MATEMATIKA 1 ALEŠ NEKVINDA. + + pokud x < 0; x. Supremum a infimum množiny.

MATEMATIKA ALEŠ NEKVINDA DIFERENCIÁLNÍ POČET Přednáška Označíme jako na střední škole N, Z, Q, R a C postupně množinu přirozených, celých, racionálních, reálných a komplexních čísel R = R { } { } Platí: Rozšířená reálná osa x R < x < ; x > x + = ; x < x = ; { + x R \ {} x( ) + pokud x > ; = + pokud x < ; x R x + = Supremum a infimum množiny Definice Nechť M R Horní (resp dolní) závorou množiny M nazveme každé číslo c R, pro které platí: x M x c (resp x c) Množina M je shora omezená, jestliže existuje aspoň jedna horní závora b tak, že b < Množina M je zdola omezená, jestliže existuje aspoň jedna dolní závora b tak, že b > Množina M je omezená, jestliže je omezená shora i zdola Definice Nechť M R Existuje-li c M, c je horní (resp dolní) závora M, pak c = max M (resp min M) Definice 3 Nechť M R Jestliže c R je nejmenší horní závora M, nazýváme ho supremem M (píšeme c = sup M) Jestliže d R je největší dolní závora M, nazýváme ho infimem M (píšeme c = inf M) Věta 4 Nechť M R Pak existuje sup M i inf M

ALEŠ NEKVINDA Věta 5 Nechť c = max M Pak c = sup M Analogicky, nechť c = min M Pak c = inf M Číselné posloupnosti Definice 6 Posloupnost je zobrazení z N do R Píšeme a, a, místo a(), a(), Definice 7 Posloupnost {a n } n= se nazývá rostoucí a n < a n+ ; klesající a n > a n+ ; neklesající a n a n+ ; nerostoucí a n a n+ Všem těmto posloupnostem se říká monotónní Definice 8 Posloupnost {a n } n= se nazývá shora omezená, pokud existuje K < tak, že a n K; zdola omezená, pokud existuje K > tak, že a n K; omezená, pokud je shora omezená a zdola omezená Definice 9 Říkáme, že posloupnost {a n } n= má limitu a (píšeme lim a n = a), pokud existuje reálné číslo a takové, že ε > n N m N(m > n a m a < ε) Definice Říkáme, že posloupnost {a n } n= má limitu, pokud K > n N m N(m > n a m > K) Říkáme, že posloupnost {a n } n= má limitu, pokud K < n N m N(m > n a m < K) Definice Buď dána posloupnost {a n} n= a buď {n k} k= rostoucí posloupnost přirozených čísel Potom posloupnost {b k } k=, kde b k = a nk nazýváme vybranou posloupností Zkráceně píšeme {a nk } k= Věta Buď lim a n = a Pak lim a nk = a pro každou vybranou posloupnost Definice 3 Posloupnosti, které mají reálnou limitu, se nazývají konvergentními nazývají divergentními Ostatní se Věta 4 Každá konvergentní posloupnost je omezená

MATEMATIKA 3 Věta 5 Každá monotónní posloupnost má (konečnou či nekonečnou) limitu Věta 6 Z každé posloupnosti lze vybrat posloupnost, která má (konečnou či nekonečnou) limitu Věty pro konkrétní výpočet limit Věta 7 Nechť lim a n = a, lim b n = b Nechť je jedno z následujících znamének: +,,, : Nechť a b má smysl Potom lim(a n b n ) = lim a n lim b n (= a b) Věta 8 Nechť lim a n = a, lim b n = b Nechť a b má smysl Potom a lim(a b n n ) = (lim a n ) (lim b n) lim a n = a (= a b ) Věta 9 Nechť a n b n c n Nechť lim a n = d, lim c n = d Potom lim b n = d Důležité limity Věta Nechť a > Pak Pokud α R, pak lim n a = ; pokud a > ; lim a n pokud a = ; = pokud a < ; neexistuje, pokud a lim n n = ( lim + α ) n = e α n Důkaz Dokažme lim n n = Zřejmě je lim n n pro každé n Existují tedy ε n taková, že () n n = + ε n Umocněním a užitím binomické věty máme n = ( + ε n ) n = + ( n ) ε n + ( n ) ε n + ( n 3) ε 3 n + ( n n) ε n n ( n ) ε n Užijeme-li vztahu ( n ) = n(n ), dostaneme tedy nerovnost a tedy n(n ) ε n n ε n n

4 ALEŠ NEKVINDA Z toho plyne což dává s () lim n n = lim ε n = Zdůvodněme, že pro α > platí ( lim + α ) n = e α ( n n Nejprve dokažme, že existuje limita lim + n) Položme ( a n = + n) n, ( bn = + n) n+ Dokážeme, že a n je neklesající a b n nerostoucí Vyjdeme ze známé nerovnosti mezi aritmetickým a geometrickým průměrem Pro p, p,, p k platí k () p p p k p + p + + p k k Užijeme nerovnost () pro k = n +, p = p = = p n = + n, p n+ =, dostaneme ( n+ + ) n n( + n ) + = n + + = + n n + n + n + Úpravou máme ( + ) n ( + ) n+ n n + což je totéž jako a n a n+ Tedy a n je vskutku neklesající Užijme opět nerovnost () pro k = n +, p = p = = p n =, p + n+ = a dostaneme n což dává n+ ( + n )n+ ( + n )n+ ( + n+ + n + n + n+ )n+ = n + n + = +, n+ ( + ) n+ ( + ) n+, n n + tedy b n b n+ a posloupnost b n je vskutku klesající Zřejmě je a n b n b = 4 a posloupnost a n je tedy shora omezená, neklesající a m a tedy limitu Označme ji e Buď nyní α > Pak ( lim + α ) [ n = lim ( + ) ] (n/α) α = e α n n/α Příklad Vypočítejte Řešení lim n3 3n + n 3n 3 6n + 5 Praktický výpočet limit lim n3 3n + n 3n 3 6n + 5 = lim 3 n + n n 3 3 6 n + 5 = + = 3 + 3 n 3

MATEMATIKA 5 Příklad Vypočítejte Řešení lim( n + n) = lim( n + n) = lim( n + n + + n n) n + + n = lim ( n + n)( n + + n) n + + n = lim ( n + ) ( n) n + + n = lim Příklad Vypočítejte Řešení ( n + lim n + 3 = lim Příklad Vypočítejte n + + n = ) n 3 5n + = lim ( = lim + n + 3 ( n + ) n 3 5n n + 3 + = = ) (n n +3) 3 5n(n +3) [ ( + ) ] (n +3) n3 [ 5n 3 +5n ( = lim + ) ] (n /n3 +3) 5+5/n n + 3 n + 3 = (e ) /5 = e /5 lim + ( )n Řešení Dosadíme n =,, a vidíme, že jde o posloupnost Tato posloupnost nemá limitu,,,,,

6 ALEŠ NEKVINDA Přednáška Pojem reálné funkce Definice Nechť M R Předpis f, který každému prvku x M přiřadí reálné číslo, nazýváme reálnou funkcí reálné proměnné (krátce funkcí) Množinu M nazýváme definičním oborem funkce f a značíme též D(f) Zápis funkcí f(x) = x, x, 3 ; f : y = x, x, 3 ; f : x x, x, 3 ; { x je iracionální, g(x) = x je iracionální Graf funkce a obor hodnot Definice Nechť f : M R je daná funkce Potom množinu bodů v rovině {[x, f(x)]; x M} nazýváme grafem funkce a množinu {f(x); x M} nazýváme oborem hodnot Příklad Dána funkce f(x) = x, x, 3 Pak D(f) =, 3, H(f) =, 9 a grafem je část paraboly Funkce monotónní, prostá, sudá, lichá, peridocká Definice 3 Nechť f : M R je daná funkce Říkáme, že funkce f je (i) rostoucí (klesající, nerostoucí, neklesající), pokud pro x, y M platí: x < y f(x) < f(y) (f(x) > f(y), f(x) f(y), f(x) f(y)); (ii) prostá, pokud pro x, y M platí: (iii) sudá (lichá), pokud pro x M platí: x y f(x) f(y); f( x) = f(x) (f( x) = f(x)); (iv) periodická, pokud existuje p tak, že pro x M platí: f(x + p) = f(x) Příklady Funkce f(x) = x, x [, ) je rostoucí, funkce f(x) = x, x [, ] je klesající, funkce f(x) = x, x (, ) je sudá, funkce f(x) = x 3, x (, ) je lichá, funkce f(x) = sin x, x (, ) je periodická

