aproksymacje wykonane zostały programem CAS (System Algebry Komputerowej) metodą najmnieszych odchyleń średniokwadratowych. Ze względu na kształt krzywej GZ, w zakresie kątów 1164 Logistyka 4/2015

dodatnich oraz ujemnych, stosowane są wielomiany aproksymujące oparte tylko na nieparzystych potęgach argumentów. Ogólne postacie wielomianów aproksymujących przedstawiają zależności (11), (12) oraz (13). Na rysunkach prezentujących wyniki aproksymacji pokazano punkty wykorzystane do uzyskania danego wielomianu aproksymującego a wykresy opisano stopniem wielomianu oraz dodatkowo wyróżniono je rodzajem linii: 3 stopień linia przerywana, 5 stopień linia kropkowana, 7 stopień linia ciągła. = +1 ++3 - (11) = +1 ++3 - ++5 / (12) = +1 ++3 - ++5 / ++7 9 (13) Wynik aproksymacji pierwszego z wykresów (rys.1/a) przedstawiony jest na rys.3. Wykresy dla wielomianów 5 i 7 stonia pokrywają się, natomiast wykres uzyskany za pomocą wielomianu 3 stopnia (linia przerywana) różni się nieznacznie. Różnice pomiędzy wykresami są niewielkie a zgodność z użytymi do aproksymacji punktami na tyle duża, że można przyjąć wielomian 3 stopnia za wystarczający. Rys. 3. Aproksymacja krzywej 1/A wielomianem stopnia 3, 5 oraz 7. Krzywe aproksymacji drugiego z wykresów (1/B) przedstawiono na rys.4. Pierwotnie, obliczenia wykonano podobnie jak dla wykresu 1/A, dla punktów w odstępach, co 10 (wykres lewy). Pomimo niewielkiej różnicy między charakterystyką wykresu 1/B oraz 1/A wyraźnie widać problem krzywych aproksymujących wielomianem 3 i 5 stopnia. Po stwierdzeniu niedokładności odwzorowania wykorzystano dodatkowo pantokareny dla 5 i 15 (wykres prawy), jednak zwiększenie ilości węzłów użytych do aproksymacji w początkowym przebiegu krzywej ramion prostujących praktycznie nie zmieniło przebiegu wykresów. Nadal wykresy dla wielomianu 3 jak i 5 stopnia znacząco odbiegają od węzłów. W tym przypadku, jedynie wielomian 7 stopnia można było uznać za prawidłowy. Rys. 4. Aproksymacja krzywej 1/B wielomianem stopnia 3, 5 oraz 7, przy zastosowaniu różnej ilości punktów aproksymacji. Kolejnym wykresem aproksymowanym był wykres posiadający lokalny punkt przegięcia (rys.1/c). Wynik obliczeń prezentuje rys.5, gdzie ponownie widać problemy wielomianów aproksymujących, w tym również wielomianu 7 stopnia. Ponieważ problemem jest lokalna zmiana charakterystyki wykresu Logistyka 4/2015 1165

spróbowano użyć, pomimo zbyt małej ilości węzłów, wielomianu stopnia 9. Zależność ogólną dla wielomianu podaje wzór (14) a wykres wykonany jest czerwoną linią kropka-kreska. = +1 ++3 - ++5 / ++7 9 ++9 ; (14) Wynik aproksymacji okazał się jednak gorszy niż wielomianem 7 stopnia. Sztuczne zwiększenie ilości punktów (odczytanych z pierwotnego wykresu) w okolicach lokalnych zmian przebiegu tylko zbliżyło wykres wielomianu 9 stopnia do wielomianu 7 stopnia. Zatem ponownie wielomian 7 stopnia można byłoby uznać za najlepszy, ale odwzorowanie ramion prostujących w funkcji kąta przechyłu nie jest poprawne. Rys. 5. Aproksymacja krzywej 1/C wielomianem stopnia 3, 5, 7 oraz 9. Ostatnim jest wykres 1/D. Jego aproksymacje wykonano wielomianami 3, 5, 7 oraz 9 stopnia. Ze względu na uzyskane wyniki aproksymacje wykonano dla dwóch różnych statków. Wyniki obliczeń przedstawia rysunek 6. Ponownie wielomiany 3 i 5 stopnia wypadły najgorzej, przy czym tym razem, odwzorowanie wykresu ramion prostujących za ich pomocą należy uznać nie za mało dokładne, ale za błędne. Wielomiany 7 i 9 stopnia dają zdecydowanie lepszy rezultat, choć tym razem widać większe możliwości wielomianu 9 stopnia w odwzorowywaniu lokalnych zmian krzywej GZ. Rys. 6. Aproksymacja krzywej 1/D wielomianem stopnia 3, 5, 7 oraz 9. Stosowanie wielomianu 9 a nawet 7 stopnia ma swoje ograniczenia, co pokazują wykresy na rys.7. Wprawdzie błędne przebiegi wykresu wystąpiły praktyczne za ostatnim, uwzględnionym w obliczeniach punktem aproksymacji, gdzie wykres GZ nie mu już żadnego znaczenia, ale pokazuje, że punkty do aproksymacji muszą być starannie dobrane oraz że wielomianem aproksymującym można posługiwać się tylko w zakresie objętym punktami użytymi do aproksymacji. Przy niewłaściwym doborze punktów, lokalne, niewielkie deformacje zmiany przebiegów mogą być uzyskane również w zakresie objętym punktami aproksymacji, co pokazuje rys.5 (z lewej strony). 1166 Logistyka 4/2015