MATEMATIKA 7 Lokální extrémy funkce Definice 4 Nechť f : M R je daná funkce a x M Jestliže existuje λ > tak, že f(x) (<,, >) f(x ) pro všechna x (x λ, x ) (x, x + λ), říkáme, že f má v x lokální maximum (ostré lokální maximum, lokální minimum, ostré lokální minimum) Funkce složená Definice 5 Nechť f : M R a g : H(f) R jsou dané funkce Potom funkci h : M R definovanou předpisem h(x) = g(f(x)) nazýváme funkcí složenou, funkci f nazýváme funkcí vnitřní a funkci g funkcí vnější Příklady Dány funkce f(x) = x 3, x [, ) a g(x) = e x, x [, ) Pak f(g(x)) = (g(x)) 3 = (e x ) 3 = e 3x a g(f(x)) = e f(x) = e x3 Jedná se o dvě naprosto odlišné funkce Funkce inverzní Definice 6 Nechť f : D(f) H(f) je prostá Buď g : H(f) D(f) taková, že g(f(x)) = x pro x M Pak funkci g nazýváme funkcí inverzní k f a značíme f Příklad Dána funkce f(x) = x, x [, ) Tato funkce je rostoucí, tedy prostá, navíc D(f) = [, ) a H(f) = [, ) Existuje tedy inverzní f a vypočítá se takto: daná funkce se dá psát ve tvaru y = x Prohodíme x a y a vypočteme y To nám dá formulku pro inverzní funkci x = y y = x f (x) = x Lze snadno ověřit, že f(f (x)) = x pro x D(f ) = H(f) a f (f(x)) = x pro x D(f) Limita funkce Definice 7 Buď c R Označme pro r > redukované okolí bodu c (c r, c) (c, c + r) c R; P r (c) = ( r, ) c = ; (, r ) c = Označme ještě P r + (c) = P r (c) {x; x > c} a Pr (c) = P r (c) {x; x < c}

8 ALEŠ NEKVINDA Definice 8 Nechť f : M R a nechť M obsahuje nějaké redukované okolí P r (c) (P r + (c), Pr (c)) bodu c Říkáme, že lim f(x) = a ( lim f(x) = a, lim f(x) = a) x c x c + x c pokud x n P r (c) (P r + (c), Pr (c)) x n c f(x n ) a Jiná definice limity Definice 9 Nechť f : M R a nechť M obsahuje nějaké redukované okolí P r (c) bodu c Říkáme, že lim f(x) = a x c pokud ε > δ > x M ( < x c < δ f(x) a < ε) Věta Obě definice dávají totéž Spojitost funkce Definice Buď c R, f : M R a c M zleva spojitá) v bodě c, pokud lim f(x) x c ( lim x c + f(x), Říkáme, že funkce f je spojitá (zprava spojitá, lim f(x)) = f(c) x c Jiná definice spojitosti Definice Nechť f : M R a nechť M obsahuje nějaké neredukované okolí (c λ, c + λ) bodu c, kde λ je nějaké kladné číslo Říkáme, že f je spojitá v bodě c pokud ε > δ > x M ( x c < δ f(x) f(c) < ε) Věta 3 Obě definice dávají totéž Věty pro konkrétní výpočet limit Věta 4 Buď jedna z operací +,,, : Pak a pokud limity vpravo existují lim f(x) g(x) = lim f(x) lim g(x) x c x c x c lim f(x) = lim f(x), x c x c Věta 5 Buď lim f(x) = a, lim g(x) = b x c x a Nechť je splněn aspoň jeden z následujících předpokladů:

MATEMATIKA 9 (i) g je spojitá v bodě a; (ii) existuje redukované okolí bodu c tak, že pro x P (c) je f(x) a Pak lim g(f(x)) = b x c Elementární funkce Předpokládáme znalost funkcí x a, a x, e x, log a x, ln x, cos x, sin x, tan x, cotg x Nyní si definujme inverzní funkce k funkcím cos x, sin x, tan x, cotg x, jsou to po řadě arccos x, arcsin x, arctan x, arccotg x (Podrobnosti viz Budinský, Charvát: Matematika I, str 3 ) Funkce arcsin x a arccos x Vezmeme interval [ π, π ] a na něm funkci sin K ní inverzní označme arcsin Vezmeme interval [, π] a na něm funkci cos K ní inverzní označme arccos Jejich grafy vidíte na obrázcích a 5 y π y=arcsin x 5 x 5 5 π x Obrázek

ALEŠ NEKVINDA 4 y 35 3 π 5 5 π y=arccos x 5 x 5 Obrázek Z obou grafů vidíme základní vlastnosti: D(arcsin) = D(arccos) = [, ], H(arcsin) = [ π, π ], H(arccos) = [, π] arcsin() =, arcsin( ) = π, arcsin() = π, arcsin je funkce rostoucí a lichá arccos() = π, arccos( ) = π, arcsin() =, arccos je funkce klesající arcsin x + arccos x = π, x [, ] Vezmeme interval ( π, π ) a na něm funkci tan K ní inverzní označme arctan Nyní vezmeme interval (, π) a na něm funkci cotg K ní inverzní označme arccotg Jejich grafy vidíte na obrázcích 3 a 4

MATEMATIKA 3 y π y=arctan x x π 3 6 4 4 6 x Z obou grafů vidíme základní vlastnosti: Obrázek 3 D(arctan) = D(arccotg ) = R, H(arctan) = ( π, π ), H(arccotg ) = (, π) arctan() =, lim arctan x = π x, lim arctan x = π, arctan je funkce rostoucí a lichá x arccotg () = π, lim arccotg x =, lim x arctan x + arccotg x = π, x R x arccotg x = π, arccotg je funkce klesající Důležité limity sin x e x ln x lim =, lim =, lim x x x x x x =

ALEŠ NEKVINDA 4 3 y π π y=arccotg x x 6 4 4 6 Obrázek 4 Praktický výpočet limit příklady Příklad Vypočítejte Řešení lim x lim x x + x 6 x + 4x x + x 6 x + 4x = lim (x )(x + 3) x (x )(x + 6) = lim x + 3 x x + 6 = 5 8 Příklad Vypočítejte lim x ( x x) x

MATEMATIKA 3 Řešení lim x ( x x) = lim x ( x x + x x) x x x + x = lim x ( x x)( x + x) = lim x x + x x x x + x x = lim x x + x = lim = x x + Příklad Vypočítejte Řešení sin 5x lim x sin 3x = lim x sin 5x lim x sin 3x sin 5x 5x sin 3x 3x 5 3 = 5 3 sin 3x lim x 3x lim x sin 3x 3x = 5 3 Příklad Vypočítejte Řešení e x e 3x lim x sin x e x e 3x e x + e 3x lim = lim x sin x x sin x e x = lim x x = e lim x x x lim x sin x x x sin x 3 lim x 3 e lim 3x x 3x lim x sin x x e 3x 3x = 3 = e x = lim x sin x x sin x lim e 3x x sin x

4 ALEŠ NEKVINDA 3 Přednáška Věty o spojitých funkcích Definice 3 Nechť I je interval (uzavřený, polouzavřený, otevřený) a f : I R je funkce Říkáme, že f je spojitá, pokud je spojitá v každém bodě x I (pokud je interval uzavřený nebo polouzavřený, jedná se o jednostrannou spojitost v krajních bodech) Věta 3 (O nabývání maxima a minima) Nechť f : a, b R je spojitá a y, z b tak, že pro každé x a, b platí: f(y) f(x) f(z) Pak existují body Věta 33 (O překročení řeky) Nechť f : a, b R je spojitá a f(a)f(b) < Pak existuje a x b tak, že f(x) = Derivace funkce Definice 34 Nechť f je daná funkce definovaná v nějakém okolí (c δ, c + δ) Říkáme, že funkce f má v bodě c derivaci (značíme f (c)), pokud f f(c + h) f(c) (c) = lim R h h Věta 35 Nechť existuje f (c) Potom funkce f je spojitá v c Značení Nechť y = f(x) Pak derivaci značíme: y, f, dy dx, df dx, d dx f Věta 36 Nechť existuje f (c), g (c) Potom (i) (kf) (c) = kf (c); (ii) (f ± g) (c) = f (c) ± g (c); (iii) (fg) (c) = f (c)g(c) + f(c)g (c); (iv) ( ) f (c) g = f (c)g(c) f(c)g (c) g (c), pokud g(c) Věta 37 Nechť f, g jsou dvě funkce a nechť existují g (c), f (g(c)) Pak (f g) (c) = [ f(g(c)) ] = f (g(c))g (c)

MATEMATIKA 5 Věta 38 Buď f spojitá a ryze monotónní na (a, b) a c (a, b) Buď g inverzní funkce k f a označ d = f(c) Pak f (c) = ( g g (d) = (d) f (c) = ) f (g(d)) Vzorce pro derivování k = x = (x α ) = αx α x >, α R (x n ) = nx n x R, n Z, n (x n ) = nx n x R \ {}, n Z, n < (sin x) = cos x (arcsin x) = x (cos x) = sin x (tg x) = cos x (cotg x) = sin x (arccos x) = x (arctg x) = + x (arccotg x) = + x (e x ) = (e x ) (ln x) = x (a x ) = a x ln a (log a x) = x ln a Praktický výpočet derivací Příklad Vypočtěte Řešení (x + 3x 6) (x + 3x 6) = (x ) + (3x) (6) = (x ) + 3(x) = x + 3 = 4x + 3 Příklad Vypočtěte Řešení Příklad Vypočtěte (e x sin x) (e x sin x) = (e x ) sin x + e x (sin x) = e x sin x + e x cos x = e x (sin x + cos x) ( x + sin x ) e x cos x

6 ALEŠ NEKVINDA Řešení Příklad Vypočtěte Řešení Příklad Vypočtěte Řešení Příklad Vypočtěte Řešení Příklad Vypočtěte Řešení Příklad Vypočtěte Řešení Příklad Vypočtěte Řešení ( x + sin x ) (x + sin x) (e x cos x) (x + sin x)(e x cos x) = e x cos x (e x cos x) = ( + cos x)(ex cos x) (x + sin x)(e x + sin x) (e x cos x) (sin 3x) (sin 3x) = cos 3x(3x) = cos 3x3 = 3 cos 3x (e x x ) (e x x ) = e x x (x x) = e x x (x ) (3 x ) (3 x ) = 3 x ln 3(x) = 3 x ln 3 (sin(x )) (sin(x )) = cos(x )(x ) = cos(x ) x (sin x) (sin x) = sin x(sin x) = sin x cos x (cos (3x + 5)) (cos (3x + 5)) = cos(3x + 5)(cos(3x + 5)) = cos(3x + 5)( sin(3x + 5))(3x + 5) = cos(3x + 5)( sin(3x + 5)) 3 = 6 cos(3x + 5) sin(3x + 5)

MATEMATIKA 7 Příklad Vypočtěte (ln(x + + x )) Řešení (ln(x + + x )) = x + + x (x + + x ) = x + + x ( + [( + x ) / ] ( ) = x + + + x ( + x ) / ( + x ) ) ( = x + + ) + x ( + x ) / ( x = x + x ) + + x + x = ( x + + x + x + x ) = + x + x Derivace zprava a zleva Definice 39 Nechť f je daná funkce definovaná v nějakém pravém (resp levém)okolí c, c + δ) (resp (c δ, c ) Říkáme, že funkce f má v bodě c derivaci zprava (resp zleva),značíme f +(c) (resp f (c)), pokud f +(c) f(c + h) f(c) = lim R h + h ( resp f (c) f(c + h) f(c) = lim R ) h h Nekonečné derivace Definice 3 Nechť f je daná funkce definovaná v nějakém okolí (c δ, c + δ) Říkáme, že funkce f má v bodě c derivaci rovnou nekonečnu (minus nekonečnu), pokud f(c + h) f(c) lim = ( ) h h Analogicky bychom definovali jednostranné nekonečné derivace

8 ALEŠ NEKVINDA 4 Přednáška Fyzikální význam první a druhé derivace Pozorujme pohyb hmotného bodu po přímce Zvolme na této přímce počátek, tj bod s nulovou souřadnicí Pohyb tohoto hmotného bodu je popsán funkcí polohy v závislosti na čase, tj matematicky nějakou funkcí s(t) Písmeno t znamená čas a s(t) je souřadnice daného hmotného bodu v čase t Zjistěme okamžitou rychlost a okamžité zrychlení hmotného bodu v čase t Nejprve rychlost To uděláme tak, že sledujeme průměrnou rychlost v časovém intervalu (t, t+ t) Označme ji v t (t) Vzdálenost, kam se dostane bod v čase t, je x(t), a podobně vzdálenost, kam se dostane bod v čase t + t, je s(t + t), viz obrázek 5 s(t) s(t + t) t 4 6 8 Ze základního kurzu fyziky víme, že Obrázek 5 s(t + t) s(t) v t (t) = t Je celkem přirozené definovat nyní okamžitou rychlost v(t) předpisem s(t + t) s(t) v(t) = lim t t Tento výraz je definice derivace funkce s v bodě t, tj v(t) = s (t) Říkáme, že rychlost je derivací dráhy podle času Analogicky zavedeme v(t + t) v(t) a(t) = lim = v (t) = s (t) t t a říkáme, že zrychlení je derivací rychlosti podle času nebo druhou derivací dráhy podle času Příklad Za jak dlouho spadne z výšky h puštěný kámen na zem? Řešení Předpokládejme, že v nějakém čase t má těleso výšku h(t), to je jeho vzdálenost od povrchu země v čase t Působ i na něj síla F o velikosti mg Její znaménko je ale minus díky její orientaci, viz obrázek 6 Užitím Newtonova pohybového zákona máme Z toho dostaneme mh (t) = mg, h() = h, h () = h (t) = g h (t) = gt + c h(t) = gt + c t + c

MATEMATIKA 9 F = mg Zem h( t) h 4 6 8 Obrázek 6 Z hodnot h() = h, h () = vypočteme c =, c = h a dostaneme h(t) = h h gt a tedy t = g Diferenciál funkce Počítáme-li přibližnou hodnotu funkce f v bodě c + h pro malá h, můžeme aproximovat funkci f její tečnou (tj lineární funkcí l(x) = f(c) + f (c)x) a spočíst hodnotu l(c + h) Tedy Tato aproximace je tím přesnější, čím je h menší f(c + h) = f(c) + f (c)h Definice 4 Nechť existuje f (c) Potom zobrazení h D c f(h) := f (c)h se nazývá diferenciálem funkce f v bodě c Příklad Spočtěte přibližně bez pomoci kalkulačky hodnotu Řešení = + = c= h= f(x)= x Přesná hodnota je 499 = (f(c) + D c f(h)) = ( + ) = 5 Věta 4 (Lagrangeova věta) Nechť a < b, f : a, b R je spojitá funkce a nechť existuje f (c) pro každé c (a, b) Potom existuje ξ (a, b) tak, že f (ξ) = f(b) f(a) b a Věta 43 Nechť a < b, f : (a, b) R a nechť f (c) > (, <, ) pro každé c (a, b) Potom funkce f je rostoucí (neklesající, klesající, nerostoucí ) v (a, b)

ALEŠ NEKVINDA Definice 44 Říkáme, že funkce f má lokální minimum (ostré lokální minimum, lokální maximum, ostré lokální maximum) v bodě c, pokud existuje δ > tak,že f(x) f(c) (>,, <) pro všechna x (c δ, c + δ) Příklad Vyšetřete, v kterých intervalech je funkce f(x) = x e x rostoucí a v kterých klesající Řešení Spočtěme derivaci f Zějmě je f (x) = xe x + x e x = e x (x + x ) Řešme nerovnici e x (x + x ) > Protože e x > pro každé x, stačí vyřešit nerovnici x + x > Nulové body jsou x = a x = Rešení nerovnice je tedy x (, ) (, ) V každém z těchto intervalů je proto f rostoucí Analogickým postupem zjistíme, že je klesající v intervalu (, ) V bodě je tedy lokální maximum a v bodě je lokální minimum Věta 45 (Cauchyova věta) Nechť a < b, f, g : a, b R jsou spojité funkce, nechť existuje f, g v intervalu (a, b) a g (c) pro každé c (a, b) Potom existuje ξ (a, b) tak, že f (ξ) f(b) f(a) g = (ξ) g(b) g(a) Věta 46 (L Hospitalovo pravidlo) Nechť c R a nechť lim f(x) = lim g(x) = nebo x c x c lim f(x) = lim g(x) = Nechť existuje x c x c Pak existuje i f(x) lim x c g(x) Totéž platí pro jednostranné limity a navíc f (x) lim x c g (x) f(x) lim x c g(x) = lim f (x) x c g (x) Příklad Vypočtěte Řešení x sin x lim x x 3 x sin x lim x x 3 = = lim cos x x 3x = = lim x sin x 6x = = lim x cos x 6 = 6

MATEMATIKA Příklad Vypočtěte Řešení Příklad Vypočtěte Řešení lim x lim x e x cos x e x cos x = = lim x e x + 4x e x lim x cos x lim x x 3 4x + 6x 9 lim x 3x 3 + 4x 6 = lim x = x 8 8x + 8 = = lim x x 3 4x + 6x 9 3x 3 + 4x 6 xe x sin x = = = lim 6x 8x + 6 x 9x + 8x = 8 = 8 = 3 Příklad Vypočtěte Řešení Příklad Vypočtěte lim x ln x x + ln x lim x ln x = ( ) = lim x + x + = lim x + x x = lim x + x = lim ln x ln( x) x x = Řešení ln( x) lim ln x ln( x) = ( ) = lim x x ln x = lim x x lim Příklad Vypočtěte x x ln x = = lim ln x = lim x x = = lim ln x x x lim x sin x x + = x x ln x x