Rys. 7. Zmiany aproksymowanej krzywej poza obszarem objętym punktami użytymi do aproksymacji. Na początku rozdziału podano, że ze względu na kształt krzywej GZ, w zakresie kątów dodatnich oraz ujemnych, stosowane są wielomiany aproksymujące oparte tylko na nieparzystych potęgach argumentów. Potwierdza to wykonany przegląd publikacji opisujących symulacje numeryczne kołysań statku [2, 3, 10]. Jednak, przy odpowiednim zapisie, można zastosować wielomiany wykorzystujące również potęgi parzyste, np.: = +1 ++2 ++3 - ++4 - ++5 / ++7 9 (15) Wielomian w postaci zależności (15) wybrano na podstawie analizy wykresów uzyskanych dla różnych kombinacji potęg parzystych i nieparzystych. Przykład zastosowania zależności (15) i porównanie jej do wielomianów nieparzystych stopnia 7 i 9 przedstawia rysunek 8. Wykres dla zależności (15) wykonany jest czerwoną linią kropkowaną. Rys. 8. Aproksymacja krzywej wielomianem nieparzystym stopnia 7 i 9 oraz wielomianem z parzystymi potęgami argumentu (linia czerwona kropkowana). Dla przypadków na rysunkach 8/A oraz 8/B widać, że zależność (15) daje podobne rezultaty jak wielomian nieparzysty 9 stopnia, ale rysunek 8/C ukazuje niewielkie problemy wielomianu w początkowej części krzywej. Z obliczeń przedstawionych w rozdziale wynika, że w przypadku krzywych ramion prostujących, w sytuacjach, gdy chcemy stosować zapis niezależny od rozpatrywanego, pojedynczego, przypadku najlepsze rezultaty otrzymamy stosując wielomian nieparzysty stopnia 9 (przy zastosowaniu odpowiedniej ilości węzłów), ewentualnie stopnia 7 z zastosowaniem elementów potęg parzystych. 6. APROKSYMACJA KRZYWEJ GZ WIELOMIANEM TRYGONOMERYCZNYM Wielomian trygonometryczny jest dość rzadko stosowany do celów aproksymacji, a w przypadku krzywej ramion prostujących nie znaleziono w literaturze żadnego opracowania z jego wykorzystaniem. Ogólną postać wielomianu trygonometrycznego stopnia n prezentuje zależność: H >? = CIJ [B C cos"?+d C sin"?] (16) Podjęte próby aproksymacji krzywej GZ wielomianem trygonometrycznym wykazały, że wielomiany stopnia wyższego niż 3 dosyć często dają lokalne zmiany przebiegu krzywej, a wielomiany stopnia niższego niż 3 wyznaczały krzywe o charakterystykach zbliżonych do wielomianu potęgowego stopnia 3 i 5, jak na rysunku 6. Dlatego ostatecznie wybrano wielomian stopnia 3-go: Logistyka 4/2015 1167

= 0.5B +B L +D L "# +B % 2 +D % "#2 +B - 3 +D - "#3 (17) Stosując wielomian trygonometryczny należy pamiętać, że otrzymuje się aproksymacje krzywej ramion prostujących tylko dla jednej burty. Dla burty przeciwnej należy przyjąć: GZ(-ϕ)=- GZ(ϕ). Porównanie aproksymacji krzywej ramion prostujących wielomianem trygonometrycznym oraz wielomianem potęgowym 3, 5, 7 i 9 stopnia, wykonano dla siedmiu statków różnych wielkości oraz typów. Dla każdego statku aproksymowano po 4 do 6 przypadków krzywej GZ, starając się tak dobierać parametry stanów załadowania, aby uzyskiwać w miarę możliwości różne charakterystyki wykresów (rys. 1). Wykonane obliczenia wykazały, że aproksymacja wielomianem trygonometrycznym 3-go stopnia daje bardzo dobre rezultaty, najczęściej zbliżone a w wielu przypadkach lepsze do wielomianu potęgowego 9-go stopnia. Zastrzeżenia można mieć jedynie do początkowego fragmentu wykresu. W zakresie do 0.05 radiana, często otrzymuje się dodatkowe, niewielkie ugięcie/wygięcie krzywej. Przykładowe wyniki aproksymacji krzywej GZ wielomianem trygonometrycznym, przedstawiono na rysunku 9. Rys. 9. Aproksymacja krzywej GZ wielomianem trygonometrycznym stopnia 3. 