ALEŠ NEKVINDA Řešení Stačí tedy vypočítat Zřejmě je Původní limita je tedy Příklad Vypočtěte Řešení Stačí tedy vypočítat Zřejmě je Původní limita je tedy Příklad Vypočtěte lim x sin x = = lim e ln x sin x = e lim ln x sin x x + = e ( ) x + x + lim ln x sin x x + lim ln x sin x = ( ) = lim x + x + = lim x + x sin x sin x = lim cos x x + x ln x sin x = lim x + cos x sin x = lim = x + x = lim sin x cos x = x + lim x lim x sin x = e lim ln x sin x x + = e = x + lim x (x + 3) x+5 = x + (x + 3) x+5 x + x+3 x+3 (x+5) ln lim (x+5) ln = lim e x+ = e x x+ = e x + x + 3 lim (x + 5) ln x x + x + 3 lim (x + 5) ln x x + = = lim x x+ x+3 = lim x = lim x x+ (x+3) (x+) (x+5) 4(x + 5) x + 4 lim x ln x+3 x+ x+5 = (x + 5) = lim x x + 4x + 3 = = = lim 8 x = 4 (x + 3) x+5 x+3 lim (x+5) ln = e x x+ = e 4 x + ( lim x x ) ln x

MATEMATIKA 3 Řešení ( lim x x ) ln x (x ) = = lim ln x x (x ) ln x = = lim x x ln x + x x = = lim x x x + x =

4 ALEŠ NEKVINDA 5 Přednáška Konvexita a konkávita funkce Definice 5 Nechť funkce f je definovaná v intervalu J Potom říkáme, že f je konvexní (ryze konvexní, konkávní, ryze konkávní) v J, pokud platí implikace x < x < x 3 f(x ) f(x ) x x (<,, >) f(x 3) f(x ) x 3 x Věta 5 Nechť funkce f je definovaná v intervalu J a nechť f (>,, <) v J, pak f je konvexní (ryze konvexní, konkávní, ryze konkávní) v J Poznámka Jestliže v nějakém bodě c přechází graf funkce f z jedné strany tečny na druhou, nazýváme bod c inflexním bodem funkce f Přesněji to říká následující definice Definice 53 Nechť funkce f je definovaná v intervalu (x δ, x + δ) a nechť existuje f (x ) Položme ( ) R(x) = f(x) f(x ) f (x )(x x ) Říkáme, že funkce f má v bodě x inflexní bod, pokud existuje < λ < δ takové, že platí následující výrok: R(x) pro x (x, x + λ) R(x) pro x (x λ, x ) nebo R(x) pro x (x, x + λ) R(x) pro x (x λ, x ) Následující věta nám dává postačující podmínku pro existanci inflexního bodu Věta 54 Nechť funkce f je definovaná v intervalu (x δ, x +δ) a nechť f (x ) = a f (x ) Pak funkce f má v bodě x inflexní bod Asymptoty grafu funkce Definice 55 Říkáme, že funkce f má asymptotu v, pokud existují reálná čísla k, q taková, že Analogicky v Nechť funkce f má asymtotu v Pak a Analogicky v lim (f(x) kx q) = x Výpočet asymptot grafu funkce f(x) k = lim x x q = lim (f(x) kx), kde k je vypočteno výše x

MATEMATIKA 5 Průběh funkce Nechť funkce f je daná předpisem Průběh funkce znamená vyšetřit () D(f); () sudá, lichá, periodická; (3) limity v krajních bodech D(f); (4) intervaly monotonie a lokální extrémy; (5) intervaly konvexity, konkávity a inflexní body; (6) asymptoty; (7) H(f) Příklad Vyšetřete průběh funkce f(x) = xe /x Řešení () D(f) = R \ {}; () ani jedno; (3) lim x xe/x = e / = e = =, lim x xe/x = ( ) e /( ) = ( ) e = ( ) =, lim xe /x = e / = e = =, x lim xe /x = e / + = e = = neurčitý výraz, tedy užijeme x + L Hospitalova pravidla a dostaneme x + e /x x e/x x + x = lim x + e /x = e / + = e = lim xe /x = lim x /x = lim + (4) f (x) = e /x x e/x = x x e/x Nulové body jsou, x (, ), pak f (x) > a tedy funkce f je rostoucí; x (, ), pak f (x) < a tedy funkce f je klesající; x (, ), pak f (x) > a tedy funkce f je rostoucí V x = je tedy lokální minimum f() = e (5) f (x) = x e /x ( x e /x + x ( x )e /x ) = x e /x 3 Nulový bod je x (, ), pak f (x) < a tedy funkce f je konkávní; x (, ), pak f (x) > a tedy funkce f je konvexní (6) Asymptoty v ± k = lim x e/x = e / = e =, k = lim x e/x = e / = e = Dále q = lim x xe/x e x = lim /x e x /x = lim y y y = ; + q = lim x xe/x e x = lim /x e x /x = lim y y y = Funkce f má tedy stejnou asymptotu v a v Je to přímka y = x + (7) H(f) = (, ) e, ) Graf je na obrázku 7

6 ALEŠ NEKVINDA 5 y 4 3 y =x+ e x 3 y =x e /x 4 5 5 5 Obrázek 7 Příklad Vyšetřete průběh funkce f(x) = arcsin Řešení () Musíme vyřešit nerovnosti x x + x x + Protože x + >, lze dané nerovnice vynásobit výrazem x + a máme (x + ) x x + (x + ) (x ) Toto platí pro každé reálné x a tedy D(f) = R x x () Protože x + je lichá funkce a arcsin x je také lichá funkce, je f(x) = arcsin funkce Sudá ani periodická není x + také lichá

( ) (3) lim arcsin x x x + = arcsin x lim x x + = arcsin = ; lim arcsin x x x + = protože f je lichá, f() = (4) f (x) = ( x x + ) (x +) ( x ) x (x +) = x + (x +) xx (x +) = x x MATEMATIKA 7 x 4x (x +) = (x +) x 4 +x + 4x (x +) Stačí uvažovat funkci jen v intervalu, ) (je lichá) Nulový bod je x (, ), pak f (x) > a tedy funkce f je rostoucí; x (, ), pak f (x) < a tedy funkce f je klesající; V x = je tedy lokální maximum f() = π/ Zajímavá situace je s derivací v bodě Zřejmě je a f +() = lim f (x) = lim x + x + x + f () = lim f (x) = lim x x x + x x = lim x + x ( x (x +) = ) (x ) (x +) = (x +) x ( ) = + x x = lim x + x (+) = + Funkce má tedy v bodě hrot ve tvaru střechy (5) Zřejmě je { f (x) = x + pro x (, ), x + pro x (, ) a tedy f (x) = { 4x (x +) pro x (, ), 4x (x +) pro x (, ) x (, ), pak f (x) < a tedy funkce f je konkávní; x (, ), pak f (x) > a tedy funkce f je konvexní Uvědomme si, že v intervalu (, ) je f konvexní (to plyne z toho, že je lichá a konkávní v (, )) a tedy má v bodě inflexní bod (6) Asymptoty v ± Protože lim f(x) = a f je lichá, je asymptotou v ± přímka y = x (7) H(f) = π, π Graf je na obrázku 8 Všimněte si bodů a, ve kterých jsou tečny zleva a zprava namalovány čárkovaně Hledání lokálních extrémů funkce Věta 56 Nechť funkce f je definovaná v nějakém okolí bodu c R Nechť f (c) = a existuje f (c) Je-li f (c) > pak c je bodem lokálního minima funkce f Je-li f (c) < pak c je bodem lokálního maxima funkce f Je-li f (c) = pak nemůžeme nic říci Příklad Najděte lokální extrémy funkce f(x) = x 3 9x + x 7

8 ALEŠ NEKVINDA y π y =arcsin x +x x π 5 5 Řešení Zřejmě je Vyřešme rovnici f (x) = Snadno najdeme Obrázek 8 f (x) = 6x 8x +, f (x) = x 8 x 3x + = x = x = Dále je f () = 6, f () = 6 Funkce f má tedy v bodě lokální maximum f() = a v bodě lokální minimum f() = 3

MATEMATIKA 9 6 Přednáška Globální extrémy na intervalu Úkol Je dána spojitá funkce f na intervalu (otevřeném, polouzavřeném či uzavřeném) s krajními body a, b Najděte její maximum a minimum Řešení V případě uzavřeného intervalu Víme, že spojitá funkce na uzavřeném intervalu nabývá maxima i minima Základní fakt je, že pokud v bodě c nabývá funkce f globálního extrému, nabývá tam funkce f i lokálního extrému V kterých bodech může být lokální extrém? f (x) = pro x (a, b) x, x,, x n ; f (x) neexistuje pro x (a, b) x n+, x n+,, x m ; 3 body a, b Nyní vybereme z čísel f(x ), f(x ),, f(x m ), f(a), f(b) největší a nejmenší hodnotu Příklad Dané kouli o poloměru r vepište válec maximálního objemu Řešení Označme poloměr válce x Viz obrázek 9 4 3 S r x r x 3 4 4 4 Obrázek 9 Pak polovina výšky je r x a celkový objem V (x) je V (x) = πx r x

3 ALEŠ NEKVINDA Z geometrického hlediska je jasné, že x, r Spočteme derivaci V V (x) = 4πx r x + πx x r x = πx ( (r x ) x ) r x = πx r x ( r 3x ) Derivace existuje v každém bodě x (, r), tedy body typu odpadají Body typu πx ( r 3x ) = r 3x = x = r r x Máme tedy tři podezřelé body z extrému,, r geometricky) a maximum je tedy v bodě x = r 3, r Zřejmě je V () = V (r) = (to je vidět i 3 3 Někdy daná funkce není definována na uzavřeném intervalu, ale např na otevřeném Věta 6 Nechť a, b R, a < b, funkce f je spojitá na (a, b), má minimum v (a, b) lim f(x) = lim f(x) = Pak f x a + x b Příklad Nechť A = [a, b] je bod prvního kvadrantu Která z přímek jdoucí bodem A vytne v prvním kvadrantu nejkratší úsek? Řešení Označme [a + x, ] a [, b + y] průsečíky nějaké přímky jdoucí bodem A s osami Viz obrázek Pak y a = b xy = ab x Tedy ( ab ) ( d(x) = a + + b + x x = + x) a b + x Evidentně x (, ) Zřejmě a Počítejme derivaci lim d(x) = lim ( + a ) b + x x + x + x = ( + a ) b + + = ( + ) b + = b = + ( lim d(x) = lim + a b + x x x x) = ( + ) a b + = ( + ) = d (x) = a ( b x + x + + a ) x x b + x

MATEMATIKA 3 5 y 4 b +y 3 y [a,b] b a x a+x x 3 4 5 6 7 8 Obrázek Jelikož d (x) existuje pro všechna x (, ), body typu nejsou Řešme rovnici d (x) = a ( b x + x + + a ) x x b + x = / b + x a(b + x ) ( x + + a ) x = x /x a(b + x ) + (x + a)x = /převedeme na druhou stranu (x + a)x = a(b + x ) /roznásobíme x 3 + ax = ab + ax / ax x = 3 ab pro toto x tedy nastává minimum Spočítejme d( 3 ab ) Zřejmě d( 3 ( ab a ) ) = + (ab ) /3 b /3 a /3 + b /3 b 4/3 (b /3 + a /3 ) = (a /3 + b /3 ) b /3 Nejmenší délka je tedy (a /3 + b /3 ) 3/ b + (ab ) /3 = a/3 + b /3 b + a /3 b 4/3 = a /3 + b /3 = (a /3 + b /3 ) 3/ Věta 6 Nechť a, b R, a < b, funkce f je spojitá na (a, b), kladná funkce Pak f má maximum v (a, b) lim f(x) = lim f(x) = a f je x a + x b

3 ALEŠ NEKVINDA Příklad Na stěně visí obraz Dolní rám obrazu je vzdálen a, horní b od roviny očí V jaké vzdálenosti v rovině očí vidíme obraz pod největším úhlem? Řešení Naši vzdálenost od obrazu označíme x Viz obrázek 6 5 4 3 b a β (x) x α(x) ϕ(x) 3 4 5 6 7 8 Obrázek Úhly α(x) a β(x) splňují a tedy tg ( α(x) ) = a x, tg ( β(x) ) = b x ( a ( b α(x) = arctg, β(x) = arctg x) x) Obraz pak vidíme pod úhlem ϕ(x) = β(x) α(x), tedy ( b ( a ϕ(x) = arctg arctg x) x) Zřejmě x (, ) ( b ) ( b ) lim ϕ(x) = arctg arctg = arctg ( ) arctg ( ) = π x + + + π = a Dále ( b ) ( b lim ϕ(x) = arctg arctg = arctg () arctg () = x ) ϕ (x) = + b x b x + + a x a x

MATEMATIKA 33 Jelikož ϕ (x) existuje pro všechna x (, ), body typu nejsou Tedy + b x b b x + + a x a b + x + a + x = b b + x = b(a + x ) = a(b + x ) a x = /upravíme /upravíme a a + x /(b + x )(a + x ) /roznásobíme ba + bx = ab + ax / ba ax ba ab = ax bx /vytkneme ba(a b) = x (a b) / : (a b) x = ab x = ab Ze vzdálenosti x = ab vidíme tedy obraz pod největším úhlem Příklad V bodě A ve vzdálenosti a od břehu jsme na lodi a potřebujeme se dostat co nejrychleji do bodu B ve vzdálenosti b od břehu na souši Vzdálenost kolmých průmětů A, B bodů A, B je d Břeh považujeme za přímku, po vodě se pohybujeme rychlostí v, po břehu rychlostí v Řešení Označme X bod na břehu, který má vzdálenost x od B Viz obrázek Potom vzdálenost z bodu A do bodu X je a vzdálenost z bodu X do bodu B je d(ax) = a + (d x) d(xb) = b + x Čas potřebný k přemístění z A do X je potom dán vzorcem a + (d x) T (x) = a čas potřebný k přemístění z X do B je potom dán b + x T (x) = v Čas potřebný k přemístění z A do B je součet časů potřebných k přemístění z A do X a dále z X do B, tedy celkový čas je a + (d x) T (x) = T (x) + T (x) = b + x + v v Interval pro x je (, ) Zřejmě je lim T (x) = lim a + (d x) b + x + x x v v a + = b + + = + = v v v v v

34 ALEŠ NEKVINDA 3 A voda a A d x α X β x rychlost =v B breh 3 rychlost =v 4 pevnina 5 4 6 8 b B Obrázek a a + (d x) lim T (x) = lim b + x + x x v v a + = b + + = + = v v v v Spočítejme T (x) Snadno zjistíme, že T (x) = (d x) v a + (d x) + x v b + x Jelikož T (x) existuje pro všechna x (, ), body typu nejsou Zkoumejme rovnici T (x) = T (x) = (d x) v a + (d x) + x v b + x = Tedy d x v a + (d x) = x v b + x Označ α, β úhly, které svírá kolmice k břehu v bodě X spřímkami AX a BX Pak předchozí vztah dává v v = d x a +(d x) x b +x = sin α sin β

MATEMATIKA 35 což je známý zákon lomu

36 ALEŠ NEKVINDA 7 Přednáška Taylorův polynom Motivace Nechť je dána v intervalu (x δ, x +δ) funkce f Volme x (x δ, x +δ) Zajímá nás, zda přibližný výpočet hodnoty f(x) pro x blízká bodu x lze nahradit výpočtem hodnoty nějakého polynomu P n (x) stupně dejme tomu n Zkusme nejprve polynom stupně Označme jej P (x) Takový polynom je konstantní funkce Zajímá nás tedy, jaká konstantní funkce nejlépe aproximuje funkci f(x) v blízkosti bodu x Několik příkladů konstantních funkcí je namalováno na obrázku 3 Geometricky vidíme, že nejlépe ze všech y y 5 =9 8 y=f(x) 6 y 4 =6 4 y 3 =4 y = y = f(x ) x x 4 6 8 Obrázek 3 konstantních funkcí aproximuje f(x) v blízkosti x funkce y (na obrázku je její graf modře) Je to funkce y = f(x ) Tedy P (x) = f(x ) Podmínka na funkci P (x) -tého stupně je tedy P (x) = f(x ) Zkusme nyní polynom stupně Označme jej P (x) Takový polynom je lineární funkce Zajímá nás tedy, jaká lineárí funkce nejlépe aproximuje funkci f(x) v blízkosti bodu x Několik příkladů konstantních funkcí je namalováno na obrázku 4 Geometricky vidíme, že funkce y 4, y 5 aproximují f(x) v blízkosti x velmi špatně Je to způsobeno tím, že P (x ) f(x ) Polynom P (x) by měl aspoň procházet bodem [x, f(x )], tj P (x ) = f(x )