7. WPŁYW APROKSYMACJI KRZYWEJ GZ NA TEST KOŁYSAŃ SWOBODNYCH STATKU Ze względu na objętość prezentowanego materiału, wpływ dokładności aproksymacji krzywej ramion prostujących na obliczenia numeryczne kołysań statku przedstawiony zostanie tylko na przykładzie prostego testu kołysań swobodnych (decay test). Test ten, często jest stosowany, jako jeden z podstawowych testów porównawczych wyników obliczeń wykonywanych przez różne programy symulacji ruchu statku na sfalowanym morzu [8]. Stosowany jest również w badaniach modelowych przy ustalaniu wartości współczynnika tłumienia kołysań. Równanie kołysań swobodnych prezentuje zależność zbliżona do zależności (2): + + + = 0 (18) Po podstawieniu do (18) za K(ϕ) zależności (3) oraz przekształceniu, otrzymamy: +2M + NO = 0 (19)!P gdzie ω i GM to częstość kołysań własnych i wysokość metacentryczna dla statku w zakresie małych kątów przechyłu. Jest to często stosowana zależność, ale poza krzywą GZ zawiera dodatkowo parametr GM będący współczynnikiem kierunkowym nachylenia wykresu w zakresie małych katów, co może utrudniać interpretację wpływu krzywej GZ. Dlatego do obliczeń wykorzystano inną postać równania uzyskaną po zastosowaniu prostych przekształceń: 1168 Logistyka 4/2015

+2M + Q R S O = 0 (20) gdzie r x jest poprzecznym promieniem bezwładności masy statku. Na rys.10 pokazano wyniki symulacji kołysań swobodnych dla masowca, dla 3 aproksymacji krzywej ramion prostujących przedstawionych na rys. 3. Kolory i rodzaj linii użytych na obu rysunkach są identyczne. Na rysunku 3 widać, że wykresy dla aproksymacji 5 i 7 stopnia praktycznie pokrywają się, a wykres dla aproksymacji 3 stopnia wykazuje niewielkie różnice względem pozostałych. W obliczeniach numerycznych kołysań swobodnych otrzymano podobne różnice w zakresie pojedynczego cyklu kołysań, ale przy szeregu kolejnych, gdy ich efekt sumuje się różnice te są już wyraźnie widoczne. Rys. 10. Wpływ aproksymacja krzywej GZ na symulacje numeryczne testu kołysań własnych statku. Test wykonany dla aproksymacji przedstawionych na rys.3. Wpływ różnic w aproksymacji krzywej ramion prostujących jest jeszcze wyraźniej widoczny na rysunku 11, gdzie pokazano wynik symulacji numerycznych dla 3 aproksymacji krzywej GZ przedstawionych na rys. 4. Rys. 11. Wpływ aproksymacja krzywej GZ na symulacje numeryczne testu kołysań własnych statku. Test wykonany dla aproksymacji przedstawionych na rys.4. Wykonane obliczenia pokazują, że różnice miedzy aproksymacjami krzywych ramion prostujących wyraźnie wpływają na okres kołysań, nie mają natomiast wpływu na dekrement amplitudy kołysania, który w wykonanych symulacjach okazał się być zależny tylko od czasu symulacji a nie np. od ilości cykli kołysania. 8. PODSUMOWANIE Przedstawione w pracy wykresy pokazują, że krzywa ramion prostujących GZ jest trudna do dokładnego opisania w formie zależności analitycznej. Do jej aproksymacji najlepiej nadają się funkcje sklejane, wielomian potęgowy stopnia 9 oraz wielomian trygonometryczny stopnia 3. Na rysunkach przedstawionych w ostatnim rozdziale wyraźnie widać wpływ aproksymacji krzywej ramion prostujących na wyniki symulacji numerycznych kołysań. Oczywiście na dalszych etapach prac Logistyka 4/2015 1169

niezbędne będzie wykonanie kolejnych symulacji, nie tylko dla kołysań swobodnych, ale również dla kołysań wymuszonych na fali regularnej i nieregularnej jak i dla sytuacji rezonansowych zależnych przede wszystkim od relacji częstości kołysań własnych statku do częstości wymuszenia. Warto również przeanalizować wskazaną zależność tłumienia od funkcji czasu a nie ilości cykli kołysań statku. Streszczenie: Statek pływający po sfalowanym morzu wykonuje ruchy, będące złożeniem przemieszczeń liniowych oraz obrotów względem każdej osi układu odniesienia związanego ze statkiem. Ruchy te opisywane są za pomocą sześciu równań różniczkowych z uwzględnieniem sprzężeń pomiędzy poszczególnymi ruchami. Z punktu widzenia bezpieczeństwa statku największą wagę przykłada się do kołysań bocznych. Podstawowymi parametrami równania kołysań bocznych są zależności opisujące: tłumienie, wymuszenie oraz sztywność układu. Każdy z tych parametrów wykazuje dużą nieliniowość i właściwa jego aplikacja ma wpływ na uzyskiwane wyniki obliczeń. Prezentowany materiał zawiera analizę parametru opisującego sztywność układu krzywej ramion prostujących GZ. Ponieważ bezpośredni zapis krzywej ramion prostujących za pomocą zależności analitycznych nie jest możliwy, do tego celu stosuje się funkcje aproksymujące. Przedstawiony został opis metod stosowanych do aproksymacji krzywej GZ, ze szczególnym uwzględnieniem wielomianów potęgowych, jako metody stosowanej najczęściej. Przedstawiono również wpływ aproksymacji krzywej GZ na obliczenia numeryczne na przykładzie prostego modelu kołysań swobodnych statku. Słowa kluczowe: stateczność statku, krzywa ramion prostujących, kołysania statku. Effect of the righting arm curve approximation on the ships roll motion numerical simulation Abstract: A ship performing in the rough sea conditions experiences complex motions, which are the outcome of the combination of linear displacements and rotations relative to each axis reference system associated with the ship. These motions are described by six differential equations that take into account the couplings between the motions. In view of the ships safety the greatest concern relates to the rolling oscillations. The rolling equation main parameters are: damping, excitation and stiffness. Each of these parameters has a high nonlinearity and its proper application has a great impact on the results obtained from the calculations. The paper presents an analysis of the parameter describing the stiffness of the system - the curve of righting arm GZ. Since the direct notation of the GZ curve using analytical formulas is not possible, it is often that approximating functions are used for this purpose. The material presented includes a description of the methods used to approximate the GZ curve, with particular emphasis on the polynomial power series, as the method used most often. It also presents the influence of the GZ curve approximation on numerical calculations on the example of a simple model of the ships roll decay test. Keywords: ship roll, safety of the ship, ship righting arms curve LITERATURA [1] Błocki W., Bezpieczeństwo statecznościowe statku w sytuacjach rezonansowych, Politechnika Gdańska, monografie 19, Gdańsk 2000. [2] Belenky V, Bassler C, Spyrou K, Development of Second Generation Intact Stability Criteria, NSWCCD-50- TR-2011/065. [3] Bulian Gabriele, Nonlinear parametric rolling in regular waves a general procedure for the analytical approximation of the GZ curve and its use in time domain simulation, Ocean Engineering, 32, 2005, 309-330. [4] Dudziak J., Okręt na fali, Wydawnictwo Morskie Gdańsk, Gdańsk 1980. [5] Intact Stability Code, 2008, edition 2009, IMO 2009. [6] Neves. M., Rodriguez C., On unstable ship motions resulting from strong non-linear coupling, Ocean Engineering, 33, 2006. [7] Neves. M., Rodriguez C., A coupled non-linear mathematical model of parametric resonance of ships in head seas, Applied Mathematical Modelling, 33, 2009. [8] Spanos D, Papanikolaou A, Benchmark Study on Numerical Simulation Methods for the Prediction of Parametric Roll of Shipp in Waves, Proceedings of the 10 th International Conference on Stability of Ships and Ocean Vehicles, St. Petersburg 2009. [9] Surdendran S., Venkata Ramana Reddy J., Numerical simulation of ship stability for dynamic environment, Ocean Engineering, 30, 2003, 1305-1317, [10] Tylan M., The effect of nonlinear damping and restoring in ship rolling, Ocean Engineering, 27, 2000, 921-932, [11] Wełnicki W., Mechanika ruchu okrętu, Politechnika Gdańska, Gdańsk 1989. 1170 Logistyka 4/2015