MATEMATIKA 37 y 8 y 3 y=f(x) 6 y 5 4 y 4 f(x ) y x x y 4 6 8 Obrázek 4 Na obrázku 4 vidíme tři funkce, které procházejí bodem [x, f(x )] Jsou to y, y, y 3 Opět je vidět, že y aproximuje f(x) v blízkosti x daleko lépe než y, y 3 To je způsobeno tím, že y, y 3 mají v x jinou tečnu než f(x) Z toho plyne druhý požadavek na P (x) Chceme, aby P (x ) = f (x ) Aby nám polynom prvního stupně P (x) co nejlépe aproximoval f(x) v blízkosti x, chceme, aby byly splněny dvě podmínky: P (x ) = f(x ); P (x ) = f (x ) Najděme tvar P (x) Protože jde o lineární funkci, jistě existují čísla a, b tak, že P (x) = a+b(x x ) Pak P (x ) = a = f(x ) a P (x ) = b = f (x ) a dostáváme P (x) = f(x ) + f (x )(x x ) Zkusme nyní polynom stupně Označme jej P (x) Takový polynom je lineární funkce Zajímá nás tedy, jaká kvadratická funkce nejlépe aproximuje funkci f(x) v blízkosti bodu x Několik příkladů kvadratických funkcí je namalováno na obrázku 5 Geometricky vidíme, že funkce y aproximuje f(x) v blízkosti x velmi špatně Je to způsobeno tím, že P (x ) f(x ) Polynom P (x) by měl aspoň procházet bodem [x, f(x )], tj P (x ) = f(x ) Na obrázku 5 vidíme také funkci y, která prochází bodem [x, f(x )] Vidíme, že aproximuje

38 ALEŠ NEKVINDA y y y 3 8 y=f(x) 6 y 4 y 5 f(x ) x x y 4 4 6 8 Obrázek 5 f(x) v blízkosti x špatně (P (x) a f(x) mají různé tečny v bodě x, tj P (x ) f (x )), ale přece jen lépe než y (platí již P (x ) = f(x )) Lepší aproximece dávají funkce y 3, y 4, y 5 To je způsobeno faktem, že y 3, y 4, y 5 mají v bodě x stejnou tečnu jako f(x) To nám dává další podmínku: P (x ) = f (x ) Jak ale poznat, která z nich je nejlepší? Jistě ne y 4 Ta je otočená dolů Matematicky to znamená, že má zápornou druhou derivaci (kdežto funkce f(x) má kladnou, protože je konvexní) Lepší aproximace tedy dávají funkce y 3 a y 5 Ale funkce y 3 je zase příliš uzavřená do sebe Matematicky to znamená, že má velikou druhou derivaci oproti funkci f(x) v bodě x Nejvhodnější kandidát je tedy funkce y 5 Ta má stejnou druhou derivaci jako f(x) v bodě x To nás vede k podmínce P (x ) = f (x ) Aby nám polynom druhého stupně P (x) co nejlépe aproximoval f(x) v blízkosti x, chceme, aby byly splněny dvě podmínky: P (x ) = f(x ); P (x ) = f (x ); P (x ) = f (x ) Najděme tvar P (x) Protože jde o kvadratickou funkci, jistě existují čísla a, b, c tak, že P (x) = a + b(x x ) + c(x x ) Pak P (x ) = a = f(x ) Derivací máme P (x) = b + c(x x ) a tedy P (x ) = b = f (x ) Dále P (x) = c máme P (x ) = c = f (x ), což dává P (x) = f(x ) + f (x )(x x ) + f (x ) (x x )

MATEMATIKA 39 Pokusme se zobecnit naše zkoumání na polynom n-tého stupně Z předchozích geometrických úvah vidíme, že největší šanci má polynom splňující následující podmínky: (7) P n (x ) = f(x ); P n(x ) = f (x ); P n (x ) = f (x ); P (n) n (x ) = f (n) (x ) Takový polynom se nazývá Taylorův polynom Hledejme Taylorův polynom ve tvaru Snadno spočteme P n(x) = P n (x) = P n (x) = atd P n (x) = n a k (x x ) k k= n ka k (x x ) k ; k= n k(k )a k (x x ) k ; k= n k(k )(k )a k (x x ) k 3 ; k=3 Dosadíme do podmínky (7) hodnotu x = x a dostaneme f(x ) = a ; f (x ) = a ; f (x ) = a ; f = (x ) = 3a 3 ; f (k) = (x ) = 3 ka k ; f (n) = (x ) = 3 na n Tím jsme spočítali koeficienty polynomu P n (x) a tedy P n (x) = n k= f (k) (x ) (x x ) k k!

4 ALEŠ NEKVINDA Definice 7 Nechť f je definována na nějakém okolí (x δ, x +δ) bodu x a nechť existují derivace f (k) (x ) pro k =,,, n Taylorovým polynomem n-tého stupně se středem v x nazýváme polynom n f (k) (x ) P n,x f(x) = P n (x) = (x x ) k k! k= Taylorova věta (odhad chyby) Další důležitá věc je odhadnout, jak moc se liší hodnota f(x) od hodnoty P n (x) v závislosti na δ, stupni n a konečně na samotné hodnotě x Chceme tedy nalézt nějaký odhad pro f(x) P n (x) O tom něco říká Taylorova věta, která odhaduje chybu pomocí sup f (n+) (ξ) na intervalu (x δ, x + δ) Vyslovme si ji nejprve pro nejjednodušší případ a to pro polynom stupně Pro polynom stupně Věta 7 Nechť x < x, f spojitá v x, x a existuje f (t) pro t (x, x) Pak existuje ξ (x, x) tak, že (7) f(x) = f(x ) + f (ξ)(x x ) a tedy pro každé x (x δ, x + δ) máme f(x) f(x ) = f(x) P (x) δ Všimněne si, že vztah (7) je vlastně Lagrangeova věta Vyslovme a dokažme si nyní tuto větu pro polynom stupně sup f (ξ) ξ (x δ,x +δ) Věta 73 Nechť x < x, f, f spojitá v x, x a existuje f (t) pro t (x, x) Pak existuje ξ (x, x) tak, že f(x) = f(x ) + f (x )(x x ) + f (ξ) (x x ) a tedy pro každé x (x δ, x + δ) máme f(x) f(x ) f (x )(x x ) = f(x) P (x) δ sup f (ξ) ξ (x δ,x +δ) Důkaz Idea je následující Odečteme od f(t) kvadratickou funkci tak, zby výsledná funkce měla nulové hodnoty v x, x a nulovou derivaci v x Pak se jen dvakrát použije Lagrangeova věta Definujme h(t) = f(t) f(x ) f (x )(t x ) M(t x ), kde Zřejmě h(x ) = Dále M = f(x) f(x ) f (x )(x x ) (x x ) h(x) = f(x) f(x ) f (x )(x x ) M(x x ) = f(x) f(x ) f (x )(x x ) f(x) f(x ) f (x )(x x ) (x x ) (x x ) ( ) = f(x) f(x ) f (x )(x x ) f(x) f(x ) f (x )(x x ) =

MATEMATIKA 4 Máme tedy h(x ) = h(x) = a podle Lagrangeovy věty existuje ξ (x, x) tak, že h (ξ ) = h(x) h(x ) x x = Uvažujme interval [x, ξ ] Spočítejme h (t) Zřejmě je ( h (t) = f(t) f(x ) f (x )(t x ) M(t x ) ) = f (t) f (x ) M(t x ) a tedy h (x ) = Protože také h (ξ ) =, víme dle Lagrangeovy věty pro funkci h na intervalu [x, ξ ], že existuje ξ (x, ξ ) tak, že Zřejmě h (t) = Dosaďme ξ za t a dostaneme Tedy M = f (ξ ), což dává podle definice M což jsme měli dokázat h (ξ ) = h (ξ ) h (x ) ξ x = ( f (t) f (x ) M(t x )) = f (t) M = h (ξ ) = f (ξ ) M f(x) f(x ) f (x )(x x ) = f (ξ ) (x x ), Poznamenejme, že v důkazu jsme dvakrát použili Lagrangeovu větu Vyslovme si nyní Taylorovu větu pro polynom n stupně Věta 74 Nechť x < x, f, f, f (n) spojité v x, x a existuje f (n+) (t) pro t (x, x) Pak existuje ξ (x, x) tak, že f(x) = f(x ) + f (x )(x x ) + f (x ) (x x )! + f (x ) 3! (x x ) 3 + + f (n) (x ) (x x ) n + f (n+) (ξ) n! (n + )! (x x ) n+ a tedy pro každé x (x δ, x + δ) máme f(x) f(x ) f (x )(x x ) f (x ) (x x )! f (x ) (x x ) 3 f (n) (x ) (x x ) n 3! n! = f(x) P n (x) δn+ n + sup f (n+) (ξ) ξ (x δ,x +δ) Důkaz Důkaz vyžaduje (n + )-krát použít Lagrangeovu větu Je to Taylorův polynom pro x = Maclaurinův vzorec

4 ALEŠ NEKVINDA Věta 75 Nechť f, f, f (n) jsou spojité v okolí U() a existuje f (n+) (t) pro t U() Nechť x U() Pak existuje ξ osře mezi x a tak, že f(x) = f() + f ()x + f ()! x + f () 3! Příklady x 3 + + f (n) () x n + f (n+) (ξ) n! (n + )! xn+ e x = + x! + x! + x3 3! + + xn n! + e ξ (n + )! xn+ sin x = x x3 3! + x5 5! x7 7! + + ( )n x n (n )! + ( )n+ sin ξ (n + )! xn+ cos x = x! + x4 4! x6 xn + + ( )n 6! (n)! + cos ξ ( )n+ (n + )! xn+ ln( + x) = x x + x3 xn + ( )n 3 n + ( )n x n+ ( + ξ) n+ n + Eulerův vzorec Tím jsme ukázali Eulerův vzorec: Příklad e ix = + ix! + i x + i3 x 3 + + in x n +! 3! n! ( ) = x! + x4 4! x6 6! + + i x x3 3! + x5 5! x7 7! + = cos x + i sin x sin x x x x 3 lim x x 3 = lim x e ix = cos x + i sin x Užití Taylora na výpočet limit 3! + x5 5! x x 3 ( = lim ) x 3! + x 5! = 6 Na závěr si pro srovnání namalujeme Taylorovy polynomy nultého (P (x)), prvního (P (x)), druhého (P (x)) a třetího (P 3 (x)) funkce e x (na obrázku 6 je značená exp) Vidíme, jak se funkce P (x), P (x), P (x), P 4 (x) postupně přibližují k e x

MATEMATIKA 43 4 P (x) y P (x) 3 P (x) exp(x) x 3 P 3 (x) 4 4 4 Obrázek 6

44 ALEŠ NEKVINDA LINEÁRNÍ ALGEBRA Definujme 8 Přednáška R n = {u = (u, u,, u n ); u i R} Dány u = (u, u,, u n ), v = (v, v,, v n ) a α R Pak definujeme u + v = (u + v, u + v,, u n + v n ), αu = (αu, αu,, αu n ) Nulový vektor je o = (,,, ) a opačný u k u je ( u, u,, u n ) Evidentně pro každé u, v, w R n a α, β R: u + v = v + u; (u + v) + w = u + (v + w); u + o = u; u + ( u) = o; α(u + v) = αu + αv; (α + β)u = αu + βu; (αβ)u = α(βu); u = u Definice 8 Buď V libovolná množina, ve které je definováno sčítání prvků a násobení prvku reálným číslem Řekneme, že (V, +, ) je vektorový prostor, pokud pro každé u, v, w V a α, β R platí: (i) u + v = v + u, (ii) (u + v) + w = u + (v + w); (iii) existuje o V tak, že pro každé u V platí u + o = u; (iv) pro každé u V existuje v V takové, že u + v = o; (v) α(u + v) = αu + αv; (vi) (α + β)u = αu + βu; (vii) (αβ)u = α(βu); (viii) u = u Definice 8 Nechť (V, +, ) je vektorový prostor Skupinou vektorů nazveme každou konečnou posloupnost [u, u,, u k ], u i V Skupina [u, u,, u k ] se nazývá lineárně nezávislá (LN), pokud α u + α u + + α k u k = o α = α = = α k = V opačném případě se nazývá lineárně závislá (LZ)

MATEMATIKA 45 Příklad Je skupina [(,, ), (,, ), (,, )] LN? Nechť α(,, ) + β(,, ) + γ(,, ) = (,, ) Pak Dále α + β + γ = ; α + β + γ = ; α + β + γ = β γ = γ = β = γ Z toho plyne jednoznačně α = β = γ = a skupina je LN Příklad Je skupina [(,, ), (,, ), (,, 3)] LN? Nechť α(,, ) + β(,, ) + γ(,, ) = (,, ) Pak Dále Dále α + β + γ = ; α β = ; α + β + 3γ = β γ = β + γ = γ = α = β γ α = β γ β = γ Z toho plyne α = β = γ Stačí tedy volit α =, β =, γ = a skupina je LZ Definice 83 Nechť je dána skupina S = [u, u,, u k ] ve V Každý výraz α u + α u + + α k u k nazýváme lineární kombinací vektorů z S Řekneme, že vektor v je lineární kombinací vektorů z S, pokud existují reálná čísla α, α,, α k tak, že v = α u + α u + + α k u k Nechť je dána skupina S = [u, u,, u k ] ve V Množinu všech vektorů, které jsou lineární kombinací vektorů s S nazýváme lineárním obalem skupiny S a značíme Lin[u, u,, u k ] Definice 84 Nechť je dána skupina B = [u, u,, u k ] ve V Potom B se nazývá báze V, pokud (i) B je LN; (ii) každý vektor v V lze napsat jako nějaká lineární kombinace vektorů z B Příklad Kanonická báze v R n : Skupina [(,, ), (,, ), (,, )] je báze v R 3 (,,,, ), (,,,, ), (,,,, )

46 ALEŠ NEKVINDA Věta 85 Nechť (V, +, ) je vektorový prostor a nechť B = [b, b,, b k ], C = [c, c,, c l ] jsou dvě báze V Potom k = l Definice 86 Nechť (V, +, ) je vektorový prostor a nechť B = [b, b,, b k ] je báze V Pak číslo k se nazývá dimenze V a píšeme k = dimv Definice 87 Nechť (V, +, ) je vektorový prostor a nechť W V Říkáme, že W je podprostor V, pokud α, β R a u, v W αu + βv W Věta 88 Nechť (V, +, ) je vektorový prostor a nechť W V je vektorový podprostor Pak W je vektorový prostor a je-li dimv <, pak dimw dimv Příklad {(t, t ); t R} není podprostor v R ; {(t, t, 3t); t R} je podprostor v R 3 ; {(t + s, t s, t + s); t R} je podprostor v R 3

MATEMATIKA 47 9 Přednáška Úkol: Jak zjistíme dimv a nějakou bázi? Tomuto úkolu se budeme v této přednášce věnovat Napíšeme vektory u, u,, u m pod sebe do obdélníkového schématu, do tzv matice Definice 9 Matice typu m n je obdélníkové schéma reálných čísel a a a n a a a n (9) A = a m a m a mn Zřejmě n je počet sloupců a m počet řádků Definice 9 Dána matice typu m n jako v (9) Polož u = (a, a,, a n ) u = (a, a,, a n ) u m = (a m, a m,, a mn ) Pak hodností matice h(a) rozumíme dim Lin[u, u,, u m ] Definice 93 Dána matice A typu m n jako v (9) Označme k = min{m, n} Pak a, a,, a kk je diagonála Matici A nazveme horní lichoběžníkovou, pokud pod diagonálou jsou nuly Příklad Buď dána matice 3 6 3 9 9 A = 3 7 3 7 7 5 9 5 V dalším je vyznačena diagonála v matici A 3 6 3 9 9 3 7 3 7 7 5 9 5 Matice je horní lichoběžníková B = 3 6 3 9 9 3 7 3 7 5 9 5 Věta 94 Buď A horní lichoběžníková matice typu m n jako v (9) Označme k = min{m, n} a nechť a ii pro i =,,, k Pak h(a) = k Příklad V případě matice B z předchozího příkladu je hodnost h = 5

48 ALEŠ NEKVINDA Věta 95 Dána matice A typu m n jako v (9) Pak následující úpravy nezmění hodnost A (i) výměna libovolných dvou řádků; (ii) vynásobení libovolného řádku nenulovým číslem; (iii) přičteme-li k libovolnému řádku lineární kombinaci ostatních řádků; (iv) vynechání nulového řádku Definice 96 Dána matice a a a n a a a n A = a m a m a mn Pak matice A T symetrická s A kolem diagonály se nazývá transponovaná; a a a m A T a a a m = a n a n a mn Příklad Buď dána matice A = 3 3 Potom transponovaná matice je A T = 3 3 Věta 97 Dána matice A typu m n jako v (9) Pak h(a) = h(a T ) Prakticky: Úpravy (i), (ii), (iii), (iv) lze udělat se sloupci, aniž změníme hodnost matice Gaussův algoritmus Postupnými úpravami (i), (ii), (iii), (iv) převedeme matici A na horní lichoběžníkový tvar s nenulovými prvky na diagonále Pak jenom spočítáme řádky Příklad Najdi hodnost matice 3 6 3 9 9 3 7 3 7 7 5 9 5 Řešení: 3 6 3 9 9 3 7 3 7 7 5 9 5 3 6 3 3 3 6 4 6 4 3 3 4 3 3

MATEMATIKA 49 Tedy h = 3 3 6 3 3 3 6 3 3 3 3 6 3 3 3 6 3 Příklad Najdi hodnost matice v závislosti na parametru λ λ λ λ 3 6 3 3 3 6 3 v závislosti na parametru λ Řešení: λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ Singulární hodnoty jsou λ =, λ λ =, tj λ = nebo λ = λ / {, }, pak h = 3 λ =, pak máme matici a h = 3 λ =, pak máme matici 3 3 a h =

5 ALEŠ NEKVINDA Přednáška Soustava lineárních rovnic Příklad Řešte soustavu rovnic x +y +z =, x y +3z = 4, 3x +y +z = Řešení Postupně jako na střední škole: Bez komentáře Bez komentáře Bez komentáře x +y +z = x = y z x y +3z = 4 3x +y +z = x +y +z = ( y z) y +3z = 4 4 y z y + 3z = 4 3( y z) +y +z = 6 + 3y + 3z + y + z = x +y +z = 3y +z = 5y +4z = 7 Bez komentáře Bez komentáře Bez komentáře x +y +z = 3y +z = y = 3 z 5y +4z = 7 x +y +z = 3y +z = 5y +4z = 7 5 3z + 4z = 7 x +y +z = 3y +z = 7 3 z = 7 z = 3, 3y + 3 = y =, x + + 3 = x = Tedy řešení jze psát jako vektor (,, 3) Přehlednější postup: Postupujeme stejně, ale píšeme to úsporněji x +y +z =, ( ) 3 x +y +z =, x y +3z = 4, 3y +z =, 3x +y +z = 5y +4z = 7 5 3

MATEMATIKA 5 Tedy z = 3, y =, x = x +y +z =, 3y +z =, 7z = 5 Není ani potřeba psát neznámé: 3 3 Tedy z = 3, y =, x = 4 3 5 4 7 3 7 5 Definice Soustavou lineárních algebraických rovnic rozumíme soustavu rovnic () kde a ij, b i jsou dané a x i jsou neznámé a x +a x + +a n x n = b a x +a x + +a n x n = b a m x +a m x + +a mn x n = b m, Definice Soustavu z definice budeme psát do matice a a a n b a a a n b, a m a m a mn kde b m a a a n a a a n A = a m a m a mn je matice soustavy a (b, b,, b m ) je vektor pravé strany Zaveďme ještě rozšířenou matici soustavy a a a n b a a a n b à = a m a m a mn Viděli jsme, že při řešení soustavy rovnic jde vlastně o Gaussův algoritmus b m

5 ALEŠ NEKVINDA Příklad Řešte soustavu rovnic x +y 3z =, x 4y +z =, 3x y z = 4 Řešení: 3 4 3 4 3 8 7 8 7 3 8 7 Poslední řádek lze přepsat do rovnice x + y + z =, což evidentně nemá řešení, čili soustava nemá řešení Věta 3 Soustava () má řešení právě tehdy, když h(a) = h(ã) Věta 4 Nechť je dána soustava () taková, že h(a) = h(ã) := h Pak musíme volit n h parametrů Příklad Řešte soustavu rovnic () x +x x 3 +3x 4 +x 5 = 7, x +3x +x 3 +6x 4 +3x 5 = 4, x +5x +x 4 +3x 5 = Řešení: 3 3 6 3 5 3 7 4 3 3 4 7 7 6 3 3 Odtrhneme nyní matici 3 3 7 7 x x x 4 x 3 x 5 3 3 7 7 x x 4 x 3 x 5 x 3 3 7 7 a za zbytek volíme parametry Volme parametry x 3 t, x 5 = s Vyjde postupně x 4 = + s, x = 7 3( + s) t s = 7 + 3 6s t s = t 7s, x = 7 ( t 7s) 3( + s) + t s = + 5t + 6s Řešení je tedy ( + 5t + 6s, t 7s, t, + s, s), t, s R Příklad Řešte soustavu rovnic v závislosti na parametru λ λx +x x 3 =, x +λx +x 3 = λ, x +x +λx 3 = λ

MATEMATIKA 53 Řešení: λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ 3 λ λ λ λ λ λ λ λ + λ λ λ 3 λ λ λ ( λ)( + λ) λ λ( λ) ( + λ) ( λ) Singulární hodnoty jsou pro λ =, + λ =, tedy λ = a λ = λ / {, }, pak existuje právě jedno řešení ( λ + λ +, λ + λ =, pak máme matici řešení je 3 λ =, pak máme matici ( + λ), ( + λ) ) ( ) a tedy množina všech ( t s, t, s), t, s R 4 3 3 6 a soustava nemá řešení 3

54 ALEŠ NEKVINDA Přednáška Soustava homogenních lineárních algebraických rovnic Definice Soustavou homogenních lineárních rovnic rozumíme soustavu rovnic () a x +a x + +a n x n = a x +a x + +a n x n =, a m x +a m x + +a mn x n = kde A = (a ij ), i =,,, m, j =,,, n je daná matice soustavy a x i jsou neznámé Příklad Řešte soustavu rovnic x +x x 3 +3x 4 +x 5 =, x +3x +x 3 +6x 4 +3x 5 =, x +5x +x 4 +3x 5 = Řešení: 3 3 6 3 5 3 3 3 Volme parametry x 3 t, x 5 = s Vyjde postupně 3 3 4 x 4 = s, x x x 4 x 3 x 5 3 3 x = 3(+s) t s = 6s t s = t 7s, x = ( t 7s) + (+s) 3t s = t + 4s Řešení je tedy (t + 4s, t 7s, t, +s, s), t, s R Věta Buď dána homogenní soustava rovnic () Označme h(a) hodnost matice A a nechť V značí množinu všech řešení této soustavy Pak V je vektorový podprostor v R n, jehož dimenze je rovna n h(a) Poznámka V předchozím příkladě můžeme psát V = {t(,,,, ) + s(4, 7,,, ); t, s R} Vektory (,,,, ), (4, 7,,, ) tvoří bázi V Poznámka V předchozí přednášce (viz ()) jsme řešili soustavu rovnic x +x x 3 +3x 4 +x 5 = 7, x +3x +x 3 +6x 4 +3x 5 = 4, x +5x +x 4 +3x 5 = Vyšlo nám ( +5t+6s, t 7s, t, +s, s), t, s R, což můžeme psát jako {(,,,, )+ t(5,,,, ) + s(6, 7,,, ); t, s R} = (,,,, ) + V

MATEMATIKA 55 Věta 3 Dána soustava a k ní přidružená soustava a x +a x + +a n x n = b a x +a x + +a n x n = b a m x +a m x + +a mn x n = b m a x +a x + +a n x n = a x +a x + +a n x n = a m x +a m x + +a mn x n = Potom nehomogenní soustavu lze řešit tak, že vyřešíme homogenní soustavu, tj najdeme V, najdeme jeden vektor v R n, který řeší nehomogenní soustavu a všechna řešení nehomogenní soustavy dostaneme jako množinu {v + w, w V } Součet dvou matic a násobení matice skalárem Operace s maticemi Definice 4 Dány matice a a a n a a a n A =, B = a m a m a mn Definujme Příklad Potom b b b n b b b n b m b m b mn a + b a + b a n + b n a + b a + b a n + b n A + B =, a m + b m a m + b m a mn + b mn αa αa αa n αa αa αa n αa = αa m αa m αa mn A = A + B = ( 3 7 ( 3 9 ) ( 3, B = ) ( 4 6, A = 4 4 Věta 5 Množina všech matic typu m n s právě definovanými operacemi tvoří vektorový prostor dimenze nm Násobení dvou matic mezi sebou ), )

56 ALEŠ NEKVINDA Definice 6 Dány matice A a B typu n m a m k a a a m a a a m A =, B = a n a n a nm b b b k b b b k b m b m b mk Součin AB je typu n k a je definován následujícím způsobem: c c c k c c c k AB =, c n c n c nk kde m c ij = a i b j + a i b j + + a im b mj = a is b sj s= i =,,, n, j =,,, k Příklad Buď Potom A = ( 3 AB = ), B = 3 3 ( 4 5 8 3 6 3 4 AB = BA, protože BA není vůbec defino- Poznámka V předchozím příkladě vidíme, že neplatí vaná Věta 7 Platí: (i) (A + B)C = AC + BC; (ii) A(B + C) = AB + AC; (iii) A(BC) = (AB)C Definice 8 Čtvercovou matici E typu n n definovanou E = nazýváme jednotkovou maticí Věta 9 Platí: ) AE = EA = A pro každou matici A typu n n Zkoumejme násobení matic typu n n V tomto případě jsou matice AB a BA definovány vždy, ale stejně to není komutativní, jak ukazuje následující příklad: ( ) ( ) ( ) 3 = 4 3 3

MATEMATIKA 57 a ( Inverzní matice ) ( 4 3 ) = ( 6 7 Definice Buď dána matice A typu n n Matici X typu n n nazveme invezní k A, pokud AX = E Značíme ji A Definice Čtvercová matice A typu n n se nazývá regulární, pokud existuje A V opačném případě se nazývá singulární Věta Matice A typu n n je regulární právě tehdy, když h(a) = n Inverzní matice je určena jednoznačně Pro regulární matici A platí AA = A A = E Výpočet inverzní matice Postup Gaussovým algoritmem: a a a n a a a n a n a n a nn ) Nyní upravujeme (pouze řádkovými úpravami) matici tak, aby vlevo byla jednotková Vpravo je pak inverzní Příklad Vypočtěte A, kde A = Tedy Řešení: 4 3 4 A = 4 3 4